第1章 5.2 余弦函数的图象与性质再认识（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件聚焦余弦函数的图象与性质，通过“五点法”作图、与正弦函数图象关系及单调性等核心知识点，以问题链（如关键点、平移关系）衔接正弦函数学习，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以问题驱动和题型实践为主线，通过“五点法”作图培养直观想象，结合图像法、换元法解决定义域值域问题提升数学运算与逻辑推理，课堂小结系统归纳方法。学生能深化知识理解，教师可高效开展分层教学。

第一章　三角函数 第一章　三角函数 必修第二册 数学 §5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5.2　余弦函数的图象与性质再认识 第一章　三角函数 必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（八） Part 03 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 课 前 预 习 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 R [－1，1] 2π 第一章　三角函数 必修第二册 数学 [－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z [2kπ，π＋2kπ]，k∈Z x＝2kπ，k∈Z x＝π＋2kπ，k∈Z kπ，k∈Z 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 课 堂 互 动 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 课时作业（八） 点击进入word 第一章　三角函数 必修第二册 数学 谢谢观看 第一章　三角函数 必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1．了解余弦曲线的画法，理解正弦曲线与余弦曲线的关系． 2．掌握余弦函数的性质，并能应用余弦函数的性质与图象解决相关问题． 1．通过学习余弦曲线，培养直观想象的核心素养． 2．通过余弦函数性质与图象的应用提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点　余弦函数的图象与性质再认识 [问题1]　 “五点法”作出y＝cos x，x∈[0，2π]图象的五个关键点是什么？ 答：两个最高点(0，1)，(2π，1)，一个最低点(π，－1)，两个零点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0)) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0)) . [问题2]　函数y＝cos x与y＝sin x图象间的关系？ 答：∵cos x＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x)) ， ∴把y＝sin x的图象向左平移 eq \f(π,2) 个单位即可得到y＝cos x的图象． [问题3]　类比正弦函数性质再认识的研究方式，利用y＝cos x的图象(如图)，进一步探究其主要性质． (1)讨论y＝cos x在[－π，π]上的单调性？ 答：在[－π，0]上递增，在[0，π]上递减． (4)余弦函数的图象有对称轴吗？有对称中心吗？ 答：有，对称轴为x＝kπ，k∈Z，对称中心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0)) ，k∈Z. (2)当x∈R时，求y＝cos x取最大值时对应x的值？ 答：x＝2kπ，k∈Z. (3)研究y＝cos x的奇偶性？ 答：∵cos (－x)＝cos x，∴余弦函数是偶函数，其图象关于y轴对称． ►知识填空 y＝cos x的图象与性质 图象 定义域 ______ 值域 __________ 周期性 最小正周期为________ 单调性 在___________________________上递增； 在___________________________上递减 最值 当___________________时，y最大＝1； 当________________________时，y最小＝－1 对称轴 x＝____________ 对称中心 ____________________ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋kπ，0)) ，k∈Z [自主检验] 1．函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))) (x∈R)是(　　) A．奇函数　　　　　　　 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．无法确定 答案：B 2．用“五点法”作出函数y＝3－cos x的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是(　　) A．(π，－1) B．(0，2) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，3)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，3)) 答案：A 3．函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象与函数y＝1的图象的交点个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 4．函数f(x)＝lg cos x＋ eq \r(25－x2) 的定义域为__________． 解析：由题意，得x满足不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cos x>0，,25－x2≥0，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cos x>0，,－5≤x≤5，)) 作出y＝cos x的图象，如图所示． 由图可得－5≤x<－ eq \f(3π,2) 或－ eq \f(π,2) <x< eq \f(π,2) 或 eq \f(3π,2) <x≤5. 所以定义域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5，－\f(3π,2))) ∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) ∪ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，5)) . 答案： eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5，－\f(3π,2))) ∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) ∪ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，5)) 题型一　利用“五点法”作简图 [例1]　用“五点(画图)法”作函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图． 解：列表： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π cos x 1 0 －1 0 1 1－cos x 0 1 2 1 0 描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示． [反思感悟] 作形如y＝a cos x＋b，x∈[0，2π]的图象时，可由“五点(画图)法”作出，其步骤：①列表，取x＝0， eq \f(π,2) ，π， eq \f(3π,2) ，2π；②描点；③用光滑曲线连线成图． 用“五点法”画出函数y＝－cos x，x∈[0，2π]的简图． 解：按五个关键点列表： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3,2) π 2π cos x 1 0 －1 0 1 －cos x －1 0 1 0 －1 利用余弦函数的性质描点画图．(如图所示) 题型二　求三角函数的定义域及值域 [例2]　(1)求f(x)＝ eq \r(2cos x－1) 的定义域． (2)求下列函数的值域． ①y＝－cos2x＋cosx；②y＝ eq \f(2－cos x,2＋cos x) . 解：(1)要使函数有意义，则2cos x－1≥0，∴cos x≥ eq \f(1,2) ， ∴－ eq \f(π,3) ＋2kπ≤x≤ eq \f(π,3) ＋2kπ，k∈Z， ∴定义域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋2kπ，\f(π,3)＋2kπ)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z)) . (2)①y＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos x－\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(1,4) . ∵－1≤cos x≤1， ∴当cos x＝ eq \f(1,2) 时，ymax＝ eq \f(1,4) . 当cos x＝－1时，ymin＝－2. ∴函数y＝－cos2x＋cosx的值域是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4))) . ②y＝ eq \f(4－(2＋cos x),2＋cos x) ＝ eq \f(4,2＋cos x) －1. ∵－1≤cos x≤1，∴1≤2＋cos x≤3， ∴ eq \f(1,3) ≤ eq \f(1,2＋cos x) ≤1，∴ eq \f(4,3) ≤ eq \f(4,2＋cos x) ≤4， ∴ eq \f(1,3) ≤ eq \f(4,2＋cos x) －1≤3，即 eq \f(1,3) ≤y≤3. ∴函数y＝ eq \f(2－cos x,2＋cos x) 的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3)) . [反思感悟] 1．含三角函数的函数的定义域的求法 图象法：先画出函数图象，找出一个周期内符合条件的并用不等式表示出来，再利用周期性表示出符合条件的所有角． 2．求值域或最大值、最小值问题的依据 (1)cos x的有界性． (2)cos x的单调性． (3)化为cos x＝f(y)，利用|f(y)|≤1来确定． (4)通过换元转化为二次函数． 1．函数y＝－cos2x＋cosx＋1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)≤x≤\f(π,4))) 的值域是________． 解析：设cos x＝t， ∵－ eq \f(π,4) ≤x≤ eq \f(π,4) ，则t∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) ， ∴y＝－cos2x＋cosx＋1＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2))) eq \s\up20(2) ＋ eq \f(5,4) ，t∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) ， ∴当t＝ eq \f(\r(2),2) ，即x＝± eq \f(π,4) 时，ymax＝ eq \f(1＋\r(2),2) ， 当t＝1，即x＝0时，ymin＝1， ∴函数的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(1＋\r(2),2))) . 答案： eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(1＋\r(2),2))) 2．求函数y＝ eq \r(2sin x－\r(2)) ＋log eq \s\do9(\f(1,2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos x－\f(1,2))) 的定义域． 解：根据题意需有条件 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin x≥\f(\r(2),2)　　　①,cos x>\f(1,2)　　　②)) 解①得2kπ＋ eq \f(π,4) ≤x≤2kπ＋ eq \f(3π,4) ，k∈Z　③ 解②得2kπ－ eq \f(π,3) <x<2kπ＋ eq \f(π,3) ，k∈Z 　④ 将③④求交集得2kπ＋ eq \f(π,4) ≤x<2kπ＋ eq \f(π,3) ，k∈Z， 所以其定义域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(π,3))) ，k∈Z. 题型三　余弦函数单调性的应用 [例3]　(1)函数y＝3－2cos x的单调递增区间为________________． (2)比较cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)π)) 与cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,4)π)) 的大小． 解析：(1)y＝3－2cos x与y＝3＋2cos x的单调性相反，由y＝3＋2cos x的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)， 得y＝3－2cos x的单调递增区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z). 答案：[2kπ，π＋2kπ](k∈Z) (2)cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)π)) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(7,5)π)) ＝cos eq \f(7,5) π， cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,4)π)) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(7,4)π)) ＝cos eq \f(7,4) π， ∵π< eq \f(7,5) π< eq \f(7,4) π<2π， ∴cos eq \f(7,5) π<cos eq \f(7,4) π，即cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)π)) <cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,4)π)) . [反思感悟] 单调性是对一个函数的某个区间而言的，不同函数，不在同一单调区间内时，应先用诱导公式进行适当转化，转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性比较大小． 比较cos 1，cos 2，cos 3的大小． 解：∵0<1< eq \f(π,2) <2<3<π. 又y＝cos x在[0，π]上递减， ∴cos 1>cos 2>cos 3. [课堂小结] 1．用“五点法”画的余弦型函数在一个周期[0，2π]内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的周期性和对称性画出． 2．求函数的最小正周期的常用方法： (1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T. (2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sin x|. 3．判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键．如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性． $