第12讲 解题技巧专题：平面直角坐标系中的图形面积与规律问题（3知识点+6大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材人教版

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第12讲解题技巧专题：平面直角坐标系中的图形面积与规律问题 l内容导航一一 预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 析教材学知识 ☑知识点1：核心基础知识 1.坐标系与点：明确点的坐标含义，特别是各象限内点的坐标符号特征。 2.图形与坐标：掌握已知顶点坐标，求规则图形（如矩形、三角形）面积的基本方法，例如用坐标差表示 边长，或运用割补法。 ☑知识点2：面积计算技巧 重点掌握利用“水平宽×铅垂高”计算三角形面积，以及通过构造规则图形进行割补来求解不规则图形面积。 ☑知识点3：规律探究方法 能够观察图形或点坐标在坐标系中的变化规律（如平移、对称），并归纳出一般性代数表达式，解决图形面 积或点的坐标规律问题。 02 练题型强知识 【题型1与面积有关的点的位置不定产生多解】 例1.已知A(-1,0),B(0,2),点P在x轴上，且三角形PAB的面积是2，则点P的坐标是 例2.如图，在平面直角坐标系中，0为原点，Aa,-4),C(0,c),且满足(a+4)+Vc-4=0,过点A作 AB⊥y轴于点B.若x轴上存在点P,满足三角形PAO和三角形ABC的面积相等，则点P的坐标为」 1/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 变式1.如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点为A(-1,3),B(0,-1,C(1,1)点D是x轴上一个动点， 当△BCD的面积等于ABC的面积时，点D的坐标为一 y S 1 --十---- 3 -- 2 C -5-4-3-2-107 12345x -1B 5 变式2.定义：任意三点A,B,C的“矩面积”计算方法：“水平底”α是任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高” h是任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah,例如，三点坐标分别为A(0,3),B(-3,4),C(1,-2), 则“水平底”a=4,“铅垂高”h=6,“矩面积”S=ah=24.若D(2,2),E(-2,1),F(3,m三点的“矩面积”为20 ,则m=」 【题型2利用补形法或分割法求图形的面积】 例3.如图，已知点A(-3,1,B(1,-3),C(3,4),求三角形ABC的面积. 62 4 6 x -4 例4.(24-25八年级上四川绵阳·开学考试)已知平面直角坐标系中x轴与y轴交于点O,坐标系内两点 A-2,3、B(3,2)如图所示，连接A0、B0、AB,求三角形AOB的面积. 2/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式1.如图，已知A(4,0),B(4,0),C3,2),D(-2,4). D B (1)求四边形ABCD的面积； (2)在y轴上存在一点P,使三角形APB的面积等于四边形ABCD面积的一半，求P点的坐标. 变式2.如图，在平面直角坐标系内有四个点：A-2,0),B(0,3,C(2,4),D(3,0) y A D (1)求三角形A0B的面积； (2)求四边形OBCD的面积； (3)若点P在x轴上，直线CP将四边形ABCD的面积分成1：2两部分，求点P的坐标. 【题型3与图形面积相关的点的存在性问题】 例5.如图，在平面直角坐标系中，已知A0,a),B(b,0),b满足a-2+(b-3=0. A M B (I)求a,b的值； (2)如果在第二象限内有一点M(m,l),，请用含m的式子表示四边形ABOM的面积； ③)在(2)条件下，当m=-3时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N,使得四边形ABOM的面积与△ABN的 3/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 面积相等？若存在，求出点N的坐标，请说明理由 例6.如图，在平面直角坐标系中，己知A(0,a,B(b,0),C(3,c三点，且a,b满足关系式 a-2+Vb-3=0,BC=20A. B (1)a= b= ，C= (②)四边形A0BC的面积为 3)是否存在点Pm,3m 1 使得△AOP的面积为四边形AOBC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若 不存在，请说明理由 变式1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,a),B(3a,b),其中a,b满足a-1+√2a+b=0 (1)填空：a=-,b=-: (2)若存在一点M(m,5)(m>O),点M到x轴的距离是_-，到y轴的距离是_，求三角形ABM的面积；（用 含m的式子表示). (3)在(2)条件下，当m=2时，在x轴上存在一点P,使得三角形MOP的面积与三角形ABM的面积相等， 请求出点P的坐标 变式2.如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，己知A0,a),B(b,n),且a,b满足关系式： VQ-3+(b-2)2=0,其中n>0,连接AB,OB. B D 图1 图2 4/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)填空：a= ，b= ,三角形AOB的面积是 (2)点C是x轴上一点，连接AC,延长AB与x轴相交于点D. ①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形AOC的面积与三角形AOB的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形OBD的面积等于三角形AOB面积的一半，三角形ACD的面积等于 号，求点B,C,D的坐标 【题型4平面直角坐标系中动点移动问题】 例7.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为：A(1,,B(-1,1,C-1,-1, D(1,-1),动点P从点A位置出发，沿着AB→BC→CD→DA→AB路线不停地运动，若点P的运动速 度为每秒2个单位长度，则第2025秒时，点P的坐标为 VA 例8.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点0出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动， 每次移动一个单位长度，得到点A(0,1,A1,1)，,A1,0),A4（2,0)…,那么点A2的坐标为」 变式1.如图，在平面直角坐标系中，点P以每秒2个单位长度，从点A出发，沿凸形的边顺时针运动：点 Q以每秒3个单位长度，从点A出发，沿凸形的边逆时针运动.记动点P、Q在凸形边上第1次相遇时的点 为M1（3,3),第2次相遇时的点为M,3,1),…,则点M2o25的坐标为一 M M2 345x 变式2.如图，一个动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向做折线运动，即第1次从原点运动到点 (1,1,第2次接着运动到点(2,0)，第3次接着运动到点(3,2)，第4次从(3,2)运动到(4,0)，第5次从 (4,0)运动到(5,1)按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是 5/12 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3,2) (7,2) (11,2) 1.1 (5,1) (9,1) (2,0) (4,0)(6,0)(8,0)10,0)(12,0) 【题型5平面直角坐标系中图形规律摆放问题】 例9.如图，已知4山，-V5,4,3,-5,4(4,0,4,(6,0,4(7,5,49,5,4,10,0,411,-⑤， 依此规律，则点A2的坐标为 A A12 A A … A 567891011213415167x 2 A A As A 例10.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“方向排列，如 1,0,2,0,2,1,1,1,(1,22,2)…根据这个规律，第100个点的横坐标为，第2017个点的坐标 为 变式1.如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为顶点作正方形 PAAA,正方形PA,AA。,,按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA,42A的顶 点坐标分别为P-3,0),A-2,1，,A-1,0),A-2,-1,则顶点A的坐标为 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式2.如下图，学校植物园的护栏由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐 标系中.已知小正方形的边长为1m,且点A的坐标为2,2)，点4的坐标为5,2)，点A的坐标为8,2). A 0 (1)点A的坐标为 一，点A的坐标为 (用含的式子表示)： (2)要制作2025m长的护栏，需要两种正方形各多少个？ 【题型6平面直角坐标系中图形翻转问题】 例11.如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2025次，点P依次落在点，乃，P,, P2s的位置，则P的坐标为 P25的坐标为 y P P2(P) 例12.如图，在平面直角坐标系中，将△AB0绕点A按顺时针方向旋转到△AB,C,的位置，点B、O分别 落在点B、C处，点B在x轴上.再将△AB,C,绕点B按顺时针方向旋转到A,B,C,的位置，点C在x轴上 将A,B,C2绕点C,按顺时针方向旋转到△4，B,C的位置，点A在x轴上，依次进行下去，若点A3,0 ,B0,4),则点B的横坐标为 B2 B A C B C A Ca A 变式1.如图，在平面直角坐标系中放一矩形OABC,AB=2,OA=1,现将矩形OABC沿x轴的正方向无 滑动翻转，每次翻转90°，连续翻转2025次，点B的落点依次为B,B,B,B,·,则B225的坐标为」 C B B OA B(B2) 变式2.长方形ABCD的两边BC,CD分别平行于y轴，x轴，点A的坐标为-2,3)，点C的坐标为-1,1).如 7/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1，将长方形ABCD绕图形右下侧顶点C顺时针旋转90°，再沿x轴翻折得到长方形A,B,C,D,称为一次 操作；如图2，接着将长方形AB,C,D,继续绕图形右下侧顶点A顺时针旋转90°，再沿x轴翻折得到长方形 A,B,CD2,称为第二次操作；以此类推， B B, C B C D D A D 图1 图2 图3 (1)经过3次操作后，点B的坐标为」 (2)经过2025次操作后，点B22s的坐标为】 串知识识框架 1坐标系与点：明确点的坐标含义，特别是各象限内点的坐标符号特征 知识点1：核心基础知识 2图形与坐标：掌握已知顶点坐标，求规则图形（如矩形、三角形）面积 的苏本方法，例如用坐标差表示边长，或运用割补法。 平面直角坐标系中的图 重点掌握利用“水平宽×铅垂高“计算三角形面积，以及通过构造规则图形 进行刮补来求解不规则图形积。 形面积与规律问题 知识点2：面积计算技巧 能够观穿图形或点坐标在坐标系中的变化规律（如平移、对称），并归 知识点3：规律探究方法 纳出一般性代数表达式，解决图形缅积或点的坐标规律问题。 04过关测稳提升 一、单选题 1.(24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考)己知A10,0)和B(0,a+2)两点，且AB与坐标轴围成的三角形的 面积等于20，则a的值为() A.2 B.2或-6 C.0或2 D.-6 2.(24-25八年级上·甘肃张掖期中)已知0为坐标原点，△AB0关于x轴对称，点A1,-2)、点B(1,2),若 在x轴上有一个点P,满足△BOP的面积等于2，则点P的坐标为() A.(8,0)或(-8,0 B.(2,0)或(-2,0) C.（6,0或(-6,0 D.(4,0)或(-4,0】 3.(24-25九年级上·山东青岛·期末)如图，在直角坐标系中，矩形0ABC的顶点0位于坐标原点，点A、 8/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C坐标分别为-4,0)和(0,6)，若矩形0A'B'C'与矩形OABC关于点0位似，且矩形0A'B'C'的面积等于矩形 OABC面积的 ,则点B的对应点B的坐标是() 6 -4 A.-1,1.5 B.1,-1.5 C.(1.5,-1或(-1,1.5 D.（-1,1.5)或1，-1.5 4.(25-26八年级上广东深圳期中)如图，△A,42A,△AA,A,△AA64,,.,都是斜边在x轴上、斜边 长分别为2,4,6，…的等腰直角三角形.若△A,A,A的顶点坐标分别为A(2,0),A(1,1),A(0,0),则依 图中所示规律，A2s的坐标为（) (A3) A A.(1010,0) B.(1012,0) C.(1014,0) D.(1016,0) 5.(25-26八年级上湖北襄阳月考)如图，点A从A,(-4,0)依次跳动到A,(-4,1),A(-3,),A,(-3,0), A(-2,0),A(-2,3),A,(-1,3),A(-1,0),A,(-1,-3),Ao(0,-3),A(0,0),…,按此规律，则点Ao26的 坐标为() A6 A7 A2 A3 1A4A5 (An) A十A10 A.(806,3) B.(805,0) C.(806,1) D.(805,3) 9/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 6.(25-26八年级上·广东深圳·期中)某Ⅱ机器人的视觉系统在平面直角坐标系中，将其探测范围标记为一 个三角形区域.已知该三角形的三个顶点坐标分别为A(1,4),B(3,4),C(5,10),那么这个三角形探测区域的面 积是 7.(25-26八年级上山东日照期中)电子蜘蛛在边长为1的正方形网格上织网，若电子蜘蛛从P(α，b)出发， 先爬到P(-b+2,a-2),再下一步爬到P「-(a-2)+2,(-b+2)-2]..以这样的规律织网.例如2,1，再下一 步(-1+2,2-2)即(1,0).若(9，-3)，则Po25的坐标是 8.(25-26八年级上四川成都期中)如图，四边形A0BC是正方形，曲线CPPPP..叫做“正方形的渐开线”， 其中弧CP、弧PP、弧B￡、弧？、的圆心依次按点A、O、B、C循环，点A的坐标为(1，O)，按此规 律进行下去，则点P25的坐标为 0 AP 9.(24-25七年级下·广东东莞·期中)如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD从位于第二象限的初始位 置（点A和原点O重合）开始顺时针向右做“无滑动”翻转，前5次翻转得到的位置如图所示，跟踪点A的 坐标可以得到点.A(0,0),A22,2),A5,1,A(6,0),,那么第六次翻转后点A的坐标为 y ② ④ ① ③ ⑤ D O(4) 10.(24-25七年级下北京期中)在平面直角坐标系中，已知点A-2,8),B(-11,6),C(-14,0),O(0,0). (1)四边形OABC的面积为一： 若轴上存在点M,便△0AM的面积恰为四边形OA8C的面积的O,则M点坐标为 三、解答题 11.(25-26八年级上广东揭阳·期中)如图，在平面直角坐标系中，己知A(0,a,B(b,0),C(4,c三点， 其中a、b、c满足关系式：a-3+(b-4)+√c-5=0. 10/12 第12讲 解题技巧专题：平面直角坐标系中的图形面积与规律问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：核心基础知识 1.坐标系与点：明确点的坐标含义，特别是各象限内点的坐标符号特征。 2.图形与坐标：掌握已知顶点坐标，求规则图形（如矩形、三角形）面积的基本方法，例如用坐标差表示边长，或运用割补法。 知识点2：面积计算技巧 重点掌握利用“水平宽×铅垂高”计算三角形面积，以及通过构造规则图形进行割补来求解不规则图形面积。 知识点3：规律探究方法 能够观察图形或点坐标在坐标系中的变化规律（如平移、对称），并归纳出一般性代数表达式，解决图形面积或点的坐标规律问题。 【题型1 与面积有关的点的位置不定产生多解】 例1．已知，，点在轴上，且三角形的面积是2，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，设点P的坐标为，则，根据三角形的面积是2，得到，解之即可得到答案． 【详解】解：设点P的坐标为，则， ∵三角形的面积是2， ∴， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或， 故答案为：或． 例2．如图，在平面直角坐标系中，为原点，，，且满足，过点A作轴于点．若轴上存在点，满足三角形和三角形的面积相等，则点的坐标为 ．    【答案】或 【分析】本题考查算术平方根、平方数的非负性及坐标与图形，直角坐标系内求三角形面积；利用坐标确定线段的长度是解题的关键．先求得出点A、B坐标，进而求出，根据题意求出结论即可． 【详解】解：， ， ， ，， ， ， ， 或． 故答案为：或． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，点D是x轴上一个动点，当的面积等于的面积时，点D的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的面积，坐标与图形性质，关键是要分两种情况讨论． 求出的面积，当D在x轴正半轴上时，由三角形面积公式得到，因此，当D在x轴负半轴上时，同理求出，于是得到，，即可得到D的坐标． 【详解】解：根据题意可得：的面积， 设交x轴于M， 当D在x轴正半轴上时， ∵的面积的面积的面积的面积， ， ， 当D在x轴负半轴上时， 同理求出， 根据图象可得， ，， ∴的坐标是或， 故答案为：或． 变式2．定义：任意三点A，B，C的“矩面积”计算方法：“水平底”a是任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h是任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如，三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”h＝6，“矩面积”．若，，三点的“矩面积”为20，则 ． 【答案】5或 【分析】本题考查坐标与图形的性质，根据矩面积的定义表示出“水平底”a和铅垂高h，利用分类讨论对其铅垂高h进行讨论，从而列出关于m的方程，解出方程即可求解． 【详解】解：∵“水平底”，“矩面积”为20， ∴“铅垂高”， ∴或， ∴或， 故答案为：5或． 【题型2 利用补形法或分割法求图形的面积】 例3．如图，已知点，，，求三角形的面积． 【答案】18 【分析】方法一：如图，作长方形，由可得答案； 方法二：如图，过点B作轴，并分别过点A和点C作的垂线，垂足分别为点E，F，由可得答案； 方法三：如图，过点A作轴，并分别过点C和点B作的垂线，垂足分别为点D，E，由可得答案． 【详解】解：方法一：如图，作长方形， 则 ． 方法二：如图，过点B作轴，并分别过点A和点C作的垂线，垂足分别为点E，F． ∴，，，，， ∴ ． 方法三：如图，过点A作轴，并分别过点C和点B作的垂线，垂足分别为点D，E． ∴，，，，， ∴ ． 例4．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）已知平面直角坐标系中x轴与y轴交于点O，坐标系内两点、如图所示，连接，求三角形的面积． 【答案】 【知识点】坐标与图形 【分析】本题主要考查坐标与图形，平面直角坐标系的特点，图形结合分析，是解题的关键． 如图所示，作轴，作轴，由此可得的值，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴的面积为． 变式1．如图，已知，，，． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求P点的坐标． 【答案】(1)20 (2)P点的坐标或． 【知识点】坐标与图形 【分析】此题主要考查了多边形面积及坐标系的基础知识，解题关键是熟练掌握基础图形面积公式． （1）观察图形，用分割法求解，分别过、两点作轴的垂线，将图形分割为两个直角三角形和一个直角梯形，再根据直角三角形和直角梯形的面积公式求面积和即可； （2）点的纵坐标到原点的距离就是的边上的高，根据（1）点到原点的距离，再根据点分别在轴正负半轴，写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：分别过、两点作轴的垂线，垂足分别为、，如下图： ∵，，，， ∴，，，，， 则 ； （2）解：设的边上的高为，由， 得：， 解得， 又∵点在轴上， ∴P点的坐标或． 变式2．如图，在平面直角坐标系内有四个点：，，，． (1)求三角形的面积； (2)求四边形的面积； (3)若点P在x轴上，直线将四边形的面积分成两部分，求点P的坐标． 【答案】(1)3 (2)9 (3)或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积的计算，解题的关键是数形结合，用分割法求出不规则图形的面积，再进行计算是解本题的关键． （1）根据，，得出，，利用三角形面积公式求出结果即可； （2）作轴于点E，利用割补法求出四边形的面积即可； （3）先求出的面积，分两种情况：当时，，当，，求出的值，进而可得的值，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：作轴于点E，如图所示： ∵，． ∴，，，， ∴， ， ∴； （3）解：， ∵， ∴， 当时，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 当时，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【题型3 与图形面积相关的点的存在性问题】 例5．如图，在平面直角坐标系中，已知，，b满足． (1)求a，b的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）条件下，当时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点N的坐标，请说明理由． 【答案】(1)a的值是2，b的值是3 (2) (3)或 【分析】考查了坐标与图形性质，非负数的性质，三角形的面积，关键是求得a，b的值，其中（3）中注意分类思想和数形结合思想的应用． （1）根据非负数的性质得到，解方程即可得到a，b的值； （2）过点M作轴于点D．根据四边形面积求解即可； （3）当时，四边形的面积，可得，再分两种情况：①当N在x轴负半轴上时，②当N在y轴负半轴上时，进行讨论得到点N的坐标． 【详解】（1）解：∵a，b满足， ∴， 解得． 故a的值是2，b的值是3； （2）解：过点M作轴于点D． 四边形面积 ； （3）解：当时，四边形的面积． ∴， ①当N在x轴的负半轴上时， 设，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ②当N在y轴负半轴上时， 设，则， ∴， 解得． ∴点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 例6．如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，且满足关系式，． (1)______，______，______； (2)四边形的面积为______； (3)是否存在点，使得的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2，3，4 (2)9 (3)存在．点的坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，平面直角坐标系中两点间的距离公式，图形面积的计算，本题的关键是求出点的坐标以及根据点的坐标求解直角坐标系中的图形面积． （1）根据非负数的性质，可求解a与b的值，再由这一条件可求解c的值； （2）根据直角梯形的面积公式代入边长求解即可； （3）先表示出的面积，再由面积关系列式可求解m的值，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2，3，4； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， 故答案为：9； （3）解：存在， ∵，， ∴以为底，点P的横坐标的绝对值为， ∴， ∵的面积为四边形面积的2倍， ∴， 即，解得， 当时，， 当时，， 综上，点的坐标为或． 变式1．如图， 在平面直角坐标系中， 已知点，，其中a，b满足 (1)填空： ， ； (2)若存在一点，点M到x轴的距离是 ， 到y轴的距离是 ，求三角形的面积；  (用含m的式子表示)． (3)在（2）条件下，当时，在x轴上存在一点P，使得三角形的面积与三角形的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】(1)1， (2)5，m， (3)点P的坐标是或 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，点的坐标，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，则，即可作答． （2）因为点，则点M到x轴的距离是5，到y轴的距离是，则，，再把数值代入进行计算，即可作答． （3）先得，依题意，设点P的坐标是，根据三角形的面积与三角形的面积相等，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵a，b满足 ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵点， ∴点M到x轴的距离是5，到y轴的距离是， 如图，分别过点M，B向y轴作垂线，，垂足分别是N，C， ∵，且，， ∴，， ； （3）解：当时，， 即， ∵点P在x轴上 ∴设点P的坐标是， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 解得． ∴点P的坐标是 或． 变式2．如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_______，_______，三角形的面积是_______； (2)点C是x轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 【答案】(1)3，2，3 (2)① ②，或， 【知识点】乘方的应用、利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形综合 【分析】本题考查坐标与图形，非负性，熟练掌握数形结合的思想，是解题的关键： （1）非负性求出的值，面积公式求出三角形的面积即可； （2）①根据面积公式求出的长，即可求出点C的坐标；②根据三角形的面积等于三角形面积的一半，求出的面积，再根据面积公式求出的长，进而求出点坐标，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点坐标，然后根据三角形的面积等于，求出的长，进而求出点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的面积是； （2）①由（1）知：三角形的面积是3，， ∴， ∴； ∴； ②∵三角形的面积等于三角形面积的一半， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴或， ∴或． 【题型4 平面直角坐标系中动点移动问题】 例7．如图，在平面直角坐标系中，正方形四个顶点的坐标分别为：，动点从点位置出发，沿着路线不停地运动，若点的运动速度为每秒2个单位长度，则第秒时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点坐标规律探索，解题的关键是根据规律找出第秒时点P的位置．由题意正方形的边长为2，周长为8，得移动一圈是4秒，因为余1，可以推出点P在第秒时，移动到B处，由此即可解决问题． 【详解】解：∵，，，， ， ， ∵P的移动速度为每秒2个单位长度， 点P沿移动一圈时间为：（秒）， ∵， 点P在第秒时，移动到点B处， ∴此时； 故答案为：． 例8．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每次移动一个单位长度，得到点，，，…，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究，结合图象找准循周期是解决本题的关键．根据图象可知，纵坐标每四个点循环一次，而，故是第507个周期的第三个点，然后根据每一个周期第三个点的坐标可推导一般性规律为，最后计算求解即可． 【详解】解：∵，，，，，……， 纵坐标每四个点一个循环， ， 是第507个周期的第三个点， 每一个周期第三个点的坐标为：，，，……， ， ， 故答案为：． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，点以每秒2个单位长度，从点出发，沿凸形的边顺时针运动；点以每秒3个单位长度，从点出发，沿凸形的边逆时针运动．记动点、在凸形边上第1次相遇时的点为，第2次相遇时的点为，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标规律探究，先根据点P和点Q的运动情况找出前几次相遇时的坐标，找出相遇规律求解． 【详解】解；∵点以每秒2个单位长度，从点出发，沿凸形的边顺时针运动；点以每秒3个单位长度，从点出发，沿凸形的边逆时针运动， ∴第1次相遇时的点为， 第2次相遇时的点为， 第3次相遇时的点为， 第4次相遇时的点为， 第5次相遇时的点为， 第6次相遇时的点为， ， ∴相遇点每5次一循环． ∵， ∴的坐标为． 故答案为：． 变式2．如图，一个动点 P 在平面直角坐标系中按箭头所示方向做折线运动，即第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次从运动到，第5次从运动到……按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点 P 的坐标是 ． 【答案】 【分析】先确定横坐标的规律，等于序号数；再确定纵坐标的规律，第一次是1，第二次是0，第三次是2，第四次是0，第五次是1，第六次是0，第七次是2，第八次是0，按照循环出现，解答即可． 本题考查了坐标系中坐标的规律，熟练掌握规律是解题的关键． 【详解】解：先确定横坐标的规律，第一次是1，第二次是2，第三次是3，第四次是4，第五次是5，第六次是6，第七次是7，第八次是8， 故第n次是n； 根据题意，得纵坐标变化为：第一次是1，第二次是0，第三次是2，第四次是0，第五次是1，第六次是0，第七次是2，第八次是0，按照循环出现，偶数为0， 由， 故第2025次运动后，动点的坐标是， 故答案为：． 【题型5 平面直角坐标系中图形规律摆放问题】 例9．如图，已知，依此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律的变化问题，由函数图象可知点的纵坐标每个点一个循环，横坐标每个点增加个单位长度，据此解答即可求解，由题意找出点坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知，点的纵坐标每个点一个循环，横坐标每个点增加个单位长度， ∵， ∴点的纵坐标为，横坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 例10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如……根据这个规律，第个点的横坐标为 ，第个点的坐标为 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了点的坐标的规律变化，寻找图形和数字的规律特点是解决问题的关键．以正方形最外边上的点为准考虑，点的总个数等于最右边上的横坐标的平方，且横坐标为奇数时最后一个点在轴上，为偶数时，最后以点结束，因为，为偶数，则可得第个数的横坐标；求出与2017最接近的平方数为2025，然后写出第2017个点的坐标即可． 【详解】解：根据图形可知：以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方， 如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，即， 右下角的点的横坐标为2时，共有4个，即， 右下角的点的横坐标为3时，共有9个，即， 右下角的点的横坐标为时，共有个， ， 根据规律可知：当为奇数时，最后以点结束；当为偶数时，最后以点结束， 为偶数， ∴第个点的横坐标为1； ，， 根据规律可知：当为奇数时，最后以点结束；当为偶数时，最后以点结束； 为奇数， 该正方形每一边上有45个点，且最后一个点的坐标为，是第2025个点， 第2017个点是从第2025个点向上数第8个点， 第2017个点的坐标为； 故答案为：． 变式1．如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为顶点作正方形，正方形，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的变化规律，根据坐标的变化情况，总结规律，根据规律解答，仔细观察图形、数形结合，总结出点的坐标的变化规律是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴顶点的坐标为， 故答案为：． 变式2．如下图，学校植物园的护栏由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为，且点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________（用含的式子表示）； (2)要制作长的护栏，需要两种正方形各多少个？ 【答案】(1)， (2)小正方形675个，大正方形675个 【分析】本题是点的坐标的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． （1）根据已知条件与图形可知，大正方形的对角线长为2，由此可得规律：各点的纵坐标均为2，横坐标依次大3，由此便可得结果； （2）先求出一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度，再计算2023米包含多少这样的长度，进而便可求出结果． 【详解】（1）解：∵的坐标为，的坐标为， ∴各点的纵坐标均为2， ∵小正方形的边长为1， ∴各点的横坐标依次大3， ∴，， 即，， 故答案为：；； （2）解：由已知可得，所有直角三角形是全等的等腰直角三角形， ∴直角三角形的直角边长度是1米， ∴一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度：（米）， ∵， ∴需要小正方形675个，大正方形675个． 答：小正方形675个，大正方形675个． 【题型6 平面直角坐标系中图形翻转问题】 例11．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2025次，点P依次落在点，，，…，的位置，则的坐标为 ，的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探究，解题关键是根据各点坐标和题意，找出坐标规律． 根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律求解． 【详解】解：由图可知：，，，，，，，…，纵坐标每个一循环， 余， 在次循环后纵坐标与对应， 由，，…可知，其横坐标即为翻转次数， 的横坐标为：， 则的坐标为：， 故答案为：，． 例12．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A 按顺时针方向旋转到的位置，点 B、O分别落在点、处，点在x轴上．再将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上．将绕点按顺时针方向旋转到 的位置，点 在x轴上，依次进行下去……， 若点A，B，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的变换，勾股定理． 根据图形和旋转规律得出点的坐标变换规律，结合三角形的周长得出结论即可． 【详解】解：在 中，，， ∴， ∴的周长为：， 由题意及旋转的规律可知： 当n为偶数时，在最高点；当n为奇数时，在x轴上， 横坐标规律为：当n为奇数时，横坐标为：； 当n为偶数时，横坐标为：； ∵9是奇数， ∴点的横坐标为：． 故答案为：． 变式1．如图，在平面直角坐标系中放一矩形，，，现将矩形沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2025次，点B的落点依次为，，，，，则的坐标为 . 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-对称，规律型：点的坐标，观察图象可知每翻折转4次应该循环，图形向右平移6个单位，，因为余数为1，推出的纵坐标与相同是0，横坐标，由此可得结论． 【详解】解：观察图象可知每翻折转4次为一个周期循环，图形向右平移6个单位，， ∵， ∴的纵坐标与相同是0，横坐标， ∴， 故答案为：． 变式2．长方形的两边分别平行于轴，轴，点的坐标为，点的坐标为．如图1，将长方形绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为一次操作；如图2，接着将长方形继续绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为第二次操作；以此类推，… （1）经过3次操作后，点的坐标为 ： （2）经过2025次操作后，点的坐标为 ， 【答案】 【分析】（1）点的坐标为，点的坐标为．得到长方形到x轴的距离为1，长为2，宽为1，故，，，解答即可． （2）当中的为奇数时，横坐标从开始，每次增加个单位长度；纵坐标从开始，每次增加个单位长度，即时，，解答即可． 本题考查了坐标系中坐标的规律，正确发现规律是解题的关键． 【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为．得到长方形到x轴的距离为1，长为2，宽为1，故，，， 故答案为：． （2）解：按题意描点可知，当中的为奇数时，横坐标从开始，每次增加个单位长度；纵坐标从开始，每次增加个单位长度，即时，，当时，， ． 一、单选题 1．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）已知和两点，且与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a的值为（   ） A．2 B．2或 C．0或2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形性质，根据三角形的面积结合列出关于a的含绝对值符号的一元一次方程是解题的关键．根据点A、B的坐标可找出、的长度，再根据三角形的面积公式结合即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵和， ∴在轴上，在轴上，且，， ∴， 即， 解得：或． 故选：B． 2．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）已知为坐标原点，关于轴对称，点、点，若在x轴上有一个点，满足的面积等于2，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，图形结合是解题的关键． 根据点坐标，可知点到轴的距离，根据的面积等于2，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图， ∵点坐标为， ∴点到轴的距离是2， ∵在轴上有一个点，满足的面积等于2， ∴， ∴， ∴点的坐标为或， 故选：B． 3．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点位于坐标原点，点、坐标分别为和．若矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，坐标与图形，由已知可得矩形与矩形的位似比为，点的坐标为，进而即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的， ∴矩形与矩形的位似比为， ∵点、坐标分别为和， ∴点的坐标为， ∴点的对应点的坐标是或，即或， 故选：． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，，，，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标系中点的坐标变化规律，根据2025是奇数，求出点的下标是奇数时的变化规律是解题的关键． 本题主要考查了点的坐标规律探索，根据题意可得的点在x的正半轴上（n为正整数），且这一系列的点中相邻两点之间的距离为2，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴的点在轴的正半轴上（为正整数），且这一系列的点中相邻两点之间的距离为2， ∵， ∴在轴的正半轴上， ∴的横坐标为， ∴的坐标为， 故选：C． 5．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）如图，点A从依次跳动到，，，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图象与点坐标可知，每跳动10次，点的横坐标增加4，纵坐标按0，1，1，0，0，3，3，0，，循环出现，由，可得，求解作答即可． 本题考查了点的坐标规律探究，根据题意推导一般性规律是解题的关键． 【详解】解：由题意知：每跳动10次，点的横坐标增加4，纵坐标按0，1，1，0，0，3，3，0，，，循环出现，得即， 故选：A． 二、填空题 6．（25-26八年级上·广东深圳·期中）某机器人的视觉系统在平面直角坐标系中，将其探测范围标记为一个三角形区域．已知该三角形的三个顶点坐标分别为，那么这个三角形探测区域的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据点的坐标求面积． 通过观察坐标，点A和点B的纵坐标相同，因此线段是水平线段，可作为三角形的底边；点C到的垂直距离即为高，利用三角形面积公式求解． 【详解】解：由点的纵坐标均为4， 得底边的长度为． 点到直线即的垂直距离为， 因此三角形面积为． 故答案为：6． 7．（25-26八年级上·山东日照·期中）电子蜘蛛在边长为1的正方形网格上织网，若电子蜘蛛从出发，先爬到，再下一步爬到……以这样的规律织网．例如，再下一步即．若，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是坐标规律探究，根据移动规律，点的坐标每4步循环一次，因此计算2025除以4的余数即可得到答案. 【详解】解：由移动规律可得：， ， ，即， ，即， ，即 ， ∴坐标每4步一次循环， ∵，， ∴. 故答案为：. 8．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，四边形是正方形，曲线…叫做“正方形的渐开线”，其中弧、弧、弧、弧、…的圆心依次按点A、O、B、C循环，点A的坐标为，按此规律进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，根据题意，依次求出点，，，…，的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， …， 由此可见，点的坐标可表示为，点的坐标可表示为 当时， 点的坐标为， 所以点的坐标为 故答案为：． 9．（24-25七年级下·广东东莞·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD从位于第二象限的初始位置（点A和原点O重合）开始顺时针向右做“无滑动”翻转，前5次翻转得到的位置如图所示，跟踪点A的坐标可以得到点．，，，，…，那么第六次翻转后点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的旋转与坐标变化规律，解题关键是分析长方形每次翻转时顶点A坐标的变化情况，找出循环规律并据此计算指定次数翻转后点A的坐标． 分析长方形每次翻转后点A坐标的变化，找出每4次翻转的循环规律，确定一个循环内点A横向移动距离，计算6次翻转包含的循环数和剩余翻转次数， 根据循环规律和剩余翻转次数，计算第六次翻转后点A的横、纵坐标． 【详解】解：设长方形长为，宽为． 第一次翻转，以长方形右上角顶点为旋转中心，点位置没变，为． 第二次翻转，以长方形新的右上角顶点为旋转中心，点从到 ，此时横向移动距离等于长方形的长，纵向移动距离等于长方形的宽 ． 第三次翻转，以长方形新的右上角顶点为旋转中心，横向移动距离等于长方形的宽，纵向移动距离为得到 ． 第四次翻转，横向移动距离为，纵向移动距离为 ，得到， 可以看出每次翻转为一个循环，一个循环内点横向总共移动个单位． 因为，即经过个完整循环后，又进行了次翻转． 经过个完整循环，点横向移动了个单位． 新的一轮前两次翻转：第一次翻转横向移动距离等于长方形的长，第二次翻转横向移动距离等于长方形的宽，纵向移动距离等于长方形的宽 ． 所以的横坐标为，纵坐标为， 即坐标是 ； 故答案为： ． 10．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，． （1）四边形的面积为 ； （2）若轴上存在点，使的面积恰为四边形的面积的，则点坐标为 ． 【答案】 80 或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中四边形面积的计算，以及利用三角形面积公式求解特定点的坐标． （1）过作轴于点，过作轴于点，则，，，，，，，再根据求解即可； （2）设点坐标为，由题意得，即可得，解方程即可． 【详解】解：（1）过作轴于点，过作轴于点， 则，，，，， ∴，， ∴ ， 故答案为：80； （2）设点坐标为， ∵的面积恰为四边形的面积的， ∴， ∴，即， 解得， ∴点坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题 11．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：． (1)求a、b、c的值； (2)请直接判断与y轴的位置关系； (3)若平面内有一点，且点到的距离为5，请求出的面积； 【答案】(1)，， (2)平行 (3)或 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、非负数的性质、坐标与图形性质、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质得到、、，然后计算即可解答； （2）根据横坐标相同的两点构成的直线与y轴平行即可判断； （3）根据点到的距离为5以及点B、C的横坐标为4，可以求得m的值，然后根据m的值分两种情况求的面积即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ，，， ，，． （2）解：由（1）可知：，， 点、点的横坐标相同， 平行于轴． （3）解：点到的距离为5，，， ， ， 解得：或， 点的坐标为或， 点的坐标为， ， 当时，； 当时，． 综上，的面积为或． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图所示，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将变换成，则的坐标是______，的坐标是______． (2)若按第（1）题的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测的坐标是______，的坐标是______． 【答案】(1)， (2)， 【分析】考查了坐标与图形性质，坐标规律，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数次幂是解题的关键． （1）根据规律直接写出结论； （2）由题可得，点的规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3；点坐标规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0，再写出，的坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点的坐标为：． 又∵， ∴的横坐标为：，纵坐标为：0， ∴点的坐标为：． 故答案为：； （2）解：由，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3． 故的坐标为：． 由，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·重庆大足·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点，且a，b满足，连接． (1)请直接写出a，b的值； (2)若点满足的面积等于12，求点P的坐标； (3)如图2，动点C从点B出发，在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动，动点D从点O出发，在x轴上以每秒2个单位的速度向右运动，若点C，D同时出发，当的面积等于面积的2倍时，请直接写出点C的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据平方、算术平方根的非负性求解； （2）根据坐标可得，，根据求解； （3）设运动时间为t，则，，，当的面积等于面积的2倍时，，代入数值求出t的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解：由（1）得， ， ，， ， ， 解得或， 或； （3）解：设运动时间为t，则，， ， ， ， 当的面积等于面积的2倍时，， ， 解得或， 时，点C的纵坐标为：；. 时，点C的纵坐标为：； 点C的坐标为或． 【点睛】本题考查平面直角坐标系，非负数的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 14．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，a，b，c满足． (1)__________，__________，__________． (2)如图1，若点D为y轴负半轴上的一个动点，连接交x轴于点E，是否存在点D，使得的面积等于的面积？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若第一象限内的线段是由线段平移而成，点，连接，，若交于点Q． ①求与的面积差，并求出点Q的纵坐标（都用含n的式子表示）； ②若的面积为27，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)；6；4 (2) (3)①；；② 【分析】（1）根据非负数的性质即可求出a、b、c的值； （2）过点C作轴于N，连接交轴于M，连接，设，根据可建立方程求出，则；根据的面积等于的面积，可证明，则，即可得到，解方程即可得到答案； （3）①过点Q作轴于T，延长交y轴于H，连接，由平移的性质可得，则；设，则，根据，，可得，，可求出，则，据此可得； ②根据题意可得，解得，则． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点C作轴于N，连接交轴于M，连接，设， 由（1）可得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵的面积等于的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①如图所示，过点Q作轴于T，延长交y轴于H，连接， 由（1）得， ∵第一象限内的线段是由线段平移而成，点， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②∵的面积为27， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，非负性的性质等等，正确作出辅助线利用割补法转换图形的面积是解题的关键． 15．（25-26八年级上·四川广元·期中）在平面直角坐标系中，，，，且． (1)请直接写出点，，的坐标； (2)如图1，点在线段上，点从点出发沿轴负方向平移，线段轴，． ①当线段最短时，求的面积； ②点在运动过程中，探究，，之间的数量关系，并证明； (3)若第一象限的一点是射线上的一点． ①求与的数量关系； ②若点，点在线段上，直线将四边形分成面积之比为1：4的两部分，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)①②或 (3)①② 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行线的性质，非负性等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出的值，然后写出点的坐标即可； （2）①由垂线段最短可知，当时，最短，据此求解即可；②根据平行线的性质得解即可； （3）①由题易得，进而易得；②分两种情况讨论，的面积占总面积的或，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴，，； （2）解：①由垂线段最短可知，当时，最短， 如图，设与轴交于点， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴的面积； ②如图，当点在轴右侧时， ∵轴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，当点在轴左侧时， 同理可知：， ∴； 综上所述：或； （3）解：①如图，过作轴于点，则， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过作轴，轴，则， ∴， ∴； ②， 若，如图： 则，即，解得：， ∴， ∴； 若，如图： 则，即，解得：，（舍去）， 综上所述：； 8 / 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