10.1～10.2二元一次方程组的概念、消元—解二元一次方程组寒假预习讲义-2025-2026学年人教版七年级下学期数学（知识点归纳+题型解

10.1～10.2二元一次方程组的概念、消元—解二元一次方程组寒假预习讲义（人教版） 💧 课前预习★目标 ●掌握二元一次方程（组）的定义，能够准确判断二元一次方程组并根据其定义求值； ●掌握二元一次方程组的解的定义，能判断方程组的解以及根据方程组的解求值； ●理解消元思想以及利用代入消元解二元一次方程组，能够根据方程组的特点选择合适的方法解二元一次方程组； ●能够熟练运用加减消元解二元一次方程组，根据方程组的特点选择合适的方法解二元一次方程组； ●会检验一组数是不是方程组的解。 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1二元一次方程（组）的概念】 1.二元一次方程的概念： 含有2个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，像这样的方程叫做二元一次方程． 2.二元一次方程组的概念： 把多个方程放在一起叫做方程组．若一个整式方程组中一共只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的方程组叫做二元一次方程组． 【知识点2二元一次方程(组)的解】 1. 一般地，使二元一次方程等号左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．一个二元一次方程可以有无数组解． 2.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解． 【知识点3代入消元法解二元一次方程组】 1.消元思想： 将多元方程中的未知数逐个消除转换为一元一次方程，先求出一个未知，再求其他未知数，这样由多化少的转换思想叫做消元思想． 2.代入消元法： 将二元一次方程组中其中一个方程的未知数用另一个未知数表示出来，在代入另一个方程中实现消元，进而求得这个二元一次方程的解的方法．简称代入法． 3.代入消元法的具体步骤： （1）变形：即把其中一个方程中一个未知数用另一个未知数表示出来． （2）代入：将变形得到的式子代入另一个方程．得到消元后的一元一次方程． （3）求解：解消元后的一元一次方程． （4）回代：把求得的一元一次方程的解代回变形后的式子求出另一个未知数的值． （5）写解：把两个未知数的解用“｛” 联立起来．一定要写成的形式． 注意：代入消元法多使用于方程组中未知数系数为±1时的方程，有直接代入、变形代入与整体代入． 【知识点4加减消元法解二元一次方程组】    1.加减消元法： 在二元一次方程组的两个方程中，若同一个未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程分别相减或相加就能消除这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法． 2.加减消元法的具体步骤： （1）变形：把方程组中系数的最小公倍数较小的未知数的系数化成相等或互为相反数． （2）加减：当方程组中同一个未知数的系数化相等时，则把两个方程相减，当方程组中同一个未知数的系数化为相反数时，则把两个方程相加．消元得到一元一次方程． （3）求解：解一元一次方程得到其中一个未知数的值． （4）回代：将求出的未知数的值带入其中任意一个方程求另一个未知数的值． （5）写解：把两个未知数的解用“｛”联立起来．一定要写成的形式． ✏ 核心考点★精讲精练 题型1二元一次方程的定义 例1．若是关于x，y的二元一次方程，则满足（   ） A． B． C． D． 变式1．方程是二元一次方程，则的取值范围是 ； 变式2．某科创公司制造的产品采用内销和出口两种方式，今年第一季度的内销收入比去年第一季度增加，出口收入比去年第一季度增加． (1)设去年第一季度内销收入为万元，出口收入为万元，用含，的代数式表示今年第一季度的总收入为______万元； (2)若今年第一季度的总收入比去年增加，求的值． 题型2二元一次方程的解 例2．已知是关于、的方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式1．若是方程的解，则 ． 变式2．已知是关于，的二元一次方程的一个解，的算术平方根为，求的平方根． 题型3判断是否是二元一次方程组 例3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 变式1．已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中， 是二元一次方程组．（填序号） 变式2．已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 题型4判断是否是二元一次方程组的解 例4．在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 变式1．写出一个解为的二元一次方程组 ． 变式2．有这样一道题：判断是不是二元一次方程组的解．小恒的解答过程：将代入方程中，等式成立，所以是该方程组的解．小恒的解答过程是否正确？若不正确，请说明理由． 题型5已知二元一次方程组的解求参数 例5．已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ） A． B． C． D． 变式1．已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则 ． 变式2．写出一个二元一次方程组，使它的解为 题型6代入消元法 例6．已知方程，用含的式子表示为（   ） A． B． C． D． 变式1．已知方程，用含有的式子表示，则 ． 变式2．解方程组：． 题型7加减消元法 例7．小红同学在解关于和的二元一次方程组时，利用①②就将未知数消去了，则和应该满足的条件是（    ） A． B． C． D． 变式1．若，满足方程组，则的值为 ． 变式2．解方程组： 题型8二元一次方程组的特殊解法 例8．若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于m、n的二元一次方程组的解是（） A． B． C． D． 变式1．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为 变式2．解方程组：． 题型9二元一次方程组的错解复原问题 例9．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得则a，b，c正确的值应为（   ） A． B． C． D． 变式1．甲、乙两人解关于的方程组时，甲看错的值解得乙看错b的值解得则该方程组正确的解为 ． 变式2．在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到解为，而小亮却把方程②抄错了，得到解为，求a，b的值． 题型10构造二元一次方程组求解 例10．如果是二元一次方程，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 变式1．对于、定义一种新运算“※”：，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：，，求的值 ． 变式2．对于有理数定义新运算：，其中为常数．已知，求的值． 题型11已知二元一次方程组的解的情况求参数 例11．已知关于x，y的方程组的解满足与互为相反数，则的值为（   ） A． B．0 C．3 D．6 变式1．已知关于的方程组，其中，则的取值范围是 ． 变式2．已知关于x，y的方程组的解满足，求k． 题型12方程组相同解问题 例12．关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 变式1．若关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是 ． 变式2．方程组与方程组的解相同，求的值． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．下列各组数中，是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 4．已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 5．已知方程组的解为，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 6．用代入法解方程组有以下过程： （1）由①，得．③ （2）将③代入②，得． （3）去括号，得． （4）解得．将代入③，得．所以这个方程组的解是 以上解题过程中，开始出错的一步是（   ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 7．二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 8．若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 9．李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：，则原方程组中的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 10．规定新运算：，其中是不等于0的常数，且．已知，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 二、填空题 11．若是二元一次方程，则 ， ． 12．若是关于的二元一次方程组，则 ． 13．方程组的解为则被遮盖的■表示的数为 ． 14．已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ． 15．已知，则 ， ． 16．已知是关于y的一元一次方程，则的值为 ． 17．若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 18．已知关于的方程组和有相同的解，那么值是 ． 19．若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是 ． 20．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的值 ． 三、解答题 21．解方程（组）： (1)； (2)． 22．解方程组 (1) (2)． 23．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 24．已知苹果的单价为4元/，香蕉的单价为6元/，现购买苹果和香蕉，共需元． (1)列出关于、的二元一次方程． (2)若，则的值是多少？ (3)若购买苹果，则购买香蕉多少千克？ 25．已知关于x，y的方程组的解满足，求a的值． 26．已知关于的方程组和的解相同，求的值． 27．定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母） A．　B．　C．　D． (2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根． 28．八年级教材上册强调，解决问题之后的反思有多种形式，可以是：比较解决问题的方法．形成多样化的解决问题的方法． 数学活动课上，小罗和小湖、小美在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值． 小罗：将①③联立可得一个新的不含的二元一次方程组，先求、然后再求的值 小湖：哈哈！直接①②可以更简便地直接求出的值 小美：将①②③联立成一个三元一次方程组去求解 请结合他们的对话，解答下列问题： (1)按照小罗的方法，的值为______，的值为______． (2)请按照小湖的思路求出的值． (3)老师说小罗、小美的方法运用了转化的思想，小湖的方法则体现了______思想．（填序号即可①整体②数形结合③分类讨论） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1～10.2二元一次方程组的概念、消元—解二元一次方程组寒假预习讲义（人教版） 💧 课前预习★目标 ●掌握二元一次方程（组）的定义，能够准确判断二元一次方程组并根据其定义求值； ●掌握二元一次方程组的解的定义，能判断方程组的解以及根据方程组的解求值； ●理解消元思想以及利用代入消元解二元一次方程组，能够根据方程组的特点选择合适的方法解二元一次方程组； ●能够熟练运用加减消元解二元一次方程组，根据方程组的特点选择合适的方法解二元一次方程组； ●会检验一组数是不是方程组的解。 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1二元一次方程（组）的概念】 1.二元一次方程的概念： 含有2个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，像这样的方程叫做二元一次方程． 2.二元一次方程组的概念： 把多个方程放在一起叫做方程组．若一个整式方程组中一共只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的方程组叫做二元一次方程组． 【知识点2二元一次方程(组)的解】 1. 一般地，使二元一次方程等号左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．一个二元一次方程可以有无数组解． 2.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解． 【知识点3代入消元法解二元一次方程组】 1.消元思想： 将多元方程中的未知数逐个消除转换为一元一次方程，先求出一个未知数，再求其他未知数，这样由多化少的转换思想叫做消元思想． 2.代入消元法： 将二元一次方程组中其中一个方程的未知数用另一个未知数表示出来，在代入另一个方程中实现消元，进而求得这个二元一次方程的解的方法．简称代入法． 3.代入消元法的具体步骤： （1）变形：即把其中一个方程中一个未知数用另一个未知数表示出来． （2）代入：将变形得到的式子代入另一个方程．得到消元后的一元一次方程． （3）求解：解消元后的一元一次方程． （4）回代：把求得的一元一次方程的解代回变形后的式子求出另一个未知数的值． （5）写解：把两个未知数的解用“｛” 联立起来．一定要写成的形式． 注意：代入消元法多使用于方程组中未知数系数为±1时的方程，有直接代入、变形代入与整体代入． 【知识点4加减消元法解二元一次方程组】    1.加减消元法： 在二元一次方程组的两个方程中，若同一个未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程分别相减或相加就能消除这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法． 2.加减消元法的具体步骤： （1）变形：把方程组中系数的最小公倍数较小的未知数的系数化成相等或互为相反数． （2）加减：当方程组中同一个未知数的系数化相等时，则把两个方程相减，当方程组中同一个未知数的系数化为相反数时，则把两个方程相加．消元得到一元一次方程． （3）求解：解一元一次方程得到其中一个未知数的值． （4）回代：将求出的未知数的值带入其中任意一个方程求另一个未知数的值． （5）写解：把两个未知数的解用“｛”联立起来．一定要写成的形式． ✏ 核心考点★精讲精练 题型1二元一次方程的定义 例1．若是关于x，y的二元一次方程，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程，熟练掌握二元一次方程的定义：只含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，运用二元一次方程满足的条件是解题的关键． 根据二元一次方程的定义，要求未知数的系数不能为零，因此需满足． 【详解】解：∵方程是关于,的二元一次方程， ∴的系数， ∴， 故选A． 变式1．方程是二元一次方程，则的取值范围是 ； 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．利用二元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：方程是二元一次方程， ， 解得：， 故答案为：． 变式2．某科创公司制造的产品采用内销和出口两种方式，今年第一季度的内销收入比去年第一季度增加，出口收入比去年第一季度增加． (1)设去年第一季度内销收入为万元，出口收入为万元，用含，的代数式表示今年第一季度的总收入为______万元； (2)若今年第一季度的总收入比去年增加，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了列代数式、二元一次方程的应用等知识点，根据题意、找出找等量关系、列出方程是解题的关键． （1）根据今年第一季度的总收入为出口收入与内销收入的和，据此列代数式即可解答； （2）根据今年第一季度的总收入比去年增加，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：今年第一季度的内销收入为，第一季度的出口收入为，所以今年第一季度的总收入为万元． 故答案为：． （2）解：去年第一季度的总收入为， 由题意可得：， 整理得：， 所以． 题型2二元一次方程的解 例2．已知是关于、的方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程解答即可求解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 故选：． 变式1．若是方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将方程的解代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 变式2．已知是关于，的二元一次方程的一个解，的算术平方根为，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解、算术平方根和平方根的概念，准确计算是解题的关键． 通过代入方程的解求，根据算术平方根定义求，再计算表达式求平方根． 【详解】是关于，的二元一次方程的一个解， ， ， 的算术平方根为， ， ， ， ， 的平方根为． 题型3判断是否是二元一次方程组 例3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组． 根据二元一次方程组的定义逐一判断即可． 【详解】解：选项A：中为二次项，不符合二元一次方程组的定义； 选项B：含分式，不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义； 选项C：符合二元一次方程组的定义； 选项D：含x、y、z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义； 故选：C． 变式1．已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中， 是二元一次方程组．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且每个含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组是二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：方程组①中，方程不是一次方程，故方程组①不是二元一次方程组； 方程组②中，一共有三个未知数，故方程组②不是二元一次方程组； 方程组③是二元一次方程组； 方程组④中，方程不是整式方程，故方程组④不是二元一次方程组； 故答案为：③． 变式2．已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 【答案】 【分析】要使方程组是二元一次方程组，需要满足两个条件：①方程 中，未知数的次数必须为； ②方程中，未知数的系数不能为，否则方程组就只含有一个未知数，不符合二元一次方程组的定义． 【详解】解：方程组是关于，的二元一次方程组， 且， 由解得或， 又，即． ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义和绝对值方程的解法，解题关键是牢记二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是，并且都是整式方程．特别要注意第二个方程中未知数的系数不能为零． 题型4判断是否是二元一次方程组的解 例4．在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，熟知一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解是解答此题的关键． 将代入各选项的方程组中，验证两个方程是否同时成立． 【详解】对于选项A：当时， ，成立； ，不成立． 故A不符合题意． 对于选项B：当时， ，成立； ，成立． 故B符合题意． 对于选项C：当时， ，不成立． 故C不符合题意． 对于选项D：当时， ，成立； ，不成立． 故D不符合题意． 因此，以为解的方程组是B． 故选B． 变式1．写出一个解为的二元一次方程组 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，根据x、y的值，求出和的值，以此构造方程组即可． 【详解】解：由和，可列出等式和， 因此方程组为， 故答案为：（答案不唯一）． 变式2．有这样一道题：判断是不是二元一次方程组的解．小恒的解答过程：将代入方程中，等式成立，所以是该方程组的解．小恒的解答过程是否正确？若不正确，请说明理由． 【答案】小恒的解答过程是错误的，见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先明确二元一次方程组解的定义，在指出小恒的错误，最后将给定的解带入方程组的两个方程进行检验. 【详解】解：小恒的解答过程是错误的． 理由如下： 将代入方程中， 左边=，右边， 左边=右边； 将代入方程中， 左边=，右边=5. 左边≠右边； 不是方程组的解． 题型5已知二元一次方程组的解求参数 例5．已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，即方程组的解满足组内所有方程，先通过已知方程求出a的值得到完整的解，再将解代入各选项验证即可． 【详解】∵将代入， ∴，解得，即方程组的解为， A. 将代入，左边，不符合题意； B. 将代入，左边，不符合题意； C. 将代入，左边，不符合题意； D. 将代入，左边右边，符合题意． 故选：D． 变式1．已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解的定义是关键．由于方程组的解互为相反数，因此，利用此条件与方程组联立求解． 【详解】解：由解互为相反数，得．与方程联立， 解得． 将代入方程， 得， 即2+5=3a+7，7=3a+7， 解得． 故答案为0． 变式2．写出一个二元一次方程组，使它的解为 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是二元一次方程组解的定义，解答此题的关键是把方程的解代入各组方程中，看各方程是否成立．根据二元一次方程组的解找到x与y的数量关系，然后列出方程组即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴这个方程组可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 题型6代入消元法 例6．已知方程，用含的式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程，将方程进行正确的变形是解答本题的关键． 将方程通过移项和除法变形为用表示的形式． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故选：D． 变式1．已知方程，用含有的式子表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 将看作已知数，求出即可． 【详解】解： 得到 ， 故答案为：． 变式2．解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了加减消元法求解二元一次方程组，掌握加减消元法求解二元一次方程组是解题的关键．利用加减消元法解二元一次方程组求出解即可． 【详解】解：， ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， 故方程组的解为． 题型7加减消元法 例7．小红同学在解关于和的二元一次方程组时，利用①②就将未知数消去了，则和应该满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的消元方法，通过计算后的式子，令y的系数为0，即可得到m和n满足的条件． 【详解】解：， ， ， ， 消去了未知数y， ∴y的系数为0，即， ∴选B． 变式1．若，满足方程组，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键．通过将方程组中的两个方程相加，得到，进而求出的值． 【详解】解：给定方程组 将①和②相加，得 ∴． 故答案为：2． 变式2．解方程组： 【答案】 【分析】利用加减消元法解答即可． 本题考查了解方程组，灵活选择解题的方法是解题的关键． 【详解】解： ，得， 解得. 将代入①，得， 解得， 原方程组的解为． 题型8二元一次方程组的特殊解法 例8．若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于m、n的二元一次方程组的解是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，通过变量代换，将新方程组转化为已知解的原方程组形式，进而求解． 【详解】解：设，， 则新方程组化为： ∵原方程组的解为， ∴，， 即：， 解得， 故选D． 变式1．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为 【答案】2024 【分析】本题考查二元一次方程组的整体思想． 通过将两个方程相加，得到与的关系式，进而求解的值． 【详解】解：， 得：， 即：， 两边同时除以6，得：， ， ， 解得：， 故答案为：2024． 变式2．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 得，即③， 得，即④， 得， 解得， 把代入③得， 解得， 所以，方程组的解为． 题型9二元一次方程组的错解复原问题 例9．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得则a，b，c正确的值应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得 把代入得： ， 联立得解得： ， 由，得到， 故选：． 变式1．甲、乙两人解关于的方程组时，甲看错的值解得乙看错b的值解得则该方程组正确的解为 ． 【答案】 【分析】先根据甲、乙看错的条件，分别求出正确的、的值，再代入原方程组求解． 【详解】解:甲看错的值，解得，将其代入，可得：， 解得：． 乙看错的值解得，将其代入，可得：， 解得：． ∴原方程为：． 对两边同时乘以，可得：①； 由可得：②； 将②代入①，得：， 解得：． 把代入②，解得：． ∴该方程组正确的解为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是利用甲、乙看错的条件分别求出正确的值，再代入原方程组求解． 变式2．在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到解为，而小亮却把方程②抄错了，得到解为，求a，b的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，将解代入没有抄错的方程，得到关于a，b的二元一次方程组，再进行求解即可． 【详解】解：将代入方程， 将代入方程，   可得， 解得． 题型10构造二元一次方程组求解 例10．如果是二元一次方程，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义、解二元一次方程组，根据二元一次方程要求两个未知项的指数均为，因此需使的指数，的指数，解方程组即可． 【详解】解： 方程是二元一次方程， 的指数，的指数， 解方程组， 可得：． 故选：A． 变式1．对于、定义一种新运算“※”：，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：，，求的值 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据新运算的定义，由已知条件列出关于a和b的二元一次方程组，解出a和b的值，再代入即可求的值． 【详解】解：由题意，得，解方程组得． ∴， ∴， 故答案为：17． 变式2．对于有理数定义新运算：，其中为常数．已知，求的值． 【答案】 【分析】根据求出的值，再代入计算即可. 【详解】解：根据题意，得 ，， 整理，得 ①+②，得， 解得． 把代入②， 得， ． 【点睛】本题考查了新定义，构造关于二元一次方程组是解题的关键. 题型11已知二元一次方程组的解的情况求参数 例11．已知关于x，y的方程组的解满足与互为相反数，则的值为（   ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组及相反数的性质，熟练掌握解二元一次方程组是解决问题的关键．根据题意，解方程组，再由求值． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 联立方程组， 解得， ， 故选：C． 变式1．已知关于的方程组，其中，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查已知二元一次方程组的解的情况求参数． 通过将两个方程相减，得到的表达式，再根据，即可得的取值范围． 【详解】解：， 得， ∴， ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 变式2．已知关于x，y的方程组的解满足，求k． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程．熟练掌握解二元一次方程组，解一元一次方程是解题的关键． 设由①﹣②得，代入②，可求得，x，y代入方程，计算求解即可． 【详解】解：， ①﹣②得， 代入②，得， 解得， 代入方程， 得， 解得． 题型12方程组相同解问题 例12．关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能根据已知得出关于、的方程组是解此题的关键． 根据已知得出关于、的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解是， 关于、的二元一次方程组中， 解得：， 故选：A． 变式1．若关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组问题，利用已知方程组的解，代入得到系数关系，通过比较新方程组与已知方程组系数，求解新方程组的解即可． 【详解】解：已知方程组 的解为 ，则 ，； 对于方程组， 将， 代入得：， 整理得：， 由于， ， ，不全为零（方程组有意义）， 且， 解得，， 故答案为：，． 变式2．方程组与方程组的解相同，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查同解方程组，将两个方程组中不含参数的两个方程组成新的方程组，求解后，代入两个含参方程组成的方程组中，进行求解即可． 【详解】解：∵方程组与方程组的解相同， ∴方程组和的解也相同， 解，得， 把代入，得， 故． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程需同时满足三个核心条件：①方程中含有两个未知数；②每个未知数的项的次数均为1；③方程是整式方程(即分母不含未知数)．解题时需依据这三个条件对每个选项逐一判断． 【详解】解：中，未知数项的次数为，不满足“未知数的项的次数都是1”的要求，不是二元一次方程； 是一个多项式，不是等式，不满足方程的定义，不是二元一次方程； 的分析含未知数，方程不属于整式方程，不满足“整式方程”的条件，不是二元一次方程； 含有两个未知数、，每个未知数的项的次数都是1，且是整式等式，完全符合二元一次方程的定义，是二元一次方程； 故选：D． 2．下列各组数中，是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解． 将各选项的x、y值代入方程，若左边等于右边，则该组值是方程的解． 【详解】解：∵把代入方程左边，得， ∴选项A不是方程的解； ∵把代入方程左边，得， ∴选项B是方程的解； ∵把代入方程左边，得， ∴选项C不是方程的解； ∵把代入方程左边，得， ∴选项D不是方程的解； 故选：B． 3．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，理解掌握二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 二元一次方程组需满足两个条件：含有两个未知数，且每个方程均为一次整式方程，据此求解即可． 【详解】解：选项A：第二个方程含，次数为2，不是二元一次方程组； 选项B：第二个方程，次数为2，不是二元一次方程组； 选项C：两个方程均为一次方程，是二元一次方程组． 选项D：第二个方程含，不是整式方程，不是二元一次方程组； 故选：C． 4．已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看两个方程是否成立即可． 【详解】解：A、方程组中，方程不是一次方程，故原方程不是二元一次方程组，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；故是原方程组的解，符合题意； C、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； 故选：B． 5．已知方程组的解为，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的含义，熟记方程组的解满足方程组中的两个方程是解本题的关键． 将代入得到，然后求解即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴ ∴得，． 故选：A． 6．用代入法解方程组有以下过程： （1）由①，得．③ （2）将③代入②，得． （3）去括号，得． （4）解得．将代入③，得．所以这个方程组的解是 以上解题过程中，开始出错的一步是（   ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】C 【分析】本题主要考查代入消元法，熟练掌握代入消元法是解题的关键． 根据代入消元法的运算法则进行判断即可． 【详解】解：∵ 由①得 ③，正确； 将③代入②得 ，正确； 去括号时，，但过程写为 ，错误； ∴ 开始出错的一步是（3） 故选：C． 7．二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据加减消元法先消去未知数y求出x的值，再代入方程求出y的值，进而可得到方程组的解． 【详解】解：， 得，， 解得：， 把代入①得，， 解得：， ∴． 故选：D． 8．若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查换元法求方程组的解，把和作为一个整体，进而得到方程组的解为，再进行求解即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴方程组的解为， 解得； 故选D． 9．李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：，则原方程组中的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据题意可得和都是方程的解，据此可得，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：， ∴， 解得， 故选：B． 10．规定新运算：，其中是不等于0的常数，且．已知，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查新定义，构造二元一次方程组求解，解答本题的关键是明确题意，求出、的值． 根据，其中，是不等于0的常数，且．，可以得到，，然后两个式子相减或相加，可以求得，，从而可以求得、的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ， ，， ，， ∵，是不等于0的常数，且． ∴化简得：，， 即， 解得， ， 故选：C． 二、填空题 11．若是二元一次方程，则 ， ． 【答案】 1 1 【分析】本题考查二元一次方程的定义，核心是明确二元一次方程需满足：含有两个未知数，且每个含未知数的项的次数均为1．先根据的项的次数为1列出关于的方程，求解得到的值；再将的值代入的项的次数为1的方程中，求解得到的值． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴，即，解得； 且，即，解得； 故答案为：，． 12．若是关于的二元一次方程组，则 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，， 或． 故答案为：或1． 13．方程组的解为则被遮盖的■表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，关键是利用方程组的解满足每个方程的性质，通过设未知数建立等式求解．观察题目结构，假设第二个方程右边的被遮盖数与解中的被遮盖数为同一个数，先代入第二个方程求出的值，再将和代入第一个方程即可求出■表示的数． 【详解】解：设第二个方程右边的数和解中的值均为， ∵方程组的解为， ∴将，代入第二个方程， 得，解得； 将，代入第一个方程， 得； 故答案为：． 14．已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了用含一个未知数的代数式表示另一个未知数． 将x视为已知数，通过解方程求出y的表达式 【详解】解：解方程， 移项得， 两边同时除以2得． 故答案为：． 15．已知，则 ， ． 【答案】 2 /0.5 【分析】本题考查非负数的性质、解二元一次方程组，根据非负数的性质，平方项和绝对值项均非负，它们的和为零时，每个项必须为零，从而得到二元一次方程组，通过消元法求解． 【详解】解：由已知方程 ， 根据非负数的性质，得 即 将方程①乘以 2，得 将方程③与方程②相加，得，， 将代入方程①，得，，，． 故答案为：2，． 16．已知是关于y的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的定义，明确其定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键． 根据一元一次方程的定义，的系数必须为零，且y的指数必须为1，由此列出方程组求解． 【详解】由一元一次方程的定义，得， 解得， 所以． 故答案为：． 17．若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，运用加减消元法得到，代入计算即可求解． 【详解】解：， 解得，， ∴， 解得，， 故答案为：． 18．已知关于的方程组和有相同的解，那么值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，解题的关键是得到，．先根据关于，的方程组和有相同的解，列出方程组求出x、y的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵关于，的方程组和有相同的解， ∴，， 解得， 将代入得： ， 解得， ∴ 故答案为：6． 19．若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组． 由原方程组的解代入可得 和 ，将其代入，通过比较系数即可求解． 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组的解是， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得． 故答案为： 20．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，求代数式的值，将代入方程中可求得，将代入方程中可求得，代入所求式子即可得解，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：将代入方程中可得，， 解得：， 将代入方程中可得， 解得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题 21．解方程（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，即可作答． （2）运用代入消元法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴去括号得：， ∴移项得： ， ∴合并同类项得： ， 系数化为1得：． （2）解：∵， ∴整理得： 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， 因此是原方程组的解． 22．解方程组 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练运用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）直接运用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先整理方程组，再运用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：，         将代入得， 解得：， ∴． （2）解：， 整理得：，         得：， 解得：，         把代入得， 解得：， 原方程组的解为． 23．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解的应用以及解二元一次方程组．关键在于理解“看错系数但解对另一个方程”的核心逻辑：当看错某个方程的系数时，所得的解仍满足另一个未被看错系数的方程． （1）小鑫看错方程②的，因此解满足方程①，代入可得到关于、的方程；小童看错方程①的，因此解满足方程②，代入可得到关于的方程，联立这两个方程即可求解正确的、； （2）将求得的、代入原方程组，得到标准的二元一次方程组，再通过代入消元法求解方程组的解． 【详解】（1）解：∵小鑫看错了方程②中的，解得， ∴该解满足方程①，将代入①得：，化简得③； ∵小童看错了①中的，解得， ∴该解满足方程②，将代入②得：，即， 解得； 将代入③得：，解得； 故正确的； （2）解：将代入原方程组，得， 由①得③， 将③代入②得：，解得； 将代入③得：； ∴原方程组的正确解为． 24．已知苹果的单价为4元/，香蕉的单价为6元/，现购买苹果和香蕉，共需元． (1)列出关于、的二元一次方程． (2)若，则的值是多少？ (3)若购买苹果，则购买香蕉多少千克？ 【答案】(1)； (2)； (3)千克 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，核心是利用“总价=单价×数量”的数量关系建立方程，并通过代入已知值求解未知量． （1）根据苹果和香蕉的各自总价之和等于总花费，直接列出二元一次方程； （2）将已知的值代入（1）中的方程，通过一元一次方程的求解步骤算出的值； （3）将已知的值代入（1）中的方程，解一元一次方程得到的值，即为购买香蕉的重量． 【详解】（1）解：∵苹果的单价为4元/，购买苹果的总价为元， 香蕉的单价为6元/，购买香蕉的总价为元，总花费为元， ∴可列二元一次方程为； （2）解：将代入方程中，得， 解得； （3）解：将代入方程中，得， 解得， 答：购买香蕉千克． 25．已知关于x，y的方程组的解满足，求a的值． 【答案】6 【分析】本题考查了加减消元法． 两方程相加得到，把代入得到，即． 【详解】解：， 得，， 即 把代入，得， ∴． 26．已知关于的方程组和的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组同解问题，根据方程组和的解相同， 得出这两个方程组的解也是方程组的解，然后解方程组，得出，将代入原方程组得出，求出a、b的值，最后代入求值即可． 【详解】解：因为方程组和的解相同， 所以这两个方程组的解也是方程组的解． 解得， 将代入方程组得， 解得， 所以． 27．定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母） A．　B．　C．　D． (2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根． 【答案】(1)C； (2)的平方根是 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，平方根 ． （1）由定义直接可求； （2）根据定义得到计算得到，再求平方根即可 【详解】（1）解：的共轭二元一次方程是， 故答案为：C． （2）解：由题意可得整理得， ②－①，得，即． 的平方根是， 的平方根是． 28．八年级教材上册强调，解决问题之后的反思有多种形式，可以是：比较解决问题的方法．形成多样化的解决问题的方法． 数学活动课上，小罗和小湖、小美在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值． 小罗：将①③联立可得一个新的不含的二元一次方程组，先求、然后再求的值 小湖：哈哈！直接①②可以更简便地直接求出的值 小美：将①②③联立成一个三元一次方程组去求解 请结合他们的对话，解答下列问题： (1)按照小罗的方法，的值为______，的值为______． (2)请按照小湖的思路求出的值． (3)老师说小罗、小美的方法运用了转化的思想，小湖的方法则体现了______思想．（填序号即可①整体②数形结合③分类讨论） 【答案】(1)5， (2) (3)① 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）根据二元一次方程组的解法进行求解即可； （2）根据小湖的思路进行求解即可； （3）根据题意可直接进行求解． 【详解】（1）解：将①③联立可得， 得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为； 故答案为：5，； （2）解：由可得： 得，， ∴， ∵， ∴， 解得：； （3）解：由题意得：小湖的方法则体现了整体思想； 故答案为①． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $