（新课预习）第二单元 第1节 因数和倍数的认识（探索新知+六大重点难点题型讲练+难度分层训练 共38题）-2026年人教版数学五年级寒假学习讲义

第二单元 因数和倍数 第1节 因数和倍数的认识和求法 【原卷版】 探索新知 1 【新知学习一：因数和倍数的认识】 2 【新知学习二：因数和倍数的求法】 3 重点难点题型讲练 4 题型一：因数和倍数的认识 4 题型二：找一个数的因数及因数的特征 5 题型三：根据因数的特征解决问题 5 题型四：找一个数的倍数及倍数的特征 6 题型五：根据倍数的特征解决问题 6 题型六：倍数和因数的综合应用 7 难度分层训练 7 基础夯实练（共10题 限时15分钟） 7 能力提升练（共10题 限时20分钟） 9 【学习目标】 1、掌握一个数的因数和倍数的求法，了解一个数的因数的个数是有限的，倍数的个数是无限的。 2、初步认识了自然数的基础上学习的，是本单元后面内容学习的铺垫。 3、通过探究因数和倍数的概念，培养学生抽象、概括和观察思考的能力。在探究因数和倍数概念的过程中，渗透事物间的相互联系，互相依存的辩证唯物主义观点。 【重点难点】 重点：理解因数和倍数的意义。 难点：理解因数和倍数的互依关系。 【新知学习一：因数和倍数的认识】 【新旧知识链】 35=5=7，我们就说5是35的（ ),35是5的（ )。 在4X9=36中，36是（ )，4和9是乘数，也叫（ )。 【例1】口算下面各题。 12÷6= 8÷3= 30÷6= 9÷5= 21÷21= 19÷7= 20÷10= 26÷8= 63÷9= 你能根据得数把上面的算式分类吗？ 商没有余数的 12÷6=2 30÷6=5 21÷21=1 20÷10=2 63÷9=7 商有余数的 8÷3=2……2 9÷5=1……4 19÷7=2……5 26÷8=3……2 你 知 道 吗 ？ 12÷6=2 30÷6=5 21÷21=1 20÷10=2 63÷9=7 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说：被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数（也称约数）。 想一想 填一填 12 ÷ 6 = 2 ( )是( )的因数， ( )是( )的倍数。 21 ÷ 21 = 1 ( )是( )的因数， ( )是( )的倍数。 说 一 说2和6是12的因数， 12是2和6的倍数。 2×6=12中，谁是谁的因数，谁是谁的倍数？ 因为：2×6=12 所以：12÷2=6 12÷6=2 注意：为了方便，在研究因数和倍数时，所说的数指的是自然数（不包括0）。 因数和倍数是相互依存的，它们都不能单独存在，必须说谁是谁的倍数，谁是谁的因数。 你能用字母表示因数和倍数吗？ 如果A÷B=C（A、B、C是非0自然数）， 那么B和C是A的因数，A是B和C 的倍数。 下面的2组数中，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？ 4和24 26和13 ( )是( )的因数, ( )是( )的因数, ( )是( )的倍数。 ( )是( )的倍数。 【新知总结】 被除数÷除数=商 被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数（也称约数）。 【方法总结】 在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数是0)，那么除数和商是被除数的因数， 被除数是除数和商的倍数。因数和倍数是相互依存的关系，我们不能单独说某一个数是因数或倍 数。注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所指的数是自然数（一般不包括0）。 【新知学习二：因数和倍数的求法】 【例2】18有哪些因数？ 18的因数有：( ） 注意：18的因数重复了，可以不写出来。 我用乘法找18的因数，从1乘开始。 我也用除法算式，但是我这样统计因数。 18的因数有：( ） 说一说：怎样做才能不重复不遗漏地找出因数？ 无论是用乘法还是用除法，只要有序，就能把因数找全。 18的因数还可以这样表示： 这个圈叫集合。 18的因数 1，2，3，6、9、18 【例3】2的倍数有哪些？你用怎样的方法求一个 数的倍数。 提示：可以仿照求因数的方法来找倍数。 哪些整数除以2，商还是整数呢？ 2的倍数( ） 找倍数用乘法更方便。 【新知总结】 一个数的倍数的个数是无限的。 一个数最小的倍数是本身， 最大的倍数没有。 题型一：因数和倍数的认识 【例1】（24-25五年级下·湖南·期末）关于因数、倍数，下列描述正确的是（    ）。 A．1没有因数。 B．如果a÷b＝3，那么a和b都是3的倍数。 C．一个自然数越大，它的因数的个数就越多。 D．因数和倍数是相互依存的。 【变式1】（24-25五年级下·重庆黔江·期末）根据m×6＝n（m、n均为非0自然数），下面说法正确的是（    ）。 A．n是m的倍数 B．n是6的因数 C．m是n的倍数 D．m是6的因数 【变式2】（24-25五年级下·江西九江·期末）下面关于倍数和因数的说法，正确的有（    ）个。 ①因为24÷4＝6，所以4是24的因数。 ②9的倍数只有18，27，36，45，54，63，72，81。 ③一个数最小因数是1，最大因数是它本身。 ④一个数的最大倍数是它本身，没有最小倍数。 A．2 B．3 C．4 题型二：找一个数的因数及因数的特征 【例2】（24-25五年级下·湖北恩施·期末）唐崖土司城址是中国第48处世界文化遗产，位于湖北省恩施州咸丰县唐崖镇的唐崖河畔，实验小学五年级部分学生利用周末去参观唐崖土司城址，已知参观学生人数在40～50人之间。领队张老师把84瓶矿泉水平均分给参观学生，正好分完。那么参观的学生有( )人。 【变式1】（24-25五年级下·天津和平·期末）一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数可能是（    ）。 A．12 B．27 C．36 D．45 【变式2】（24-25五年级下·山东菏泽·期中）五年级有36名同学一起做游戏，老师让他们自己分成人数相等的若干小组，要求组数大于2，小于10，可以分成几组？ 题型三：根据因数的特征解决问题 【例3】（24-25五年级下·四川广元·期末）一个自然数有6个因数，从小到大依次是a、b、c、d、e、f。已知a＋f＝19，则c＋d＝( )。 【变式1】（24-25五年级下·山东菏泽·期中）为了保护铁路线免受沙漠掩埋，经常会采用“草方格沙障”固沙的方式，“草方格沙障”是一种防风固沙，涵养水分的治沙方法，用麦草、稻草、芦苇等材料在沙漠中扎成方格形状，现计划在一条铁路沿线设置32个“草方格沙障”，要求每行的方格数相同，可以排几行？有几种不同的排法？ 【变式2】（24-25五年级下·福建莆田·期中）月饼是一种传统美食，寓意团团圆圆。王阿姨制作了24个月饼装在袋子里，每个袋子装的一样多，不少于5个，且不超过15个。有几种装法？每种装法各需要几个袋子？ 题型四：找一个数的倍数及倍数的特征 【例4】（24-25五年级下·广东东莞·期末）一个数既是48的因数，又是16的倍数，这个数可能是（    ）。 A．8 B．16 C．24 D．32 【变式1】（24-25五年级下·山东济南·期中）一个数最大的因数是16，这个数是( )，它的因数有( )个，它最小的倍数是( )。 【变式2】（24-25五年级下·河南南阳·期中）一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。( )（判断对错） 题型五：根据倍数的特征解决问题 【例5】（2025五年级下·全国·专题练习）小兵在文具店买了3本笔记本、1支钢笔、2支自动铅笔和4块橡皮。笔记本每本2元，钢笔每支5元，自动铅笔和橡皮的价格小兵记不清了售货员要小兵付18元，小兵马上说售货员把账算错了，你知道为什么吗？ 【变式1】（23-24五年级下·河南南阳·期中）4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 【变式2】（23-24五年级下·甘肃武威·期中）金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 题型六：倍数和因数的综合应用 【例6】（23-24五年级下·广东肇庆·期末）有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 【变式1】（23-24五年级下·全国·课后作业）小强今年的年龄是2和7的倍数中最小的一个，爸爸今年的年龄既是小强年龄的倍数，也是42的因数。爸爸和小强今年各多少岁？ 【变式2】（22-23五年级下·河南新乡·期中）有一个数，它既是25的因数又是25的倍数，这个数是（    ）。 A．5 B．25 C．15 D．50 基础夯实练（共10题 限时15分钟） 1．（24-25五年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ）。 A．10÷2＝5，10是倍数，2是因数 B．42既是6的倍数，也是7的倍数 C．因为4÷0.5＝8，所以4是0.5的倍数，0.5是4的因数 2．（24-25五年级下·全国·课后作业）下列各数中，（    ）不是12的因数。 A．12 B．6 C．5 3．（24-25五年级下·全国·课后作业）下面各组数中，有因数和倍数关系的是（    ）。 A．8和18 B．51和17 C．3.2和4 4．（24-25五年级下·全国·课后作业）72÷9＝8，( )和( )是( )的因数，( )是( )和( )的倍数。 5．（24-25五年级下·全国·课后作业）下面哪些算式中有因数和倍数关系？在括号里画“√”。 14÷2＝7（    ）      17÷4＝4……1（    ）      （    ） 42÷5＝8.4（    ）     13÷13＝1（    ）      2.4÷0.6＝4（    ） 6．（24-25五年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知x＝3y（x，y都是非0自然数），那么x是y的倍数。( )（判断对错） 7．（24-25五年级下·湖北十堰·期末）因为25÷2.5＝10，所以25是2.5的倍数，2.5是25的因数。( )（判断对错） 8．（24-25五年级下·全国·课后作业）王先生和李先生是同一研究所的科研人员，他们总是相隔不同的天数到图书馆查阅资料。王先生每3天去一次，李先生每5天去一次，8月8日他们都去了图书馆。下次两人同一天去图书馆的日期是几月几日？ 9．（24-25五年级下·全国·课后作业）先用“”圈出30的因数，用“”圈出15的因数，再填空。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 30和15的公因数有（            ），30和15的最大公因数是（            ）。 10．（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图，7名学生在玩“逢7过”的游戏，按顺时针方向依次报数，说到“7”的倍数时，要说“过”，而不能说出这个数字是几。 （1）（    ）先说“过”。 （2）像这样一直报下去，其他学生有可能说“过”吗？为什么？ 能力提升练（共10题 限时20分钟） 1．（24-25五年级下·湖北十堰·期中）÷b＝2……1，下列说法正确的是（    ）。（、b均大于0的自然数） A．一定是偶数 B．b一定是奇数 C．一定是奇数 D．b是的因数 2．（24-25五年级下·重庆梁平·期末）6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6。像6这样的数，叫做完全数（也叫完美数）。8则不是完全数，因为8的因数有1、2、4、8，1＋2＋4≠8（≠：不等于）。下面四个数中，（    ）是完全数。 A．9 B．20 C．28 D．36 3．（24-25五年级下·重庆万州·期末）军军家的客厅长3.6m，宽3.3m。要给客厅铺地砖，下面的地砖规格中，可以不用切割，正好铺满的是（    ）。 A．40cm×40cm B．110cm×60cm C．80cm×80cm 4．（24-25五年级下·全国·课后作业）观察下面的算式并分类（填序号），然后总结规律。 ①36÷18＝2       ②3÷8＝0.375        ③15÷2＝7.5 ④49÷7＝7      ⑤55÷11＝5        ⑥7÷3＝2……1 ⑦36÷4＝9     ⑧24÷4＝6      ⑨14÷3＝4……2 第一类：（①            ），第二类：（②           ） 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的（    ）数，除数是被除数的（    ）数。 5．（24-25五年级下·河北衡水·期末）两个数的最大公因数是6，最小公倍数是72，其中一个数是24，另一个数是( )。 6．（24-25五年级下·天津和平·期中）有四个数，其中每三个数的和分别是45、46、49、52，那么这四个数中最小的一个数是( )。 7．（24-25五年级下·新疆巴音郭楞·期末）写出下面各数的所有因数。 13       27 8．（24-25五年级下·全国·课后作业）少年宫是12路和17路公共汽车的始发站，12路公共汽车每10分钟发一次车，17路公共汽车每12分钟发一次车。这两路公共汽车在6：00同时发车后，下一次同时发车是什么时候？ 9．（24-25五年级下·重庆渝中·期末）张阿姨做了57个蛋挞，准备送给亲朋好友品尝，用哪种包装盒能正好装完？为什么？ 10．（21-22五年级下·浙江温州·期中）幼儿园老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果糖。她发给每一个小朋友2块巧克力，7块奶糖和8块水果糖，发完后清点一下，水果糖还剩15块，而巧克力恰好是奶糖的3倍，那么共有多少个小朋友？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 因数和倍数 第1节 因数和倍数的认识和求法 【解析版】 探索新知 2 【新知学习一：因数和倍数的认识】 2 【新知学习二：因数和倍数的求法】 3 重点难点题型讲练 5 题型一：因数和倍数的认识 5 题型二：找一个数的因数及因数的特征 6 题型三：根据因数的特征解决问题 8 题型四：找一个数的倍数及倍数的特征 9 题型五：根据倍数的特征解决问题 10 题型六：倍数和因数的综合应用 12 难度分层训练 13 基础夯实练（共10题 限时15分钟） 13 能力提升练（共10题 限时20分钟） 17 【学习目标】 1、掌握一个数的因数和倍数的求法，了解一个数的因数的个数是有限的，倍数的个数是无限的。 2、初步认识了自然数的基础上学习的，是本单元后面内容学习的铺垫。 3、通过探究因数和倍数的概念，培养学生抽象、概括和观察思考的能力。在探究因数和倍数概念的过程中，渗透事物间的相互联系，互相依存的辩证唯物主义观点。 【重点难点】 重点：理解因数和倍数的意义。 难点：理解因数和倍数的互依关系。 【新知学习一：因数和倍数的认识】 【新旧知识链】 35=5=7，我们就说5是35的（ ),35是5的（ )。 在4X9=36中，36是（ )，4和9是乘数，也叫（ )。 【例1】口算下面各题。 12÷6= 8÷3= 30÷6= 9÷5= 21÷21= 19÷7= 20÷10= 26÷8= 63÷9= 你能根据得数把上面的算式分类吗？ 商没有余数的 12÷6=2 30÷6=5 21÷21=1 20÷10=2 63÷9=7 商有余数的 8÷3=2……2 9÷5=1……4 19÷7=2……5 26÷8=3……2 你 知 道 吗 ？ 12÷6=2 30÷6=5 21÷21=1 20÷10=2 63÷9=7 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说：被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数（也称约数）。 想一想 填一填 12 ÷ 6 = 2 ( 6 )是( 12 )的因数， ( 12 )是( 6 )的倍数。 21 ÷ 21 = 1 ( 21 )是( 21 )的因数， ( 21 )是( 21 )的倍数。 说 一 说2和6是12的因数， 12是2和6的倍数。 2×6=12中，谁是谁的因数，谁是谁的倍数？ 因为：2×6=12 所以：12÷2=6 12÷6=2 注意：为了方便，在研究因数和倍数时，所说的数指的是自然数（不包括0）。 因数和倍数是相互依存的，它们都不能单独存在，必须说谁是谁的倍数，谁是谁的因数。 你能用字母表示因数和倍数吗？ 如果A÷B=C（A、B、C是非0自然数）， 那么B和C是A的因数，A是B和C 的倍数。 下面的2组数中，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？ 4和24 26和13 ( 4 )是( 24 )的因数, ( 13 )是( 26 )的因数, ( 24 )是( 4 )的倍数。 ( 26 )是( 13 )的倍数。 【新知总结】 被除数÷除数=商 被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数（也称约数）。 【方法总结】 在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数是0)，那么除数和商是被除数的因数， 被除数是除数和商的倍数。因数和倍数是相互依存的关系，我们不能单独说某一个数是因数或倍 数。注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所指的数是自然数（一般不包括0）。 【新知学习二：因数和倍数的求法】 【例2】18有哪些因数？ 18的因数有：( 1,2,3,6,9,18 ） 注意：18的因数重复了，可以不写出来。 我用乘法找18的因数，从1乘开始。 我也用除法算式，但是我这样统计因数。 18的因数有：( 1,18,2,9,3,6 ） 说一说：怎样做才能不重复不遗漏地找出因数？ 无论是用乘法还是用除法，只要有序，就能把因数找全。 18的因数还可以这样表示： 这个圈叫集合。 18的因数 1，2，3，6、9、18 【例3】2的倍数有哪些？你用怎样的方法求一个 数的倍数。 提示：可以仿照求因数的方法来找倍数。 哪些整数除以2，商还是整数呢？ 2的倍数( 2，4，6，8、10……） 找倍数用乘法更方便。 【新知总结】 一个数的倍数的个数是无限的。 一个数最小的倍数是本身， 最大的倍数没有。 题型一：因数和倍数的认识 【例1】（24-25五年级下·湖南·期末）关于因数、倍数，下列描述正确的是（    ）。 A．1没有因数。 B．如果a÷b＝3，那么a和b都是3的倍数。 C．一个自然数越大，它的因数的个数就越多。 D．因数和倍数是相互依存的。 【答案】D 【思路引导】因数是指整数a除以整数b（b≠0） 的商正好是整数而没有余数，此时称b是a的因数。由此可知，可知1的因数是1； 若整数a是整数b与非零整数c的乘积（即），则称a是b的倍数； 因数的个数与数的大小没有必然联系； 因数与倍数互为依存：若b是a的因数，则a是b的倍数，反之亦然。据以上因数与倍数的定义和性质可解答。 【完整解答】A．1的因数是1，并非没有因数，所以A选项错误。 B．当时，若a 、 b不是整数，就不能说a和b都是3的倍数。例如 ，但0.6和0.2不是整数，也就不是3的倍数，所以B选项错误。 C．因数的个数与数的大小没有必然联系。比如12的因数有1、2、3、4、6、12，共6个；25的因数有1、5、25，共3个，25比12大，比12的因数个数少，所以C选项错误。 D．因数和倍数是相互依存的关系，不能单独说某个数是因数或倍数，必须说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，所以D选项正确。 故答案为：D 【变式1】（24-25五年级下·重庆黔江·期末）根据m×6＝n（m、n均为非0自然数），下面说法正确的是（    ）。 A．n是m的倍数 B．n是6的因数 C．m是n的倍数 D．m是6的因数 【答案】A 【思路引导】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。 【完整解答】A．n是m的倍数，说法正确； B．n是6的倍数，选项说法错误； C．m是n的因数，选项说法错误；； D．m和6无法确定因数倍数关系，选项说法错误。 说法正确的是n是m的倍数。 故答案为：A 【变式2】（24-25五年级下·江西九江·期末）下面关于倍数和因数的说法，正确的有（    ）个。 ①因为24÷4＝6，所以4是24的因数。 ②9的倍数只有18，27，36，45，54，63，72，81。 ③一个数最小因数是1，最大因数是它本身。 ④一个数的最大倍数是它本身，没有最小倍数。 A．2 B．3 C．4 【答案】A 【思路引导】①根据若整数a能够被整数b整除，a叫作b的倍数，b就叫作a的因数，4是24的因数，原题说法正确。 ②一个数的倍数有无限多个，所以原题说法错误。 ③一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，所以原题说法正确。 ④一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数，所以原题说法错误。 【完整解答】据分析可知，原题关于倍数和因数的说法，正确的有①③，共2个。 故答案为：A 题型二：找一个数的因数及因数的特征 【例2】（24-25五年级下·湖北恩施·期末）唐崖土司城址是中国第48处世界文化遗产，位于湖北省恩施州咸丰县唐崖镇的唐崖河畔，实验小学五年级部分学生利用周末去参观唐崖土司城址，已知参观学生人数在40～50人之间。领队张老师把84瓶矿泉水平均分给参观学生，正好分完。那么参观的学生有( )人。 【答案】42 【思路引导】由题意可知，参观的学生人数是矿泉水总数量的因数，并且在40～50之间，求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，按顺序列举出84的所有因数，再找出符合条件的因数，据此解答。 【完整解答】84÷1＝84 84÷2＝42 84÷3＝28 84÷4＝21 84÷6＝14 84÷7＝12 84的因数有1，2，3，4，6，7，12，14，21，28，42，84，其中在40～50之间的是42。 所以，参观的学生有42人。 【变式1】（24-25五年级下·天津和平·期末）一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数可能是（    ）。 A．12 B．27 C．36 D．45 【答案】B 【思路引导】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，据此求出54的所有因数；求一个数的倍数时，用这个数乘1、2、3…所得的积就是这个数的倍数，据此求出54以内9的倍数，最后找出符合条件的数即可。 【完整解答】54÷1＝54 54÷2＝27 54÷3＝18 54÷6＝9 54的因数有：1，2，3，6，9，18，27，54。 9×1＝9 9×2＝18 9×3＝27 9×4＝36 9×5＝45 9×6＝54 54以内9的倍数有：9，18，27，36，45，54。 所以，一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数可能是9，18，27，54。 故答案为：B 【变式2】（24-25五年级下·山东菏泽·期中）五年级有36名同学一起做游戏，老师让他们自己分成人数相等的若干小组，要求组数大于2，小于10，可以分成几组？ 【答案】3组、4组、6组、9组 【思路引导】由题意可知，分成的组数是学生人数的因数，求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，据此求出36的所有因数，最后找出大于2并且小于10的符合条件的因数，据此解答。 【完整解答】36÷1＝36 36÷2＝18 36÷3＝12 36÷4＝9 36÷6＝6 36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。 分析可知，可以分成3组、4组、6组、9组。 答：可以分成3组、4组、6组、9组。 题型三：根据因数的特征解决问题 【例3】（24-25五年级下·四川广元·期末）一个自然数有6个因数，从小到大依次是a、b、c、d、e、f。已知a＋f＝19，则c＋d＝( )。 【答案】9 【思路引导】一个自然数的最小因数是1，最大因数是它本身。已知这个自然数有6个因数，从小到大依次是a、b、c、d、e、f，所以a＝1。又因为a＋f＝19，所以f为19－a＝19－1＝18，即这个自然数是18。18的因数有1、2、3、6、9、18，所以a＝1，b＝2，c＝3，d＝6，e＝9，f＝18。计算c＋d的值，已知c＝3，d＝6，把数据代入计算即可。 【完整解答】一个自然数的最小因数是1，最大因数是它本身。 a＝1 19－a ＝19－1 ＝18 18的因数有1、2、3、6、9、18，所以a＝1，b＝2，c＝3，d＝6，e＝9，f＝18。 3＋6＝9 所以c＋d＝9。 【变式1】（24-25五年级下·山东菏泽·期中）为了保护铁路线免受沙漠掩埋，经常会采用“草方格沙障”固沙的方式，“草方格沙障”是一种防风固沙，涵养水分的治沙方法，用麦草、稻草、芦苇等材料在沙漠中扎成方格形状，现计划在一条铁路沿线设置32个“草方格沙障”，要求每行的方格数相同，可以排几行？有几种不同的排法？ 【答案】 1行、2行、4行、8行、16行、32行；6种 【思路引导】每行的方格数和行数必须均为32的因数。通过列举32的所有因数，即可确定符合条件的行数。 【完整解答】32＝32×1＝16×2＝8×4 32的因数有：1、2、4、8、16、32，共6个。 答：可以排1行、2行、4行、8行、16行、32行，有6种不同的排法。 【变式2】（24-25五年级下·福建莆田·期中）月饼是一种传统美食，寓意团团圆圆。王阿姨制作了24个月饼装在袋子里，每个袋子装的一样多，不少于5个，且不超过15个。有几种装法？每种装法各需要几个袋子？ 【答案】3种；6个装需要4个袋子，8个装需要3个袋子，12个装需要2个袋子 【思路引导】先找出24的所有因数，再筛选符合条件的因数，最后根据月饼个数÷每个袋子装的个数＝袋子数，计算对应的袋子数量。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【完整解答】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。 大于等于5且小于等于15的有：6、8、12。 24÷6＝4（个） 24÷8＝3（个） 24÷12＝2（个） 答：有3种装法，6个装需要4个袋子，8个装需要3个袋子，12个装需要2个袋子。 题型四：找一个数的倍数及倍数的特征 【例4】（24-25五年级下·广东东莞·期末）一个数既是48的因数，又是16的倍数，这个数可能是（    ）。 A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【思路引导】找一个数的因数的方法：找配对。48＝1×48、2×24、3×16、4×12、6×8，那么，48的因数就有：1、48、2、24、3、16、4、12、6、8。 找一个数的倍数，直接把这个数分别乘1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的。据此解答。 【完整解答】48的因数有1、48、2、24、3、16、4、12、6、8。 16的倍数有16，32，48… 一个数既是48的因数，又是16的倍数，这个数可能是16、48。 故答案为：B 【变式1】（24-25五年级下·山东济南·期中）一个数最大的因数是16，这个数是( )，它的因数有( )个，它最小的倍数是( )。 【答案】 16 5 16 【思路引导】根据因数和倍数的定义，一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。因此，最大因数为16时，这个数就是16。再列举16的所有因数并统计个数，最后确定最小倍数。 【完整解答】一个数的最大因数是它本身，所以一个数最大的因数是16，这个数是16； 16的因数有1、2、4、8、16，共5个； 一个数的最小倍数是它本身，所以16的最小倍数是16。 一个数最大的因数是16，这个数是16，它的因数有5个，它最小的倍数是16。 【变式2】（24-25五年级下·河南南阳·期中）一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】一个数因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；一个数的最大因数和最小倍数都是这个数本身，据此解答。 【完整解答】一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身，如：8的因数有1，2，4，8，最大的因数是8；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，如：8的倍数有8，16，24，32，40，……最小的倍数是8，所以题目说法正确。 故答案为：√ 题型五：根据倍数的特征解决问题 【例5】（2025五年级下·全国·专题练习）小兵在文具店买了3本笔记本、1支钢笔、2支自动铅笔和4块橡皮。笔记本每本2元，钢笔每支5元，自动铅笔和橡皮的价格小兵记不清了售货员要小兵付18元，小兵马上说售货员把账算错了，你知道为什么吗？ 【答案】见详解 【思路引导】从题意可以知道，四种商品的数量已知，根据，笔记本和钢笔的价格能够算出来一共是11元，但是因为自动笔和橡皮的数量是双数，所以，不管买多少，它们的总价格也应该是双数，因为偶数乘偶数，偶数乘奇数积都是偶数，而11是奇数，根据奇数加偶数等于奇数，因此，要付款的钱数应是奇数，但是根据售货员算的价格是偶，所以判断是错误的。 【完整解答】 （元） 答：因为2支自动铅笔和4块橡皮的价格是偶数，而3本笔记本、1支钢笔的价格是奇数，根据奇数加偶数等于奇数可知，总价应该是奇数，而售货员算的是18元（偶数），所以账算错了。 【变式1】（23-24五年级下·河南南阳·期中）4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 【答案】2人；4人 【思路引导】根据题意，五年级有526人，分成6人一组，如果总人数是6的倍数，则刚好分完；用总人数除以6，商是分成的组数，有余数，用6减去余数，即是至少需要再来的人数，去掉余数即是至少减少的人数。 【完整解答】526÷6＝87（组）……4（人） 6－4＝2（人） 答：至少需要再来2人就可以正好6人一组，至少减少4人也正好6人一组。 【变式2】（23-24五年级下·甘肃武威·期中）金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 【答案】181本 【思路引导】先找出100到200之间，24的倍数有哪些，然后分别加上13，找出得数在100到200之间最大的数即可解答。 【完整解答】100到200之间24的倍数有：120，144，168，192； （本） （本） （本） （本） 其中，205＞200，100到200之间，181＞157＞133。 答：参与共享的图书最多有181本。 题型六：倍数和因数的综合应用 【例6】（23-24五年级下·广东肇庆·期末）有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 【答案】 因为8是64的因数，选8本/箱。 【思路引导】找出哪个种规格包装箱每箱所装的本数是64的因数，即用64除以每箱所装的本数，能整除的即为解。 【完整解答】 答：因为8是64的因数，所以应选每箱8本的包装箱。 【变式1】（23-24五年级下·全国·课后作业）小强今年的年龄是2和7的倍数中最小的一个，爸爸今年的年龄既是小强年龄的倍数，也是42的因数。爸爸和小强今年各多少岁？ 【答案】爸爸：42岁；小强：14岁 【思路引导】公因数只有1的两个非零自然数为互质数，所以2和7为互质数，即最小公倍数为互质数的乘积，所以小强年龄的最小公倍数就是2和7相乘即14。14的倍数有14，28，42，56，由于爸爸今年的年龄是小强的倍数，也是42的因数，所以爸爸和小强的年龄同时是2，7的倍数也是42的因数，小强的年龄不能比爸爸大，所以42是爸爸的年龄，14是小强的年龄。 【完整解答】因为2和7的公因数为1，所以2和7互质，所以2和7的最小公倍数是14，14的倍数有14，28，42，42也是42因数，所以爸爸今年42岁，小强今年14岁。 答：爸爸今年42岁，小强今年14岁。 【变式2】（22-23五年级下·河南新乡·期中）有一个数，它既是25的因数又是25的倍数，这个数是（    ）。 A．5 B．25 C．15 D．50 【答案】B 【思路引导】一个数既是另一个数的因数，又是倍数，则这个数是它本身。据此可得出答案。 【完整解答】有一个数，它既是25的因数又是25的倍数，则这个数是它本身，即25。 故答案为：B 【考点再现】本题主要考查的是因数、倍数知识的应用，解题的关键是熟练掌握因数、倍数定义，进而得出答案。 基础夯实练（共10题 限时15分钟） 1．（24-25五年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ）。 A．10÷2＝5，10是倍数，2是因数 B．42既是6的倍数，也是7的倍数 C．因为4÷0.5＝8，所以4是0.5的倍数，0.5是4的因数 【答案】B 【思路引导】根据倍数和因数的定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，那么被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，倍数和因数是相互依存的关系，不能单独说某个数是倍数或因数。据此对比选项，做出选择。 【完整解答】A.仅说“10是倍数，2是因数”，未明确10是谁的倍数，2是谁的因数，不符合倍数和因数相互依存的关系，选项错误； B.，商是整数且没有余数，所以42是6的倍数；，商是整数且没有余数，所以42是7的倍数。因此42既是6的倍数，也是7的倍数，选项正确； C.倍数和因数的研究范围是整数，除数和被除数都必须是整数，不能是小数，题目中0.5为小数，选项错误。 故答案为：B 2．（24-25五年级下·全国·课后作业）下列各数中，（    ）不是12的因数。 A．12 B．6 C．5 【答案】C 【思路引导】根据因数的定义，若一个数能整除12，则这个数是12的因数，对比选项进行判断。 【完整解答】A.，结果没有余数，则12是12的因数，不符合； B.，结果没有余数，则6是12的因数，不符合； C.，计算结果有余数2，所以5不是12的因数，符合。 故答案为：C 3．（24-25五年级下·全国·课后作业）下面各组数中，有因数和倍数关系的是（    ）。 A．8和18 B．51和17 C．3.2和4 【答案】B 【思路引导】在整数范围内，若整数a能被整数b整除，则a是b的倍数，b是a的因数。据此分析选项。 【完整解答】A.，商不是整数，所以8和18 没有因数和倍数的关系，不符合。 B.，商是整数，所以51是17的倍数，17是51的因数，二者有因数和倍数的关系，符合。 C.因数和倍数关系仅在整数范围内讨论，3.2是小数，不满足整数条件，直接排除，不符合。 故答案选：B 4．（24-25五年级下·全国·课后作业）72÷9＝8，( )和( )是( )的因数，( )是( )和( )的倍数。 【答案】8；9；72；72；8；9 【思路引导】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说除数和商是被除数的因数，被除数是除数和商的倍数。据此解答。 【完整解答】根据分析可知： ，和是的因数，是和的倍数。 5．（24-25五年级下·全国·课后作业）下面哪些算式中有因数和倍数关系？在括号里画“√”。 14÷2＝7（    ）      17÷4＝4……1（    ）      （    ） 42÷5＝8.4（    ）     13÷13＝1（    ）      2.4÷0.6＝4（    ） 【答案】（√ ）（      ）（      ）（      ）（ √ ）（      ） 【思路引导】根据因数和倍数的定义，因数和倍数关系存在于整数除法中，当被除数、除数和商都是整数，且没有余数时。因此，需要检查每个算式是否满足被除数、除数、商均为整数且整除的条件。 【完整解答】（1）算式： 被除数14、除数2和商7都是整数，且整除，所以有因数和倍数关系。在括号里画“√”。 （2）算式： 有余数1，不是整除，所以没有因数和倍数关系。 （3）算式： 商不是整数，是循环小数，所以没有因数和倍数关系。 （4）算式： 商是小数，不是整数，所以没有因数和倍数关系。 （5）算式： 被除数13、除数13和商1都是整数，且整除，所以有因数和倍数关系。在括号里画“√”。 （6）算式： 被除数2.4和除数0.6不是整数，因数和倍数关系只在整数范围内讨论，所以没有因数和倍数关系。 6．（24-25五年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知x＝3y（x，y都是非0自然数），那么x是y的倍数。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数。即对于非 0 自然数a 和b，若存在非0自然数k使得a＝k×b，则称a是b的倍数。 题目中x＝3y，且x、y均为非0自然数，符合倍数的定义，所以x是y的倍数。 【完整解答】已知x＝3y，且x、y都是非 0 自然数。 对等式进行变形，可得除法算式：x÷y＝3。 被除数x、除数y均为非 0 自然数； 商是整数3，且计算过程中没有余数。 该结果完全符合“倍数”的定义，即x能被y整除，因此x是y的倍数。 举例验证： 当y＝1时，x＝3×1＝3，3是1的倍数； 当y＝2时，x＝3×2＝6，6是2的倍数； 当y＝5时，x＝3×5＝15，15是5的倍数。 故答案为：√ 7．（24-25五年级下·湖北十堰·期末）因为25÷2.5＝10，所以25是2.5的倍数，2.5是25的因数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】因数和倍数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么a、b是c的因数，c是a、b的倍数；如：4×9＝36，4和9是36的因数，36是4和9的倍数；倍数和因数都是在非零自然数范围内讨论的，据此解答。 【完整解答】根据分析可知：2.5是小数，不属于非零自然数，所以原说法错误。 故答案为：× 8．（24-25五年级下·全国·课后作业）王先生和李先生是同一研究所的科研人员，他们总是相隔不同的天数到图书馆查阅资料。王先生每3天去一次，李先生每5天去一次，8月8日他们都去了图书馆。下次两人同一天去图书馆的日期是几月几日？ 【答案】8月23日 【思路引导】两人再次同一天去图书馆的时间间隔，是他们各自去图书馆周期（3天、5天）的最小公倍数，再结合日期推算即可得到结果。 【完整解答】求时间间隔（最小公倍数）： 3和5是互质数，最小公倍数为， 即再过15天两人会再次同一天去图书馆。推算日期：（日）。 答：下次两人同一天去图书馆的日期是8月23日。 9．（24-25五年级下·全国·课后作业）先用“”圈出30的因数，用“”圈出15的因数，再填空。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 30和15的公因数有（            ），30和15的最大公因数是（            ）。 【答案】 见详解 1，3，5，15；15 【思路引导】a×b＝c，a、b、c都是整数，我们就说a、b都是c的因数，c是a的倍数，也是b的倍数。几个数公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个叫这几个数的最大公因数。 用列举法一一写出30与15的因数，再从表中圈出。两种图案都圈的就是两个数的公因数，其中最大的，就是这两个数的最大公因数。 【完整解答】30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30。 15的因数有：1、3、5、15。 30和15的公因数有：1、3、5、15，30和15的最大公因数是：15。 30和15的公因数有：1、3、5、15，30和15的最大公因数是：15。 10．（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图，7名学生在玩“逢7过”的游戏，按顺时针方向依次报数，说到“7”的倍数时，要说“过”，而不能说出这个数字是几。 （1）（    ）先说“过”。 （2）像这样一直报下去，其他学生有可能说“过”吗？为什么？ 【答案】（1）乐乐 （2）不可能。 【思路引导】（1）根据题意，说到“7”的倍数要说“过”，结合报数顺序，依次找到第一个报“7”的人 （2）根据参与报数的人数及“7”的倍数的特点，据此判断解答。 【完整解答】（1）根据报数顺序，第一个报出“7”的倍数的人是乐乐，所以乐乐先说“过”； （2）因为一共有7名学生，7÷7＝1，只有乐乐的位置对应的数是7的倍数，也就是只有乐乐能说“过”；所以其他学生不可能说“过”。 能力提升练（共10题 限时20分钟） 1．（24-25五年级下·湖北十堰·期中）÷b＝2……1，下列说法正确的是（    ）。（、b均大于0的自然数） A．一定是偶数 B．b一定是奇数 C．一定是奇数 D．b是的因数 【答案】C 【思路引导】通过除法算式推导的表达式，再判断奇偶性：带余除法中，，结合奇偶运算规则（）可分析的性质。 【完整解答】根据带余除法公式，由可得： 分析的奇偶性： 是2的倍数，一定是偶数；1是奇数。根据“”，可知一定是奇数。 A．是奇数，不是偶数，错误； B．可以是任意大于0的自然数（如时，，是偶数），故不一定是奇数，错误； C．由上述推导，一定是奇数，正确； D．因数要求整除（无余数），但余1，故不是的因数，错误。 故答案为：C 2．（24-25五年级下·重庆梁平·期末）6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6。像6这样的数，叫做完全数（也叫完美数）。8则不是完全数，因为8的因数有1、2、4、8，1＋2＋4≠8（≠：不等于）。下面四个数中，（    ）是完全数。 A．9 B．20 C．28 D．36 【答案】C 【思路引导】将各选项的因数求出，并将除了这个数本身的因数相加验证是否等于这个数本身，如果等于，这个数就是完全数。 【完整解答】A．9的因数有1、3、9，1＋3≠9，9不是完全数。 B．20的因数有1、2、4、5、10、20，1＋2＋4＋5＋10≠20，20不是完全数。 C．28的因数有1、2、4、7、14、28，1＋2＋4＋7＋14＝28，28是完全数。 D．36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18≠36，所以36不是完全数。 所以28是完全数。 故答案为：C 3．（24-25五年级下·重庆万州·期末）军军家的客厅长3.6m，宽3.3m。要给客厅铺地砖，下面的地砖规格中，可以不用切割，正好铺满的是（    ）。 A．40cm×40cm B．110cm×60cm C．80cm×80cm 【答案】B 【思路引导】客厅长3.6m，宽3.3m，1m＝100cm，所以3.6m为3.6×100＝360cm。3.3m为3.3×100＝330cm。要不用切割正好铺满，地砖的长是360的因数，宽是330因数。据此分析计算各选项，进而确定答案。 【完整解答】A．40cm×40cm，360÷40＝9，但330÷40＝8.25，说明40不是330的因数，不符合。 B．110cm×60cm，360÷60＝6，330÷110＝3，说明60是360的因数，110是330的因数，符合“不用切割，正好铺满”。 C．80cm×80cm，360÷80＝4.5，330÷80＝4.125，80既不是360的因数，也不是330的因数，不符合。 所以不用切割，正好铺满的规格是110cm×60cm。 故答案为：B 4．（24-25五年级下·全国·课后作业）观察下面的算式并分类（填序号），然后总结规律。 ①36÷18＝2       ②3÷8＝0.375        ③15÷2＝7.5 ④49÷7＝7      ⑤55÷11＝5        ⑥7÷3＝2……1 ⑦36÷4＝9     ⑧24÷4＝6      ⑨14÷3＝4……2 第一类：（①            ），第二类：（②           ） 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的（    ）数，除数是被除数的（    ）数。 【答案】第一类：（①④⑤⑦⑧），第二类：（②③⑥⑨） 倍，因 【思路引导】观察算式可知，①④⑤⑦⑧属于整数除法，商是整数且无余数；②③⑥⑨属于非整数除法，含小数商或有余数。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。如，我们就说36是18的倍数，18是36的因数。 整数除法中，当被除数能被除数整除（商为整数、无余数）时，被除数与除数存在 “倍数 - 因数” 的关系；若不能整除，则商为小数或存在余数，不构成倍数 - 因数关系。 【完整解答】由分析可得： 第一类：①④⑤⑦⑧； 第二类：②③⑥⑨； 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 5．（24-25五年级下·河北衡水·期末）两个数的最大公因数是6，最小公倍数是72，其中一个数是24，另一个数是( )。 【答案】18 【思路引导】利用最大公因数和最小公倍数之间的性质：两个数的积等于这两个数的最大公因数和最小公倍数的积。据此作答。 【完整解答】 两个数的最大公因数是6，最小公倍数是72，其中一个数是24，另一个数是18。 6．（24-25五年级下·天津和平·期中）有四个数，其中每三个数的和分别是45、46、49、52，那么这四个数中最小的一个数是( )。 【答案】12 【思路引导】已知有四个数，设为a、b、c、d 。每三个数求和，会得到a＋b＋c、a＋b＋d、a＋c＋d、b＋c＋d这4个和，对应题目中的45、46、49、52 。 把这4个和相加，即（a＋b＋c）＋（a＋b＋d）＋（a＋c＋d）＋（b＋c＋d），整理后是3（a＋b＋c＋d） ，这说明4个和的总和是四个数总和的3倍。 所以先将4个和相加，再除以3，就能求出四个数的总和a＋b＋c＋d 。 要找最小的数，因为最大的“三个数的和”（52 ）是除最小数外其他三个数的和，所以用四个数的总和减去最大的三个数的和，结果就是最小数。 【完整解答】（45＋46＋49＋52）÷3 ＝192÷3 ＝64 64－52＝12 那么这四个数中最小的一个数是12。 【考点再现】解题关键在于两点：一是发现 “四组每三个数的和相加，等于四个数总和的3倍”，以此求出四个数的总和；二是明确 “最大的三个数的和，对应的是除最小数外另外三个数的和”，用总和减去这个最大和，就能精准得到最小数，这两步逻辑紧密关联，是突破本题的核心思路。 7．（24-25五年级下·新疆巴音郭楞·期末）写出下面各数的所有因数。 13       27 【答案】13的因数：1、13；27的因数：1、3、9、27 【思路引导】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【完整解答】13＝1×13 13的因数有：1、13 27＝1×27＝3×9 27的因数有：1、3、9、27 8．（24-25五年级下·全国·课后作业）少年宫是12路和17路公共汽车的始发站，12路公共汽车每10分钟发一次车，17路公共汽车每12分钟发一次车。这两路公共汽车在6：00同时发车后，下一次同时发车是什么时候？ 【答案】7：00 【思路引导】用枚举法，不重复不遗漏有序列举出12路车与17路车每一次发车时间后，比较得出下一次同时发车时间。 【完整解答】10分钟发一次车，12路车发车时间：6：00、6：10、6：20、6：30、6：40、6：50、7：00、7：10…… 12分钟发一次车，17路车发车时间：6：00、6：12、6：24、6：36、6：48、7：00、7：12、7：24…… 12路车与17路车下次同时发车时间是：7：00。 答：这两路公共汽车在6：00同时发车后，下一次同时发车是7：00。 9．（24-25五年级下·重庆渝中·期末）张阿姨做了57个蛋挞，准备送给亲朋好友品尝，用哪种包装盒能正好装完？为什么？ 【答案】3个装；因为3是57的因数 【思路引导】根据题意可知，如果包装盒正好能装完蛋挞，则盒子的数量×每个盒子蛋挞的个数＝57个，根据因数的定义，5、3、2哪个是57的因数，对应的包装盒正好能装完。 【完整解答】57÷5＝11……2 57÷3＝19 57÷2＝28……1 答：用3个装的包装盒能正好装完，因为3是57的因数。 10．（21-22五年级下·浙江温州·期中）幼儿园老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果糖。她发给每一个小朋友2块巧克力，7块奶糖和8块水果糖，发完后清点一下，水果糖还剩15块，而巧克力恰好是奶糖的3倍，那么共有多少个小朋友？ 【答案】10个 【思路引导】利用方程求解。设共有x个小朋友。水果糖总数为8x＋15。因为巧克力、奶糖和水果糖同样多，剩下的巧克力恰好是奶糖的3倍。巧克力8x＋15－2x，奶糖8x＋15－7x。根据此等量关系列出方程8x＋15－2x＝3×（8x＋15－7x），求解。 【完整解答】解：设共有x个小朋友。 8x＋15－2x＝3×（8x＋15－7x） 8x＋15－2x＝24x＋45－21x 6x＋15＝3x＋45 6x＋15－3x＝45 3x＋15＝45 3x＝45－15 3x＝30 x＝30÷3 x＝10 答：共有10个小朋友。 【考点再现】本题主要考查盈亏问题在实际中的应用。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年人教版数学五年级 第二单元因数和倍数 第1节因数和倍数的认识和求法 【原卷版】 目录索引 探索新知。。。。。。…。。 【新知学习一：因数和倍数的认识】 ……2 【新知学习二：因数和倍数的求法】 重点难，点题型讲练。…。…。…。。。…。… °。。。。。。。。。4 题型一：因数和倍数的认识.... 题型二：找一个数的因数及因数的特征 .5 题型三：根据因数的特征解决问题.... 题型四：找一个数的倍数及倍数的特征...… 题型五：根据倍数的特征解决问题… 题型六：倍数和因数的综合应用..…… ….7 难度分层训练。。。。。。。。。… 。。。7 基础夯实练（共10题限时15分钟) 能力提升练（共10题限时20分钟) …9 目标导航 【学习目标】 1、掌握一个数的因数和倍数的求法，了解一个数的因数的个数是有限的，倍数的个数是无限的。 2、初步认识了自然数的基础上学习的，是本单元后面内容学习的铺垫。 3、通过探究因数和倍数的概念，培养学生抽象、概括和观察思考的能力。在探究因数和倍数概念的过程中， 渗透事物间的相互联系，互相依存的辩证唯物主义观点。 【重点难点】 重点：理解因数和倍数的意义。 难点：理解因数和倍数的互依关系。 口探索新知 第1页共10页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年人教版数学五年级 【新知学习一：因数和倍数的认识】 【新旧知识链】 在4X9=36中，36是（ 35=5=7,我们就说5是35的（)，35 和9是乘数，也叫( 是5的( )。 【例1】口算下面各题。 12÷6= 8÷3= 30÷6= 9÷5= 21÷21= 19÷7= 20÷10= 26÷8= 63÷9= 你能根据得数把上面的算式分类吗？ 商没有余数的 12÷6=2 30÷6=5 21÷21=1 20÷10=2 63÷9=7 商有余数的 8÷3=2…2 9÷5=1…4 19÷7=2…5 26÷8=3…2 你知道 吗？ 12÷6=2 30÷6=5 21÷21=1 20÷10=2 63÷9=7 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说：被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数（也称 约数)。 想一想 填一填 12÷6= )是( )的因数， )是( )的倍数。 21÷21 =1 ( )是( )的因数， )是( )的倍数。 说一 说 2和6是12的因数， 2×6=12中，谁是谁的因数，谁是谁的倍数？ 12是2和6的倍数。 因为：2X6=12 所以：12÷2=6 12÷6=2 注意：为了方便，在研究因数和倍数时，所说的数指的是自然数（不包括0）。 因数和倍数是相互依存的，它们都不能单独存在，必须说谁是谁的倍数，谁是谁的因数。 你能用字母表示因数和倍数吗？ 第2页共10页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年人教版数学五年级 如果A÷B=C(A、B、C是非0自然数)， 那么B和C是A的因数，A是B和C的倍数。 下面的2组数中，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？ 4和24 26和13 )是( )的因数， )是( )的因数， ( )是( )的倍数。 )是( )的倍数。 【新知总结】 被除数÷除数=商 被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数（也称约数）。 【方法总结】 在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数是O),那么除数和商是被除数的因数， 被除数是除数和商的倍数。因数和倍数是相互依存的关系，我们不能单独说某一个数是因数或倍 数。注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所指的数是自然数（一般不包括O)。 【新知学习二：因数和倍数的求法】 【例2】18有哪些因数？ 18的因数有：( 注意：18的因数重复了，可以不写出来。 18=18 2 ×9= 18 3×6=18 我用乘法找18的因数， 从1乘开始。 6×3=18 9×2=18 18×1=18 我也用除法算式，但是我这 18:1=18 样统计因数。 182=9 183=6 第3页共10页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年人教版数学五年级 18的因数有：( ) 说一说：怎样做才能不重复不遗漏地找出因数？ 无论是用乘法还是用除法，只要有序，就能把因数找全。 18的因数 18的因数还可 这个圈叫集合。 以这样表示： 1,2,3,6、9、18 【例3】2的倍数有哪些？你用怎样的方法求一个数的倍数。 提示：可以仿照求因数的方法来找倍数。 哪些整数除以2，商还是整数呢？ 2 ÷2=1 1×2= 2×2= 4 4 ÷2=2 2的倍数 3×2= 6 6 ÷2=3 2,4,6,8、 ÷2=4 4×2= 8 10… 10 ÷2=5 5×2= 4.0e0 2的倍数( 找倍数用乘法更方便。 【新知总结】 一个数的倍数的个数是无限的。 一个数最小的倍数是本身， 最大的倍数没有。 口重点难点题型讲练 题型一：因数和倍数的认识 【例1】(24-25五年级下·湖南·期末)关于因数、倍数，下列描述正确的是( )。 A.1没有因数。 B.如果a÷b=3,那么a和b都是3的倍数。 C.一个自然数越大，它的因数的个数就越多。D.因数和倍数是相互依存的。 第4页共10页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年人教版数学五年级 【变式1】(24-25五年级下·重庆黔江·期末)根据m×6=n(m、n均为非0自然数)，下面说法正确的 是( )。 A.n是m的倍数 B.n是6的因数 C.m是n的倍数 D.m是6的因数 【变式2】(24-25五年级下·江西九江·期末)下面关于倍数和因数的说法，正确的有( )个。 ①因为24÷4=6，所以4是24的因数。 ②9的倍数只有18,27,36,45,54,63,72,81。 ③一个数最小因数是1，最大因数是它本身。 ④一个数的最大倍数是它本身，没有最小倍数。 A.2 B.3 C.4 题型二：找一个数的因数及因数的特征 【例2】(24-25五年级下·湖北恩施·期末)唐崖土司城址是中国第48处世界文化遗产，位于湖北省恩 施州咸丰县唐崖镇的唐崖河畔，实验小学五年级部分学生利用周末去参观唐崖土司城址，己知参观学生人 数在40~50人之间。领队张老师把84瓶矿泉水平均分给参观学生，正好分完。那么参观的学生有( 人。 【变式1(24-25五年级下天津和平期末)一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数可能是( A.12 B.27 C.36 D.45 【变式2】(24-25五年级下·山东菏泽·期中)五年级有36名同学一起做游戏，老师让他们自己分成人 数相等的若干小组，要求组数大于2，小于10，可以分成几组？ 题型三：根据因数的特征解决问题 【例3】(24-25五年级下·四川广元·期末)一个自然数有6个因数，从小到大依次是a、b、c、d、e、f。 已知a+f=19,则c十d=( 〖变式1】(24-25五年级下·山东菏泽·期中)为了保护铁路线免受沙漠掩埋，经常会采用“草方格沙障” 固沙的方式，“草方格沙障”是一种防风固沙，涵养水分的治沙方法，用麦草、稻草、芦苇等材料在沙漠 中扎成方格形状，现计划在一条铁路沿线设置32个“草方格沙障”，要求每行的方格数相同，可以排几行？ 第5页共10页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年人教版数学五年级 有几种不同的排法？ 【变式2】(24-25五年级下·福建莆田·期中)月饼是一种传统美食，寓意团团圆圆。王阿姨制作了24 个月饼装在袋子里，每个袋子装的一样多，不少于5个，且不超过15个。有几种装法？每种装法各需要几 个袋子？ 题型四：找一个数的倍数及倍数的特征 【例4(24-25五年级下广东东莞期末)一个数既是48的因数，又是16的倍数，这个数可能是( )。 A.8 B.16 C.24 D.32 【变式1】(24-25五年级下·山东济南·期中)一个数最大的因数是16，这个数是( ),它的因数 有( )个，它最小的倍数是( )。 【变式2】(24-25五年级下·河南南阳·期中)一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身；一 个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。( )(判断对错) 题型五：根据倍数的特征解决问题 【例5】(2025五年级下·全国·专题练习)小兵在文具店买了3本笔记本、1支钢笔、2支自动铅笔和4 块橡皮。笔记本每本2元，钢笔每支5元，自动铅笔和橡皮的价格小兵记不清了售货员要小兵付18元，小 兵马上说售货员把账算错了，你知道为什么吗？ 【变式1】(23-24五年级下·河南南阳·期中)4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行” 研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也 正好6人一组？ 第6页共10页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年人教版数学五年级 【变式2】(23-24五年级下·甘肃武威·期中)金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在 100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 题型六：倍数和因数的综合应用 【例6】(23-24五年级下·广东肇庆·期末)有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把 64本书装完？写出你的理由。 6本/箱 8本/箱 5本/箱 【变式1】(23-24五年级下·全国·课后作业)小强今年的年龄是2和7的倍数中最小的一个，爸爸今年 的年龄既是小强年龄的倍数，也是42的因数。爸爸和小强今年各多少岁？ 【变式2(22-23五年级下河南新乡期中)有一个数，它既是25的因数又是25的倍数，这个数是( )。 A.5 B.25 C.15 D.50 口口难度分层训练 基础夯实练（共10题限时15分钟） 1.（24-25五年级下·全国·课后作业)下列说法正确的是()。 A.10÷2=5,10是倍数，2是因数 第7页共10页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年人教版数学五年级 B.42既是6的倍数，也是7的倍数 C.因为4÷0.5=8，所以4是0.5的倍数，0.5是4的因数 2.(24-25五年级下·全国·课后作业)下列各数中，( )不是12的因数。 A.12 B.6 C.5 3.(24-25五年级下·全国·课后作业)下面各组数中，有因数和倍数关系的是( A.8和18 B.51和17 C.3.2和4 4.(24-25五年级下·全国·课后作业)72÷9=8，( )和( )是( )的因数，()是 ( )和( )的倍数。 5.(24-25五年级下·全国·课后作业)下面哪些算式中有因数和倍数关系？在括号里画“√”。 14÷2=7( ) 17÷4=4…1( ) 1÷3=0.3( 42÷5=8.4( 13÷13=1( 2.4÷0.6=4( 6.(24-25五年级下·黑龙江哈尔滨期末)已知x=3y(x,y都是非0自然数)，那么x是y的倍数。( (判断对错) 7.(24-25五年级下湖北十堰期末)因为25÷2.5=10，所以25是2.5的倍数，2.5是25的因数。（ (判断对错) 8.(24-25五年级下·全国·课后作业)王先生和李先生是同一研究所的科研人员，他们总是相隔不同的 天数到图书馆查阅资料。王先生每3天去一次，李先生每5天去一次，8月8日他们都去了图书馆。下次两 人同一天去图书馆的日期是几月几日？ 安2024年8月v 日一二三四五六 123 45678910 11121314151617 18192021222324 25262728293031 9. (24-25五年级下·全国·课后作业)先用 (○”圈出30的因数，用“”圈出15的因数，再填空。 2 3 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 第8页共10页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年人教版数学五年级 30和15的公因数有( ),30和15的最大公因数是( )。 10.(24-25五年级下·全国·课后作业)如下图，7名学生在玩“逢7过”的游戏，按顺时针方向依次报 数，说到“7”的倍数时，要说“过”，而不能说出这个数字是几。 2 小宇 乐乐是 小恒 3 园 、 (1)( )先说“过”。 (2)像这样一直报下去，其他学生有可能说“过”吗？为什么？ 能力提升练（共10题限时20分钟） 1.（24-25五年级下·湖北十堰·期中)a÷b=2…1,下列说法正确的是( )。(a、b均大于 0的自然数) A.a一定是偶数B.b一定是奇数C.a一定是奇数 D.b是a的因数 2.(24-25五年级下·重庆梁平·期末)6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是：1+2+3=6。像 6这样的数，叫做完全数（也叫完美数)。8则不是完全数，因为8的因数有1、2、4、8,1十2+4≠8（≠： 不等于)。下面四个数中，( )是完全数。 A.9 B.20 C.28 D.36 3.(24-25五年级下·重庆万州·期末)军军家的客厅长3.6m,宽3.3m。要给客厅铺地砖，下面的地砖规 格中，可以不用切割，正好铺满的是( )。 A.40cm×40cm B.110cm×60cm C.80cm×80cm 4.(24-25五年级下·全国·课后作业)观察下面的算式并分类（填序号），然后总结规律。 ①36÷18=2 ②3÷8=0.375 ③15÷2=7.5 第9页共10页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年人教版数学五年级 ④49÷7=7 ⑤55÷11=5 ⑥7÷3=2…1 ⑦36÷4=9 ⑧24÷4=6 ⑨14÷3=4…2 第一类：（① ),第二类：（② ) 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的( )数，除数是被除数的 ( )数。 5.(24-25五年级下·河北衡水·期末)两个数的最大公因数是6，最小公倍数是72，其中一个数是24， 另一个数是( ）。 6.(24-25五年级下·天津和平·期中)有四个数，其中每三个数的和分别是45、46、49、52，那么这四 个数中最小的一个数是( ）。 7.(24-25五年级下·新疆巴音郭楞·期末)写出下面各数的所有因数。 13 27 8.(24-25五年级下·全国·课后作业)少年宫是12路和17路公共汽车的始发站，12路公共汽车每10 分钟发一次车，17路公共汽车每12分钟发一次车。这两路公共汽车在6：00同时发车后，下一次同时发车 是什么时候？ 9.(24-25五年级下·重庆渝中·期末)张阿姨做了57个蛋挞，准备送给亲朋好友品尝，用哪种包装盒能 正好装完？为什么？ 5个装 3个装 2个装 10.(21-22五年级下·浙江温州·期中)幼儿园老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果糖。她发给每一个 小朋友2块巧克力，7块奶糖和8块水果糖，发完后清点一下，水果糖还剩15块，而巧克力恰好是奶糖的 3倍，那么共有多少个小朋友？ 第10页共10页