第17讲 解题技巧专题：三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型（5知识点+9大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材北师大版

第17讲 解题技巧专题：三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 知识点2：三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 知识点3：三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 知识点4：三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 【题型1 三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型】 例1．（25-26八年级上·天津南开·期中）如图，在中，，，则的值为 【答案】 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及三角形内角和定理、角平分线定义等知识，数形结合，准确表示出相关角度的关系是解决问题的关键． 在中，由三角形内角和定理可得，再由，，得到，最后，在中，由三角形内角和定理可得列式计算即可得到答案． 【详解】解：在中，，则由三角形内角和定理可得， ， ，， ， 在中，，则由三角形内角和定理可得， 则的值为， 故答案为：． 例2．（25-26八年级上·安徽六安·期中）在中是角平分线，点D在边上（不与点A、B重合），、交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若，是高，求的度数； (3)若，是角平分线，求的度数． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，中线和高，理解三角形的角平分线，中线和高的定义，灵活运用三角形的内角和定理及外角性质进行角的计算是解决问题的关键． （1）根据中线定义得，根据的周长为：，的周长为：，可得与的周长差； （2）根据是的平分线得，再根据是的高得，再由三角形外角性质得，据此即可得出答案； （3）根据得，再根据角平分线定义得，然后再由三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】（1）解：是中线， ． ，， 的周长，的周长为． ． 故答案为：1． （2）解：是的高， ． ，是的角平分线， ． ∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°． （3）解：， ． ，是的角平分线， ，． ． ． 变式1．模型认识：我们学过三角形的内角和等于，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动． 如图①，在中，、分别是和的角平分线． 解决问题：(1)若，，则______；（直接写出答案） (2)若，求出的度数； 拓展延伸：(3)如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （3）根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠BPC与∠A+∠D的数量关系． 【详解】（1）解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠ABC=40°，∠ACB=80°， ∴∠PBC=∠ABC=×40°=20°，∠PCB=∠ACB=×80°=40°． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-20°-40°=120°； 故答案为：120°； （2）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-（180°-∠BAC）=90°+ ∠BAC， ∵∠BAC=100°， ∴∠BPC=90°+∠BAC=90°+×100°=140°； （3）∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠DCB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°- （360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）． 变式2．（24-25九年级下·山东青岛·月考）我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题；聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)问题再现： 如图，在中，、的角平分线交于点，若，则 ______． (2)问题推广： ①如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则 ______． ②如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，，则 ______． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． （1）先根据角平分线的性质把用表示出来，再根据三角形内角和定理把用表示出来，然后把代入进行计算即可； （2）①先根据平角定义和已知条件求出，再根据折叠求出，然后根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的性质和三角形内角和定理把用表示出来，最后根据三角形内角和定理求出即可； ②同理①求解即可． 【详解】（1）解：、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①如图所示： ，， ， 由折叠可知：，， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：； ②，，， ， ， 由折叠可知：，， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型2 三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型】 例3．（25-26八年级上·江西赣州·月考）如图，是的平分线，是的外角的平分线． (1)若，求的度数； (2)结合（1）的结论，猜想与的数量关系__________（不证明）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合角平分线的定义，得出，，再根据，故，又因为是的外角的平分线，得，再代入数值到进行计算，即可作答． （2）结合角平分线的定义以及三角形外角性质进行分析，故，即可作答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∵是的外角的平分线． ∴， ∵， ∴； （2）解：，过程如下： 设， ∵是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角的平分线． ∴， ∵， ∴； ∴． 例4．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，分别平分为外角的平分线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质以及三角形内角和： （1）利用角平分线的定义得到，，再利用三角形外角的性质推导出角的数量关系，再对数量关系化简即可； （2）根据角平分线的定义得到，再结合（1）的结论，在，中用三角形内角和定理推导即可． 【详解】（1）平分为外角的平分线， ，， 是的外角，是的外角 ，， ， 即， 化简得：． （2）． 理由如下：平分， ， 在中，， 即：， 在中，， ， 即， 由（1）可知，， ． 变式1．（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与的延长线相交于点． (1)若，，求与； (2)若时，则____________，____________． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、外角性质、平行线性质以及角平分线的性质，通过这些性质逐步推导角度关系． （1）先根据三角形内角和求出，再利用平行线性质得到，结合角平分线求出相关角，进而求出和； （2）先根据三角形内角和求出，再利用平行线性质得到，结合角平分线求出相关角，进而求出和． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ，． 平分， ， ； ， 平分，平分， ，， ， ，即， ； ；； （2）， ， ， ，． 平分，平分， ，， ， ， 由（1）可知不变， ； ，； 故答案为：，． 变式2．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E，平分，交的平分线于点N，与相交于点H，的平分线与相交于点M． (1)若，则 °， ； (2)若，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若不变化，求出的度数（用α的代数式表示）； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，则∠A的度数为 ． 【答案】(1)125，35 (2)的度数不变， 、 (3)或或或 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识．掌握数形结合和分类讨论的思想是解题的关键． （1）由三角形内角和的定理可得，根据平行线的性质，角平分线的定义可得，进而得到，易得，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可； （2）根据（1）得思路求解即可； （3）设，由（2）可知，．然后分、、、四种情况，分别列出关于的等式求解即可． 【详解】（1）解：由条件可知：． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． ∴， ∴． 由条件可知，． ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：125，35． （2）解：的度数不变，、， 由条件可知：． ∵， ∴， 由条件可知：， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，． ∴ ； ∴． 由（1）可知不变， ∴． （3）解：设， 由（2）可知，． ①当时， ∴，解得：， ∴； ②当时， ∴，解得：， ∴； ③当时， ∴，解得：， ∴； ④当时， ∴，解得：， ∴． 综上，或或或． 故答案为：或或或． 【题型3 三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型】 例5．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，在中，的平分线与外角的平分线的反向延长线相交于点E． （1）若，则 ． （2）若外角的平分线与的平分线相交于点F，且，则 ． 【答案】 /35度 /45度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的定义，角平分线的定义． （1）由角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质可得，，等量代换可得答案； （2）由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，同（1）可得，，再根据，通过等量代换即可求解． 【详解】解： （1）平分，平分， ，， 是的外角，是的外角， ，， ， ； （2）平分，是的外角， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 例6．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知直线与相交于点O，点E，F分别在射线和上． (1)如图1，，平分，平分，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则__________度（直接写出结果，不需说理）； ②若，求的度数（请写出完整的推理过程）． (3)如图3，点在的延长线上，的角平分线，的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点P、Q，若的某一个内角是的2倍；请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得的结果，再由角平分线的定义可推出的结果，据此由三角形内角和定理可得答案； （2）①设，由三角形内角和定理可得，则由平角的定义可得，由角平分线的定义可推出，则，据此由三角形内角和定理可得答案；②同（2）①求解即可； （3）由角平分线的定义和三角形外角的性质可证明；根据角平分线的定义和三角形内角和定理可求出， 则可得到；再分和两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：①设， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； ②设， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵平分，平分， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； 当时，则， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 变式1．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）【初步认识】 （1）如图1，在中，平分，平分．若，则______； 如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图3，平分外角，平分外角，求证：； 【拓展应用】 （3）如图4，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3）的度数为或或或 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图2，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，； （2）证明：∵平分外角，平分外角， ∴，． ∵， ∴ ， ∴ ． ∴． （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴ ． 由（1）（2）知，， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍， ∴①当时，， ∴． ②当时，， 解得． ③当时，， 解得． ④当时，， 解得． 综上，的度数为或或或． 变式2．（25-26八年级上·河北沧州·月考）如图1，在三角形中，外角平分线和相交于 求证：． 下面是嘉琪的证明过程： 解：，（根据①______）， ， 又平分，平分， ，， ， 在中，， (1)嘉琪的证明中，根据①的内容是：______； (2)嘉琪在完成以上问题的证明后，作了如下变式探究：如图2，在三角形中，，若，，射线与交于点O，求的度数； (3)如图3，在三角形中，，若，，射线与交于点O，直接写出的度数用含的代数式表示 【答案】(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理及外角定理，角的倍数关系，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据三角形的外角性质定理求解即可； （2）根据三角形的外角定理得出，再利用三角形的内角和定理及角的倍数关系求解即可； （3）根据三角形的外角定理得出，再利用三角形的内角和定理及角的倍数关系求解即可． 【详解】（1）解：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和， 故答案为：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）解：在三角形ABC中，，又，， ， ， ，， ∴， ； （3）解：在三角形ABC中，，又，， ， ， ，， ， ， ． 【题型4 三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型】 例7．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，为的角平分线，点为上一点（不与、重合），于点．若，，则 ． 【答案】/66度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，根据得到，结合得到，结合得到，根据为的角平分线得到，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 例8．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在中，，分别是它的高和角平分线，设，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，是的外角的平分线，交的延长线于点E，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和、角平分线的定义、三角形外角的性质、高线的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）先根据三角形内角和求出，再根据角平分线的定义得出，然后根据高线的定义即可求出，最后根据角的和差即可得出答案； （2）根据三角形外角的性质和角平分线定义先得出，根据高线和三角形内角和定理得出，然后根据角的和差即可得出答案． 【详解】（1）证明：在中，由三角形内角和定理，得． ∵是的平分线， ∴， ∵是高线， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是的平分线，，， ∴， ∵是高线， ∴， ∵， ∴． 变式1．（25-26八年级上·山西朔州·期中）综合与实践 【材料准备】量角器、三角尺、直尺、铅笔． 【操作过程】仁仁画了图①所示的图形，在中，，平分，于点，尝试取了几组，的特殊值，并量得的度数，得到表中几组对应值． 的度数 的度数 的度数 【结论探究】 （1）若，，则的度数为_____； （2）试探究，与之间的数量关系，并说明理由； 【变式应用】 （3）仁仁继续研究，在图①中，其他条件不变，若把“于点”改为“是线段上一点，于点”，如图②，请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）． 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）由表中的数据，可得． （2）由表中的数据，可猜想．结合已知条件，根据三角形内角和定理、角平分线的定义、直角三角形两锐角互余， 角的和差关系说明理由即可． （3）过点作，由，得．推出即可． 【详解】解：（1）由表格可知：， ∴当，时，； （2）． 理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． （3）； 过点作，由（2）可知：， ∵， ∴， ∴． 变式2．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题重现】 沪科版义务教育教科书数学八年级上册第87页第9题原文如下： “如图，在中，平分交于点D，，垂足为点E．若，，求的度数． 受此题启发，某校八年级数学兴趣小组继续进行此类问题的实践探究，请你和他们一起完成吧． 【问题变式】 如图1，将原第9题中“”改为“在上任取一点F，作”，垂足为点E，其他条件不变，直接写出的度数_______； 【继续探究】 如图2，将【问题变式】中“在上任取一点F”改为“在的延长线上任取一点F”，其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； 【深度探究】 如图3，在中，，，是的平分线，在上任取一点F，过点F作，与的延长线交于点E，请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】问题变式：；继续探究：不变；理由见解析；深度探究： 【分析】问题变式：由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； 继续探究：由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； 深度探究：由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案． 【详解】解：问题变式：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 是的一个外角， ， ， ∴， ； 继续探究：的度数不变；理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 是的一个外角， ， ， ∴， ； 深度探究：在中，，， ， 是的平分线， ， 是的一个外角， ， ， ． 一、单选题 1．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，的平分线，相交于点F，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题重点考查三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，正确理解和应用“三角形的内角和等于”是解题的关键．由，求得，因为，的平分线，相交于点F，所以，，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：在中，， ∴， ，的平分线，相交于点F， ，， ∴， ∴． 故选：C． 2．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，在中，，是的平分线，是的外角的平分线，是的外角的平分线，以下结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定、平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而根据等腰三角形的判定及角的关系可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，， ∵是的外角的平分线，， ∴， 由于题干并未给出，所以无法得到，也就无法得到； 故选D． 3．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）如图，在中，点在延长线上，，分别平分，，，垂足为．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线性质、三角形外角定理和三角形内角和定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 由题意得，，利用三角形外角定理得求得，即可求得答案． 【详解】解：，分别平分，， ，． ， ． ． ， ． 故选：B． 4．（25-26八年级上·安徽·月考）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解．根据三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：由条件可知， ，， ，， 故③正确，符合题意； 由条件可知，， ，， ， ， 故④正确，符合题意； ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， 故②正确，符合题意； ， ， ， ， 故①正确，符合题意； 综上正确的有：①②③④． 故选：D． 5．（25-26八年级上·湖北恩施·月考）如图，在中，、分别是高线和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高线和角平分线、三角形的内角和定理及外角的性质、同角的余角相等等知识，正确运用三角形的高线、角平分线的概念以及三角形的内角和定理是解题的关键． ①根据，，以及即可推出；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明即可；③证明，由①知：即可证明；④由同角的余角相等证明，再根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可推出，即可判断． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．故①符合题意； ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．故②符合题意； ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． 由①知：， ∴．故③符合题意； ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴， ∴．故④符合题意； 综上可知，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，等腰中，，三角形的内外角的角平分线交于点，的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角形的外角的性质，角平分线的定义；根据题意得出三角形的外角性质得出，即可得出，根据三角形内角和定理求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 三角形的内角的角平分线为， ， 平分外角， ， 在中，由三角形的外角性质，得， ， ， ； 故答案为：． 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，是线段的垂直平分线．已知，则 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，连接，由，则，故有，再根据垂直平分线的性质得，再根据等腰三角形的性质和外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，    ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线平分，平分的外角，则与、的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等，作的平分线与的延长线交于点，与交于点M，与交于点Q，根据角平分线的定义证明，再用、表示出，最后由三角形外角的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，作的平分线与的延长线交于点，与交于点M，与交于点Q， 平分，平分，平分， ，，， ， ． ，， ，， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，在中，，的平分线与的外角（）的平分线交于点；的平分线与的外角的平分线交于点，…，以此类推，则 （用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查三角形外角性质与角平分线规律探究，涉及知识点：三角形外角定理、角平分线的角的数量关系．解题方法是先推导与的关系，再归纳出递推规律；解题关键是利用外角定理建立角的等式，易错点是规律归纳时指数的对应关系．解题思路：先求，再推导，归纳出． 【详解】解：，， ， ， 而， ， ∴， 以此类推得，；， ， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，的平分线交于点O，． （1）的度数为 ． （2）若CD平分外角，交BO的延长线于点D，点E是的两外角平分线的交点，则的度数为 ． 【答案】 80° 10° 【分析】（1）根据三角形内角和定理，角的平分线定义解答即可． （2）根据三角形内角和定理，角的平分线定义，三角形外角性质解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线定义，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵BO平分，CO平分， ∴，. ∵，， ∴， ∴， ∴. （2）解：由（1）知. ∵点E是的两外角平分线的交点， ∴，， ∴ . ∵BO平分，CD平分外角， ∴，. ∵，， ∴ ， ∴. 三、解答题 11．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，在中，． (1)求的度数； (2)若平分，是的高线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线、高，解题的关键是利用角平分线和高的定义； （1）利用三角形内角和定理及，建立等式求解； （2）利用角平分线和高的定义得出，，再由三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）在中，， ． ， ． ． （2）平分， ． 是的高线， ． ． 12．（2026七年级下·全国·专题练习）在中，已知． (1)如图（1），角平分线和相交于点M，求的度数． (2)如图（2），外角平分线和相交于点N，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理：三角形内角和为．也考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义． （1）根据三角形内角和定理得到，则，再根据角平分线的定义得，则，得，即可求解； （2）根据三角形内角和定理和外角性质可得到． 【详解】（1）解：， ， ∵平分 平分， ， ， ， ， ， 当时，； （2）解：， ∵平分 平分， ， ， ∵， ， ∵， ， 即． 当时，． 13．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式； (3)如图，若，判断，的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】此题主要考查了平行线的性质及其判定、平角的定义，三角形内角和，角平分线的定义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练． （1）利用四边形的内角和和平角的定义推导即可； （2）利用角平分线的定义，四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可； （3）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：四边形的内角和为， ， 和是四边形的外角， ，， ， ； （2）解：． 理由：如图1，连接BD，    由（1）有，， 、分别平分四边形的外角和， ， ， ， 在中，， 在中，，， ， ， ， ． 故答案为； （3）解：． 理由：如图，过点作，    则， ， 由（1）知， ， ， 又、分别平分和， ， ， 又， ， ， 又， ． 14．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）． (3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． （1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：． ， ∵点P是和的平分线的交点， ； （2）∵外角，的角平分线交于点Q， ， ， ， ， ， ∵， ； （3）延长至F，   为的外角的角平分线， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ，即； ， ， ． 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或． 15．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）如图1，在中，，是的角平分线，是边上的高线，、相交于点，若，求的度数． （2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点．若，求的度数（用表示）； （3）如图3，在中，，的平分线与交于点，与的外角的平分线交于点．过点作，交与点，请自行补全图形，并证明． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的性质和三角形外角的性质是解题的关键； （1）根据是边上的高，得，利用角平分线的性质求出 ，再利用三角形外角的性质即可得出答案； （2）利用角平分线的性质表示出，然后利用高线的性质得出，再利用三角形内角和即可得出答案； （3）根据题意画出的平分线，与交于D点。画出的外角的平分线，两条平分线交于点E，过点E作，交于点F，然后根据高线的性质及角平分线的性质和三角形外角的性质解答即可 【详解】解：（1）是边上的高线， ， 是的角平分线，， ， 又， ； （2）解为的角平分线， ， 是边上的高， ， ； （3）如图：作出的平分线，与交于D点．作出的外角的平分线，两条平分线交于点E，过点E作，交于点F， 证明：在中，， ， 又平分， ， ． 又平分， ， ， ， ， ， ． 16．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）（1）在中，，图1，是两内角平分线的夹角；图2，是内角和外角角平分线的夹角；图3，是两外角平分线的夹角，请直接写出的度数． 如图1，______；如图2，______；如图3，______； （2）如图4所示，在中，的三等分线、和的平分线相交于点和点，，，求的度数． 【答案】（1），，；（2）． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义、邻补角等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）如图1，由角平分线的定义得出，，再结合三角形的内角和定理得出计算即可得解；如图2，由角平分线的定义得出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解；如图3，由角平分线的定义得出，，由邻补角结合三角形内角和定理求出，从而得到，再运用三角形内角和定理求解即可； （2）由题意得出，，，，由三角形外角的定义及性质得出，从而得出，再由三角形内角和定理得出，即可得出，最后再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：（1）如图1： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； 如图2： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； 如图3， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴ ∴， ∴． 故答案为：，，． （2）解：∵的三等分线、和的平分线相交于点和点， ∴，，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第17讲解题技巧专题：三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型 内容导航-一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01析教材学知识 ☑知识点1：三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 1)两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 ∠P=90°+1∠A 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP,CP交于点P;结论： 证明：，∠ABC和∠ACB的平分线BP,CP交于点P,∴. PBC=ABC,∠PCB=ACB ∠P-l80.(∠Pc+∠PcB）=80(∠HBc+∠AcB）-1803180.∠A）-90+3∠A. 2 2)凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB,两条角平分线相交于点P;结论：2∠P=∠A+∠D。 ,∠PBC= ∠ABC∠PCB=L∠DCB 证明：，BP、CP平分∠ABC、∠DCB,∴ 2 ·∠P-180°.（∠PBC+∠PCB)=180.1(∠ABC+∠DCB)=180-1(360°-∠A-∠D)=1(∠A+∠D)。 2 即：2∠P=∠A+∠D。 3)凸多边形双内角平分线的夹角模型2 1/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE,两条角平分线相交于点P;结论： 2∠P=∠A+∠B+∠E-180°。 证明：，CP、DP平分∠BCD、∠CDE, ∠PCD=∠BCD.∠PDC=3CDE :∠P=180°.（∠PCD+∠PDC)=180.1(∠BCD+∠CDE)=180°.1(540-∠A-∠D-∠E)=∠A+∠D+∠ 2 2 E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180° ☑知识点2：三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 D 图1 图2 1)一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P;结论： LP-344 明：B,CP平阶ABC、ACD.PBC5 ZABC ZPCD-ZACD ∴∠P=∠PCD-∠PBC=2(∠ACD-∠ABC)=2∠A. 2)一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，LA=a,∠ABC、∠ACD的平分线相交于点B,∠PBC,∠PCD的平分线相交于点B, ∠PBC,∠BCD的平分线相交于点B…以此类推；结论：∠P的度数是2”。 证明：，BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD, ∠PBc=∠ABC,LPCD-2ACD ∠RcD-∠nc-号（∠4cD-∠c号∠Aa:∠R∠na∠R是 2 2 2 ☑知识点3：三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 2/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ● ● B A ME 图1 图2 图3 1)两外角平分线的夹角模型 ∠0=90-1 条件：如图1，在△ABC中，BO,CO是△ABC的外角平分线；结论： <A 证明：，'BO、CO平分∠CBE、∠BCF,∴. <08C=5E8c,∠0cB=<scF ∴.∠0=180°.（∠OBC+∠OCB)=180°.1（∠EBC+∠BCF)=180.1(∠A+∠ACB+∠ABC+∠A) 2 =180°.1(180°+∠A)=90°+1∠A。 2)旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D;结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC, ,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB的外角， ∴.DH=DM,DH=DN,.DM=DN,AD平分∠CAD。, ☑知识点4：三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 1)条件：如图1，在△ABC中，AD,AE分别是△ABC的高和角平分线，结论： ∠D1E=2C-∠B) 2)条件：如图2，F为△ABC的角平分线AE的延长线上的一点，FD⊥BC于D,结论： ∠DFA=c-∠B) A O B B ED 图1 图2 1)证明：AE平分∠BAC, 、∠E4C=B4C 3/15 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠B4C=180r-8-∠0，片∠c-0-a-2C=90-B-4c ∠ED=∠E4c-LDAC=0-8-<c-(90-40-=<c-B例 2)证明：如图，过A作AG1BC于G,由(2)可知： ∠EAG=2C-∠B) :AG⊥BC,LAGB=90°，：FD⊥BC,∠FDC=90°，LAGD=LFDC,FD∥AG, ∠AFD=∠EAG, ·∠AFD= 2zC-∠B) 02 练题型强知识 【题型1三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型】 例1.(25-26八年级上·天津南开·期中)如图，在ABC中，∠A=100°，∠1=∠2，∠3=∠4，则x的值为 A 1009 B 例2.(25-26八年级上·安徽六安期中)在ABC中BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A、B重合）， CD、BE交于点O. D B C (I)若CD是中线，BC=3,AC=2,则△BCD与△ACD的周长差为_： (2)若LABC=62°，CD是高，求∠B0C的度数； (3)若LA=78°，CD是角平分线，求∠BOC的度数. 变式1.模型认识：我们学过三角形的内角和等于180°，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部 分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动， 如图①，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线. P B C B 图① 图② 4/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解决问题：(1)若LABC=40°，∠ACB=80°，则∠BPC=;(直接写出答案) (2)若LBAC=100°，求出∠BPC的度数； 拓展延伸：(3)如图②，在四边形ABCD中，BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线，直接写出 ∠BPC与∠A+∠D的数量关系. 变式2.(24-25九年级下·山东青岛·月考)我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题 聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： B 图1 图2 (1)问题再现： 如图1，在ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P,若∠A=50°，则∠P= (2)问题推广： ①如图2，在ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P,将ABC沿DE折叠使得点A与点P重合， 若∠1+∠2=100，则∠BPC= ②如图2，在ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P,将ABC沿DE折叠使得点A与点P重合， 若∠1=m°，L2=n°，则LBPC=一· 【题型2三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型】 例3.(25-26八年级上江西赣州月考)如图，BP是∠ABC的平分线，CP是ABC的外角LACM的平分 线. D (1)若∠ABP=25°，∠A=60°，求∠P的度数； (2)结合(1)的结论，猜想∠A与∠P的数量关系 (不证明). 例4.(25-26八年级上·安微滁州期中)如图，在ABC中，BO,CO分别平分LABC,LACB,CE为外角 LACD的平分线，交BO的延长线于点E. 5/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)求证：∠A=2∠E; (2)试探究∠B0C与∠E之间的数量关系，并说明理由. 变式1.(25-26八年级上·浙江金华·月考)如图，在ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC,交AC 于点E,DP平分∠ADE,交∠ACB的平分线于点P,CP与DE相交于点G,LACF的平分线CO与DP的 延长线相交于点Q. E F B (1)若∠A=40°，∠B=60°，求∠DPC与∠Q; (2)若∠A=x°时，则∠DPC= ，∠Q= 变式2.(25-26八年级上湖北武汉·月考)如图，在ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC,交AC 于点E,EN平分∠AED,交∠ABC的平分线于点N,BN与DE相交于点H,∠ABF的平分线BM与EN相 交于点M. M D H 公 B (1)若LA=70,LC=50°，则∠BNE=-°，∠M=-°； (2)若∠A=α，当∠C的度数发生变化时，∠BNE、∠M的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若不 变化，求出LBNE、∠M的度数（用a的代数式表示）： (3)若△MBN中存在一个内角等于另一个内角的三倍，则∠A的度数为-· 【题型3三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型】 例5.(25-26八年级上·安徽滁州月考)如图，在ABC中，∠ABC的平分线与外角LBCN的平分线的反向 延长线相交于点E. 6/15 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)若∠A=70°，则∠E= (2)若外角∠CBM的平分线与∠BCN的平分线相交于点F,且∠F=3∠E,则∠A= 例6.(25-26八年级上·安徽合肥期中)已知直线AB与CD相交于点O,点E,F分别在射线OB和0D上. D EB A E 图1 图2 图3 (I)如图1，∠B0D=60°，EP平分∠OEF,FP平分LOFE,求∠EPF的度数； (2)如图2，EP平分LOEF,FG平分∠DFE,FG的反向延长线交EP于点P; ①若∠B0D=60°，则∠P= 度（直接写出结果，不需说理）； ②若∠BOD=α°，求∠P的度数（请写出完整的推理过程） (3)如图3，点G在FE的延长线上，∠OEF的角平分线EP,∠A0F的角平分线OP与∠OEG的角平分线所 在的直线分别相交于点P、Q,若△PEQ的某一个内角是∠P的2倍；请直接写出∠OFE的度数. 变式1.(25-26八年级上·安徽淮南·期中)【初步认识】 (1)如图1，在ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB.若∠A=80°，则∠P= 如图2，BM平分∠ABC,CM平分外角∠ACD,则∠A与∠M的数量关系是 图1 图2 图3 图4 【继续探索】 (2)如图3，BN平分外角∠CBE,CN平分外角∠BCF,求证：∠N=90-∠A; 7/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【拓展应用】 (3)如图4，点P是ABC两内角平分线的交点，点N是ABC两外角平分线的交点，延长BP、NC交于 点M,在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数. 变式2.(25-26八年级上·河北沧州·月考)如图1，在三角形ABC中，外角平分线BN和CN相交于N. 求证：∠BNC=0-A 下面是嘉琪的证明过程： 解：：LBCD=LA+LABC,∠CBE=∠A+∠ACB(根据① LBCD+LCBE=2LA+∠ABC+∠ACB, 又CN平分∠BCD,BN平分∠CBE, ∠BCN-号acD,∠CaN=CBE. 2 ∠BCN+∠CBN=)2∠A+∠ABC+∠ACB)=号180+∠A, 在aC8N中，∠N=180-(∠BC+∠CBN=180-180P+∠A=90-3A, D D D O M B E 图1 图2 图3 ()嘉琪的证明中，根据①的内容是： (2)嘉琪在完成以上问题的证明后，作了如下变式探究：如图2，在三角形ABC中，∠A=80°，若 ∠CBN=3∠CBE,∠BCM=3∠BCD,射线BN与CM交于点O,求∠BOC的度数， 8 8 ③)如图3，在三角形4BC中，∠A=a0°<a<609),若∠CBN=3∠CBE,∠BCM=3∠BCD,射线BN与 4 4 CM交于点O,直接写出∠BOC的度数（用含a的代数式表示） 【题型4三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型】 例7.(25-26八年级上·重庆渝北期中)如图，AE为ABC的角平分线，点D为AE上一点（不与A、E重 合)，DF⊥BC于点F,若∠C=30°，∠EDF=18°，则∠B= D E B 8/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例8.(25-26八年级上：安徽蚌埠·期中)在ABC中，CD,CE分别是它的高和角平分线，设∠BAC=a, ZB B (a B). EDA D 图1 图2 ()如图1，求证：∠DCE=a-E 2 (②)如图2，CE是ABC的外角∠ACF的平分线，交BA的延长线于点E,且a-B=30°，求∠DCE的度数. 变式1.(25-26八年级上山西朔州期中)综合与实践 【材料准备】量角器、三角尺、直尺、铅笔 【操作过程】仁仁画了图①所示的图形，在ABC中，∠C>∠B,AE平分∠BAC,AD⊥BC于点D,尝 试取了几组∠B,∠C的特殊值，并量得∠EAD的度数，得到表中几组对应值， ∠B的度数 20° 30° 40° 50° ∠C的度数 50° 60° 60° 70° ∠EAD的度数 15° 15o 10 10° E D B ED ① 9 【结论探究】 (1)若∠B=20°，∠C=80°，则∠EAD的度数为 (2)试探究∠B,∠C与∠EAD之间的数量关系，并说明理由； 【变式应用】 (3)仁仁继续研究，在图①中，其他条件不变，若把“AD⊥BC于点D”改为“F是线段AE上一点， FD⊥BC于点D”,如图②，请直接写出∠B,∠C与∠DFE之间的数量关系. 变式2.(25-26八年级上·安徽蚌埠期中)【问题重现】 沪科版义务教育教科书数学八年级上册第87页第9题原文如下： “如图，在ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,AE⊥BC,垂足为点E.若∠B=38°，∠C=70°，求 ∠DAE的度数. 受此题启发，某校八年级数学兴趣小组继续进行此类问题的实践探究，请你和他们一起完成吧. 9/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【问题变式】 如图1，将原第9题中“AE⊥BC”改为“在AD上任取一点F,作FE⊥BC”,垂足为点E,其他条件不变，直 接写出∠DFE的度数 【继续探究】 如图2，将【问题变式】中“在AD上任取一点P改为“在DA的延长线上任取一点F,其他条件不变，判断 ∠DFE的度数是否会发生变化，并说明理由； 【深度探究】 如图3，在ABC中，∠B=a,∠C=B(B>Q),AD是∠BAC的平分线，在AD上任取一点F,过点F作 EF⊥AD,与BC的延长线交于点E,请直接写出∠DEF与C,B之间的数量关系 F B∠ DE D E 图1 图2 图3 03串知识识框架 知识点1：三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 三角形中的倒角模型之双 知识点2：三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 角平分线和高线模型 知识点3：三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 知识点4：三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 04 过关测稳提升 一、单选题 1.(25-26七年级上山东淄博期中)如图，在ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点F, ∠A=60°，则∠BFC等于() D E A.100° B.110° C.120° D.150° 10115