第1章 4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件聚焦必修第二册第一章三角函数，核心内容为正弦函数和余弦函数的概念、定义域、值域、周期性及单调性等性质。通过课前预习衔接单位圆知识，搭建从几何直观到函数性质的学习支架，引导学生逐步深入。 其特色在于结构化学习路径设计，融合课前预习、课堂互动与课时作业。借助单位圆帮助学生用数学眼光观察三角函数值关系，以符号语言精确表述单调区间等性质培养数学语言能力，课堂互动促进数学思维发展。既助力学生系统掌握知识，也为教师提供高效教学支持。

第一章　三角函数 第一章　三角函数 必修第二册 数学 §4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 第一章　三角函数 必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（五） Part 03 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 课 前 预 习 第一章　三角函数 必修第二册 数学 R R [－1，1] [－1，1] 第一章　三角函数 必修第二册 数学 1 －1 2kπ，k∈Z 1 2kπ＋π，k∈Z －1 2π 2π 第一章　三角函数 必修第二册 数学 [2kπ－π，2kπ]，k∈Z [2kπ，2kπ＋π]，k∈Z 第一章　三角函数 必修第二册 数学 相等 sinα 相等 cosα 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 课 堂 互 动 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 课时作业（五） 点击进入word 第一章　三角函数 必修第二册 数学 谢谢观看 第一章　三角函数 必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1．理解并掌握正弦函数、余弦函数的基本性质． (定义域、最大(小)值、值域、周期性、单调性) 2．能用正余弦函数的基本性质解决相关问题． 通过正(余)弦函数基本性质的学习，提升直观想象、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点　单位圆与正(余)弦函数的基本性质 ►知识填空 1．正(余)弦函数的基本性质 v＝sin α u＝cos α 定义域 ____ ____ 值域 __________ __________ 最值 当α＝___________________时，v最大＝______ 当α＝___________________时，v最小＝________ 当α＝______________时， u最大＝______ 当α＝________________时， u最小＝________ 周期性 周期函数，周期为________ 周期函数，周期为________ 2kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z 2kπ－ eq \f(π,2) ，k∈Z 单调性 在___________________________ 上递增 在___________________________上递减 在_______________________ 上递增 在_______________________ 上递减 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2))) , k∈Z eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2))) ,k∈Z 2．终边相同角的正(余)弦值 终边相同的角的正弦函数值________，即对任意k∈Z，sin (α＋2kπ)＝__________，α∈R； 终边相同的角的余弦函数值________，即对任意k∈Z，cos (α＋2kπ)＝__________，α∈R. [自主检验] 1．sin 750°的值为(　　) A． eq \f(\r(3),2) 　　　　　　　 B． eq \f(\r(2),2) C． eq \f(1,2) D．－ eq \f(3,2) 答案：C 2．函数y＝ eq \f(1,sin α) 的定义域为________． 答案：{α|α≠kπ，k∈Z) 3．函数y＝cos x，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，\f(3π,2))) 的单调递减区间为__________. 答案：[0，π] 4．函数y＝cos α在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(2π,3))) 上的最大值为__________，最小值为__________． 答案：1　－ eq \f(1,2) 题型一　正(余)弦函数周期性的应用 [例1]　求值： (1)sin (－1 320°)cos 1 110°＋cos (－1 020°)sin 750°＋cos 495°； (2)cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,3))) ＋sin eq \f(17π,4) . 解：(1)原式＝sin (－4×360°＋120°) cos (3×360°＋30°)＋cos (－3×360°＋60°)sin (2×360°＋30°)＋cos (360°＋135°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋cos 135°＝ eq \f(\r(3),2) × eq \f(\r(3),2) ＋ eq \f(1,2) × eq \f(1,2) － eq \f(\r(2),2) ＝1－ eq \f(\r(2),2) . (2)原式＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋(－4)×2π)) ＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2×2π)) ＝cos eq \f(π,3) ＋sin eq \f(π,4) ＝ eq \f(1,2) ＋ eq \f(\r(2),2) . [反思感悟] 利用终边相同角的正(余)弦函数值相等求值的步骤 (1)定形：把已知的任意角写成2kπ＋α,α∈(0，2π),k∈Z或k·360°＋α，k∈Z，0°<α<360°的形式． (2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值． (3)求值：若角为特殊角，直接求出该角的三角函数值. 求值sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6))) ＋cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9π,5))) ·sin 16π. 解析：原式＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6))) ＋cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,5))) ·sin (16π＋0) ＝sin eq \f(π,6) ＋cos eq \f(π,5) sin 0＝ eq \f(1,2) . 题型二　正(余)弦函数的单调性 角度1　求正(余)弦函数的单调区间 [例2]　求下列函数的单调区间． (1)v＝sin α，α∈[－π，π]； (2)u＝cos α，α∈[0，4π]. 解：(1)由正弦函数的递增区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2))) ，k∈Z，得 当k＝0时， eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) ⊂[－π，π]. 由正弦函数的递减区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2))) ，k∈Z得 当k＝0时， eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2))) ，又α∈[－π，π]，即 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) ； 当k＝－1时， eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,2)，－\f(π,2))) ， 又α∈[－π，π]，即 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2))) . 综上，v＝sin α的增区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) ， 减区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) ， eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2))) . (2)由余弦函数的递增区间[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，得 当k＝1时，[π，2π]； 当k＝2时，[3π，4π]. 由余弦函数的递减区间[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，得 当k＝0时，[0，π]； 当k＝1时，[2π，3π]. 综上，u＝cos α的增区间为[π，2π]，[3π，4π]， 减区间为[0，π]，[2π，3π]. 角度2　比较正(余)弦函数值的大小 [例3]　比较下列各组数的大小． (1)sin 220°与sin 230°； (2)cos eq \f(17π,8) 与cos eq \f(22π,9) . 解：(1)因为函数y＝sin x在90°≤x≤270°上单调递减， 且90°<220°<230°<270°，所以sin 220°>sin 230°. (2)cos eq \f(17π,8) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,8))) ＝cos eq \f(π,8) ， cos eq \f(22π,9) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(4π,9))) ＝cos eq \f(4π,9) . 因为函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，且0< eq \f(π,8) < eq \f(4π,9) <π， 所以cos eq \f(π,8) >cos eq \f(4π,9) ，故cos eq \f(17π,8) >cos eq \f(22π,9) . [反思感悟] (1)求正(余)弦函数的单调区间可借助单位圆来求，也可利用基本性质(单调性)求解． (2)比较正(余)弦函数值的大小，必须强调“两同”即同名、角处同一单调区间． 1．函数y＝cos x在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) 上是(　　) A．增函数　　　　　 B．减函数 C．先减后增函数 D．先增后减函数 答案：D 2．比较sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18))) 与sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10))) 的大小． 解：∵－ eq \f(π,2) <－ eq \f(π,10) <－ eq \f(π,18) < eq \f(π,2) ， ∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10))) <sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18))) . 题型三　正(余)弦函数的最值、值域问题 [例4]　(1)求函数y＝cos x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)≤x≤\f(5π,6))) 的值域． (2)已知函数y＝a sin x＋1的最大值为3，求它的最小值． 解：(1)∵y＝cos x在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0)) 上是单调递增的， 在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,6))) 上是单调递减的， ∴当x＝0时，ymax＝1， 当x＝ eq \f(5π,6) 时，ymin＝cos eq \f(5π,6) ＝－ eq \f(\r(3),2) ， ∴y＝cos x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)≤x≤\f(5π,6))) 的值域是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1)) . (2)当a>0时，ymax＝a×1＋1＝3，得a＝2， ∴当sin x＝－1时，ymin＝2×(－1)＋1＝－1； 当a<0时，ymax＝a×(－1)＋1＝3，得a＝－2， ∴当sin x＝1时，ymin＝－2×1＋1＝－1. ∴它的最小值为－1. [反思感悟] 求含正(余)弦函数的最值的常用方法 (1)可化为y＝A sin x＋B(A≠0)的形式，利用正弦函数的性质求最值，必要时对A讨论； (2)转化成关于正弦函数的二次函数的形式，即y＝A sin2x＋B sin x＋C，换元t＝sin x，注意t的范围．利用配方法求解． 函数y＝－2 cos α，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(4π,3))) 的值域为__________． 答案：[－2，2] [课堂小结] 1．借助单位圆和正(余)弦函数的定义确定三角函数的基本性质． 2．求三角函数的最值或值域时，需将y表示成以sin α(或cos α)为元的一次或二次函数，再利用换元法、配方法或利用函数的单调性等来确定y的范围． $