第15讲 认识三角形及其线段（含三角形中的高线、中线、角平分线）（3知识点+8大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材北师大版

高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第15讲认识三角形及其线段（含三角形中的高线、中线、角平分线） 内容导航 预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 析教材学知识 ☑知识点1：三角形的概念及分类 1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形 2.三角形的分类 不等边三角形 锐角三角形 (1)按边分类可以分为 底边和腰不相等的等腰三角形； (2)按角分类可以分为 直角三角形 等腰三角形 等边三角形 钝角三角形 ☑知识点2：三角形基本元素角与边的有关定理 (1)三角形的内角和等于180°. (2)直角三角形两个锐角互余 (3)三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ☑知识点3：三角形的高线、中线、角平分线 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段： 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点.这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段： 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以 后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表 如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的 三角形中，连接一个顶点和 三角形一个内角的平分线与 文字语言 直线作垂线，顶点和垂足之间的线段. 它对边中点的线段， 它的对边相交，这个角的顶 1/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点与交点之间的线段. A 图形语言 B B D D 过点A作AD⊥BC于点D. 取BC边的中点D,连接AD. 作∠BAC的平分线AD,交 作图语言 BC于点D. 标示图形 B∠ B 1.AD是△ABC的高. 1.AD是△ABC的中线. 1.AD是△ABC的角平分线， 2.AD是△ABC中BC边上的高 2.AD是△ABC中BC边上 2.AD平分∠BAC,交BC于 3.AD⊥BC于点D. 的中线： 符号语言 点D. 4.∠ADC=90°，∠ADB=90°. 3.BD=DC= BC (或∠ADC=∠ADB=90°) 2 3.∠1=∠2= ∠BAC. 2 4.点D是BC边的中点. 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC 因为AD是△ABC的中线， 因为AD平分∠BAC,所以∠ 推理语言 (或∠ADB=∠ADC=90°) 所以BD=DC=1BC. ∠BAC. 2 1=∠2=1 用途举例 1.线段垂直.2.角度相等 1.线段相等.2.面积相等 角度相等。 1. 与边的垂线不同. 注意事项 与角的平分线不同. 2.不一定在三角形内 三角形的三条高（或它们的延长线）交于 一个三角形有三条中线，它 一个三角形有三条角平分 重要特征 点 们交于三角形内一点. 线，它们交于三角形内一点， 02 练题型强知识 【题型1三角形的识别与有关概念】 例1.(25-26八年级上·广西崇左·月考)在△ABE中，AB边所对的角是() D A.∠ADB B.∠AEB C.∠ACB D.∠AEC 例2.(24-25七年级下·全国·课后作业)如图，下列说法错误的是（) 2/13 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 D A.DF是BDF的边 B.∠FBC是△FBC的内角 C.以∠A为内角的三角形有3个 D.以BC为边的三角形有3个 变式1.(25-26九年级上云南昆明·期中)如图，在ABC中，D,E分别是BC,AC上的点，连接BE, AD交于点F, A E D ()以AB为边的三角形有几个？用符号表示； (2)以点F为顶点的三角形有几个？用符号表示. 变式2.(25-26八年级上河南商丘期中)如图，在ABC中，AE⊥BC,点E是垂足，点D是边BC上的 一点，连接AD. D E (I)写出△ABE的三个内角： (2)在△ABD中，∠B的对边是 ;在ABC中，∠B的对边是 (3)图中共有 个三角形，∠ADC是哪几个三角形的公共角？ 【题型2构成三角形的条件】 例3.(25-26八年级上·西藏昌都期末)下列几组数中，不能构成三角形三边长的是() A.5,12,13B.9,10,11 C.0.5,1.2,1.3D.2,3,5 例4.(25-26八年级上全国期末)下列长度的三条线段能组成三角形的是(). A.1,2,3 B.2,3,5 C.3,4,5 D.4,4,9 变式1.(25-26八年级上·全国期末)以下列各组线段为边，能组成三角形的是() A.2cm,3cm,5cm B.3cm,4cm,9cm C.4cm,5cm,6cm D.5cm.6cm,12cm 3/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式2.(25-26八年级上·安微阜阳·期中)下列长度的三条线段能够成三角形的是() A.1,2,3 B.4,5,8 C.4,5,9 D.5,6,11 【题型3利用三边关系去绝对值化简】 例5.(25-26八年级上辽宁营口月考)已知a,b,c是三角形的三边，化简a-b-c+c-b+a= 例6.(25-26八年级上河南漯河·月考)设ABC的三边为a,b,C化简： a-b-c+b-c-a+c-b-a=_ 变式1.(25-26八年级上·青海西宁.月考)若a、b、c是三角形的三边长，则化简a-b-c+c-a+b的结果 为 变式2.(25-26八年级上·四川德阳·期中)已知a,b,c是ABC的三条边长，化简 -3|a+b-c|+2|b-c-a|-a-b-c= 【题型4与三角形内角和问题】 例7.(25-26八年级上·全国·期中)若直角三角形的一个锐角是25°，则另一个锐角的度数是() A.35 B.45° C.55 D.659 例8.(24-25七年级下.四川成都期末)如图，AB∥CD，,DH⊥BC于点H,若∠B=116°，则∠D的度数 为() H VD A.26° B.30° C.32.5 D.36° 变式1.(2025·西藏日喀则一模)如图，AB∥CD,过点B作BE⊥DF于B,∠a=38°，则∠B的度数为 () E A.62° B.52° C.58 D.38 变式2.(2025·广东湛江·二模)如图所示，一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向 竖直向下，支持力F的方向与斜面垂直，摩擦力F的方向与斜面平行.若斜面的坡角=35°，则摩擦力F 与重力G方向的夹角B的度数为() 4/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B a G A.115° B.120° C.125° D.145° 【题型5三角形的高线】 例9.(25-26八年级上云南玉溪·期中)下面四个图形中，线段BD是ABC的高的图形是() D A. B ■ B B D C. D CD B 例10.（25-26八年级上河南安阳·期中)如图，在△ADC中，AD边上的高是() B D A.线段AB B.线段AD C.线段DE D.线段CF 变式1.(25-26八年级上山西朔州月考)下列各图中，作出AC边上的高，正确的是() B A. B B E 变式2.(2026九年级·全国.专题练习)如图，CD⊥AB,交AB延长线于点D,已知∠ABC是钝角，则() 5/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D A.线段CD是ABC的AC边上的高 B.线段CD是ABC的AB边上的高 C.线段AD是ABC的BC边上的高 D.线段AD是ABC的AC边上的高 【题型6根据三角形的中线求长度、面积】 例11.(25-26八年级上山东临沂期中)如图，CD是ABC的中线，△ACD的周长比△BCD的周长大3cm, AC=8cm,则BC= cm B D A 例12.(24-25八年级上·湖南湘西·期中)如图，在ABC中，E是中线AD的中点.若△AEC的面积是1， 则ABC的面积是 B D 变式1.(25-26八年级上·全国单元测试)在ABC中，AB=AC,AC边上的中线BD将ABC的周长分 为24cm和27cm的两部分，则ABC的底边长为 变式2.(25-26八年级上·安徽芜湖期中)如图，CD是AB上的中线，AF是CD上的中线.E是AF的中点， ABC的面积是40，则△DEF的面积是一· B 【题型7网格中作三角形中的高线、中线、角平分线】 6/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例13.(24-25七年级下·四川成都期末)如图，每个小正方形的边长为1个单位. (I)画出ABC的AB边上的高CD,垂足为D: (2)求ABC的面积. 例14.(25-26八年级上黑龙江佳木斯月考)如图，在方格纸中，每个小正方形边长为1，点A、B、C在 格点上. (I)画出ABC中BC边上的高AD; (2)画出ABC中AC边上的中线BE; (3)求ABC的面积. 变式1.(25-26七年级上·江苏无锡·月考)如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格 点 A (I)过C作AB的平行线CD,D为格点： (2)画出ABC的AB边上的高CE,垂足为E: (3)求出ABC的面积为_， 变式2.(25-26八年级上湖北武汉·期中)如图是由边长为1的小正方形组成的8×7网格，已知点A,B,C 均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题，画图过程用虚线表示，每 个任务不超过3条线， 7/13 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 (I)图中△ABC的面积为 (2)在图1中画出△ABC的高BD; (3)在图1中的BC边上画一点E,使LCAE=45°； (4在图2中，F为线段BC上一点，画线段CF的中点G. 【题型8三角形中高线、中线、角平分线综合求解】 例15.(25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中)如图，在ABC中，CE是AB边上的高， ∠A=46,∠B=76°，CE=4,S△ACn=6. B D E (I)若CD是∠ACB的平分线，求∠ADC的度数； (②)若CD是AB边上的中线，求AB的长 例16.(25-26八年级上全国课后作业)如图，AD为ABC的中线，BE为△ABD的角平分线. D (I)若LABE=16°，求∠ABD的度数， (2)若ABC的面积为60，BD=5,则点A到BC边的距离为多少？ 变式1.(24-25七年级下·全国课后作业)如图，AD是ABC的边BC上的中线，BE是△ABD的边AD上 的中线， E D (I)若∠BAD=25°，∠AEB=140°，求∠ABE的度数； 8/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)画出BDE的边BD上的高EF; (3)若ABC的面积为24cm,BD=4cm,求BDE的边BD上的高. 变式2.(24-25七年级下·河南南阳·期末)等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法. 图1 图2 图3 (I)如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8,AC=10,BD⊥AC,垂足为点D,则BD的 长是 (②)如图2，在ABC中，AB=3,BC=6,则ABC的高AD与CE的比是 (3)如图3，在ABC中，∠A=90°，∠ABC>45°，点D,E分别在边BC,AC上，且BE=EC, DM⊥BE,DN⊥AC,垂足分别为点M,N.若AB=8,DM=3,求DN的值： 03 串知识识框架 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联 结所组成的图形 知识点1：三角形的概念及分类 三角形的分类：按边分类和按角分类 ()三角形的内角和等于 (2)直角三角形两个锐角互余 认识三角形及其 知识点2：三角形基本元素角与 边的有关定理 (3)三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小 线段 于第三边. 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶 点与垂足之间的线段 知识点3：三角形的高线、中 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段 线、角平分线 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对 边相交于一点顶点与交点之间的线段 04过关测稳提升 一、单选题 1.(25-26八年级上·甘肃·期末)下列长度的三条线段能组成三角形的是() A.2,3,6 B.3,4,5 C.4,4,9 D.1,7,8 2.(24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·月考)用直角三角板，作ABC的高，下列作法正确的是() 9/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 3.(25-26八年级上重庆渝北期中)如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，若使其能够在支点上保 持平衡，则薄板与支点的接触点应该是() A.三角形匀质薄板三边垂直平分线的交点B.三角形匀质薄板三边中线的交点 C.三角形匀质薄板三条角平分线的交点D.三角形匀质薄板三边上高的交点 4.(25-26八年级上江苏盐城期中)如图，CD、CE、CF分别是ABC的高、角平分线、中线，则下列 结论中不正确的是() B D EF A.AB =2BF B.∠ACB=2∠ACE C.AE=BE D.CD⊥AB 5.(25-26八年级上·广东湛江期中)如图，在ABC中，BD是边AC上的中线，E是BD的中点，连接 AE,CE.若ABC的面积为18，则阴影部分的面积为() A.6 B.9 C.12 D.15 二、填空题 10/13 第15讲 认识三角形及其线段（含三角形中的高线、中线、角平分线） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：三角形的概念及分类 1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. 2.三角形的分类 (1)按边分类可以分为；　(2)按角分类可以分为 知识点2：三角形基本元素角与边的有关定理 (1)三角形的内角和等于. (2)直角三角形两个锐角互余. (3)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. 知识点3：三角形的高线、中线、角平分线 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段； 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直．2．角度相等． 1．线段相等．2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 【题型1 三角形的识别与有关概念】 例1．（25-26八年级上·广西崇左·月考）在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“三角形的基本概念”，了解三角形中的相关概念是解题关键． 根据图形和三角形的边所对角的概念进行判断即可． 【详解】解：根据三角形的边所对角的概念， 在中，边所对的角是， 故选：B． 例2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【答案】D 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 变式1．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，分别是，上的点，连接，交于点． (1)以为边的三角形有几个？用符号表示； (2)以点为顶点的三角形有几个？用符号表示． 【答案】(1)个， (2)个， 【分析】本题考查认识三角形，熟记三角形的定义是解决问题的关键． （1）根据三角形的定义，由图数出以为边的三角形即可； （2）根据三角形的定义，由图数出以点为顶点的三角形即可． 【详解】（1）解：以为边的三角形有个， 用符号表示：； （2）解：以点为顶点的三角形个， 用符号表示：． 变式2．（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【答案】(1)的三个内角是：，， (2)； (3)6，是，的公共角 【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系． （1）根据三角形内角的定义，直接从中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在、△ABC中确定的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含的三角形． 【详解】（1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6； 是，的公共角； 【题型2 构成三角形的条件】 例3．（25-26八年级上·西藏昌都·期末）下列几组数中，不能构成三角形三边长的是（   ） A．5，12，13 B．9，10，11 C．0.5，1.2，1.3 D．2，3，5 【答案】D 【分析】本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 根据三角形的三边关系，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、∵，∴5，12，13能构成三角形三边长，故此选项不符合题意； B、∵，∴9，10，11能构成三角形三边长，故此选项不符合题意； C、∵，∴0.5，1.2，1.3能构成三角形三边长，故此选项不符合题意； D、∵，∴2，3，5不能构成三角形三边长，故此选项符合题意； 故选：D． 例4．（25-26八年级上·全国·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ）． A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，4，9 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的条件，正确理解三角形三边关系是解题的关键． 根据三角形三边关系，任意两边之和必须大于第三边，逐一验证各选项即可． 【详解】解：对于选项A，，不能组成三角形，故不满足题意； 对于选项B，，不能组成三角形，故不满足题意； 对于选项C，，，，能组成三角形，故满足题意； 对于选项D，，不能组成三角形，故不满足题意 ． 故选：C． 变式1．（25-26八年级上·全国·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据两条较小线段之和是否大于较长线段进行判断，即可解题． 【详解】解： A．，等于第三边，不满足三角形三条边的关系； B．，不满足三角形三条边的关系； C．，满足三角形三条边的关系； D．，不满足三角形三条边的关系． 故选C． 变式2．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）下列长度的三条线段能够成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．4，5，8 C．4，5，9 D．5，6，11 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，即三角形任意两边之和必须大于第三边，两边之差小于第三边，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. ∵，∴三条线段不能组成三角形，不合题意； B. ∵，∴三条线段能组成三角形，符合题意； C. ∵，∴三条线段不能组成三角形，不合题意； D. ∵，∴三条线段不能组成三角形，不合题意； 故选：B 【题型3 利用三边关系去绝对值化简】 例5．（25-26八年级上·辽宁营口·月考）已知是三角形的三边，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边的不等关系：任两边的和大于第三边，任两边的差小于第三边，化简绝对值等知识．根据三角形三边关系，判断绝对值内的符号，进而化简绝对值，即可． 【详解】解：∵是三角形的三边， ∴，， ∴，， ∴，． ∴． 故答案为． 例6．（25-26八年级上·河南漯河·月考）设的三边为，，化简： ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负． 根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．先判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值． 【详解】解：由题意得：，，， ∴，，， ∴， 即； 故答案为：； 变式1．（25-26八年级上·青海西宁·月考）若是三角形的三边长，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值，由三角形三边关系定理得，由绝对值的性质即可化简． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 变式2．（25-26八年级上·四川德阳·期中）已知a，b，c是的三条边长，化简: ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，判断各绝对值内式子的正负，从而化简绝对值即可． 【详解】解：∵是 的三条边长， ∴，， ∴，，， ∴ ． 故答案为： 【题型4 与三角形内角和问题】 例7．（25-26八年级上·全国·期中）若直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的性质，即两个锐角互余，其和为． 根据在直角三角形中，两个锐角互余，其和为，即可解答． 【详解】解：∵直角三角形中两个锐角互余， ∴另一个锐角为． 故选D． 例8．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，，于点H，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识，结合图形分析是解题的关键． 根据平行线的性质得到，由直角三角形两锐角互余得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A ． 变式1．（2025·西藏日喀则·一模）如图，，过点B作于B，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互余得出的度数，进而利用两直线平行，同位角相等解答即可； 此题考查平行线的性质，直角三角形的两个锐角互余，关键是利用两直线平行，同位角相等解答． 【详解】解：于B，， ， ， ， 故选：B． 变式2．（2025·广东湛江·二模）如图所示，一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理得到，求出，再根据平行线的性质得到结论即可． 【详解】解：如图，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行， ， ， 摩擦力的方向与斜面平行， ， ． 故选：C． 【题型5 三角形的高线】 例9．（25-26八年级上·云南玉溪·期中）下面四个图形中，线段是的高的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形高的定义，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高，由此逐项分析即可得解，熟练掌握三角形的高的定义是解此题的关键． 【详解】解：根据三角形的高的定义可得，线段是的高的图形是 故选：D． 例10．（25-26八年级上·河南安阳·期中）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高，根据三角形高的定义即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：在中，边上的高是线段， 故选：． 变式1．（25-26八年级上·山西朔州·月考）下列各图中，作出边上的高，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形高线的定义，即从三角形的一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线． 对于，边上的高是过点向作垂线． 【详解】解：根据三角形高线的定义，在中，作边上的高，应该过点向作垂线， 只有C符合题意． 故选：C． 变式2．（2026九年级·全国·专题练习）如图，，交延长线于点，已知是钝角，则（   ） A．线段是的边上的高 B．线段是的边上的高 C．线段是的边上的高 D．线段是的边上的高 【答案】B 【分析】本题考查三角形高的概念，即从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形高的定义即可判断． 【详解】解：， 是从顶点向作的垂线， 线段是的边上的高． 故选：． 【题型6 根据三角形的中线求长度、面积】 例11．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，是的中线，的周长比的周长大，，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，解题的关键是掌握三角形的一个顶点与对边中点的连线是三角形的中线． 根据中线的定义得出，根据的周长比的周长大，得出，则，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， 则， ∵， ∴， 故答案为：5． 例12．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，是中线的中点．若的面积是1，则的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，由是中线的中点，的面积是1，得出，再由中线的意义即可得解． 【详解】解：∵是中线的中点，的面积是1， ∴， ∵为中线， ∴， 故答案为：． 变式1．（25-26八年级上·全国·单元测试）在中，，边上的中线将的周长分为和的两部分，则的底边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，掌握利用等腰三角形的性质，分情况讨论中线所分周长的两部分，结合三角形三边关系验证结果是解题的关键． 本题的解题思路是设出腰长和底边长，分两种情况列方程求解． 【详解】由题意得：，即． 分两种情况： ①若，则， ， 即； 与联立， 解得， 三边长，，满足三角形三边关系； ②若，则， ， 即， 与联立， 解得， 三边长，，满足三角形三边关系； 综上所述，的底边长为或． 故答案为：或． 变式2．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，是上的中线，是上的中线．是的中点，的面积是40，则的面积是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了根据三角形的中线求面积，熟练掌握三角形的中线将三角形的面积平分是解题的关键．根据三角形中线将三角形的面积平分，可逐步求得，，． 【详解】解：是上的中线，的面积是40， ， 是上的中线， ， 是的中点， ． 故答案为：5． 【题型7 网格中作三角形中的高线、中线、角平分线】 例13．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出的边上的高，垂足为D； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)的面积为． 【分析】本题考查画三角形的高，求格点三角形的面积，解题的关键是会用割补法求面积． （1）延长，过点作延长线的垂线即可； （2）用割补法，借助网格，即可求得三角形的面积． 【详解】（1）解：如图，延长，过点作延长线的垂线，垂足为，线段即为的边上的高． （2）解：∵每个小正方形的边长为1个单位， ∴ 答：的面积为． 例14．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·月考）如图，在方格纸中，每个小正方形边长为，点、、在格点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3). 【分析】本题主要考查了借助网格作图、求三角形的面积． 借助网格，过点作所在的直线的垂线交直线于点，点与垂足之间的线段即为中边上的高； 借助网格，线段经过的格点，即为线段的中点，连接即为边上的中线 过点作，借助网格可知，，根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：如下图所示， （2）解：如下图所示，线段经过的格点，即为线段的中点， 连接即为边上的中线； （3）解：如下图所示，过点作， 由网格可知，， ． 变式1．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点． (1)过作的平行线，为格点； (2)画出的边上的高，垂足为； (3)求出的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】本题主要考查了求三角形面积，画平行线，画三角形的高，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据平行线的定义以及网格图的特征作图即可； （2）根据三角形高的定义以及网格图的特征作图即可； （3）用所在的长方形面积减去周围3个三角形面积再减去一个小长方形面积即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，平行线即为所求； （2）解：如图，高即为所求； （3）解：． 故答案为：8 变式2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，已知点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题，画图过程用虚线表示，每个任务不超过3条线． (1)图中的面积为______； (2)在图1中画出的高； (3)在图1中的边上画一点E，使； (4)在图2中，F为线段上一点，画线段的中点G． 【答案】(1)12 (2)见详解 (3)见详解 (4)见详解 【分析】本题考查了网格中的作图，利用网格求三角形的面积，作三角形的高线，构造角，构造线段中点等知识，围绕网格的垂直特征，网格线的平行或中位线及等腰直角三角形展开是解题的关键  ． （1）直接根据三角形面积公式求解即可； （2）取格点，连接并延长交于，线段即为所求； （3）构造等腰即可； （4）作的中线交于点，连接，延长交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：， 故答案为：12； （2）如图所示，线段即为所求； （3）如图的示，点即为所求； （4）点即为所求． 【题型8 三角形中高线、中线、角平分线综合求解】 例15．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，是边上的高，． (1)若是的平分线，求的度数； (2)若是边上的中线，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、中线以高线，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据三角形内角和定理得，根据角平分线定义求出，再由三角形的内角和定理求得； （2）根据三角形面积公式求出，再由中线的性质求出． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵是边上的高，， ∴，即， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 例16．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，AD为的中线，BE为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为60，，则点A到BC边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）由角平分线的定义即可求解；（2）由是中线，可得的值，根据已知条件利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）解：为的角平分线，， ． （2）解：为的中线，， ． 设点到边的距离为，则， ， 故点到边的距离为12． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的边上的中线，是的边上的中线． (1)若，求的度数； (2)画出的边上的高； (3)若的面积为，求的边上的高． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)的边上的高为． 【分析】本题主要考查了三角形外角以及三角形中线的性质，作三角形的高； （1）利用三角形内角和定理即可求得； （2）过点作于，即为的边边上的高； （3）三角形的中线将三角形的面积等分成两份，从而求出的面积． 【详解】（1）解：在中，； （2）解：如图，即为所求． （3）解：因为是的中线， 所以． 又因为是的中线， 所以． 因为，即， 所以， 即的边上的高为． 变式2．（24-25七年级下·河南南阳·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是_______； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∵ ，， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级上·甘肃·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．2，3，6 B．3，4，5 C．4，4，9 D．1，7，8 【答案】B 【分析】本题考查了构成三角形的条件，根据三角形的构成条件，任意两边之和必须大于第三边，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A：∵，∴不能组成三角形； B：∵，，，∴能组成三角形； C：∵，∴不能组成三角形； D：∵，∴不能组成三角形； 故选：B． 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的高线．熟练掌握三角形的高线的定义，是解题的关键．根据三角形高线的定义，从三角形的一个顶点出发引对边的垂线，顶点与垂足所连线段即为三角形的高线，进行判断即可． 【详解】解：由三角形的高线的定义可知： A、作边上的高，过作直线的垂线，顶点与垂足所连线段即为三角形的高线，原作法错误，不符合题意； B、作边上的高，过作直线的垂线，顶点与垂足所连线段即为三角形的高线，原作法错误，不符合题意； C、作边上的高，过作直线的垂线，顶点与垂足所连线段即为三角形的高线，原作法错误，不符合题意； D、作边上的高，过作直线的垂线，顶点与垂足所连线段即为三角形的高线，原作法正确，符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，若使其能够在支点上保持平衡，则薄板与支点的接触点应该是（   ）    A．三角形匀质薄板三边垂直平分线的交点 B．三角形匀质薄板三边中线的交点 C．三角形匀质薄板三条角平分线的交点 D．三角形匀质薄板三边上高的交点 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质，掌握数学知识在实际生活中的应用是解题的关键． 支点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答． 【详解】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三边中线的交点． 故选：B． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线，中线和高，熟练掌握三角形的角平分线，中线和高的意义是解题的关键． 根据三角形的角平分线，中线和高的定义逐一判断即可解答． 【详解】是的中线， 是的高， ， 是的角平分线， ， 故、、都正确，不正确， 故选：． 5．（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，．若的面积为18，则阴影部分的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质及等底等高的三角形面积相等，关键是熟练应用三角形中线的性质． 由中线平分三角形的面积可计算出答案． 【详解】解：由中线性质可得：， ， ， ． 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·甘肃·期末）若三角形三边长分别为5，12，，且为整数，则的最大可能值是 ． 【答案】16 【分析】本题考查三角形三边的关系，即任意两边之和大于第三边． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，列出不等式求解的取值范围，再取整数最大值即可． 【详解】解：由三角形三边关系，得：，即； ，即； ，即（恒成立）， ，为整数， 故的最大值为． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）在中，其两边长，，则第三边的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据三角形的三边关系解题即可． 【详解】解：由三角形的三边关系可得： ， ∴． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，，交的延长线于点F，交的延长线于点E，则中边上的高是 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形高的概念．根据三角形高的概念求解即可． 【详解】解：∵交的延长线于点F， ∴中边上的高是． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，是等腰三角形，，，边上的高＝ ．若点是底边边上的任意一点，于点，于点．则 ． 【答案】 4 4 【分析】本题考查了三角形的面积公式，三角形的高，能够熟练掌握割补法求面积是解答本题的关键．先根据三角形面积求出边上的高，再根据图形可知三角形的面积等于三角形的面积加上三角形的面积，根据面积公式变形计算即可． 【详解】解：∵，， ∴边上的高 连接，如图所示： 由图可得：， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：cm， 故答案为：4；4 10．（25-26八年级上·陕西商洛·月考）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质，一边长为可能是腰或底边，但需满足三角形三边关系．通过计算，为腰时不能构成三角形，故只能为底边，从而求出腰长，再计算优美比． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，底边长为，周长为． 若一边长为， 分两种情况讨论： 当为腰长时，则，．但，不满足三角形三边关系，故舍去． 当为底边长时，则，，．此时，，满足三角形三边关系，则优美比． 故答案为：． 三、解答题 11．（2026七年级下·全国·专题练习）找规律，填空： (1)请按照下列要求数出三角形的个数． ①边上有1个点〔图（1）〕，三角形的个数为________． ②边上有2个点〔图（2）〕，三角形的个数为________． ③边上有3个点〔图（3）〕，三角形的个数为________． (2)当边上有m个点（不含两点）时，图形中三角形的个数为________． 【答案】(1)3，6，10 (2) 【分析】此题考查了规律型：图形的变化类． （1）由已知条件可得出点、之间有1个点时，即线段共有3个点时，边上线段的总数为：，共有3个三角形；点、之间有2个点时，共有6个三角形；点、之间有3个点时，共有10个三角形； （2）通过观察得知，点、之间有个点时，边上线段的总数为：，推出结论； 【详解】（1）解：通过观察得知： 点、之间有1个点时，即线段共有3个点时，边上线段的总数为：，共有3个三角形； 点、之间有2个点时，即线段共有4个点时，边上线段的总数为：，共有6个三角形； 点、之间有3个点时，即线段共有5个点时，边上线段的总数为：，共有10个三角形； 故答案为：3，6，10 （2）解：由（1）可看出，点、之间有个点时，即线段共有个点时，边上线段的总数为：，共有个三角形； 故答案为：． 12．（24-25八年级上·广东广州·开学考试）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C均在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成画图． (1)请作出中边上的中线； (2)请作出中边上的高，垂足是E： (3)的面积为_____________（直接写出答案）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)3 【分析】本题考查了网格作图：作中线、作高，运用网格求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）借助网格特征，取的中点，即D，连接，即可作答． （2）借助网格特征，延长，再过点C作的垂线，即可作答． （3）运用三角形的面积，即为底乘高再乘，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：边上的中线，如图所示： （2）解：边上的高，垂足是E，如图所示： （3）解： ∴的面积为3． 13．（25-26八年级上·全国·期末）已知的三边长为，，，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形三边关系、绝对值的化简及整数的应用，熟练掌握三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）是解题的关键． （1）根据三角形三边关系确定的取值范围，结合是奇数求出的值，再计算周长． （2）根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号后化简． 【详解】（1）解：∵三角形三边关系为， ，， ∴，即． ∵是奇数， ∴． ∴的周长． （2）解：∵三角形三边关系为，， ∴，，． ∴ ． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，． (1)图中边BC上的高为____________，边AC上的高为____________． (2)画出边AB上的高CD． (3)若，，，求边AB上的高CD的长． 【答案】(1)AC，BC (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查直角三角形中高线，利用面积公式求解高的方法，解题的关键是理解三角形的高的定义． （1）根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，判断即可； （2）根据三角形高的定义即可完成作图； （3）根据即可求出的值． 【详解】（1）解：图中边上的高为，边上的高为． 故答案为：，． （2）解：如图所示． （3）解：∵， ∴． 15．（25-26七年级上·山东威海·期中）现有a、b、c三个有理数，且，． (1)求a、b、c的值； (2)若a、b、c分别是三条边的长度， ①判断形状，并说明理由； ②求出此时的周长． 【答案】(1)或 (2)①等腰三角形，理由见解析；②7 【分析】本题考查了乘方，绝对值，等腰三角形的判定，正确求得a、b、c的值是解题的关键． （1）利用偶次方的非负性，绝对值方程，可得a、b、c的值； （2）① 分情况讨论可得时，无法组成，可得，此时为等腰三角形； ②根据①求出的周长即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 或； （2）解：①等腰三角形，理由如下： 当时， ，即 此时无法组成三角形， a、b、c是三条边的长度时，， ， 是等腰三角形； ②此时的周长为． 16．（25-26八年级上·山西朔州·月考）数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： (1)如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； (2)如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） (3)如图②，若，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据直角三角形三条高的交点为直角顶点的性质进行解答即可； （2）根据三角形三条高所在直线交于一点的性质，作出第三条高即可； （3）根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点； （2）解：延长、交于点，连接，延长交于点，则线段为的第三条高， （3）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 17．（23-24八年级上·天津南开·期中）在中，，是斜边上的高． (1)如图1，若是中线，，填空： ①则与的周长差为______； ②则高的长为_______； (2)如图2，若是角平分线，，求的度数． 【答案】(1)①2；② (2) 【分析】本题考查了三角形中线的性质、角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解此题的关键． （1）①根据是中线可得，分别表示出出与的周长，作差即可得到答案； ②根据代入数据进行计算即可； （2）由角平分线的定义可得，再由直角三角形的两锐角互余得出，最后根据进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①在中，，是中线， ， 的周长，的周长， 与的周长差， 故答案为：2； ②， ， ， 故答案为：； （2）解：，平分， ， 是斜边上的高， ， ， ， ． 18．（23-24八年级上·广西南宁·期中）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为等面积法．    (1)如图1，是边上的高，是边上的高，我们知道，则______． (2)如图1，若，，，，是斜边上的高线，用等面积法求的长． (3)如图2，在等腰三角形中，，，过A作于点H，且，P为底边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为M，N，连接，利用，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、折叠的性质等知识点，正确理解“等面积法”并正确的识别图形是解题的关键． （1）直接运用三角形面积公式即可解答； （2）直接运用（1）的结论进行解答即可； （3）根据三角形的面积公式计算即可解答． 【详解】（1）解：． 故答案为． （2）解：由（1）可得：， 则，解得：． （3）解： ∵， ∴， ， ∴． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $