第21讲 解题技巧专题：全等三角形模型之一线三等角模型与手拉手模型（2知识点+2大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材北师大版

第21讲 解题技巧专题：全等三角形模型之一线三等角模型与手拉手模型 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：全等三角形模型之一线三等角模型 【常见模型及证法】 1）一线三等角（K型图）模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB+CD=BC。 2）一线三等角（K型图）模型（异侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB-CD=BC。 1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2）（异侧型）证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 知识点2：全等三角形模型之手拉手模型 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 【题型1 全等三角形模型之一线三等角模型】 例1．（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE； （2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE； 【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下： ∵BD⊥，CE⊥， ∴∠BDA=∠AEC=90° 又∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD=AE，AD=CE， ∵DE=AD+AE， ∴DE=CE+BD； （2），理由如下： ∵∠BDA=∠AEC=∠BAC， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴BD+CE=AE+AD=DE； 例2．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】 （2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 ． A．68 B．70 C．98 D．168 【深入探究】 （3）如图3，在中，，，点D在边上，点E，F在线段上，， ①试证明． ②若，的面积为1，的面积为12，则的面积为 ． 【答案】[模型呈现] ；[模型应用]C； [深入探究] ①见详解，②5． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质， [模型呈现]根据全等三角形的性质即可知，即可； [模型应用]由“K字”模型可知，，，则，，，，即可求得，结合图中实线所围成的图形的面积为； [深入探究] ①根据题意得，，则，即可证明；②利用三角形面积公式得，，由①知，则，结合求解即可． 【详解】解：[模型呈现]：， ∴， 故答案为：； [模型应用] 由“K字”模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∴图中实线所围成的图形的面积 ， 故选：C； [深入探究] ①证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②设点B到线段的距离为h， ∵，的面积为1， ∴，， 由①知，则 ∵的面积为12， ∴ ， 故答案为：5． 变式1．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．   　　   根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图，，． ①求证：； ②猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在中，点为上一点，，，四边形的周长为，的周长为，请求出的长． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）①根据已知可求得，，得到，证明；②由（1）可知，得到，从而得出； （2）首先证明，得到，，结合已知可得到，根据的周长为得到，得到，即可得出最后结果． 【详解】（1）解：①， ，， ， 在与中， ， ； ②猜想：， 理由：由（1）得：， ，， ； （2），且， ， 在和中， ， ， ，， 四边形的周长为， ， ， 又的周长为， ， ，， ， ， 即． 变式2．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，， (2)见解析 (3)，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）通过证明，再根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可证明结论； （3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证即可求解． 【详解】（1）解：∵过点B作于点C，过点D作于点E． ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：，，，． （2）证明：如图：作， 由“K字模型”可得： ∴， ， ∵， ∴， ∴，即：点G是的中点． （3）解：，理由如下： 如图：作， ∵四边形和为正方形， ∴， 由“K字模型”可得：， ，， ， ∴ ， ∴∴． 【题型2 全等三角形模型之手拉手模型】 例3．如图，在中，是边上的一点，连接，以为边作，使，且，连接，若，求长． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】根据得到，于是证明解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 【详解】解：， ， 在与中， ，， ∴， ． 例4．如图，在中，，在中，，连接．试说明：． 【答案】见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先根据余角的性质得出，再根据“”证明三角形全等即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以， 在与中， 所以． 变式1．如图，，，． (1)求证：； (2)若，的面积等于5，，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)7.5． 【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据题意可知，再根据SAS即可证明，即可解答． （2）根据题意得出，，再由三角形全等得到，即可解答． 本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ． 在和中， ， ， ． （2）解：，的面积等于5， ． ，，， ． ， ， ， ． 变式2．央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证，请你完善下列过程． 证明：， ． 即． 在和中 （________）． (2)【模型指引】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点，使，求的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，试判断与有何数量关系？并写出简要说明． 【答案】(1)，； (2)见解析 (3)；见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）由全等三角形的判定可得出结论； （2）在上取一点，使，证明，由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理可得出答案； （3）在延长线上取一点，使得，由全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， 故答案为：，；； （2）解：如图2，在上取一点，使， ，， ，， ， ， ， ， 又，，， ， 设和交于点， ， ． （3）解：． 理由：如图3，在延长线上取一点，使得， 同理可证：， ， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·海南海口·期末）如图，在中，，，分别过点，作经过点的直线的垂线段，，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键； 先证明，根据全等三角形的性质可得，，，再根据线段的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，点在边上，连接，点，在线段上，连接，，且，，若的面积为4，则的面积为（    ） A．6 B．4 C．8 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据证明即可求解． 【详解】在和， ， ， ． 故选：B． 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在与中，，，，，交于点，连接，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．根据三角形外角的性质，得出，证明，得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵是的外角， ∴，故A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，故B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题 4．（25-26八年级上·北京·期末）如图，点、、在同一直线上，，于，，要使，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一个即可） 【答案】（或） 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．根据已知推出，，则添加利用即可证明；或利用即可证明；或利用即可证明；选择一种即可． 【详解】解：，，， ， ， 若添加， 则； 若添加， 则； 若添加， 则； 故答案为：（或）． 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在等腰与等腰中，，，，连接和交于点P，交于点M，交于点N，连接．则 ．（用表示）． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明△△是解题的关键．由，得，而，，即可根据“”证明△△，得，，再推导出，则． 【详解】解：， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ， 故答案为：． 6．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，在中,，点D在边上,，点E、F在线段上,面积为，则与的面积之和是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了三角形全等的判定及三角形面积的计算．由得的面积为的；通过证，得；将与的面积和转化为与的面积和，即的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， 即， ∴，． 又∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为： 三、解答题 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，E是边BC上一点，且，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】先利用平角的定义和三角形内角和定理，推导出；再结合已知的边和角，证明与全等，从而得到． 【详解】解：∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定（AAS），掌握通过角的关系推导相等角，结合AAS判定三角形全等是解题的关键． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，，连接BD，CE． (1)与全等吗？为什么？ (2)请直接写出BD，CE的位置关系． 【答案】(1)与全等．理由见解析 (2) 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理，先通过角的和差关系得到对应角相等，再结合已知的边相等条件进行推导； （2）根据全等三角形的性质得到角的关系，再结合直角的条件推导与的位置关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即． 在和中， ∴． （2）解：延长交于点． ∵， ∴． ∵， ∴． 即：． 代入，得：． 在中，． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是通过角的和差关系构造全等条件，再利用全等三角形的对应角相等推导线段的位置关系． 9．（25-26八年级上·山西大同·期中）如图，在和中，． (1)求证：． (2)若，分别与，交于点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定． （1）根据已知条件先证明，进而证明，即可证明； （2）由（1）可得，进而根据三角形的内角和进行求解即可得． 【详解】（1）证明：， ， 即． 在和中， ． ； （2）解：由（1）知， ． ， ． 10．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）（1）如图1在中，，，直线m经过点A，，，垂足分别为点D，E． ①求证：； ②请判断是否成立，并说明理由． （2）将（1）中的条件改为：如图2在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）①见解析；②成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用角的关系推导全等条件，结合全等三角形的对应边相等分析线段关系． （1）①通过直角条件推导，结合，用证；②利用全等三角形对应边相等，得、，从而推出． （2）通过推导，结合、，用证． 【详解】（1）①证明：三点都在直线m上，， ， ， ， 在和中， ； ②成立．理由如下： ，， ． （2）成立．理由如下： 如图2，， 由三角形内角和及平角性质得： ， ，， 在和中， ， ， 11．（25-26八年级上·吉林松原·期中）综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系， 【问题情境】 已知，在中，，是射线上一动点，点在的右侧，线段，且． 【实践探究】 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，并得到的数量关系，请给予证明． （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）“钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）或 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，结合图形正确找出全等三角形并证明是解题的关键． （1）根据，可知，再利用证明，再由全等三角形的性质即可证明； （2）根据，可知，再利用证明，再由全等三角形的性质即可证明； （3）分两种情况讨论：情况一：当在线段上时，情况二：当在点右边时，利用证明，再由全等三角形的性质和线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论成立，理由如下： ∵，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：分两种情况讨论： 情况一：当在线段上时，如图， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 情况二：当在点右边时，如图， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． ∴综上所述，或． 12．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题． 【模型呈现】 （1）如图1，点，，在同一直线上，，．求证：． 【模型拓展】 （2）如图2，点，，在同一直线上，，．猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点，，点以2cm/s的速度从点出发，沿移动到点，点以3cm/s的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点也停止运动．过点，分别作，，垂足分别为点，．若，，设运动时间为s．当以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等时，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）2或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握一线三等角和一线三直角模型是解题的关键． （1）运用一线三等角的模型直接证明即可； （2）先证明，再用证明得到，，结合即可得到； （3）分①当点在边上，点在边上，即时，②当点在边上，点在边上即时，③当点在边上，点在边上时，即时三种情况讨论，分别列出方程求解即可． 【详解】解：（1）证明：∵，， ∴． ∵，，， ∴． （2）．理由如下： ∵， ∴，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． （3）2或．理由如下： 根据题意，得． ∵，， ∴． ∵， ∴当时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等． ①如图，当点在边上，点在边上，即时，，， ∴， 解得； ②如图，当点在边上，点在边上，即时，，， ∴， 解得； ③如图，当点在边上，点在边上时，即时，，， ∴， 解得(舍去)． 综上所述，的值为2或． 13．（25-26八年级上·全国·期末）在中，，，点D为直线上的一个动点（点D不与点B、C重合），以为边作，，，连接． (1)发现问题：如图①，当点D在边上时， ①请判断和之间的数量关系为 ，位置关系为 ；并完成证明； ②请直接写出三者之间的数量关系 ； (2)尝试探究：如图②，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①相等，垂直，见解析；② (2)不成立，，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理可得，证明即可得出和之间的关系；②根据全等三角形的性质，即可得到； （2）证明，得出，再根据，即可得到． 【详解】（1）解：①，证明如下： ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； ②∵， ∴， 故答案为：； （2）解：不成立，， 理由：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·广东东莞·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 如图，已知，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，且于，于．若，，则______． （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、之间具有怎样的数量关系？请证明这个数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，，，进而可得；，代入数据，即可求解； （2）同（1）的方法证明即可； （3）同（1）的方法证明即可． 【详解】（1）解：，证明如下； ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴， 故答案为：． （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）． 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴． 15．（25-26七年级上·山东烟台·期中）【问题情境】如图①所示，在直角三角形中，，于点D，可知：   （不需说明理由） 【特例探究】（1）如图②所示，，射线在这个角的内部，点B，C分别在的边，上，且，于点F，于点试说明： 【归纳说明】（2）如图③所示，点B，C分别在的边，上，点E，F在内部的射线上．已知，试说明： 【拓展应用】（3）如图④所示，在中，，点D在边上，，点E，F在线段上，若的面积为24，请直接写出与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）面积之和为 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积计算，三角形的外角性质等知识点的综合应用，判断出两三角形全等是解本题的关键． （1）利用角的关系得出，再利用证明 （2）先证明，，再利用证明 （3）先根据三角形的面积求出与面积分别为8，再利用全等三角形的性质得出与面积相等，再根据与的面积之和为的面积求解即可． 【详解】解：（1），，， ， ，， ， 在和中， ， （2）， ， ，，， ， 在和中， ， ≌ （3）在等腰三角形中，，， 与等高，底边之比， 与面积比为：， 的面积为24， 与面积分别为：8， 与（2）同理可得≌， 与面积相等， 与的面积之和为的面积， 与的面积之和为 16．（25-26八年级上·湖北宜昌·期中）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． （1）已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． 【内化迁移】 （2）在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边，在的右侧作，使，． ①如图3，当点在线段上时，过点作于，，，求的长度； ②如图4，连接交直线于点，点在运动过程中，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②或18 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由，得，利用即可证明； （2）①证明，则，，据此求解即可； ②过点E作交的延长线于点F，同①得，有；由面积关系得，设； 分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段反向延长线上时；证明，则，从而利用建立关于x的方程，即可求解． 【详解】（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2： ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）①∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴； ②或18．解析如下： 过点作交的延长线于点，如图； 同①得，， ∴，； ∵， ∴， ∴， 设； 当点在线段上时，如图， ∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得， ∴； 当点M在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，，； ∵，， ∴， 解得， ∴， 当点在线段上的情况不存在． 综上，或18． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 第21讲解题技巧专题：全等三角形模型之 手拉手模型 网内容导航—预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳是升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01 析教材学知识 心知识点1：全等三角形模型之一线三等角模型 【常见模型及证法】 1)一线三等角(K型图)模型（同侧型） 锐角一线三等角直角一线三等角(“K型图”) 钝角一线三等角 条件：∠A=∠CED=∠B,AE=DE: 结论：△ABE兰△ECD,AB+CD 2)一线三等角(K型图)模型（异侧型） 锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角 条件：∠DCF=∠ABC=∠AED,AE=DE;结论：△ABE兰AECD,AB-CD 1/13 上好每一堂课 线三等角模型与 =BC。 BC。 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 I)（同侧型)证明：，∠AEC-∠B+∠BAE,∠B=∠AED,.∠AEC-∠AED+∠BAE, :'LAEC=LAED+LCED,∴.∠BAE=LCED 在△ABE和△ECD中，∠B=LC,∠BAE=LCED,AE=ED:∴.△ABE兰△ECD, .AB=EC,BE=CD,.BC=BE+EC,..AB+CD=BC. 2)(异侧型)证明：：∠DCF=∠ABC,∴∠ECD-∠ABE, :∠ABC=∠AEB+∠A,∠AED=∠AEB+∠CED,∠ABC=∠AED, ∴.∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED,∴.∠A=∠CED, 在△ABE和△ECD中，∠A=LCED,∠ECD=LABE,AE=ED:∴.△ABE兰△ECD, ∴.AB=EC,BE=CD,BC=EC-BE,∴AB-CD=BC。 凹知识点2：全等三角形模型之手拉手模型 1)双等边三角形型 e 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE,AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE-AD:③∠AFM=∠BCM=-60°；④CF平分∠BFD. 证明：，△ABC和△DCE均为等边三角形，∴.BC=AC,CE-CD,∠BCA=∠ECD=60° ∴.∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即：∠BCE=∠ACD,∴.ACD≌△BCE(SAS), ∴.BE=AD,∠CBE=∠CAD,又，∠CMB=∠AMF,∴.∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP LAD,CO LBE,则∠CQB=∠CPA=90°，又： ∠CBE=∠CAD,BC=AC,∴.BCQ≌△ACP(AAS) ∴.CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2)双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE,AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE-=AD;③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND 证明：，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，.BC=AC,CE-CD,∠BCA=∠ECD=90° 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD,∴.ACD≌△BCE(SAS), ∴.BE=AD,∠CBE=∠CAD,又.'∠CMB=∠AMN,∴.∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又 ∠CBE=∠CAD,BC=AC,∴.BCQ≌△ACP(AAS) .CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3)双等腰三角形型 条件：BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD,C为公共点：连接BE,AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE-AD:③∠BCM=∠AFM;④CF平分∠BFD. 证明：∠BCA=∠ECD,∴.∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD, 又，BC=AC,CE=CD,.ACD≌△BCE(SAS),∴.BE-AD,∠CBE=∠CAD, 又，∠CMB=∠AMF,∴.∠BCM=∠AFM,过点C作CP⊥AD,CO LBE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又，∠CBE=∠CAD,BC-AC,∴.BCQ≌△ACP(AAS) ∴.CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 02练题型强知识 【题型1全等三角形模型之一线三等角模型】 例1.(1)如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线m经过点A,BDL直线m,CE⊥直线 m,垂足分别为点D,E.求证：DE=BD+CE. (2)如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，并且有 ∠BDA=∠AEC=∠BAC.请写出DE,BD,CE三条线段的数量关系，并说明理由. A E m E m 图① 图② 例2.通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 5 G D 图1 图2 图3 【模型呈现】 (I)如图1，∠BAD=9O°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E.由 ∠I+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D.又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE.进而得 到AC=_,BC=AE.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型： 【模型应用】 (2)如图2，AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中实线所 围成的图形的面积为_· A.68B.70C.98D.168 【深入探究】 (3)如图3，在△ABC中，AB=AC,AB>BC,点D在边BC上，点E,F在线段AD上， ∠1=∠2=∠BAC, ①试证明△ABE≌ACAF ②若AE=3DE,△BDE的面积为1，△ABC的面积为12，则△CDF的面积为_· 变式1.“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一 条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着 出现全等三角形 MD C E B 图1 图2 根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图1，∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，AC=BC. ①求证：△ACD≌ACBE: ②猜想DE,AD,BE之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在△ABC中，点D为AB上一点，DE=DF=6,∠A=∠EDF=∠B,四边形CEDF的周长为 20,△ABC的周长为36，请求出AB的长 变式2.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 4/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 图1 图2 图3 (I)如图1，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E.由 ∠I+∠2=∠2+∠D=90°，得∠I=∠D.又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌ ,推理 依据是， 进而得到AC=一，BC=一·我们把这个数学模型称为“K字”模型 或“一线三等角”模型： (2)如图2，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与直线 AF交于点G.求证：点G是DE的中点： (3)如图3，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1,△DCE的面积为S2,试猜想S和 S2的数量关系，并说明理由. 【题型2全等三角形模型之手拉手模型】 例3.如图，在△ABC中，AB=AC,D是边BC上的一点，连接AD,以AD为边作△ADE,使AE=AD, 且∠DAE=∠BAC,连接EC,若BD=2,求EC长. A 例4.如图，在△ABC中，BC⊥CA,BC=CA,在△DCE中，DC⊥CE,DC=CE,连接BD,AE,试说 明：△BCD≌△ACE. D 变式1.如图，∠BAC=∠EAD=90°，AB=AC,AD=AE. 5/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A (I)求证：BE=CD: (2)若BD=3CD,△ACD的面积等于5，AD=5,求△EBD的面积. 变式2.央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别于其它学科最主要的特征是抽 象与推理”·几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法， 进行再探究、推理，以解决新的问题. D 图1 图2 图3 (I)【模型探究】如图1，△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,连接BE,CD 这一图形称“手拉手模型”.求证△ABE△ACD,请你完善下列过程. 证明：∠BAC=∠DAE, .∠BAC-∠I=∠DAE-∠1. 即∠2=∠3」 AB=AC 交 和 中 (1) △ABE △ACD (2 △ABE △ACD( )(3) (2)【模型指引】如图2，△ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，以B为端点引一条与腰AC相交的射线，在 射线上取点D,使∠ADB=∠ACB,求∠BDC的度数.小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在BD上 找一点E,使AE=AD,最后使问题得到解决.请你帮他写出解答过程. (3)【拓展延伸】如图3，△ABC中，AB=AC,∠BAC为任意角度，若射线BD不与腰AC相交，而是从 端点B向右下方延伸.仍在射线上取点D,使∠ADB=∠ACB,试判断∠BAC与∠BDC有何数量关系？并 写出简要说明. 6/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 03串知识识框架 1)一线=等角(K型图)模型（同侧型） 知识点1：全等三角形模 型之一线三等角模型 2)一线三等角(K型图)模型（异侧型） 全等三角形模型之一线三等角 模型与手拉手模型 1)双等边三角形型 知识点2：全等三角形 2)双等腰直角三角形型 模型之手拉手模型 3)双等腰三角形型 04过关测稳提升 一、单选题 1.(25-26八年级上·海南海口·期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,分别过点B,C作 经过点A的直线的垂线段BD,CE,若BD=6cm,DE=15cm,则CE的长为() B A.9cm B.12cm C.13cm D.11cm 2.(25-26八年级上·陕西榆林期末)如图，在△ABC中，AB=AC,AB>BC，,点D在边BC上，连接 AD,点E,F在线段AD上，连接BE,CF,且BE=AF,AE=CF,若△ABE的面积为4，则△ACF 的面积为() A E B D A.6 B.4 C.8 D.2 3.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨期末)如图，在Rt△ABC与Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°， AC=BC,DC=EC,AB,CD交于点F,连接AD,BE,则下列结论中错误的是() 7/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E A D A.∠AFC=∠BAD+∠FDA B.∠ADC=∠CEB C.△ACD≌ABCE D.AD=CE 二、填空题 4.(25-26八年级上·北京·期末)如图，点A、D、E在同一直线上，AB⊥AC,CD⊥AE于D, AE⊥BE,要使△ABE≌aCAD,则只需添加一个适当的条件是一·（只填一个即可） D E B 5.(25-26八年级上·江苏盐城·期中)如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC,AD=AE, ∠BAC=∠DAE=a&,连接BD和CE交于点P,BD交AC于点M,CE交AD于点N,连接AP.则 ∠BPE= (用表示). 6.(2025八年级上江苏连云港专题练习)如图，在△ABC中，AB=AC,AB>BC,点D在边BC上， CD=2BD,点E、F在线段AD上，∠I=∠2=∠BAC,△ABC面积为21，则△FAC与△BDE的面积之和是 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 7.(24-25七年级下·全国·课后作业)如图，在四边形ABCD中，E是边BC上一点，且BE=CD, ∠B=∠AED=∠C.试说明：AE=ED. A D B E C 8.(24-25七年级下·全国·课后作业)如图，已知∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,连接 BD,CE. D E B (I)△BAD与△CAE全等吗？为什么？ (2)请直接写出BD,CE的位置关系. 9.(25-26八年级上山西大同期中)如图，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD,OA=OB,OC=OD D B (I)求证：AC=BD, (2)若∠AOB=40°，AC分别与BD,OB交于点E,F,求∠AEB的度数. 9/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中)(1)如图1在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直 线m经过点A,BD⊥m,CE⊥m,垂足分别为点D,E. ①求证：△BDA≌△AEC; ②请判断DE=BD+CE是否成立，并说明理由. (2)将(1)中的条件改为：如图2在△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线m上，并且有 ∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论△ABD△CAE是否成立？如成立，请 给出证明；若不成立，请说明理由， B D A D E 图1 图2 11.(25-26八年级上·吉林松原·期中)综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系， 【问题情境】 已知，在△ABC中，AB=AC,D是射线BC上一动点，点E在AD的右侧，线段AE=AD,且 ∠DAE=∠BAC=a D 图1 图2 【实践探究】 (1)如图1，这是“团结小组”探究α=60°画出的图形，并得到BD=CE的数量关系，请给予证明. (2)如图2，这是“雄鹰小组”探究=90°画出的图形，请判断(1)中的结论是否成立，并说明理由 【拓展应用】 (3)“钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点D运动的过程中，请直接写出线段BC,DC, CE之间的数量关系. 12.(25-26八年级上河南洛阳·月考)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题. 10/13