第09讲 解题技巧专题：平方根与立方根综合问题（3知识点+7大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材人教版

第09讲 解题技巧专题：平方根与立方根综合问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 1.概念与表示 平方根（）是平方等于a的数，立方根（）是立方等于a的数。注意平方根有正负（a≥0），立方根符号唯一（a为实数）。 2.核心性质 平方根具有非负性（主根≥0），立方根保号性。掌握=|a|，=a，以及双重根式、互为相反数的立方根关系。 3.综合应用 常见于方程求解、实数比较、几何问题（如体积边长换算）。需注意运算优先级，结合绝对值讨论，并利用估算验证结果合理性。 【题型1 利用算术平方根的非负性解题】 例1．（25-26七年级下·全国·课后作业）若实数x，y，z满足，则的平方根为 ． 【答案】±2 【分析】本题考查的是算术平方根、平方根，掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 根据非负数的性质，平方根和绝对值均为非负数，它们的和为零时，每个部分均为零，从而求出的值． 【详解】解：， ，，， 解得，，． 则， ， 的平方根为， 的平方根为． 故答案为：． 例2．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若，为有理数且，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根及平方根的定义，根据算术平方根的定义得到被开方数为非负数，即可确定的值，再求的值，进而确定的平方根．掌握算术平方根及平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 故答案为：． 变式1．（25-26八年级上·四川内江·期中）已知实数x，y满足，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根的定义，根据算术平方根的非负性求出，再代入求的值，然后计算，最后求其平方根即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， 当时，， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 变式2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）已知实数满足的平方根等于它本身，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，代数式求值，平方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关知识点． 根据算术平方根的被开方数非负，求出a的值，进而求出b的值；再由平方根的定义求出c的值，代入表达式计算即可． 【详解】解：∵被开方数，且， ∴， ∴，即， 代入原式得， ∴， ∵的平方根等于它本身， ∴， 则， 故答案为：． 【题型2 利用平方根与立方根解方程】 例3．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了利用立方根和平方根解方程，熟练掌握立方根和平方根的定义是解题的关键． （1）利用立方根的性质解方程即可； （2）利用平方根的性质解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 或 或． 例4．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）求下列各式中x值： (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）将原方程整理得，再等号两边同时开立方，得到一个一元一次方程，即可求解． （2）将原方程整理得，再等号两边同时开平方，得到两个一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 两边同时开立方，得 解得． （2）解： 两边同时开平方，得或 解得，． 变式1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平方根和立方根的知识，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据立方根的定义解方程即可； （2）根据平方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， 或， 或． 变式2．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 当时，， 当时，， 或； （2）解：， ， ， ， ． 【题型3 求算术平方根的整数部分和小数部分】 例5．（25-26八年级上·陕西西安·月考）若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了对无理数整数部分和小数部分概念的理解与求解．解决本题的关键在于找到与根号下数字相邻的两个完全平方数． 通过比较平方数确定的整数范围，从而得出整数部分和小数部分． 【详解】解：∵，所以， ∴的整数部分，小数部分． 故答案为：，． 例6．（25-26八年级上·江西抚州·月考）的整数部分是，小数部分是，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，能够正确的估算出无理数的大小，是解答此类题的关键． 先估算的值，确定其整数部分a和小数部分b，再代入表达式进行计算． 【详解】解：，即 的整数部分是，小数部分是， ， 故答案为：． 变式1．（25-26七年级上·北京·期中）如果的整数部分是a，小数部分是b，那么= ． 【答案】8 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出的范围，进而得到的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，． ∴． 故答案为：8． 变式2．（25-26七年级上·全国·期末）已知的算术平方根是3，b是的整数部分，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，无理数的估算．根据算术平方根的定义和无理数的估算，先求出a和b的值，再计算代数式的值，最后求平方根，即可作答． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴， 解得， ∵， ∴ ∵b是的整数部分， ∴， 则， ∴16的平方根是， 故答案为：． 【题型4 平方根与立方根的综合】 例7．（24-25八年级上·四川攀枝花·期中）已知一个非负数c的平方根是与，的算术平方根是4． (1)求a，b，c的值； (2)求的立方根． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了平方根、算术平方根以及立方根的性质，解题的关键是熟练掌握平方根、算术平方根以及立方根的性质． （1）根据一个非负数c的平方根是与得到方程，即可求解，然后即可求解；根据的算术平方根是4得到，结合求解的，即可求解； （2）将求得的值代入，求解该代数式的值，再求解立方根． 【详解】（1）解：∵ 一个非负数c的平方根是与， ∴ ， 解得， ∴， ∴ ； ∵的算术平方根是4， ∴， 代入，得， 解得 ； （2）解：∵，，， ∴ ， ∴ 的立方根为． 例8．（25-26八年级上·四川眉山·月考）已知一个正数的平方根分别为和． (1)求正数的值． (2)若求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根、立方根、非负数的性质，掌握算术平方根、绝对值的非负性是解题的关键． （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数求出的值，进而即可求解； （2）根据算术平方根、绝对值、一个数的平方的非负性求出，，的值，再求立方根即可． 【详解】（1）解：因为一个正数的两个平方根互为相反数， 所以， 解得 所以 （2）由， 可知，，， 解得，，， 所以， 变式1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知3是的平方根，是的立方根，是的整数部分， (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；；； (2)． 【分析】本题考查了平方根、立方根及无理数的估算，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平方根、立方根的定义和无理数的估算方法解答即可； （2）把（1）所得x，y，z的值代入代数式，求出代数式的值，再根据平方根的定义即可求解. 【详解】（1）解：因为3是的平方根， 所以， 解得； 因为是的立方根， 所以； 因为，是的整数部分， 所以； （2）解：因为， 所以的平方根为． 变式2．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，已知点A表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为______； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的算术平方根． 【答案】(1) (2)的算术平方根是3． 【分析】（1）根据A点表示的数及平移的方向与距离，列出算式求出B点表示的数； （2）先根据绝对值、算术平方根的非负性，求出c、d，再代入，求出的算术平方根． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B， ∴点B表示的数为， 故答案为：； （2）解：∵与互为相反数， ∴，， ∴，， ∴的算术平方根是， 即的算术平方根是3． 【题型5 与算术平方根有关的规律探索题】 例9．（25-26八年级上·福建漳州·月考）【实践与探究】 计算：（1） ______， ______， ______， ______． 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来； （3）利用你总结的规律，计算： ①若，则______；②______． 【答案】（1）3，0.5，0，6；（2）；（3）①，② 【分析】本题考查了算术平方根的定义，实数的绝对值，规律的探索及规律的应用；正确掌握算术平方根的定义是关键． （1）直接计算算术平方根即可； （2）根据（1）中的计算即可得到规律，并可用字母表示出来； （3）①直接利用总结出的规律计算即可； ②直接利用总结出的规律计算即可． 【详解】（1）解：，，，； （2）解：规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值； 用数学式子表示为：； （3）解：①当时，， ∴； 故答案为：； ②； 故答案为：． 例10．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查算术平方根、完全平方公式及规律问题，解题的关键是找到题中的一般规律． （1）由题意可直接进行求解； （2）根据题意及完全平方公式可找出规律； （3）由（2）中的规律可进行求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意得， ， ， ， …… 以此类推：； （3）解：原式 ． 变式1．（25-26八年级上·四川宜宾·月考）阅读下列解题过程：；；；…… (1)计算：_______；_______； (2)按照你所发现的规律，猜想：____（为正整数）； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）解：； ， 故答案为：；； （2）解：依据上述运算的规律可得：， 故答案为：； （3）解： ． 变式2．（2025七年级上·全国·专题练习）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【详解】（1）解：∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； ∴根据规律可猜测第五个等式为； （2）解：根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）解：依题意，根据规律可化简： 原式 ． 【题型6 与立方根有关的规律探索题】 例11．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）观察规律并回答下列问题：，，，…． (1)______，______； (2)若，，则______；（用含的代数式表示） (3)当时，根据上述规律比较与的大小关系． 【答案】(1)， (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了立方根、与立方根有关的规律探索，正确发现一般规律是解题关键． （1）根据已知可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位，由此即可得； （2）根据上述规律和可得，由此即可得； （3）根据立方根的性质可得，，再根据上述规律可得，，则、和三种情况进行分析即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：． （3）（3）由题意知，，． ①当时，； ②当时，，此时； ③当时，． 综上，当时，；当时，；当时，． 例12．（25-26八年级上·河南郑州·期中）观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 【答案】（1）①见解析；②1；（2）①；②1248平方米． 【分析】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． （1）根据立方根的定义求出1，1000的立方根即可，； （2）①根据规律得到即可；②根据规律求出的值，再根据正方体表面积的计算方法求出表面积即可． 【详解】解：（1）①，， 补全表格如下： a 1 1000 1000000 1 10 100 ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右或向左移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位， 故答案为：1； （2）①， 故答案为：； ②正方体的体积为3000立方米， 正方体的棱长为：米 需要铁皮的面积为平方米 变式1．（25-26八年级上·河南平顶山·月考）观察下列式子： ①；②； ③；④． 根据上述等式反映的规律，回答下列问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式： ； (2)由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若 ，则反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的立方根． 【答案】(1)答案不唯一，见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了与立方根有关的规律探索，相反数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察题干的过程，即可作答． （2）观察等式①②③④，再总结式子所反映的规律，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（答案不唯一） （2）解：由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若，则反之也成立； 故答案为：， （3）解：∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴x的立方根是． 变式2．（25-26八年级上·广东河源·月考）（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 【答案】（）（答案不唯一）；（）；（）；． 【分析】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质，求一个数的算术平方根，求平方根等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据（）规律求出的值，然后代入即可求解； 根据（）规律求出的关系，再结合即可求出的值． 【详解】解：（）； ； ； ； ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （）解：由； ； ； ； ， ∵， ∴， 故答案为：； （）由若，根据（）规律得，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型7 与实数运算相关的规律探索题】 例13．（2025七年级下·江西·专题练习）【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了与实数运算有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意可得规律，的正整数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； …； ∴，的正整数， ∴． （2）解： ． 例14．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2)第个等式为 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究与化简计算，通过观察等式特征总结规律是解题的关键． （1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【详解】（1）解：被开方中，分子为，分母为，结果为， 第个等式：分子为，分母为，结果为， 第个等式：． （2）解：根据第（1）问得出的结论，第个等式为． （3）解：原式 ． 变式1．（25-26九年级上·安徽淮南·开学考试）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设+···+，求不超过m的最大整数是多少？ 【答案】(1) (2)2025 【分析】本题考查了实数的运算，实数大小比较，数字的变化类，掌握实数的运算法则是关键． （1）根据题干列举的等式，即可得出答案； （2）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）+···+， ， ， ， ∴不超过m的最大整数是2025． 变式2．（24-25八年级上·广东茂名·期中）阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数字的规律探索，算术平方根，熟练掌握运算法则，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意结合算术平方根的运算法则计算即可得解； （2）根据题干所给例子得出结论即可； （3）根据（2）中得出的规律计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，； （2）解：由题意可得：（为自然数）； （3）解：． 一、单选题 1．（2025·甘肃武威·模拟预测）若，则的平方根是（ 　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式、非负数的性质以及平方根的定义．将方程左边配成完全平方式可得，利用非负数的和为零则每个非负数为零的性质，求出和的值，再计算的平方根即可解答． 【详解】解：， ， ，， 且， ，， 即，， ， 的平方根为， 故选． 2．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如果x、y分别是的整数部分和小数部分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用不等式的性质确定出的范围是解题的关键． 先估算出的大小，然后利用不等式的性质得到的范围，从而得到x、y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）已知的算术平方根是2，的立方根是0，则的平方根为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根以及立方根的性质．根据算术平方根以及立方根的性质，先求出a和b的值，再计算的值，最后求其平方根，即可． 【详解】解：∵的算术方根是2，的立方根是0， ∴，， ∴， ∴的平方根为0． 故选：B 4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是数的规律问题，考查了学生归纳能力，找出规律是本题的关键． 找到数的排列规律：行数与该行数的个数相同，且所有数是从1开始的自然数的算术平方根，根据此规律可求得结果． 【详解】解：第1行到第10行共有：个数，即第10行最后一个数为， ∴第11行从开始，则此行第4个数为； 故选：D． 二、填空题 5．（25-26八年级上·四川达州·月考）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，求一个数的算术平方根，将原等式化为非负数的和为0的形式，求出的值，再根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律题．通过观察已知条件，利用平方根的性质，被开方数扩大10000倍，平方根扩大100倍，将所求式子转化为已知近似值的形式，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）若是的算术平方根，，则的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是立方根及算术平方根的定义，掌握立方根及算术平方根的定义是解题的关键．根据题意列出关于、的方程，求出、的值，即可求解． 【详解】∵是的算术平方根， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴的立方根为， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·四川凉山·期末）已知的算术平方根是，的立方根是3，c是的整数部分，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查估算无理数的大小，算术平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的定义，掌握估算无理数的方法是正确解答的前提．根据算术平方根、立方根以及估算无理数的大小确定、、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵的算术平方根是5， ， 解得：， ∵的立方根是3， ∴ 解得：， ∵， ∴， ∴， 是的整数部分， ， ∴， ∵25平方根为， ∴的平方根为． 故答案为;． 三、解答题 9．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）求x的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的应用，解题的关键是掌握求一个数的平方根和立方根． （1）根据求一个数的平方根解方程； （2）根据求一个数的立方根解方程． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得或； （2）解：， ， ， 解得． 10．（2025七年级上·全国·专题练习）已知，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值，算术平方根的非负性，求代数式的值，平方根等，根据非负性求出字母的值是解题的关键．根据绝对值，算术平方根的非负性求出a，b，c的值，再计算待求式的值，进而得出答案． 【详解】解：∵，，，， ，， 解得，，． ∴ ， 的平方根是， 的平方根是． 11．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义，得出，，计算得出答案即可； （2）将，的值代入求值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 即，， 解得，， 故，的值为，． （2）将，的值代入，得 ， ， 的平方根为． 12．（25-26七年级上·山东淄博·月考）已知a的立方根是2，b的算术平方根是1，c是的整数部分，d是的小数部分． (1)求a，b，c，d的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，，； (2) 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，无理数的估算，代数式求值，熟练掌握相关知识为解题关键 （1）根据立方根，算术平方根的定义求出a，b的值，再根据无理数的估算求出c、d的值即可； （2）先代入求出代数式的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， ∵的算术平方根是1， ∴， ∵， ∴即， ∴的整数部分是4， 又是的整数部分， ∴，； （2）∵，，， ∴． ∴的平方根为． 13．（24-25七年级下·河北沧州·期中）观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位 (2)，， (3)①；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①、②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解： 由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小百倍，它的算术平方根就扩大或缩小十倍． 故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位； （2）解：∵． ∴，； 若，则， 故答案为：，，； （3）解：①∵知， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·广东湛江·月考）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查算术平方根的性质． （1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【详解】（1）解：、， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）解： ． 15．（24-25八年级下·北京·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面等式提供的信息，请你写出式子化简后的值：______； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上面各等式的规律：______（直接写出）； (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，请直接写出式子的值：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息计算即可； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 故答案为：； （2）解：根据题意得； 故答案为：； （3）解： 故答案为： 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第09讲解题技巧专题：平方根与立方根综合问题 内容导航一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 0 析教材学知识 1.概念与表示 平方根(Va)是平方等于a的数，立方根(a)是立方等于a的数。注意平方根有正负(a≥0)， 立方根符号唯一(a为实数)。 2.核心性质 平方根具有非负性（主根≥0），立方根保号性。掌握a2=a,a3=a,以及双重根式、互为相反数 的立方根关系。 3.综合应用 常见于方程求解、实数比较、几何问题（如体积边长换算）。需注意运算优先级，结合绝对值讨论， 并利用估算验证结果合理性。 02 练题型强知识 【题型1利用算术平方根的非负性解题】 例1.(25-26七年级下·全国课后作业)若实数x,,z满足V+y-1+2-2=0,则(x-z)}的平方根 为■ 例2.(25-26七年级上·浙江宁波期中)若a,b为有理数且b=Va-1+V1-a+8,则a+b的平方根为一， 变式1.(25-26八年级上四川内江期中)已知实数x,y满足y=√x-5+√5-x+2,则x的平方根为 变式2.(25-26八年级上江苏宿迁期中)已知实数a,b,c满足b-4=√-(a-2),c的平方根等于它本身， 则a-Vb-c的值为一 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型2利用平方根与立方根解方程】 例3.(25-26八年级上·江苏无锡月考)解方程： (1)x-3-27=0: (2)1-x)2=16 例4.(25-26八年级上江苏无锡·期中)求下列各式中x值： (1)x+1)3+64=0 (2)4x-1)2=9 变式1.(25-26八年级上福建泉州期末)解方程： (1)x+4)3=-1: (2)x-22=169. 变式2.(25-26八年级上·江苏镇江·期中)求下列各式中x的值： (1)2(x+12=32 (2)3(x-2)°+81=0 【题型3求算术平方根的整数部分和小数部分】 例5.(25-26八年级上·陕西西安·月考)若V13的整数部分为a,小数部分为b,则a=一，b=一 例6.(25-26八年级上·江西抚州·月考)√3的整数部分是a,小数部分是b,则2a-b的值是 变式1.(25-26七年级上：北京期中)如果V7的整数部分是a,小数部分是b,那么a-b+V7=一 变式2.(25-26七年级上·全国·期末)已知2a-1的算术平方根是3，b是5的整数部分，则2a+3b的平 方根为一· 【题型4平方根与立方根的综合】 例7.(24-25八年级上四川攀枝花期中)已知一个非负数c的平方根是2a-3与-3a-1,a+3b-1的算术 平方根是4. (I)求a,b,c的值： (2)求a+b+c+1的立方根， 例8.(25-26八年级上：四川眉山月考)已知一个正数m的平方根分别为2nH和4-3n. (1)求正数m的值. 2/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若|a-3引+Vb+(c-n)=0求a+b+c的立方根. 变式1.(25-26七年级上·浙江杭州期中)已知3是2x-1的平方根，y是-27的立方根，z是√20的整数 部分， (1)求x,y,z的值： (2)求3x+y-2z的平方根. 变式2.(25-26八年级上·河南周口月考)如图，已知点A表示的数为-√7，点A向右平移2个单位长度 到达点B, A B -3-2-10123 (I)点B表示的数为 (2)在数轴上还有C,D两点分别表示实数c和d,且有c-5与√2d+6互为相反数，求3c+2d的算术平方 根。 【题型5与算术平方根有关的规律探索题】 例9.(25-26八年级上·福建漳州·月考)【实践与探究】 计算：(1)3=，V0.5=，√0=，-6= 【归纳与应用】 (2)观察(1)中的等式，发现其中的规律，并猜想V匠与α有怎样的关系？请用数学式子描述出来； (3)利用你总结的规律，计算： ①若x<2,则Vx-2=;②V3.14-π)2= 例10.(25-26七年级上·浙江绍兴·期中)观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①V1×5+4=V9=3,②V2×6+4=V16=4,③V3×7+4=√25=5，… (1)观察算式规律，计算√4×8+4，√20×24+4的值. (2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律. (3)根据规律，求V1×5+4-√2×6+4+V3×7+4-V4×8+4+…+V√2023×2027+4的值】 变式1.(25-26八年级上四川宜宾月考)阅读下列解题过程： --:gg 3/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)计算： 17 36 81 2n+1 (2)按照你所发现的规律，猜想： (n+12 (为正整数)； n yg名 99 (3)计算： 2500 变式2.(2025七年级上·全国·专题练习)先观察下列等式，再回答问题：第一个等式 宁1片：第=个等式写1+片第三个等式 +1_1=1 3412 (I)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式： (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式(n为正整数)； (3)对于任何实数a,[a表示不超过a的最大整数，如3=3，[V5]=2,计算： 11 1,1 1 1 T下2+V+2+3+1 1+ 32+42++ 20232+2024 的值 【题型6与立方根有关的规律探索题】 例11.(25-26八年级上·安徽宿州月考)观察规律并回答下列问题：0.003375=0.15,3.375=1.5， 3375=15,…. (1)-0.000003375= -3375000= (2)若3=1.25，y=0.125,则y=； (用含x的代数式表示) (3)当a>0时，根据上述规律比较a与a的大小关系 例12. (25-26八年级上·河南郑州·期中)观察如表，并解答下列问题. a 0.000001 0.001 1000 1000000 治a 0.01 0.1 100 【规律总结】 (1)①请补全如表： ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向 左)移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动位： 4/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【规律应用】 (2)已知0.3≈0.6694,3≈1.442,30≈3.107. ①300≈ ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） a 0.000001 0.001 1 1000 1000000 a 0.01 0.1 10 100 变式1.(25-26八年级上河南平顶山月考)观察下列式子： ①8+-8=2+(-2)=0：②1+-1=1+(-1)=0： 1 ③1000+31000=10+(-10)=0：9 根据上述等式反映的规律，回答下列问题： ()根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：一； (2)由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数α，b,若 =0,则a+b=0反之也成立： (3)根据(2)中的结论，解答问题：若6-2x与x+1的值互为相反数，求x的立方根. 变式2.(25-26八年级上广东河源·月考)(1)【发现】 ①近+1=1+(-1)=0： ②8+-8=2-2=0： ③1000+-1000=10-10=0： 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式：一： (2)【归纳】 等式①，②，③，④，…所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数α，b,若 a+b=0,则：（写出a与b之间的关系式） (3)【应用】 根据(2)中所归纳的结论，解决下列问题： ①若3-2x+x+6=0,求V4x; ②若4a2-10+6-3b=0,且V4-b=0,求a的值. 5/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型7与实数运算相关的规律探索题】 例13.(2025七年级下江西·专题练习)【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： V-V--V- 154_2179_3 【实践探究】 13 (1)按照此规律，计算： 49 (2)计算： 周 例14. (25-26八年级上·安徽宿州·期中)观察下列各式： 第，个等式： 第，个等式 第3个等式： 52 3: 1- 第，个等式： 17_3 V164:… 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第6个等式：； (2)根据等式的规律，请写出第n个等式：(n是正整数，用含n的式子表示) 199 (3)计算： -- 197 9801 10000 变式1.(25-26九年级上·安徽准南·开学考试)先观察下列等式，再回答问题： ,1,1 ②+2京+=1+ 1-1= 22+16 .11 ③+3+ 11 1+ 11 33+1112 1 (I)根据上面三个等式，请猜想，1+ 文的结果（直接写出结果） 十 (2)根据上述规律，解答问题： 1.1 11 1 设m=1+下+2交+1+2++1++年++V1+2025+2026, 求不超过m的最大整数是多少？ 变式2.(24-25八年级上广东茂名期中)阅读下列解题过程，解答问题. 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -周 -8-- R 1 64: 2n+1 (2)观察上面的解题过程，求1 1- (n+12 (为自然数)； (3)计算： i-16 99 2500 03 串知识识框架 1概念与表示 平方根与立方根综 合问题 2.核心性质 3综合应用 04过关测稳提升 一、单选题 1.(2025甘肃武威模拟预测)若a2-2a+1+Vb-35=0,则a+b的平方根是() A.6 B.±6 C.34 D.±V34 2.(25-26八年级上广东揭阳·月考)如果x、y分别是4-V3的整数部分和小数部分，则x-y=() A.5 B.-5 C.1+√5 D.2-√3 3.(24-25七年级下·辽宁盘锦期末)已知a的算术平方根是2，b的立方根是0，则b的平方根为() 7/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.0 C.+2 D.±4 4.(25-26八年级上·陕西西安·月考)如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律， 第11行从左至右第4个数是() 1 √23 2√5√6 √72√23√10 … A.2V13 B.415 C.5V2 D.59 二、填空题 5.(25-26八年级上四川达州：月考)已知4a2+√a+2b+2b+c=4a-1,则Va+b+c的值是一 6.(25-26八年级上·上海闵行·期中)已知V5.217≈2.284，V521.7≈22.84，那么-V52170≈ 7.(24-25七年级下·全国·课后作业)若A=2a-2a+5b是9的算术平方根，B=-3a-2b,则A+2B的立 方根为一， 8.(24-25七年级下·四川凉山期末)已知3a+4的算术平方根是5,5a-2b-2的立方根是3，c是√29-1 的整数部分，则a+2b+3c的平方根是_ 三、解答题 9.(25-26八年级上江苏泰州月考)求x的值： (1)2x+1)2=16 (2)3(x+13=-81 10.(2025七年级上全国专题练习)己知a-2+2b-12+V4+2c=0,求3a2-4a(a-b-1-c2的平方 根. 11.(25-26八年级上·宁夏银川期中)已知3x-5的算术平方根是5,1-2y的立方根是-3. (1)求x,少的值： (2)求Vx+2y-2的平方根. 12.(25-26七年级上山东淄博·月考)已知a的立方根是2，b的算术平方根是1，c是√20的整数部分， d是√20的小数部分 (I)求a,b,c,d的值； (2)求a-3b+c的平方根. 13.(24-25七年级下河北沧州·期中)观察下表： 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0.0001 0.01 1 100 10000 a 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律： (2)根据你发现的规律填空：已知V5.217≈2.284V521.7≈22.84. 则V0.05217≈ -V52170≈ 若√≈0.02284，则x≈ (3)拓展提升： ①己知0.000456≈0.07697，则-456≈ ②已知3≈1.442,30≈3.107，则3000≈ 14.(24-25七年级下·广东湛江·月考)对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果 也能将算术平方根符号去掉，例如 -片G- 观察上述式子的特征，解答下列问题： (I)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： V10-6)2= V(7-9)2= (2)当a>b时，V(a-b)2= 当a<b时，V(a-b)2 (3)计算： 店-可+G++ 1 15.(24-25八年级下北京·期中)先观察下列等式，再回答问题： @+=11- .1,1 ②+2+ 11 ,=1+ 23 1,1 11 ③1+京+年=1+3 34 ()根据上面等式提供的信息，请你写出式子1+ 1.1 4平+5文化简后的值： (2)请你用含n(n为正整数)的式子表示上面各等式的规律： (直接写出)： (3)对任何实数a,[d表示不超过a的最大整数，如4=4，[5]=1，请直接写出式子 9/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2024+2025 的值：一 10/10