第16讲 解题技巧专题：三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型（3知识点+3大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材北师大版

第16讲 解题技巧专题：三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：三角形中的倒角模型之“A”字模型 如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 知识点2：三角形中的倒角模型之“8”字模型 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 知识点3：三角形中的倒角模型之燕尾模型 图1 图2 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 【题型1 三角形中的倒角模型之“A”字模型】 例1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图， 将 折叠使点 落在处， 折痕为．若，则的度数为 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的外角性质，折叠的性质，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 由折叠性质可知，，然后通过外角性质可得，，则，从而有，然后代入即可求解． 【详解】解：如图， 由折叠性质可知，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 例2．（25-26八年级上·四川自贡·月考）如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，翻折变换，熟知以上知识是解题的关键． （1）先根据折叠性质得，然后根据三角形外角性质易得即可求得结果； （2）连接，先根据三角形外角性质得，，则，整理可得结论； （3）由折叠性质得，，，再根据三角形内角和得，接着利用平角定理得到，然后整理即可得到答案． 【详解】（1）解：沿直线折叠，且， 点落在上，如图（1）， ∴， ； 故答案为：； （2）解：， 理由：连接，如图， ∵，， ， 又， ； （3）解：． 理由：如图（3），由翻折可得：，，， ∵， ∴ ， ． 变式1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，将三角形沿平行于的直线折叠，折痕为，使A点落在同一平面内的点F处，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是折叠的性质与平行线的性质，灵活结合折叠的全等性和平行线的角度关系是解题的关键．根据折叠的全等性得到对应角相等，再结合平行线的同位角相等，利用平角的度数关系，进而求出的度数． 【详解】解：， ， 又由折叠而来， ， ， 即， ． 故答案为：． 变式2．（24-25八年级上·山东日照·期末）数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线MN折叠，点C的对应点为点D． (1)若如图1所示，点D恰好在边上，则与的数量关系是_______； (2)若如图2所示，点D在内部，，求的度数； (3)若如图3所示，点D在外部，求出，和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质及三角形外角的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到对应边相等、对应角相等的关系，再结合三角形内角和、外角性质或平角定义推导角的数量关系． （1）由折叠的性质可得，则，再由三角形外角的性质可得； （2）先由三角形内角和定理得到，由折叠的性质可得，由平角的定义可得，进而得到； （3）由折叠的性质可得，则由平角的定义可得，则由三角形内角和定理可得，由平角的定义求出，即可推出． 【详解】（1）解： 由折叠的性质可得， ， ， ，即； 故答案为： ； （2）解：， ， 由折叠的性质可得， ， ， ； （3）解： 由折叠的性质可得 ， ， ， ， ， ． 【题型2 三角形中的倒角模型之“8”字模型】 例3．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，线段与相交于点，连接，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分，平分，，相交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义． （1）根据三角形内角和定理得到，，根据可得； （2）由（1）知，，即，根据平分，平分得到，，则，同（1）可得，进而可求的度数． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ， ； （2）解：由（1）知，． ，， ， 则． 平分，平分， ，， ， 则． 同（1）可得， ， 即． ． 例4．（25-26八年级上·安徽池州·月考）如图①，与相交于点，得到一个“字”． (1)求证：. (2)如图②，其中共有几个“字” (3)如图②，若，分别是，的平分线，利用（1）中的结论，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握“字”的定义是解此题的关键 （1）利用三角形内角和定理解决问题即可； （2）根据“字”的定义即可解决问题； （3）利用（1）中结论解决问题即可 【详解】（1）证明：在中，． 在中，． ， ； （2）解：如图：令、交于点，、交于点，、交于点， 由图可得：图中有“字”、“字”、“字”，“字”、“字”、“字”，共有个“字”； （3）解：在“字”中，由（1），可得． 在“字”中，由（1），可得． 由，得． 平分，平分， ，． ∴，即 变式1．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）如图2，分别平分，若，求的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线平分的外角平分的外角，若，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展延伸】 （4）在图4中，若设，平分平分的外角，猜想与的关系，直接写出结论（用表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析；（4） 【分析】本题主要考查了三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考几何问题，属于中考常考题型． （1）利用三角形内角和求解即可． （2）利用（1）中结论可得出，两式相加，然后再根据角平分线的定义得出进而可得出，即可求出． （3）由角平分线的定义得出由补角的定义和性质得出由（1）中结论得出，，代入可进一步得出答案． （4）由角平分线的定义设，则，由（1）中结论得出，，整理即可得出． 【详解】解：（1）在中，． 在中，． （2）由（1）得：， ∵分别平分， ∴ ， ． （3），理由是：如图3： 平分的外角平分的外角， ， ， ∴， 即 即， ， （4）∵平分平分的外角， ∴设，则． ∵， ∴， ∴， ∴ 变式2．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）【问题背景】 如图，在和中，点E、H、C在一条直线上，点B、H、D在一条直线上，且，A为右侧、上方一点，连接，于点． 【问题发现】 （1）如图1，连接，则四边形的内角和为________°； 【深入探究】 （2）如图2，连接，若，平分，试说明：； 【拓展延伸】 （3）如图3，连接，若，的平分线与的平分线交于点F，交于点，探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）360°；（2）见解析；（3），见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线性质，角平分线定义，三角形外角性质，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）连接，结合三角形内角和定理表示出求解，即可解题； （2）根据平行线性质和角平分线定义，推出，再结合三角形内角和定理进行代换，即可解题； （3）结合三角形外角性质得到，，再结合角平分线定义得到，再进行等量代换，即可解题． 【详解】解：（1）连接， 有， ， 故答案为：； （2）， . 平分， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ； （3）. 由（2）知， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ． 【题型3 三角形中的倒角模型之燕尾模型】 例5．（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，已知，，，则的度数为 ． 【答案】/37度 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．延长交于点，根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 例6．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图1，在四边形中，，，． （1） ； （2）如图2，和的角平分线与交于点G，，分别与，交于点E和点F，则 ． 【答案】 144 115 【分析】本题考查了三角形的外角性质． （1）连接并延长至点H，利用三角形的外角性质即可求解； （2）连接并延长至点K，利用三角形的外角性质结合角平分线的定义即可求解． 【详解】解：（1）如图1，连接并延长至点H． ∴ ； （2）如图2，连接并延长至点K． ∵分别平分，， ∴，， ∴ ， 故答案为：144；115． 变式1．（23-24七年级下·江苏南京·月考）凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题： (1)用图①证明：； (2)在图①中，若平分，平分，与交于E点，运用（1）的结论写出、和之间的关系，并说明理由； (3)如图②，若，，试探索，和三个角之间的关系为______（直接写出结果即可）． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的定义，解答的关键是熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． （1）根据三角形内角和定理得，，即，即可求得，则容易得到； （2）用题中给出的结论表示出与，再把两式相减即可得出结论； （3）利用题中给出的结论解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 在中，， ； 在中， ， 即， 而， ， 即． （2），理由如下： 由题意得，①， ②， 平分，平分， ，， ①②得，， ； （3），理由： ，， ，， ①， ②， ②①得， ， ， ， ， ． 故答案为：． 变式2．（25-26八年级上·河北保定·期中）【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． 【解决问题】 （1）如图1，探究与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是，他的证明过程如下： 证明：连接DB，并延长到点P． …… 请你将小明的证明过程补充完整． 【类比探究】 （2）如图2，，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，则的度数为 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题． （1）连接，并延长至点，利用三角形的外角求解即可； （2）连接，利用（1）中结论可得，，结合已知可求解； （3）在直线上取一点，连接，利用（2）中结论可得，再利用平行线的性质可得，进而得到即可求解． 【详解】解：（1）． 证明：如图，连接，并延长至点， ∵，， ∵， ∴， ∴； （2）如图，连接， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，在直线上取一点，连接， 由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 一、单选题 1．（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了翻折的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据翻折的性质得出相等角，再根据平角定义表示出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得，，， ∴， ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 2．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，点，分别在线段，上，连接，交于点．若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和为，三角形外角定理，对顶角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用三角形内角和为可求出，再由三角形外角定理求出，根据对顶角性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， 和为对顶角 故选：B 3．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， ，，， ， 将沿对折，使点落在△外的点处， ， ， ， 故选：D． 4．（24-25八年级上·上海松江·月考）如图是一个不规则的“五角星”，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，解题的关键是“数形结合”，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和．根据三角形外角的性质得到，，再根据三角形的内角和，即可求解． 【详解】解：如图所示；    故选：A． 5．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图为无人机模型示意图，，，，，则度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是由三角形的外角性质推出．延长交于K，由三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图；延长交于K， 故选：C. 二、填空题 6．（25-26八年级上·重庆·期中）如图所示，，，，则 ． 【答案】/76度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，通过延长交于点，利用三角形外角的性质，逐步推导得出的度数． 【详解】解：延长交于点． ∵是的外角， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，三角形中，为，上的两点，若，则的度数为 ．    【答案】/40度 【分析】本题考查三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得，，再代入，可得答案．解题的关键是掌握：三角形的内角和为． 【详解】解：在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图， ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角性质是解题关键． 延长、交于点G，通过三角形外角的性质，将所求的角度之和问题转化成两个三角形的内角和问题． 【详解】解：如图，延长、交于点G，设与交于点H，与交于点I， ∵是的外角， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∵三角形内角和为， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）在可调躺椅示意图中，与的交点为，若，，，，为舒适需要调整的大小，使，且、、保持不变，则应调整为 ． 【答案】/38度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，对顶角相等，补角定义， 延长交于点G，先根据补角定义求出，再根据三角形内角和定理及对顶角相等得，即可求出，然后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：如图所示，延长交于点G， ∵， ∴． ∵，且， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． 利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，从而可得，代入数据可得：，根据角平分线定义，得出，，然后利用“8字形”的关系式结合角平分线列式整理即可得解． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵、分别是和的角平分线， ∴，， 又∵， ∴； 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，将四边形纸片沿折叠，点落在处，若，则的度数是多少？    【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的定义，根据翻折变换的性质和平角的定义求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，    ∵四边形纸片沿折叠，点A落在处， ∴， ∵， ∴， 在中，． 答：的度数是． 12．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）【新知探究】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，、分别平分，，若，求的度数； 【拓展提升】 （3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，请猜想的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，应用等式的性质进行推理等知识﹒ （1）根据三角形内角和定理得到，，根据即可证明； （2）由（1）得：，进而得到，根据角平分线定义得到，即可得到，从而求出； （3）由（1）得，根据，得到，，从而得到，结合即可得到． 【详解】（1）证明：在中，，则， 在中，，则， ∵， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图3， 由（1）得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵平分的外角，平分的外角， ∴， ∴． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）探索归纳： (1)如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则________； (2)如图，已知中，，剪去后形成四边形，则________； (3)如图，根据上面的求解过程，猜想与的数量关系，并证明； (4)若没有剪掉，而是把它折成如图的形状，请猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)．证明见解析 (4)．理由见解析 【分析】本题主要考查了折叠的性质及三角形的内角和外角之间的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和、三角形的内角和是度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件． ()利用三角形的外角定理及直角三角形的性质求解； ()利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解； ()根据()、()中思路即可求解； ()根据折叠对应角相等，得到，，进而求出，最后利用即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： ∴ ∵为直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示： 在中，由外角性质可知： ； ∵ ∴ 故答案为： （3）解：由()、()中思路，由三角形外角性质可知： ，； ∴ ， ∴与的关系是：， 故答案为：； （4）． 理由：连接． ∵是由折叠得到的， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴与的关系为：． 14．（25-26八年级上·广东汕尾·月考）【感知】（1）如图1，在中，，点，分别在的边，上，以为边作，使点在内，则___________； 【特例探究】（2）在【感知】的条件下，若，则___________； 【类比探究】（3）在【感知】的条件下，之间有怎样的数量关系？请给予证明： 【变式探究】（4）如图2，在中，，点分别在的边上，以为边作，若点在外，且点与点位于异侧，则，之间的数量关系是___________ 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】本题考查三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）直接根据三角形内角和定理计算即可解答； （2）先求出，再根据角之间的关系得出即可解答； （3），根据特例探究，由特殊到一般的思想即可用一样的方法解答； （4）．先由直角三角形的性质得出，化简得到，再根据即可解答． 【详解】解：（1）在中， ； 故答案为：； （2）在中，， ， ，， ， ； 故答案为：； （3） 证明：，， ， ， ， ． 故答案为：； （4）． ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·河南安阳·月考）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图①，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证，在探究，，与之间的关系时，小明同学提供了下面两种方法． 方法一：如图②，连接AB． 在中，，即， 在中，， 方法二：如图③，连接并延长至点． 解答下列问题： (1)根据“方法二”中添加的辅助线，补全方法二的推理过程； (2)如图①，当，，时，的度数为_________． (3)拓展：如图④，，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，作出辅助线构造出三角形是解本题的关键． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，列式，结合角的等量代换和运算，即可作答； 由可知，把，，代入式子中求值即可； 连接，把多边形分成两个“飞镖图”，根据中得到的“飞镖图”中角之间的关系即可得到结果． 【详解】（1）证明：是的外角， ， 是的外角， ， ， ； （2）解：由可知， ，，， ， ， 故答案为：； （3）解：如下图所示，连接， 在四边形中，， 在四边形中，， ， ， 即． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第16讲解题技巧专题：三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型 内容导航一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01 析教材学知识 ☑知识点1：三角形中的倒角模型之“A”字模型 如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC,形状类似于英文字母A,故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在△4BC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180°；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①.∠1=∠A+∠ACB.∠1=∠A+180°-∠2∴.∠1+∠2=∠A+180°。 ②在△4BC中，∠A+∠3+∠4=180°；在△4DE中，∠A+∠D+∠E=180°∴.∠3+∠4=∠D+∠E。 ☑知识点2：三角形中的倒角模型之“8”字模型 图1 图2 1)8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O,连接AB、CD;结论：①∠A+∠B=∠C+∠D;② AB+CD<AD+BC。 证明：在△4BO中，∠A+∠B+∠AOB=180°： 在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ,∠AOB=∠COD∴.∠A+∠B=∠C+∠D: 在△4BO中，AB<AO+BO;在△COD中，CD<CO+DO; ,∴.AB+CD<AO+BO+CO+DO=AD+BC:,∴.AB+CD<AD+BC。 2)8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD,线段CP平分∠BCD;结论：2∠P=∠B+∠D 证明：，线段AP平分∠BAD,线段CP平分∠BCD.∠BAP=∠PAD,∠BCP=∠PCD ,'∠BCP+∠P=∠BAP+∠B①∠PADH∠P=∠PCD+∠D② ①H②得2∠P=∠B+∠D, 则∠P=∠B+∠D,即2∠P∠B+∠D ☑知识点3：三角形中的倒角模型之燕尾模型 图1 图2 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD:结论：①LBCD=LA+∠B+∠D；②AB+AD>BC+CD。 证明：连接AC并延长至点P;在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B;在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D: 又：∠BAD=∠BAC+∠DAC,∠BCD=∠BCP+∠DCP;.∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P:在△ABQ中，AB+AQ>BC+CQ:在△CDQ中，CQ+QD>CD。 即 AB+A0+CO+OD>BC+CO+CD ,故 AB+AD>BC+CD 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC,OD平分∠ADC:结论：∠O=1(∠A+∠C)。 2 证明：：BO平分∠ABC,OD平分∠ADC;∴∠ABO=I∠ABC;∠ADO=1∠ADC; 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=】∠ABC+】∠ADC+∠A:∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A: 2 ∴.2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A;即∠O=1(∠A+∠C)。 02练题型强知识 【题型1三角形中的倒角模型之“A”字模型】 例1.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨期中)如图，将aABC折叠使点A落在A处，折痕为DE.若 ∠A=25°，则∠2-∠1的度数为 2/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 例2.(25-26八年级上四川自贡·月考)如图，ABC是一个三角形的纸片，点D,E分别是ABC边 AB,AC上的两点. 图(1) 图(2) 图(3) (1I)如图(1)，如果沿直线DE折叠，且DE1AC,若∠A=30°，求∠BDA'= (②)如图(2)，如果沿直线DE折叠后A落在四边形BCED内部，探究∠BDA',∠CEA'和∠DAE的关系，并 说明理由， (3)如果折成图(3)的形状，直接写出∠BDA',∠CEA'和∠A的关系， 变式1.(25-26八年级上·湖北武汉·期中)如图，将三角形ABC沿平行于BC的直线折叠，折痕为DE,使 A点落在同一平面内的点F处，若∠FEC=38°，则LC= D B 变式2.(24-25八年级上·山东日照·期末)数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题.现有一张三 角形纸片ABC,点M,N分别是边AC,BC上的点，若沿直线MN折叠ABC,点C的对应点为点D. D B 图1 图2 图3 (I)若如图1所示，点D恰好在BC边上，则∠1与∠ACB的数量关系是 (2)若如图2所示，点D在ABC内部，∠4CB=40°，求∠1+∠2的度数： (3)若如图3所示，点D在ABC外部，求出∠1，∠2和∠ACB之间的数量关系. 3/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【题型2三角形中的倒角模型之“8”字模型】 例3.(25-26八年级上云南昭通期中)如图，线段AC与BD相交于点O,连接AB,CD 图1 图2 (I)如图1，求证：∠A+∠B=∠C+∠D; (2)如图2，BE平分∠ABD,CE平分∠ACD,BE,CE相交于点E,若∠A=20°，∠D=40°，求∠E的度 数. 例4.(25-26八年级上·安徽池州月考)如图①，AD与BC相交于点0，得到一个“8字”ABCD. B 图① 图② (I)求证：LA+∠B=LC+∠D (2)如图②，其中共有几个“8字”？ 3)如图②，若BE,DE分别是∠ABC,∠ADC的平分线，利用(1)中的结论，求证：∠E=LA+∠C) 变式1.(25-26八年级上·河北廊坊·期中)【问题背景】 (1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D; 【简单应用】 (2)如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD,若∠ABC=44°，∠ADC=18°，求∠P的度数； 【问题探究】 (3)如图3，直线AP平分△BAD的外角∠FAD,CP平分△BCD的外角∠BCE,若∠ABC=46°，∠ADC=26 ,请猜想∠P的度数，并说明理由， 【拓展延伸】 (4)在图4中，若设LABC=&,LADC=B,AP平分∠BAD,CP平分LBCD的外角LBCE,猜想∠P与 LABC、LADC的关系，直接写出结论（用a、B表示∠P). 4/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 图3 图4 变式2.(24-25七年级下·甘肃天水·期末)【问题背景】 如图，在△BEH和CHD中，点E、H、C在一条直线上，点B、H、D在一条直线上，且BE∥CD,A为 EH右侧、HD上方一点，连接AC,AC⊥BD于点G. 【问题发现】 图1 图2 图3 (1)如图1，连接AE,则四边形AGBE的内角和为 【深入探究】 (2)如图2，连接AE,若AE∥BD,EC平分∠AEB,试说明：∠D=2∠ACE; 【拓展延伸】 (3)如图3，连接AB,若AB⊥CE,∠BEC的平分线EF与∠BDC的平分线DF交于点F,EF交BD于 点O,探究∠EHD与∠F的数量关系，并证明你的结论 【题型3三角形中的倒角模型之燕尾模型】 例5.(25-26八年级上广西柳州期中)如图，已知∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，则∠A的度数为 例6.(25-26八年级上安微淮南·期中)如图1，在四边形ABDC中，∠A=86°，∠B=34°，∠C=24°. (I)LBDC=°； (2)如图2，∠ABD和∠ACD的角平分线BE与CF交于点G,BE,CF分别与AC,AB交于点E和点F, 则LBGC=°. 5/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G 图1 图2 变式1.(23-24七年级下江苏南京·月考)凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解 决下列问题： D 图① 图② (1)用图①证明：∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD; (②)在图①中，若BE平分∠ABD,CE平分LACD,BE与CE交于E点，运用(I)的结论写出LBDC、 ∠BEC和∠BAC之间的关系，并说明理由； 3)如图②，若∠I=}∠ABD,∠2=；∠ACD,试探索∠BDC,∠BEC和∠BAC三个角之间的关系为 3 3 (直接写出结果即可) 变式2.(25-26八年级上·河北保定·期中)【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系 【解决问题】 (1)如图1，探究∠ABC(∠ABC<180)与∠A,∠D,∠C三个角之间的等量关系. 小明得出的结论是∠ABC=∠A+∠D+LC,他的证明过程如下： 证明：连接DB,并延长到点P, 请你将小明的证明过程补充完整。 【类比探究】 (2)如图2，∠A+∠C+∠E=90°，∠B+∠D=150°，求∠AFE的度数. 【拓展延伸】 (3)如图3，AM∥EN,∠B+∠D=150°，∠C+∠E=50°，则∠MAB的度数为 6/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M B D N 图1 图2 图3 03串知识识框架 知识点1：三角形中的倒角模型之“A"字模型 三角形中的倒角模型 知识点2：三角形中的倒角模型之“8"字模型 知识点3：三角形中的倒角模型之燕尾模型 04过关测稳提升 一、单选题 1.(2025八年级上浙江·专题练习)如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，己知 ∠1+∠2=110°，则∠A的度数是() A D A.55 B.50 C.70° D.65 2.(25-26八年级上，安徽阜阳·期中)如图，点D,E分别在线段AC,BC上，连接AE,BD交于点F,若 ∠A=23°，∠B=47°，∠C=42°，则∠AFD的度数为() 7/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.650 B.68 C.70° D.89° 3.(25-26八年级上广东珠海期中)如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=70°，将∠C沿DE对折， 使点C落在ABC外的点C处，若∠1=30°，则∠2的度数为() D 2 E C A.130° B.110 C.100 D.120° 4.（24-25八年级上·上海松江·月考)如图是一个不规则的“五角星”，已知 ∠A=54,∠C=40°，∠D=32°，∠B=∠E,则∠B的度数为() A E B A.27 B.30 C.34 D.40 5.(25-26八年级上山东德州期中)如图为无人机模型示意图，AB∥EF,CG⊥EF,∠ACD=105°， ∠B=69°，则∠A+∠BDC度数是() C D G A.15 B.21° C.36° D.48 二、填空题 6.(25-26八年级上重庆·期中)如图所示，∠BDC=148°，∠B=34°，∠C=38°，则∠A= 8/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 7.(25-26八年级上湖北武汉期中)如图，三角形ABC中D,E为AB，,AC上的两点，若 ∠1+∠2+∠3+∠4=280°，则∠A的度数为一， E B3 C 8.(24-25八年级上河北张家口期末)如图，LA+LB+LC+LD+LE+LF= A E B 9.(25-26八年级上·安徽淮北期中)在可调躺椅示意图中，AE与BD的交点为C,若∠CAB=60°， ∠CBA=68°，LCDF=20°，∠CEF=30°，为舒适需要调整∠D的大小，使∠EFD=120°，且∠CBA、 ∠CAB、∠E保持不变，则∠D应调整为一· A B 10.(25-26八年级上山东日照·期中)如图，∠DAB和LBCD的平分线AP和CP相交于P点，交叉形成了 多个“和谐8字形”，若∠D=42°，∠B=38°，那么∠P的度数是一 D 4 9/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 11.(25-26八年级上山东济宁.期中)如图，将四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在A处，若 ∠1+∠2=100。，则∠A的度数是多少？ B D 12.(25-26八年级上·安微阜阳期中)【新知探究】 B 图1 图2 图3 (1)如图1的图形我们把它称为8字形”，求证：∠A+∠B=∠C+∠D; 【问题探究】 (2)如图2，AP、CP分别平分∠BAD,∠BCD,若∠ABC=40°，∠ADC=20°，求∠P的度数； 【拓展提升】 (3)如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，,CP平分∠BCD的外角∠BCE,请猜想∠P,∠ABC,∠ADC 的数量关系，并说明理由. 13.(2025八年级上·全国专题练习)探索归纳： A B B 图1 图2 图3 (1)如图1，已知ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A,则∠1+∠2= (2)如图2，已知ABC中，∠A=60°，剪去∠A后形成四边形，则∠1+∠2= (3)如图2，根据上面的求解过程，猜想∠1+∠2与∠A的数量关系，并证明： (4)若∠A没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想∠1+∠2与∠A的数量关系，并说明理由 14.(25-26八年级上广东汕尾月考)【感知】(1)如图1，在△MPN中，∠MPN=90°，点B,C分别在 △MPN的边BM,PN上，以BC为边作ABC,使点P在ABC内，则LPBC+∠PCB= 10/11