第1章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件聚焦三角函数中正弦函数和余弦函数的概念及单位圆定义，通过课前预习环节以单位圆上点的横纵坐标（u=cosα，v=sinα）为支架，衔接任意角知识，帮助学生从几何直观过渡到代数定义。 其亮点在于采用“课前预习-课堂互动-课时作业”三段式结构，结合数学眼光（几何直观）和数学思维（逻辑推理），通过单位圆坐标实例引导学生构建概念，助力学生系统掌握知识，教师使用可提升教学的系统性和有效性。

第一章　三角函数 第一章　三角函数 必修第二册 数学 §4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.1　单位圆与任意角的正弦函数、 余弦函数定义 第一章　三角函数 必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（四） Part 03 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 课 前 预 习 第一章　三角函数 必修第二册 数学 纵坐标v v＝sin α 横坐标u u＝cosα 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 课 堂 互 动 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 课时作业（四） 点击进入word 第一章　三角函数 必修第二册 数学 谢谢观看 第一章　三角函数 必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1．借助单位圆理解并掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义． 2．已知角α终边上一点，会求sin α，cos α的值． 1．通过任意角的正(余)弦函数定义的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过正(余)弦函数定义的应用，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　任意角的正弦函数和余弦函数 1．对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，那么点P的_________定义为角α的正弦值，记作___________；点P的____________定义为角α的余弦值，记作___________． 2．对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标、横坐标为函数值的函数． 3．设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α＝ eq \f(y,r) ，cos α＝ eq \f(x,r) ，其中r＝ eq \r(x2＋y2) . [问题]　正弦、余弦函数值的大小与点P在角α终边上位置是否有关？ 答：正弦、余弦函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关． 知识点二　正弦、余弦函数值在各象限的符号 象限 三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ [自主检验] 1．已知sin α＝ eq \f(5,13) ，cos α＝－ eq \f(12,13) ，则角α的终边与单位圆的交点坐标是(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)，－\f(12,13))) 　　　　　 B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)，\f(12,13))) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，－\f(5,13))) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)，\f(5,13))) 解析：选D　设交点坐标为P(x，y)， 则y＝sin α＝ eq \f(5,13) ，x＝cos α＝－ eq \f(12,13) ， 所以点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)，\f(5,13))) . 2．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α等于(　　) A． eq \f(4,5) B． eq \f(3,5) C．－ eq \f(3,5) D．－ eq \f(4,5) 解析：选D　设点P(－4，3)，则|OP|＝ eq \r((－4)2＋32) ＝5， ∴cos α＝ eq \f(－4,|OP|) ＝－ eq \f(4,5) . 3．锐角α的终边交单位圆于点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m)) ，则sin α＝__________. 答案： eq \f(\r(3),2) 4．已知α＝2，则点P(sin α，cos α)在第__________象限． 答案：四 题型一　单位圆法求三角函数值 [例1]　(1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，\f(5,13))) 和 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5))) ，那么sin αcos β＝(　　) A．－ eq \f(36,65) 　　　 B．－ eq \f(3,13) C． eq \f(4,13) D． eq \f(48,65) (2)若角α的终边与单位圆的交点为P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(2,3))) ，则sin α＋cos α的值为________． 解析：(1)由任意角正(余)弦函数的定义得 sin α＝ eq \f(5,13) ，cos β＝－ eq \f(3,5) ， sin αcos β＝ eq \f(5,13) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))) ＝－ eq \f(3,13) .故选B. (2)∵x2＋ eq \f(4,9) ＝1，∴x＝± eq \f(\r(5),3) . 当x＝ eq \f(\r(5),3) 时，sin α＋cos α＝ eq \f(2,3) ＋ eq \f(\r(5),3) ＝ eq \f(2＋\r(5),3) ； 当x＝－ eq \f(\r(5),3) 时，sin α＋cos α＝ eq \f(2,3) － eq \f(\r(5),3) ＝ eq \f(2－\r(5),3) . 答案：(1)B　(2) eq \f(2±\r(5),3) [反思感悟] 单位圆法求三角函数的值时，先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． 若角α终边与单位圆相交于点M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))) ，则cos2α＋sin2α的值为__________． 答案：1 题型二　坐标法求三角函数值 角度1　已知角α终边上一点坐标求三角函数值 [例2]　已知θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝ eq \f(\r(10),10) x，求sin θ的值． 解：由题意知r＝|OP|＝ eq \r(x2＋9) ， 由三角函数定义得cos θ＝ eq \f(x,r) ＝ eq \f(x,\r(x2＋9)) . 又∵cos θ＝ eq \f(\r(10),10) x，∴ eq \f(x,\r(x2＋9)) ＝ eq \f(\r(10),10) x. ∵x≠0，∴x＝±1. 当x＝1时，P(1，3)， 此时sin θ＝ eq \f(3,\r(12＋32)) ＝ eq \f(3\r(10),10) . 当x＝－1时，P(－1，3)， 此时sin θ＝ eq \f(3,\r((－1)2＋32)) ＝ eq \f(3\r(10),10) . 综上，sin θ的值为 eq \f(3\r(10),10) . [反思感悟] (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值． 在α的终边上任选一点P(x，y)设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝ eq \f(y,r) ，cos α＝ eq \f(x,r) .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便． (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 角度2　已知角α终边所在直线求三角函数值 [例3]　已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋ eq \f(3,cos α) 的值． 解：设角α的终边上任意一点为P(k，－3k)(k≠0)，则x＝k，y＝－3k，r＝ eq \r(k2＋(－3k)2) ＝ eq \r(10) |k|. (1)当k>0时，r＝ eq \r(10) k，α是第四象限角， sin α＝ eq \f(y,r) ＝ eq \f(－3k,\r(10)k) ＝－ eq \f(3\r(10),10) ， eq \f(1,cos α) ＝ eq \f(r,x) ＝ eq \f(\r(10)k,k) ＝ eq \r(10) ， 所以10sin α＋ eq \f(3,cos α) ＝10× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10))) ＋3 eq \r(10) ＝－3 eq \r(10) ＋3 eq \r(10) ＝0. (2)当k<0时，r＝－ eq \r(10) k，α是第二象限角， sin α＝ eq \f(y,r) ＝ eq \f(－3k,－\r(10)k) ＝ eq \f(3\r(10),10) ， eq \f(1,cos α) ＝ eq \f(r,x) ＝ eq \f(－\r(10)k,k) ＝－ eq \r(10) ， 所以10sin α＋ eq \f(3,cos α) ＝10× eq \f(3\r(10),10) ＋3×(－10) ＝3 eq \r(10) －3 eq \r(10) ＝0. 综上所述，10sin α＋ eq \f(3,cos α) ＝0. [反思感悟] 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝ eq \f(b,\r(a2＋b2)) ，cos α＝ eq \f(a,\r(a2＋b2)) . 已知角α的终边在直线y＝ eq \r(3) x上，求sin α，cos α. 解：因为角α的终边在直线y＝ eq \r(3) x上， 所以可设P(a， eq \r(3) a)(a≠0)为角α终边上任意一点． 则r＝ eq \r(a2＋(3a)2) ＝2|a|(a≠0). 若a>0，则α为第一象限角，r＝2a， 所以sin α＝ eq \f(\r(3)a,2a) ＝ eq \f(\r(3),2) ，cos α＝ eq \f(a,2a) ＝ eq \f(1,2) . 若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a， 所以sin α＝ eq \f(\r(3)a,－2a) ＝－ eq \f(\r(3),2) ，cos α＝ eq \f(a,－2a) ＝－ eq \f(1,2) . 题型三　正(余)弦函数值的符号 [例4]　(1)判断下列各式的符号： ①sin 145°cos (－210°)；②sin 3·cos 4. (2)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：(1)①∵145°是第二象限角，∴sin 145°>0， ∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)<0，∴sin 145°cos (－210°)<0. ②∵ eq \f(π,2) <3<π，π<4< eq \f(3,2) π，∴sin 3>0，cos 4<0， ∴sin 3·cos 4<0. (2)∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴点P在第四象限，故选D. 答案：(1)略　(2)D [反思感悟] 三角函数值符号的判断问题 由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求． 下列各式： ①sin (－100°)；②cos (－220°)；③sin (－10)；④cos π. 其中符号为负的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C [课堂小结] 1．单位圆与任意角的正(余)弦函数的定义 设角α的终边与单位圆交点为P(u，v)，则v＝sin α，u＝cos α. 正弦函数、余弦函数分别是以角α的大小(用弧度表示)为自变量，以单位圆上的点的纵坐标、横坐标为函数值的函数． 2．由正(余)弦函数值的符号确定角的终边的位置时，不仅要考虑象限角，而且还要考虑不属于任何象限的角． $