精品解析：四川省射洪中学校2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

射洪中学初2023级九年级上期第二次核心素养评价 数 学 试 题 （总分150分 时间120分钟） 一、单选题（每题3分，共54分） 1. 下列二次根式，不能与合并的是（） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 3. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，必然发生的事件是（ ） A. 从一个班级中任选13人，至少有两人的出生月份相同 B. 中山市近三天会下雨 C. 车开到一个十字路口，遇到绿灯 D. 从广州南站到中山站的动车明天正点到达中山站 5. 若是方程的一个根，则的值为（      ） A. B. C. D. 6. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知函数的图像如图所示，则一元二次方程的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 8. 在解一元二次方程时，小刚看错了常数项，得到的解为，．小明看错了一次项系数，得到的解为，，则原来的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯36次，设有x个人参加酒会，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一个中号唢呐的长约为，点是唢呐上的一个黄金分割点（），则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，，，点E是的中点，若平分，线段的长为（ ） A. B. C. D. 12. 已知在中，点D、E分别在边和上，连接、交于点F，下列条件中，不一定能得到和相似的是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与的周长比是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在中，，与是的两条高，点F是的中点，连接．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 15. 在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的网格中，点、、都在格点上，那么的正切值是（ ） A. B. C. D. 16. 在中，所对的边分别为a，b，c，且和均为锐角，若，则是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 17. 如图，在中，，是上一点，连接，若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 18. 如图，，，点在边上（与，不重合），四边形为正方形；过点作，交的延长线于点，连接，交于点，给出以下结论：①；②；③；④如果，，则．其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每空4分，共24分） 19. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__． 20. 已知：（均不为零），则______． 21. 一个三角形的两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，则该三角形的第三边的长为______． 22. 如图，在中，，于点D，若，，，则图中阴影部分的面积为____________． 23. 如图，一座水库大坝的横断面为梯形，斜坡，现将坡度为的斜坡改为坡度为的斜坡．则新坡面________．（结果保留根号） 24. 如图，A为反比例函数（其中）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，．连接，，且．过点B作，交反比例函数（其中）的图象于点C，连接交于点D，则的值为__________________ ． 三、解答题（共8小题） 25. 计算和求解 （1）计算： （2）计算：； （3）解方程：； （4）解方程：． 26. 重庆市求精中学某老师为了了解本班学生月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：：好，：中，：差，请根据图中信息，解答下列问题： （1）全班学生总人数是______； （2）补全条形统计图，在扇形统计图中，______，类的圆心角为______； （3）赵老师在班上随机抽取了名学生，其中类人，类人，类人，若再从这人中随机抽取人，请树状图或列表法求出抽中全是类学生的概率． 27. 如图是某品牌篮球架及其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点A，支架交于点G，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米，．（参考数据：，，） （1）求的度数． （2）工人准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由． 28. 2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢．某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为2万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为2.42万件． （1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率； （2）该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？ 29. 关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． （1） （填是或否）存在“”点； （2）若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值； （3）关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 30. 在菱形中，，点是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，，求的度数； （2）如图2，，用的度数（含α的代数式表示）； （3）如图3，，，点是边上一动点，连接，若，是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学初2023级九年级上期第二次核心素养评价 数 学 试 题 （总分150分 时间120分钟） 一、单选题（每题3分，共54分） 1. 下列二次根式，不能与合并的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式， 最简二次根式， 掌握知识点是解题的关键． 先将化简为，然后检查各选项化简后是否含有，若不含则不能合并，即可解答． 【详解】解：∵， ∴与合并的二次根式必须化简后含有． 对于A∶，含有，可合并． 对于B∶，含有，可合并． 对于C∶，含有，不含有，不可合并． 对于D∶，含有，可合并． 故选：C． 2. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，二次根式的运算性质，包括加法、减法、乘除和化简，掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：对于选项A：不是同类二次根式，不能直接合并，该项错误； 对于选项B：，该项错误； 对于选项C：，该项错误； 对于选项D：，该项正确． 故选D． 3. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式应用，将和，代入关系式，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴； 故选C． 4. 下列事件中，必然发生的事件是（ ） A. 从一个班级中任选13人，至少有两人的出生月份相同 B. 中山市近三天会下雨 C. 车开到一个十字路口，遇到绿灯 D. 从广州南站到中山站的动车明天正点到达中山站 【答案】A 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】A、是必然事件，故此选项符合题意； B、是随机事件，故此选项不符合题意； C、是随机事件，故此选项不符合题意； D、是随机事件，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 5. 若是方程的一个根，则的值为（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，完全平方公式，二次根式的加减运算等知识．熟练掌握一元二次方程的解，完全平方公式，二次根式的加减运算是解题的关键． 由题意知，，然后解方程即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， 解得，， 故选：B． 6. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据配方法的方法可以对题目中的方程配方，从而可以解答本题． 【详解】解：4x2-2x-1=0， x2-x=， x2-x+（）2=+（）2， （x-）2=． 故选：D． 【点睛】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是明确配方法，会用配方法对方程进行变形． 7. 已知函数的图像如图所示，则一元二次方程的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，这是解题的关键． 根据一次函数的图象确定，，求出判别式的值并判定正负，据此求解． 【详解】解：∵函数的图象经过第二、三、四象限， ∴，， ∴， 对于一元二次方程， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 8. 在解一元二次方程时，小刚看错了常数项，得到的解为，．小明看错了一次项系数，得到的解为，，则原来的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合题意，求得，，即可求解． 【详解】解：∵小刚看错了常数项，得到的解为， ∴ ∴， ∵小明看错了一次项系数，得到的解为，， ∴，即 ∴原方程为， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 9. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯36次，设有x个人参加酒会，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确理解题意，寻找等量关系是解题的关键． 每一人可与人碰杯，由于两人相互碰杯算一次，最后乘以去掉重复次数即可． 【详解】解：由题意得，， 故选A． 10. 如图，一个中号唢呐的长约为，点是唢呐上的一个黄金分割点（），则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点．根据黄金分割点得，进而可得出． 【详解】解：∵点P为靠近点B的黄金分割点， ∴，即， ∴， 故选：A． 11. 如图，中，，，点E是的中点，若平分，线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作出辅助线构造成全等三角形是解题的关键．延长交于，利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出并判断出是的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 【详解】解：如图，延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 又点为的中点， 是的中位线， ． 故选：B． 12. 已知在中，点D、E分别在边和上，连接、交于点F，下列条件中，不一定能得到和相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定，解题关键是熟记相似三角形的判定方法，准确进行推理证明． 画出图形，由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可． 【详解】解：如图所示， A．∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴，故A不符合题意； B．∵， ∴ ∴ ∴ ∴，故B不符合题意； C．由不一定能得到和相似，故C符合题意； D．∵ ∴ ∴ ∴点D到的距离等于点E到的距离 ∴ ∴，故D不符合题意． 故选：C． 13. 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与的周长比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的定义，相似三角形的判定及性质，相似多边形的性质；由位似图形的定义得四边形四边形，由相似多边形的性质得，可判定，再由相似多边形的性质即可求解；理解位似图形的定义，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形和是以点O为位似中心的位似图形， 四边形四边形，， ， ， ， ， 故选：A． 14. 如图，在中，，与是的两条高，点F是的中点，连接．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形，中位线等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形，中位线是解题的关键． 由题意可得，为的中点，则为的中位线，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵，，与是的两条高， ∴，为的中点， ∴为的中位线， ∴， 故选：B． 15. 在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的网格中，点、、都在格点上，那么的正切值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，通过连接构造出直角三角形及熟知正切的定义是解答本题的关键． 根据所给网格，连接得出与垂直，再结合正切的定义即可解决问题． 【详解】解：连接，如图所示： 则， 设小正方形网格的边长为， 则由勾股定理得：，， 在中， ， 故选：D． 16. 在中，所对的边分别为a，b，c，且和均为锐角，若，则是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角函数，等腰三角形的判定，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 过点A作于点D，则，推导出，得到是线段的垂直平分线，继而推断出，则是等腰三角形，即可解答． 【详解】解：过点A作于点D，则 ， ∴． ∴ ， 是线段的垂直平分线， ， 即， 是等腰三角形． 故选C． 17. 如图，在中，，是上一点，连接，若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点E，连接，根据直角三角形的性质可得，再由，可得，可证明，从而得到，设，则，可得，，从而得到，的长，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点E，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴可设，则， ∴，， ∴， ∴（负值舍去），， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，证得是解题的关键． 18. 如图，，，点在边上（与，不重合），四边形为正方形；过点作，交的延长线于点，连接，交于点，给出以下结论：①；②；③；④如果，，则．其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，全等三角形判定及性质，矩形判定及性质，相似三角形判定及性质等．根据题意可得，证明，继而得到，再证明四边形是矩形，再判定即可得到本题答案． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，故②正确； ∵，， ∴，③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，，则，故④正确， 综上，①②③④都是正确的， 故选：D． 二、填空题（每空4分，共24分） 19. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__． 【答案】x＞2 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：x＞2， 故答案为：x＞2． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 20. 已知：（均不为零），则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，设，可得，，，再代入分式计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：设， ∴，，， ∴， 故答案为：． 21. 一个三角形的两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，则该三角形的第三边的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力和三角形三边的关系，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．把方程的左边利用十字相乘法分解因式，根据两数之积为0，两因式至少有一个为0，转化为两个一元一次方程，分别求出两方程的解即可得到原方程的解，进而得到三角形的第三边长． 【详解】解：方程可化为：， 解得：，， 当第三边长为7时，由，得到三边不能构成三角形，舍去； 所以第三边长为3， 故答案为：3 22. 如图，在中，，于点D，若，，，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先证出，再根据相似三角形的性质可得的长，然后根据阴影部分的面积等于的面积减去的面积即可得．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 【详解】解：∵， ， 在和中，， ， ， ，，， ， 解得， 则图中阴影部分的面积为 ， 故答案为：． 23. 如图，一座水库大坝的横断面为梯形，斜坡，现将坡度为的斜坡改为坡度为的斜坡．则新坡面________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求线段长，涉及坡度概念、勾股定理等知识，先由坡度，设，，在中，由勾股定理列方程解得，求出，进一步在中，由坡度求出，由勾股定理求解即可得到答案，熟记坡度定义及勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：在梯形中，斜坡，坡度为， ， 设，，则在中，，解得， ， 在中，，解得，则， 故答案为：． 24. 如图，A为反比例函数（其中）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，．连接，，且．过点B作，交反比例函数（其中）的图象于点C，连接交于点D，则的值为__________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴，垂足为点，交于点，利用等腰三角形的性质可得出的长，利用勾股定理可得出的长，进而可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出值；由的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出的长，利用三角形中位线定理可求出的长，进而可得出的长，由可得出，利用相似三角形的性质即可求出的值． 【详解】解：过点作轴，垂足为点，交于点，如图所示： ， ， ， 点的坐标为， 为反比例函数（其中）图象上的一点， ， 轴，，点在反比例函数上， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是构建相似三角形． 三、解答题（共8小题） 25. 计算和求解 （1）计算： （2）计算：； （3）解方程：； （4）解方程：． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法和特殊角的三角函数值，熟练掌握一元二次方程的解法以及熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先算绝对值、零指数幂、负整指数幂和特殊角的三角函数值，再进行加减计算即可； （2）直接利用特殊角的三角函数值进而化简得出答案； （3）用配方法解方程即可； （4）先移项，再用提公因式法解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 解得； 【小问4详解】 解： ∴或， 解得． 26. 重庆市求精中学某老师为了了解本班学生月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：：好，：中，：差，请根据图中信息，解答下列问题： （1）全班学生总人数是______； （2）补全条形统计图，在扇形统计图中，______，类的圆心角为______； （3）赵老师在班上随机抽取了名学生，其中类人，类人，类人，若再从这人中随机抽取人，请树状图或列表法求出抽中全是类学生的概率． 【答案】（1）； （2） 补全条形统计图如图，     ，； （3）抽中全是类学生的概率为． 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法求概率，条形统计图与扇形统计图的知识，样本估计总体，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由类人数及其所占百分比可得总人数； （）总人数减去的人数求得类人数，由乘以类所占比例得类的圆心角度数，用的人数除以总人数可得对应百分比； （）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得． 【小问1详解】 解：全班学生总人数是（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（）得全班学生总人数是人， ∴类人数为（人）， ∴，类的圆心角为， ∴， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：列表如下， 由表可知，共有种等可能结果，其中全是类学生的有种结果， ∴抽中全是类学生的概率为． 27. 如图是某品牌篮球架及其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点A，支架交于点G，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米，．（参考数据：，，） （1）求的度数． （2）工人准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由． 【答案】（1） （2）他不能挂上篮网 【解析】 【分析】（1）根据“直角三角形，两锐角互余”即可求出； （2）延长、交于点H，则易得，根据锐角三角函数即可求出的长进而可得的长．由篮筐与支架在同一直线上可得与地面的距离与相同，再与3米做比较即可判断工人是否能否挂上篮网． 本题考查了三角形内角和定理，解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 【小问1详解】 ， ， 又， ． 【小问2详解】 如图，延长、交于点H， ∵地面，地面， ， ， 又， ， ， ， ， ∵篮筐与支架在同一直线上， ∴与地面的距离为3.124米， 而， ∴他不能挂上篮网． 28. 2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢．某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为2万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为2.42万件． （1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率； （2）该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？ 【答案】（1）该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为 （2）每件商品的售价应该定为110元 【解析】 【分析】设月平均增长率为x，再根据2022年1月的销售量年3月的销售量列出方程，求出解，舍去不符合题意的解即可； （2）设商品的售价为m元，可表示利润和每天的销售量，再根据单件利润×销售量=12000，再求出解，根据题意确定答案即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得，（舍去）． 所以该店“冰墩墩”销售量的月平均增长率是； 【小问2详解】 解：设每件商品的售价应该定在m元，则每件商品得销售利润是元，每天的销售量是件，根据题意，得 ， 解得，． 因为要使销售量尽可能大， 所以． 所以每件商品的售价应该定为110元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键． 29. 关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． （1） （填是或否）存在“”点； （2）若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值； （3）关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）是 （2）， （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，一次函数图象上点的特征，新定义及规律探究． （1）先解一元二次方程，得到方程的两个根，再根据“”点的定义判断即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得，，进而可得答案； （3）假设存在，根据题意，求出；再根据，，得到，，代入化简为，求出m，检验是否符合题意即可． 【小问1详解】 解：由，得， ∴或， 解得，， ∵，为整数， ∴是“”点， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程：的“”点为， ∴，， 故，； 【小问3详解】 解：假设关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上， 由， 得， 故， 由一元二次方程的根与系数的关系得，， ∴， ∵“”点在直线上， ∴， ∴， 解得，， 所以， 整理得 ， 解得或， 当时，方程为，，，“”点坐标为，符合； 当时，和不是整数解，舍去． 综上，关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上，此时． 30. 在菱形中，，点是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，，求的度数； （2）如图2，，用的度数（含α的代数式表示）； （3）如图3，，，点是边上一动点，连接，若，是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握一线三等角全等模型，并会利用条件构造一线三等角全等模型是解题的关键． （1）过点作，交延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （2）延长到点，使，连接，先根据菱形的性质、平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （3）先由（2）知当时，，过点作于点，且使，连接，构造出，得出，，再得出，取中点，连接，，得出， ，由两点之间线段最短得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，过点作，交延长线于点， ∵在菱形中，， ∴四边形是正方形，， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，延长到点，使，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知当时，， 如图，过点作于点，且使，连接， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，取中点，连接，， ∵，， ∴， ∴， 由两点之间线段最短得，且当、、依次共线时，取得最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $