第10讲 用坐标描述平面内点的位置（1知识点+6大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材人教版

第10讲 用坐标描述平面内点的位置 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：平面直角坐标系 1.平面直角坐标系的定义：两条互相垂直的共原点数轴组成．水平的数轴叫做横轴（x轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（y轴），取向上为正方向；两轴公共的原点为坐标原点． 注意：同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同． 2.点的坐标：如下图，由点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足A在x轴上的坐标是a，垂足B在y轴上的坐标是b，则点P的坐标为，其中a为点P的横坐标，b为点P的纵坐标． 3.象限和坐标轴： （1）第一象限内的点的坐标满足：，；（2）第二象限内的点的坐标满足：，； （3）第三象限内的点的坐标满足：x＜0，；（4）第四象限内的点的坐标满足：，. （5）x轴上的点的坐标满足：；（6）y轴上的点的坐标满足：； 注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限． 4.坐标系中的特殊直线： （1）与x轴平行的直线：所有点的纵坐标都相等，即直线为； （2）与y轴平行的直线：所有点的横坐标都相等，即直线为． （3）一、三象限角平分线：横坐标与纵坐标相等，且直线为； （4）二、四象限角平分线：横坐标与纵坐标互为相反数，且直线为． 5.点到特殊直线的距离： （1）点到x轴的距离为；到直线（m为常数）的距离为； （2）点到y轴的距离为；到直线（n为常数）的距离为． 【题型1 判断点所在的象限】 例1．在平面直角坐标系内，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特点，掌握象限中点的符号是解题的关键． 根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：∵第一象限的点的符号为，第二象限的点的符号为，第三象限的点的符号为，第四象限的点的符号为， ∴点在第二象限． 故选：B ． 例2．在平面直角坐标系中，下列位于第四象限的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了判断点所在的象限，解题关键是熟记各象限内点的特征． 根据各象限内点的特征，判断四个点所在的象限，再作出选择． 【详解】解：在第二象限，故A不符合； 在第三象限，故B不符合； 在第四象限，故C符合； 在第一象限，故D不符合， 故选：C ． 变式1．某公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件，为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了A，B两个关键点．若点在第四象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据各象限内的点的坐标的符号特征进行判断即可．熟练掌握各象限点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：点在第四象限， ，， 点在第二象限． 故选：B． 变式2．若点在第一象限，则点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了判断坐标轴中的点所在象限，正确判断点的横、纵坐标正负号是解题关键．先根据所在象限判断出、与零的大小关系，然后再判断的横纵坐标的正负情况即可． 【详解】解：∵在第一象限， ∴， 则， ∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数，点在第二象限， 故选：B． 【题型2 求点到坐标轴的距离】 例3．点到轴的距离是 ，到轴的距离是 ． 【答案】 2 3 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，掌握点到坐标轴的距离的计算是关键． 根据点到轴的距离为，点到轴的距离为，由此即可求解． 【详解】解：点到轴的距离是，到轴的距离是， 故答案为：①；② ． 例4．已知点，则点A到x轴的距离是 ；到y轴的距离是 ． 【答案】 4 2 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题关键．根据点的坐标即可得到点到坐标轴的距离． 【详解】解：点 到x轴的距离是4；到y轴的距离是2， 故答案为：4；2． 变式1．点到轴的距离是 ，到坐标原点的距离是 ． 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，点到点的距离，根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值及两点间距离公式即可求解，掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：到轴的距离是，到坐标原点的距离是， 故答案为：，． 变式2．点P在第四象限，且到x轴、y轴的距离分别为4、3．则点P的坐标是 ． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查了象限内点的坐标特征，点到坐标轴的距离，根据点P在第四象限，得出横坐标，纵坐标，再根据到x轴、y轴的距离分别为4、3，得出点P的坐标即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P在第四象限， ∴，， ∵点P到x轴、y轴的距离分别为4、3， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 【题型3 已知含参数的点在坐标轴上求点的坐标】 例5．已知点在y轴上，则 ． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握y轴上的点横坐标为0是解题的关键．根据y轴上的点横坐标为0可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：点在y轴上， ， 解得：， 故答案为：． 例6．如果点在直角坐标系的x轴上，那么点M的坐标为 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征. 根据x轴上点的纵坐标等于零，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：∵点在平面直角坐标系的 x 轴上 ∴ ∴ 所以 故答案为： 变式1．已知在第二象限内的点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了坐标与平面，点到坐标轴的距离，象限内点的坐标特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据题意可得点的横纵坐标互为相反数，据此即可建立方程求解． 【详解】解：∵第二象限内的点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 变式2．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点到轴的距离记作，到轴的距离记作． （1）若，则 ； （2）若点在第二象限，且（为常数），则的值为 ． 【答案】 10 2 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟知点到坐标轴的距离的定义是解题的关键． （1）点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，则，，据此代入t的值求解即可； （2）第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正，据此可得，，再根据建立方程求解即可． 【详解】（1）∵点的坐标为，将点到轴的距离记作，到轴的距离记作， ，， ， ，， ， 故答案为：10． （2）点在第二象限， ，， ，， ， ， 解得， 故答案为：2． 【题型4 已知点所在的直线平行于坐标轴求点的坐标】 例7．在平面直角坐标系中，已知点，． (1)点是否可能与原点重合，请说明理由； (2)若点在轴下方，且轴，，求和的值． 【答案】(1)点与原点可以重合，理由见解析 (2)， 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知点所在的象限求参数、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了坐标与图形，熟知点的坐标特点是解题的关键． （1）只需要验证同一个a值是否能使和同时成立即可； （2）平行于y轴的直线上的点横坐标相同，据此可得，再由得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：点与原点可以重合，理由如下： 当时，解得， 当时，， 点与原点可以重合； （2）解：轴，，，，且点在轴下方， ，， 解得，． 例8．已知点，试根据以下条件分别求出点A的坐标： (1)点A的横坐标比纵坐标大2； (2)已知点，且轴． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查点的坐标、解一元一次方程、坐标与图形，熟练掌握相关点的坐标特征是解题的关键， （1）根据横坐标比纵坐标大2列方程再求解即可； （3）根据点，且轴，得出，求出m的值，再求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标比纵坐标大2，， ∴， 解得：， ∴，， ∴点A的坐标为：； （2）解：∵点，且轴，， ∴， 解得：， ∴， ∴点A的坐标为：． 变式1．已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的坐标为，直线轴． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标轴上的点的坐标特点，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据轴上的点的纵坐标为，令，即可求得，进而求得的坐标； （2）根据，则的横坐标相同，令，即可求得，进而求得的坐标． 【详解】（1）解：点P在x轴上， ， 点P的坐标； （2）点Q的坐标为，直线轴， 解得 点P的坐标． 变式2．已知点的坐标为． (1)若点的坐标为，且直线轴，求点的坐标． (2)若点在第二象限，且到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点坐标的特点，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键． （1）根据平行于轴，纵坐标相等，可得，由此即可求解； （2）根据点在第二象限，且到轴、轴的距离相等，可得，，，由此即可求解． 【详解】（1）解：直线轴， ， 解得， ， 点的坐标为； （2）解：∵点到轴、轴的距离相等， ∴， 点在第二象限， ，， ， 解得， ，， 点的坐标为． 【题型5 平面直角坐标系性质有关的新定义型问题】 例9．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】(1)5 (2)或 (3)见解析 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，点到坐标轴的距离，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点到x轴的距离为5，到y轴的距离为3， ∴点A的“长距”为5． 故答案为：5． （2）解：点是“完美点”， ， 或， 解得：或； （3）解：点的长距为4，且点在第二象限内， ，解得， ， 点的坐标为， 点到轴、轴的距离都是5， 是“完美点”． 例10．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． (1)点的“长距”为_____； (2)若点是“完美点”，求的值； (3)若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“完美点”． 【答案】(1)5 (2)或 (3)见解析 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点到x轴的距离为5，到y轴的距离为3， ∴点A的“长距”为5． 故答案为：5； （2）解：点是“完美点”， ， 或， 解得：或； （3）解：点的长距为4，且点在第二象限内， ，解得， ， 点的坐标为， 点到轴、轴的距离都是5， 是“完美点”． 变式1．在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”，例如：点的“3级关联点”为，即， (1)已知点的“2级关联点”是点B，求点B的坐标； (2)已知点的“a级关联点”为，求的值； (3)已知点的“级关联点”N位于坐标轴上，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、写出直角坐标系中点的坐标、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查点的坐标，“关联点”的定义，列方程计算是解题的关键 （1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论； （2）根据关联点的定义，得到，，求出a，b的值代入计算解题； （3）根据关联点的定义得到点N，然后分为点N在x轴和y轴上计算即可． 【详解】（1）解：点的“2级关联点”是， 即点B的坐标为； （2）解：点的“a级关联点”为， 则，， 解得，， ∴； （3）解：点的“级关联点”为，即N， 当点N在x轴上时，，解得，这是点N， 当点N在y轴上时，，解得，这是点N， 综上所述，点N的坐标为或． 变式2．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“优距”，较小值称为点P的“劣距”，如果点P到x轴、y轴的距离相等，那么我们称点P为“等距点”． (1)点的“劣距”为________，这个距离是点A到________（填x或y）轴的距离； (2)若点是“等距点”，求a的值； (3)若点的“优距”为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，判断点D是否为“等距点”，并说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)点D是“等距点”，理由见解析 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于“新定义”类型题目，解题的关键是读懂题目里的定义． （1）根据“劣距”的定义解答即可； （2）根据“等距点”的定义解答即可； （3）由“优距”的定义求出值，然后根据“等距点”的定义判断即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点到轴的距离为，到轴的距离为， 点的“劣距”为，这个距离是点A到轴的距离， 故答案为：，； （2）点是“等距点”， ， 或， 解得或； （3）点D是“等距点”． 理由如下： 点的“优距”为4，且点C在第二象限内， ，解得， ，， 点D的坐标为， 点D到x轴、y轴的距离都是3， 点D是“等距点”． 【题型6 坐标与图形】 例11．已知：，， (1)在坐标系中描出各点，画出； (2)求的面积； (3)设点P在y轴上，且与的面积相等，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)点的坐标为或 【知识点】坐标系中描点、坐标与图形 【分析】本题考查的是坐标与图形，三角形的面积的计算，清晰的分类讨论是解本题的关键； （1）根据A，B，C的坐标描出各点，再连接即可； （2）过点向、轴作垂线，垂足为、，再利用割补法求解面积即可； （3）根据的面积求出，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：为所求， （2）解：过点向、轴作垂线，垂足为、． 四边形的面积，的面积， 的面积，的面积 的面积四边形的面积的面积的面积的面积 ． （3）解：∵点在轴上， ∴的面积， 即，解得：． 所以点的坐标为或． 所以点的坐标为或． 例12．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)点落在轴正半轴，且到原点的距离为3，则_， _； (2)在（1）的条件下，在平面坐标系中画出，并求出的面积； 【答案】(1)0，3 (2)作图见解析，7 【知识点】利用网格求三角形面积、坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形、割补法求三角形面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据点落在轴正半轴，且到原点的距离为3，即可得出答案； （2）先画出，再利用割补法求三角形面积即可． 【详解】（1）解：∵点落在轴正半轴，且到原点的距离为3， ∴，， 故答案为：0，3； （2）解：如图，就是求作的图形， ， ． 变式1．在如图所示的平面直角坐标系中表示下面各点：；；；；；；． (1)点到原点的距离是________． (2)将点向轴的负方向平移个单位，它与点________重合． (3)连接，则直线与坐标轴是什么关系？ (4)点分别到、轴的距离是多少？ 【答案】(1) (2) (3)直线轴或轴 (4)点到轴的距离为，到轴的距离为 【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标与图形 【分析】此题主要考查了直角坐标系中点的坐标特征以及平移的性质，根据坐标系得出各点的位置是解题关键． （1）根据点坐标可得出点在轴上，即可得出点到原点的距离； （2）根据点的平移的性质得出点平移后的坐标，即可求解； （3）利用图形性质得出直线与坐标轴的位置关系； （4）利用点的横纵坐标得出点分别到、轴的距离． 【详解】（1）解：如图，各点在坐标轴中表示为： ， 点到原点的距离是， 故答案为：； （2）， 将点向轴的负方向平移个单位，则坐标为，它与点重合， 故答案为：； （3）由图可知，直线轴或轴； （4）， 点到轴的距离为，到轴的距离为． 变式2．如图，平面直角坐标系中，点，，． (1)点C到y轴的距离为______； (2)求的面积； (3)若点P的坐标为， ①直接写出线段的长为______；（用含m的式子表示） ②当时，求点P的坐标． 【答案】(1)1 (2) (3)①；②或 【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标与图形 【分析】本题考查图形与坐标，结合图形，理解题意是解决问题的关键． （1）根据点的坐标即可求解； （2）利用长方形减去周围三个小直角三角形的面积即可求解； （3）①根据，两点坐标即可求解； ②根据，，，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴点到轴的距离为1， 故答案为：1； （2）的面积为； （3）①∵，， ∴， 故答案为：； ②∵，，， ∴，即， ∴或， ∴点的坐标为或． 一、单选题 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点位于第二象限，的值可能是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点所在的象限求参数．根据第二象限点的坐标特征（横坐标为负，纵坐标为正），判断的取值范围，再对比选项． 【详解】解：点位于第二象限， 横坐标，纵坐标． 选项A、B、C均不大于0，只有选项D中的， 故选：D． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）已知直线轴，且，则的长为(        ) A．4 B．5 C．9 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离．由轴可知点与点的横坐标相等，据此求出的值，再计算纵坐标之差的绝对值即为的长度． 【详解】解：轴， 点与点的横坐标相等， 即， ， ． 此时点的纵坐标为，点的纵坐标为， 的长度为． 故选：B． 3．（2025八年级上·上海·专题练习）下列说法不正确的是（   ） A．若，则点到轴、轴的距离相等 B．已知点，，则轴 C．若满足，则点在轴上 D．点一定在第二象限 【答案】C 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，包括点到坐标轴的距离、点与点的位置关系、坐标轴上点的特征以及象限内点的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到轴的距离等于横坐标的长度对各选项分析判断即可得解． 【详解】解： A、∵点到轴的距离为，到轴的距离为， 若，则， ∴，即距离相等，此选项正确，故不符合题意； B、∴点，的纵坐标相同， ∴轴，此选项正确，故不符合题意； C、∵若，则或，点在轴或轴上， ∴不一定在轴上，此选项不正确，故符合题意； D、∵，， ∴点A在第二象限，此选项正确，故不符合题意； 故选：C． 4．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，线段的端点，的坐标分别为，，，，且，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标以及平行线的性质． 根据已知条件求出和的长度，再结合平行线的性质确定点的坐标． 【详解】解：∵ , , ∴， ∵，， 又∵，， ∴，， ∴点横坐标为，点纵坐标为， ∴． 故选：． 二、填空题 5．（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点在第 象限，它到轴的距离是 ． 【答案】 三 5 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握各象限内点的坐标特征以及点到坐标轴的距离的意义是解题的关键． 根据点的横纵坐标符号判断象限，点到轴的距离等于横坐标的绝对值求解即可． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标， ∴点在第三象限； 点到轴的距离为． 故答案为：三，5． 6．（25-26八年级上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征．根据轴上点的纵坐标为零的特征，令点的纵坐标等于，求解的值． 【详解】解：点在轴上， 纵坐标， 解得． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·江苏常州·月考）如果点P在第二象限内，点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，那么点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标系中点的坐标特征，掌握好点的坐标与点到坐标轴的关系是关键． 根据第二象限内点的坐标特征，横坐标为负，纵坐标为正；点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，由此求解． 【详解】点P到x轴的距离是3，因此纵坐标的绝对值为3，即；点P到y轴的距离是4，因此横坐标的绝对值为4，即．由于点P在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，故，，即点P的坐标为． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）在平面直角坐标系中，，，，点P在y轴上，且与的面积相等，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形面积的计算，利用点的坐标求三角形面积是解题关键，设点的坐标为，则，根据题意可得，即，解之即可得到答案． 【详解】解：设点的坐标为， ， ， 与的面积相等， ， ， 或， 点的坐标为或． 故答案为：或． 三、解答题 9．（25-26七年级上·山东淄博·月考）在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)若点P到x轴和y轴的距离相等，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据点P在x轴上，得到，解答即可； （2）根据点P到x轴和y轴的距离相等，得到，解绝对值方程，解答即可． 本题考查了点到坐标轴的距离，在x轴上的点的坐标特点，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】（1） 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴P； （2）解：由题意得，， ∴或 解得或， 当时，，， 故此时； 当时，， 此时， 综上所述，点P的坐标为或． 10．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，， (1)求的面积； (2)点P是y轴上一动点，当面积为面积的两倍时，求点P的坐标． 【答案】(1)10 (2)或 【分析】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标、三角形的面积等知识点，灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）先求出，再根据点C的坐标知点C到的距离为4，然后根据三角形的面积公式求解即可； （2）设点P坐标为，根据三角形面积公式得，再根据面积为面积的两倍时，然后解方程求得m的值，即可确定点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，点C到的距离为4， ∴． （2）解：设点P坐标为，即，， ∵面积为面积的两倍 ∴，即，解得：， ∴点P坐标为或． 11．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知点，解答下列各题． (1)若点P在y轴上，求点P的坐标． (2)若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标． (3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟知坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解答本题的关键． （1）根据在y轴上的点横坐标为0，得到，解出的值，由此得到答案． （2）根据直线轴，得到，解出的值，由此得到答案． （3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到与互为相反数，故，解出的值，由此得到答案． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴， ∴． （2）解：∵直线轴， ∴， 解得， ∴， ∴． （3）解：∵点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ∴， 解得， 此时点， ∴． 12．（25-26七年级上·山东淄博·月考）对于平面直角坐标系中的点，若的d坐标为，其中为常数，且，则为的“系关联点”，比如：的“2系关联点”为，即：． (1)的“3系关联点”为______； (2)若点的“系关联点”为，且满足，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查坐标及其运算，如何理解题意是解题的关键． （1）根据的“2系关联点”为，即：，则的“3系关联点”为，即； （2）根据的“2系关联点”为，即，则的“系关联点”为，即，所以，由即可得出结果． 【详解】（1）解：的“3系关联点”为，即； 故答案为： （2）解：点的“系关联点”为， ，， 又， ， ． 13．（25-26八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”例如，点的“级关联点”为，即． (1)已知点的“级关联点”是点，求点的坐标． (2)已知点的“级关联点”位于轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了点的坐标，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论． （2）根据关联点的定义和点的“级关联点”位于轴上，即可求出的坐标． 【详解】（1）解：点的“级关联点”是点， ． （2）点的“级关联点”为， ， 位于轴上， ，解得 ， ． 14．（25-26八年级上·甘肃兰州·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______： (2)若点是“角平分线点”，求的值； (3)若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)点是“角平分线点”，理由见解析． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，理解新定义“长距”和“角平分线点”的含义，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）直接计算点到坐标轴距离的较大值； （2）根据“角平分线点”定义列方程求解； （3）先由点的长距和所在象限求出的值，再判断点的坐标是否满足“角平分线点”条件即可． 【详解】（1）解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴较大值为， ∴点的“长距”为， 故答案为：； （2）解：∵点是“角平分线点”， ∴， 即， ∴或 ， 解得或； （3）解：点是“角平分线点”，理由如下， ∵点的长距为，且点在第二象限内， ∴点的横坐标，纵坐标， 到轴的距离为，到轴的距离为， ∵点的长距为， ∴， 解得， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， 即点到轴和轴的距离相等， ∴点是“角平分线点”． 15．（25-26八年级上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，C是第一象限的点，过C点作轴于点，点是y轴正半轴上的一点，且a，b满足，． (1)求A点，B点坐标； (2)求C点坐标； (3)点D为x轴上一点，若，求D点坐标； 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，点的坐标，坐标与图形，熟练掌握利用坐标求图形的面积是解题的关键． （1）利用算术平方根的非负性、绝对值的非负性、非负数的性质求出a、b值，即可得出结果； （2）根据梯形的面积公式求出的长，即可得出结果； （3）设点D的坐标为，分四 种情况：①当点D在上时，即，②当点D在x轴负半轴上时，即，③当点D在点A右边，且在直线下方，即时，④当点D在点A右边，且在直线上方，即时，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵ ∵，， ∴，， 解得：，， ∴，； （2）解：∵轴于点， ∴设点C的坐标为， ∵ ∴ ∴点C的坐标为． （3）解：设点D的坐标为， ∵，， ∴点关于点对称的对称点恰好在轴上，即直线与轴交于点， 分三种情况：①当点D在上时，即，如图， ∵ ∴ 解得： ∴点D的坐标为； ②当点D在x轴负半轴上时，即，如图， ∵ ∴ 解得：不符合题意，舍去； ③当点D在点A右边，且在直线下方，即时，如图， ∵ ∴ 解得：，不符合题意，舍去； ④当点D在点A右边，且在直线上方，即时，如图 ∵ ∴ 解得： ∴点D的坐标为； 综上，若，点D的坐标为或． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第10讲用坐标描述平面内点的位置 州内容导航 一一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01 析教材学知识 ☑知识点1：平面直角坐标系 1.平面直角坐标系的定义：两条互相垂直的共原点数轴组成.水平的数轴叫做横轴(x轴)，取向右为正方 向；竖直的数轴叫做纵轴(y轴)，取向上为正方向；两轴公共的原点为坐标原点. 注意：同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同。 2.点的坐标：如下图，由点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足A在x轴上的坐标是a,垂足B在y轴上的坐 标是b,则点P的坐标为(a,b),其中a为点P的横坐标，b为点P的纵坐标. 3.象限和坐标轴： (1)第一象限内的点(x,y)的坐标满足：x>0,y>0:(2)第二象限内的点(x,y)的坐标满足：x<0, y>0: (3)第三象限内的点(x,y)的坐标满足：x<0,y<0;(4)第四象限内的点(x,y)的坐标满足：x>0, y<0. (5)x轴上的点(x,y)的坐标满足：y=0;(6)y轴上的点（化，y)的坐标满足：x=0; 注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限. 4.坐标系中的特殊直线： (1)与x轴平行的直线：所有点的纵坐标都相等，即直线为y=m; (2)与y轴平行的直线：所有点的横坐标都相等，即直线为x=n. 1/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)一、三象限角平分线：横坐标与纵坐标相等，且直线为x=y; (4)二、四象限角平分线：横坐标与纵坐标互为相反数，且直线为x=-y· 5.点到特殊直线的距离： (1)点(a,b)到x轴的距离为引b1;到直线y=m(m为常数)的距离为b-m: (2)点(a,b)到y轴的距离为引a;到直线x=n(n为常数)的距离为a-n|. 02 练题型强知识 【题型1判断点所在的象限】 例1.在平面直角坐标系内，点A-1,6)位于() A.第一象限 B.第二象限 C,第三象限 D.第四象限 例2.在平面直角坐标系中，下列位于第四象限的点的坐标是（) A.-3,3 B.（-3,-3列 C.(3,-3) D.(3,3) 变式1.某公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件，为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置 了A,B两个关键点.若点Aa,b)在第四象限，则点Bb,@在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 变式2.若点A-a,b)在第一象限，则点B(ab,a2+1一定在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【题型2求点到坐标轴的距离】 例3.点M(-3,2)到x轴的距离是一，到y轴的距离是 例4.已知点A(2,4),则点A到x轴的距离是」 ;到y轴的距离是 变式1.点P(3,-4)到x轴的距离是一，到坐标原点的距离是一 变式2.点P在第四象限，且到x轴、y轴的距离分别为4、3.则点P的坐标是 【题型3已知含参数的点在坐标轴上求点的坐标】 例5.已知点P(2a-4,a+3)在y轴上，则a=一 例6.如果点M(a+3,a+1)在直角坐标系的x轴上，那么点M的坐标为」 变式1.已知在第二象限内的点P的坐标为(2a-3,6+a),且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标 是一 变式2.在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为2-1,2)，将点M到x轴的距离记作d,到y轴的距离 记作d. (1)若t=4,则d1+d2= 2/8 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若点M在第二象限，且md,-4d2=8(m为常数)，则m的值为 【题型4己知点所在的直线平行于坐标轴求点的坐标】 例7.在平面直角坐标系中，已知点A(a-3,6-2a),B(b,3). (I)点A是否可能与原点重合，请说明理由： (2)若点A在x轴下方，且AB∥y轴，AB=7,求Q和b的值. 例8.已知点A(3m+1,m-3),试根据以下条件分别求出点A的坐标： (1)点A的横坐标比纵坐标大2； (2)已知点Q1,2),且AQ∥x轴 变式1.已知点P(a-2,2a+8),分别根据下列条件求出点P的坐标. (1)点P在x轴上： 2)点Q的坐标为(5，-1)，直线PQ∥y轴. 变式2.已知点M的坐标为3a-2,a+6. (1)若点N的坐标为2,4)，且直线MN∥x轴，求点M的坐标 (2)若点M在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等，求点M的坐标. 【题型5平面直角坐标系性质有关的新定义型问题】 例9.在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离的较大值称为点P的长距”，点Q到 x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”. (1)点A(-3,5)的“长距”为 ; (2)若点B(4-2a,-2)是“完美点”，求a的值： (3)若点C(-2,3b-2)的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为9-2b,-5),试说明：点D是“完美点” 例10.在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到 x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”. (1)点A(-3,5)的“长距”为 (2)若点B(4-2a,-2是“完美点”，求a的值； (3)若点C(-2,3b-2)的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为(9-2b,-5),试说明：点D是“完美点”. 变式1.在平面直角坐标系中，对于点P(x,y),若点Q的坐标为(ar+y,x+ay),其中a为常数，则称点Q 是点P的“a级关联点”，例如：点P(1,4)的3级关联点”为Q3×1+4,1+3×4,即0(7,13)， (I)已知点A2,6)的2级关联点”是点B,求点B的坐标； (2)己知点P(2,-1)的“a级关联点”为(9，b),求a+b的值； 3/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)已知点M(m-1,2m)的-3级关联点”N位于坐标轴上，请直接写出点N的坐标 变式2.在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“优距”，较小 值称为点P的“劣距”，如果点P到x轴、y轴的距离相等，那么我们称点P为“等距点”. (1)点A(-5,10)的劣距”为 ,这个距离是点A到 (填x或y)轴的距离； (2)若点B(4-2a,-6是“等距点”，求a的值； (3)若点C(-2,3b-2)的“优距”为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为9-3b,b-5),判断点D是否为等 距点”，并说明理由. 【题型6坐标与图形】 例11.已知：A(0,1,B(2,0),C4,3 y 5432 6-5-4-3-2-1 0123456x 3 (1)在坐标系中描出各点，画出ABC; (2)求ABC的面积： (3)设点P在y轴上，且△ABP与ABC的面积相等，直接写出点P的坐标. 例12.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-5,2),B(-4,5,C(m,n). 5 4 3 654-32-9123456 2 3 6 (1)点C落在y轴正半轴，且到原点的距离为3，则=，N=一； (2)在(1)的条件下，在平面坐标系中画出ABC,，并求出ABC的面积； 变式1.在如图所示的平面直角坐标系中表示下面各点：A(0,3);B1,-3；C(3,-5)；D(-3,-5列； 4/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E3,5:F(5,7;G5,0. 8 6 3以 8-16-5-4-3.-2-191.2.34567.8 51 8十 (1)A点到原点的距离是 (2)将点C向x轴的负方向平移6个单位，它与点 重合. (3)连接CE，,则直线CE与坐标轴是什么关系？ (④)点F分别到x、y轴的距离是多少？ 变式2.如图，平面直角坐标系xOy中，点A0,1,B2,0,C(1,3). 个y B -2-10 -2 (1)点C到y轴的距离为 (2)求ABC的面积： (3)若点P的坐标为m,0), ①直接写出线段BP的长为 ;（用含m的式子表示) ②当SP4B=SAC时，求点P的坐标. 03 串知识识框架 5/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.平面直角坐标系的定义 2.点的坐标 用坐标描述平面内点的 位置 3.象限和坐标轴 4.坐标系中的特殊直线 5.点到特殊直线的距离 04过关测稳提升 一、单选题 1.(24-25八年级上四川成都期末)在平面直角坐标系中，点A(-2,位于第二象限，a的值可能是() A.-V5 B.-2 C.0 D.5 2.(25-26八年级上安徽合肥月考)已知直线MN∥y轴，且M(3m-6,m-2),N(-3,4),则MW的长为() A.4 B.5 C.9 D.15 3.(2025八年级上·上海·专题练习)下列说法不正确的是() A.若x+y=0,则点P(x,y)到x轴、y轴的距离相等 B.己知点P(2,3),Q(-5,3,则P0∥x轴 C.若P(x,y)满足y=0,则点P在x轴上 D.点A-a2-1,b+一定在第二象限 4.(25-26八年级上安徽宿州月考)如图，线段AB的端点A,B的坐标分别为1,6)，(3,6)，AB⊥BC, ABCD,且AB=8C=CD,则点D的华标为()。 A B D 0 A.(8,2 B.(9,2 C.(8,3) D.(9,3 二、填空题 6/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(25-26八年级上·四川成都期中)在平面直角坐标系中，点P(-5,-3)在第」 象限，它到y轴的距离 是一· 6.(25-26八年级上广东佛山期中)在平面直角坐标系中，点P(2m+4,m-1在x轴上，则m的值为 7.(25-26八年级上江苏常州月考)如果点P在第二象限内，点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4， 那么点P的坐标为一 8.(25-26八年级上江苏宿迁·月考)在平面直角坐标系中，A(0,1),B(2,0,C(4,3),点P在y轴上，且 △ABP与ABC的面积相等，则点P的坐标为 三、解答题 9.(25-26七年级上山东淄博·月考)在平面直角坐标系中，点P的坐标为x-3,2x+). (I)若点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)若点P到x轴和y轴的距离相等，求出点P的坐标. 10.(25-26八年级上福建漳州期中)如图，在平面直角坐标系中，点A(-3,0),B(2,0),C(1,4 A B -3-2-1O12x (I)求ABC的面积： (2)点P是y轴上一动点，当△ABP面积为ABC面积的两倍时，求点P的坐标. 11.(25-26八年级上浙江杭州期中)己知点P(2a-2,-a+5),解答下列各题. (I)若点P在y轴上，求点P的坐标. (2)若点Q的坐标为4,5)，直线PQ∥y轴，求点P的坐标 (3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求(a+2)2025的值， 12.(25-26七年级上山东淄博·月考)对于平面直角坐标系x0y中的点M(a,b),若N的d坐标为ka,b+k) ,其中k为常数，且k≠0，则N为M的“k系关联点”，比如：M(2,3)的2系关联点”为N(2×2,3+2),即： N(4,5). (1)-1,2)的3系关联点”为 (2)若点P(m,-2)的“-1系关联点”为Qx,y),且满足x+y=-9,求m的值. 13.(25-26八年级上·全国·期中)在平面直角坐标系x0y中，对于点P(x,y),若点Q的坐标为 (ax+y,x+ay),其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”例如，点P(1,4)的3级关联点”为 7/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 03×1+4,1+3×4),即0(7,13). (1)已知点A-2,6)的“2级关联点”是点4，求点4的坐标。 (2)己知点M(m-1,2m)的“-3级关联点”M'位于y轴上，求点M'的坐标. 14.(25-26八年级上·甘肃兰州月考)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较 大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”. (1)点A(-3,5)的“长距”为： (2)若点B(4-2a,-2是“角平分线点”，求a的值； (3)若点C(-2,3b-2)的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为(9-2b,-5),请判断点D是否为“角平 分线点”，并说明理由、 15.(25-26八年级上广东佛山期中)在平面直角坐标系中，C是第一象限的点，过C点作CA1x轴于点 Aa,0),点B(0,b)是y轴正半轴上的一点，且a,b满足Va-3+b-4=0,S四边形4o8c=9. B 备用图1 备用图2 (1)求A点，B点坐标； (2)求C点坐标； (3)点D为x轴上一点，若SBCD=5,求D点坐标； 8/8