17.4三角形全等的判定（2）（同步练习作业设计、题型归纳、分类训练、综合提升） 2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册

该初中数学作业设计方案聚焦“三角形全等的判定”，依据SAS、ASA、AAS核心知识，按“知识导航+分类训练+拓展提升”结构设计。分类训练分5大题型覆盖不同层次，拓展提升设综合题，满足差异需求，体现分层教学。 通过多样化题型提升学习效果，如“风筝图案”“木墙三角板”等情境题培养几何直观，证明题强化推理意识，添加条件题型发展创新意识。题目选自各地期末考，注重知识应用，助力学生形成有条理的思维品质，提升空间观念与实践能力。

沪教版（新教材）七年级数学下册（同步练习、题型归纳、分类训练、综合提升） 17.4三角形全等的判定（2） 知识导航: 1. SAS公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(简记为“边角边”或“SAS”)； 2. ASA公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(简记为“角边角”或“ASA”)； 3. AAS定理： 两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简记为“角角边”或“AAS”). 分类训练 题型1用SAS直接证明三角形全等 1．（24-25七年级下·上海·期末）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示的“风筝“图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键． 根据已知条件，分析和，易得． 【详解】解：在和中， ， ． 故选D． 2.（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图—作三角形，根据作图方法可得，，，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得，，， ∴， 故答案为：． 3.（24-25七年级下·上海普陀·月考）如图，已知，，，证明．    【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由得到，然后由平行线的性质得到，即可由证明全等． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 4．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，，，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先由垂线的定义得到，则可证明，再利用即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 5．（24-25七年级下·广东茂名·单元测试）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定， 平行线的性质，由线段的和差关系可得出，由平行线的性质可得出，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∵ ∴ 在和中， ∴． 题型2用SAS间接证明三角形全等（性质和判定综合） 6.（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝ ． 【答案】58°/58度 【分析】先证明△BAD≌△CAE，在利用三角形外角性质计算即可． 【详解】∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠1＝∠EAC， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠2＝∠ABD＝30°， ∵∠1＝28°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝28°+30°＝58°， 故答案为：58°． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握三角形全等判定和性质是解题的关键． 7.（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，已知A、B、C、D在同一直线上，，，且， 求证：EB=CF．    【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由平行线的性质可得出，然后用证明三角形全等即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴EB=CF． 8.（24-25七年级下·上海·课后作业）定义：三条边都相等，三个角都相等的三角形叫作等边三角形。已知为等边三角形． 为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：BD=CE； 【分析】由等边三角形的性质可得，再利用证明即可； 【详解】证明：∵为等边三角形， ∴，，， ∴ ∴， ∴； ∴BD=CE； 9．（2025七年级下·上海·专题练习）已知：如图，A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，求证： (1)BC＝EF； (2)BC∥EF． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． （2）根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可． 【详解】（1）证明：（1）， ， ， ， 在与 中 ， ， ． （2）（2）， ， ． 【点睛】考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，证明三角形全等是解决问题的关键． 10．（24-25七年级下·上海·期末）如图，中，D是延长线上一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据边角边证明，则； （2）由，，得，则． 【详解】（1）解：∵D是延长线上一点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴的度数是． 题型3用ASA直接、间接证明三角形全等 11．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，若要用ASA公理来证明，则需要添加的条件是 ． 【答案】∠ADB=∠ADC 12.（24-25七年级下·上海·期末）如图，，点在边上，和相交于点，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：∵ ∴__________=__________ ∴__________ 在和中 ∵ 所以（________）． 【答案】；；；；；；；；； 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证，再证即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中 ∵ 所以． 13.（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，在四边形中，，点为对角线上一点，，且．    (1)求证：； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行线性质可得，再由可证； （2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可求出，再由两直线平行内错角相等即可求解． 【详解】（1）证明， ， 在和中， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 14.（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，已知：、相交于点，，，、是上的两点，且．求证：．    证明：， ，∠OAC=∠_____（___________）． 在和中， （___________）． （___________）． ， ． ． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的判定是解题的关键．先根据平行线的性质得到，再证明即可证明，进而求解即可． 【详解】证明：， ,∠OAC=∠OBD（两直线平行，内错角相等）． 在和中， ． （全等三角形的对应边相等）． ， ． ． 15.（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知是中边上的中线，、是直线上的点，且说明和全等的理由． 【答案】证明见解析． 【分析】根据三角形中线的定义可得，根据平行线的性质得出，，根据即可证明≌． 【详解】证明：是中边上的中线， ， ， ， 又∵∠FMC=∠EMB 在与中， ， ≌． 题型4用AAS直接、间接证明三角形全等 16.（24-25七年级下·上海松江·月考）如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由． 【答案】理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：中线得到，平行得到，利用，即可得证． 【详解】解：与全等的理由如下： ∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 17.（24-25七年级下·上海松江·月考）如图，在中，点D是边上一点，点E是边的中点，过C作，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用证明三角形全等及利用全等三角形的性质求解线段的长度”是解本题的关键. （1）先证明 再证明从而可得结论； （2）利用全等三角形的性质证明从而可得答案. 【详解】（1）证明：点E是边的中点， ∵ ； （2），， ， 18.（24-25七年级下·上海松江·月考）如图，在四边形中，，，，垂足为点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【分析】（1）根据，可得，，再由，即可求证； （2）根据，可得，，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴，， ∵， ∴∠AED=∠ABC=90° ∵， ∴（AAS）； （2）解：∵， ∴，， ∴∠ADC=∠ACD， ∴， ∵， ∴∠ADE+∠DAC=90°， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 19.（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，明明同学用10块形状相同的长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，每个小木块的高度都是，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，其中，，点在上，点和点分别与木墙的顶端重合． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)两堵木墙之间的距离是 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质． （1）利用直角三角形两锐角互余先证明，再利用证明即可． （2）利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在和中 ∴ （2）解：∵ ∴， ∴ 答：两堵木墙之间的距离是． 20.（2024七年级下·上海·专题练习）如图，在和中，，点E是的中点，于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、余角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定定理可得结论； （2）根据全等三角形的性质得得，，结合线段中点定义可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 在和中， , ∴； （2）解：由（1）得：， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型5添加一个条件得三角形全等 21.（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，，请你添加一个适当的条件，使得： （只需填写一个）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟悉全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），根据已有条件结合定理添加合适条件． 已知，可得，且为公共边，根据全等三角形判定定理，添加一组对应边相等或一组对应角相等的条件即可． 【详解】，而， ． 同时，是和的公共边，即， ①添加（SAS判定）： 在和中， ， ； ②添加（AAS判定）： 在和中， ， ； ③添加（ASA判定）： 在和中， ． 可添加的条件为（或或等，答案不唯一），这里以为例． 故答案为：（答案不唯一）． 22．（24-25七年级下·上海静安·期末）在和中，已知，，请补充一组相等的边，使两个三角形全等，可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，添加可利用证明． 【详解】解：添加，证明如下： ∵，，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 23．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、、在同一直线上，，，如果要运用“”来证明，可以添加的条件是 ．（只需写出一种情况） 【答案】（或等） 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理；要运用“”来证明三角全等，根据条件，添加的条件需要使得三条边对应相等即可． 【详解】解：，， 要运用“”来证明， 可以添加的条件需要使得即可， 故添加的条件是：， 故答案为：． 24．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，已知，，添加一个条件，使得，这个条件可以是 （填写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL、注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 要使得．由条件可得到，，再加条件，可以用证明其全等． 【详解】解：添加条件； 即：， ， ， ， ， 在和中， 故答案为：（答案不唯一）． 25．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，已知，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（或或） 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴即 又∵ 当时， 当时， 当时， 拓展提升 1．（24-25七年级下·福建·期末）如图，已知，添加下列条件之一：①；②；③；④．其中能使成立的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，结合已知条件及补充条件，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：， ，即， 又， 添加①时，根据能证； 添加②时，不能证明； 添加③时，根据能证； 添加④时，根据能证； 综上可知，能使成立的有3个， 故选C． 2．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，和是两条高线，相交于点F，若，，，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．利用证明，根据全等三角形的性质得到，，即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：3． 3．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，已知，如果要利用“”证明成立，那么还需增加一个条件 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴要利用“”证明成立，还需增加一个条件． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·上海松江·月考）如图，已知：点、分别在线段、上，，请加入一个条件 ．使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据题意可得添加条件，可利用证明． 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵，，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 5．（24-25七年级下·甘肃白银·期末）如图，，，和全等吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据已知条件和公共角证明即可． 【详解】解：，理由为： 在和中， ， ∴． 6．（22-23七年级下·全国·期末）如图，在中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）根据证明与全等即可； （2）证明，再由可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵ ∴, 又 ∴ ∴． 7．（24-25七年级下·上海·月考）已知 中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据垂直的定义和余角的性质得到，再根据证明． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 8.（23-24七年级下·上海普陀·课后作业）定义：三条边都相等，三个角都相等的三角形叫作等边三角形。如图，在等边三角形中的边上任取一点D，以为边向外作等边三角形，连接、． 试说明和相等理由． 【分析】根据全等三角形的性质可得，又由，，即可得． 【详解】∵和都是等边三角形 ，，， ． ， 又（三角形外角性质）， ， ， ∵和都是等边三角形， ， ． 9.（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，于点，于点，于相交于点，且，请说明的理由． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角度之间的关系找到全等三角形的对应角，再结合已知边相等的条件证明三角形全等，进而得出边的等量关系． 先根据垂直条件得出多个直角，利用同角的余角相等推出两组角相等；结合已知证明和全等；由全等三角形的性质得到和最后通过线段的和差关系说明． 【详解】∵ ∴，． ∵（对顶角相等）， ∴（同角的余角相等）． 在和中， ∴． ． ∵且 ∴． 10．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知为的两条高，点在上，已知． (1)求证：． (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． （1）根据“”证明即可； （2）根据，求出．根据三角形全等的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）证明：为的高， ． ， ， 在和中 ． （2）解：， ． 由（1），知 ， ． ． 11．（24-25七年级下·上海·月考）是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且． (1)如图（1），若直线经过的内部，且、在射线上，当时，线段与有怎样的大小关系？并说明理由． (2)如图（2），若直线经过的外部，当时，则、、三条线段之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，余角或补角的性质等知识，解题的关键是∶ （1）根据余角的性质可得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据三角形的内角和定理，平角定义以及等式的性质可得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质以及线段的和差关系即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由： ， ，， 同角的余角相等 ，， ， ； （2）解∶，理由： ， ，， ， ，， ， ，， ． 12.（24-25七年级下·上海·月考）如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积。 【分析】由，，，可以得到，而，由此可以证明，所以，；同理证得，，，故，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积． 【详解】∵且，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， 同理证得，，， 故， 故． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪教版（新教材）七年级数学下册（同步练习、题型归纳、分类训练、综合提升） 17.4三角形全等的判定（2） 知识导航: 1.SAS公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(简记为“边角边”或“SAS”)； 2.ASA公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(简记为“角边角”或“ASA”)； 3.AAS定理： 两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简记为“角角边”或“AAS”). 分类训练 题型1用SAS直接证明三角形全等 1．（24-25七年级下·上海·期末）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示的“风筝“图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 3.（24-25七年级下·上海普陀·月考）如图，已知，，，证明．    4．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，，，，求证： 5．（24-25七年级下·广东茂名·单元测试）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．试说明：． 题型2用SAS间接证明三角形全等（性质和判定综合） 6.（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝ ． 7. （24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，已知A、B、C、D在同一直线上，，，且， 求证：EB=CF．    8. （24-25七年级下·上海·课后作业）定义：三条边都相等，三个角都相等的三角形叫作等边三角形。已知为等边三角形． 为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：BD=CE； 9．（2025七年级下·上海·专题练习）已知：如图，A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，求证： (1)BC＝EF； (2)BC∥EF． 10．（24-25七年级下·上海·期末）如图，中，D是延长线上一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 题型3用ASA直接、间接证明三角形全等 11．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，若要用ASA公理来证明，则需要添加的条件是 ． 12.（24-25七年级下·上海·期末）如图，，点在边上，和相交于点，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：∵ ∴__________=__________ ∴__________ 在和中 ∵ 所以（________）． 13.（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，在四边形中，，点为对角线上一点，，且．    (1)求证：； (2)如果，求的度数． 14.（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，已知：、相交于点，，，、是上的两点，且．求证：．    证明：， ，∠OAC=∠_____（___________）． 在和中， （___________）． （___________）． ， ． ． 15.（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知是中边上的中线，、是直线上的点，且说明和全等的理由． 题型4用AAS直接、间接证明三角形全等 16.（24-25七年级下·上海松江·月考）如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由． 17.（24-25七年级下·上海松江·月考）如图，在中，点D是边上一点，点E是边的中点，过C作，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 18.（24-25七年级下·上海松江·月考）如图，在四边形中，，，，垂足为点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 19.（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，明明同学用10块形状相同的长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，每个小木块的高度都是，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，其中，，点在上，点和点分别与木墙的顶端重合． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离． 20.（2024七年级下·上海·专题练习）如图，在和中，，点E是的中点，于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型5添加一个条件得三角形全等 21.（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，，请你添加一个适当的条件，使得： （只需填写一个）． 22．（24-25七年级下·上海静安·期末）在和中，已知，，请补充一组相等的边，使两个三角形全等，可以是 ． 23．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、、在同一直线上，，，如果要运用“”来证明，可以添加的条件是 ．（只需写出一种情况） 24．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，已知，，添加一个条件，使得，这个条件可以是 （填写一个即可）． 25．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，已知，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（写出一个即可） 拓展提升 1．（24-25七年级下·福建·期末）如图，已知，添加下列条件之一：①；②；③；④．其中能使成立的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，和是两条高线，相交于点F，若，，，则 ． 3．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，已知，如果要利用“”证明成立，那么还需增加一个条件 ． 4．（24-25七年级下·上海松江·月考）如图，已知：点、分别在线段、上，，请加入一个条件 ．使得． 5．（24-25七年级下·甘肃白银·期末）如图，，，和全等吗？为什么？ 6．（22-23七年级下·全国·期末）如图，在中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 7．（24-25七年级下·上海·月考）已知 中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：．    8.（23-24七年级下·上海普陀·课后作业）定义：三条边都相等，三个角都相等的三角形叫作等边三角形。如图，在等边三角形中的边上任取一点D，以为边向外作等边三角形，连接、． 试说明和相等理由． 9.（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，于点，于点，于相交于点，且，请说明的理由． 10．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知为的两条高，点在上，已知． (1)求证：． (2)若，求的长度． 11．（24-25七年级下·上海·月考）是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且． (1)如图（1），若直线经过的内部，且、在射线上，当时，线段与有怎样的大小关系？并说明理由． (2)如图（2），若直线经过的外部，当时，则、、三条线段之间有怎样的数量关系？并说明理由． 12.（24-25七年级下·上海·月考）如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $