第05讲 解题技巧专题：作辅助线解决平行线中的拐点问题（5知识点+5大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材人教版

第05讲 解题技巧专题：作辅助线解决平行线中的拐点问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：猪蹄模型（M型）与锯齿模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. 【模型证明】 （1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 知识点2：铅笔头模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 知识点3：牛角模型 图1 图2 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 知识点4：羊角模型 图1图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 知识点5：蛇形模型（“5”字模型） 基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°. 图1 图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 【题型1 猪蹄模型（M型）与锯齿模型】 例1．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）如图，已知，，，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了平行线的性质，此类题目过拐点作平行线是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用． 过点E作，然后根据两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】解：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 例2．（1）如图①，如果，求证：． （2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________． （3）如图③，，若，则___________（用x、y、z表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）过P作，利用平行线的判定与性质证明即可； （2）过点P作，过点Q作，根据平行线的性质即可求解； （3）过点P作，过点Q作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：过P作，如图，      ∴， ∵（已知）， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图，过点P作，过点Q作， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 故答案为：；    （3）过点P作，过点Q作， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 即， ∴， 故答案为：．    变式1．已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)不成立，，理由见解析 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点作，则，则，，再根据角度和差计算求解即可； （2）同（1）即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 过点作， ， ， ，， ， ． （2）解：上述结论不成立．新结论：，理由如下： 过点作． ， ∴ ， ， ，即． 变式2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线，点P为平面内一点（不在两条直线上）． (1)如图①，若点P在直线与之间，且，，求的度数； (2)如图②，若点P在直线上方，且，． ①求的度数； ②如图③，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即得答案； （2）①过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案； ②过点G作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案． 【详解】（1）解：过点P作， ， ， ， ， ， ， ； （2）解:①过点P作， ， ， ， ， ； ②过点G作， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， ， ， ． 【题型2 铅笔头模型】 例3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是作辅助线构造两组互补的同旁内角．过点作直线，根据平行线的性质可得，，然后再计算即可． 【详解】解，如下图所示，过C点作直线， ， ， ，， ， 即. 故选：B． 例4．如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 变式1．（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、平行公理推论的应用 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的推论，图形类规律探索，熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”和“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是解题关键． （1）根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得、，即可求得； （2）过点C作，过点D作，根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得，，，即可求得； （3）由（1）和（2）总结规律即可求解； （4）根据所得规律可直接求解． 【详解】（1）解：过点E作． （已作）， （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即； （2）如图，过点C作，过点D作， ∴， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知在A，C两点的同一侧有1个折点，其； 由（2）可知在B，E两点的同一侧有2个折点，其； 因为B，F两点的同一侧有3个折点， 所以； （4）由（3）可知． 【题型3 牛角模型】 例5．如图，已知，，，则的度数为 °． 【答案】40 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定及性质，正确添加辅助线是解题的关键． 过点C作，则，由，，得到，从而，进而根据角的和差即可解答． 【详解】解：过点C作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 例6．（24-25七年级上·河南新乡·期末）如图，，在的两边上分别过点和点向同方向作射线和，且． （1）若，则的度数为 ． （2）若和的平分线所在的直线交于点（与不重合），则的度数为 ． 【答案】 或 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点作，而，可得，证明，，再进一步解答即可； （2）分两种情况当为锐角时，过点作，过点作，利用平行线的性质可得，，再结合角平分线即可求得；当为钝角时，，，再根据角平分线及平行线性质得． 【详解】解：（1）过点作，而， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）①当为锐角时，如图所示： 过点作，过点作， ， ， ，， ，， ，即， ，， ，， ，即， 又点为和的角平分线所在的直线的交点， ，， ， ②当为钝角时，如图所示： 过点作，过点作， ， ， ，， ，， ， ， ， ，， ，， 又点为和的角平分线所在的直线的交点， ，， ， 综上所述或 故答案案为：或． 变式1．直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （2）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （3）过点P向左作，过N向左作，则，设，则，得出，进而求出结论． 【详解】（1）解：过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点P向左作，过N向左作， ∵， ∴， 与（2）同理，得， 依题意，设， 则 ． ∴， ∴． 【题型4 羊角模型】 例7．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）已知，如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，进而得到，根据平行线的性质求出的度数，再利用角的和差关系计算即可． 【详解】解：过点作，则：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 例8．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，E，F是直线上方两点，连接，，，，已知平分，且．若，，求的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，过作，过作，由，可得，由，可得，，由可得，，最后根据求解即可． 【详解】解：如图，过作，过作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·全国·期中）已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）过点作 ，根据平行线的性质进行说理即可； （2）过点作的平行线 ，利用平行线的性质说理即可． 【详解】（1）解：过点作 ， ∵， ∴， ，， 两式相加得∶ ， 即； （2）解：如图（2），过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， 即 ； 如图（3），过点作，设交点为， ， ， ， ，， ， 即； 如图（4），过点作， ， ∴， ， ， 即． 【题型5 蛇形模型（“5”字模型）】 例9．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质推出，得到，即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：D． 例10．（24-25七年级下·全国·期末）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为．第二次拐弯的度数为，到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则 ． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，当题目中的已知条件和已有的图形不能解决问题时，往往考虑添加辅助线，将不相关，分散的条件进行转移与转化，构造出一些基本的几何图形，搭建已知和未知之间的桥梁．本题可以过点作后借助平行线的知识进行解答． 【详解】解：过点作．由题可知， ， ，． ． 故答案为：． 变式1．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，点在射线的反向延长线上，过点作，，点在直线上，作的平分线，交于点．若，，的度数为________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质可得，即可求解； （2）过点P作，根据平行线的性质可得，即可求解； （3）过点P作，根据平行线的性质可得，由（2）得：， 从而得到，，设，则，，再由，，可得，然后结合平分，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点P作， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，过点P作， ∴， ∴， 由（2）得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为： 变式2．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图1，已知，． (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 【答案】(1) (2)不发生变化，的度数为； (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； （2）解：不发生变化，，理由为： 由（1）可得，， 、的角平分线交于点， ，， 如图，过点作， ，， ， ，， ； （3）解：由（2）得，，由（1）得， ， ， 如图，过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上，的度数为或． 一、单选题 1．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，，点在与之间，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． 过点O作，可得，根据平行线的性质可得，即可求出，再根据得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．（24-25七年级下·江西·期末）如图，玲玲在美术课上用丝线绣出了一个“2”，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对平行线的性质，平行公理及推论等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线并灵活运用性质进行推理是解此题的关键．过点C作，得出，根据平行线的性质推出，求出，即可求出选项． 【详解】解：过点C作， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，得，同理，再求出比值即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 4．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）如图，，，，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，过作，利用平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：过作， ， ， ，， ， ∵， ， ， ，， ， ． 故选：C． 5．（2025·云南·模拟预测）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，若点F为球的中心，入射波与法线的夹角，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，过点作，可得，根据题意得，再由平行线的性质得到，从而得出答案． 【详解】解：过点作，为法线，如图：    ∵， ∴， ∴， ∴为法线， ∴， ∵为法线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25七年级下·广东江门·月考）如图， ，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，由两直线平行得出同旁内角互补，，结合，，得出，再根据角的差关系列式计算，即可求出的度数． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）如图，，若，则等于 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质．解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．过点作，由，得，根据两直线平行，同旁内角互补得到，，即可得到，即有．而，即可得到． 【详解】解：过点作，如图： ，， ， ， ， ， 即． 而， ． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）如图，直线，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 作出如图的辅助线，先根据直线，得出，然后根据，得出，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出的度数． 【详解】解：如图所示，点A在直线l1上，点B、D在直线l2上，点C在之间，为， ∵直线， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·河南开封·期末）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 过顶点O作直线，直线将分成两个角即、，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如下图所示，过顶点O作直线， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·四川泸州·月考）如图，，，分别是直线，之间的点，连接，，，，已知，，当时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质和判定，根据题意正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，过点作，则，根据平行线的性质可得，再根据得，，可得，最后利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：过点作，过点作，则， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知直线，．求的度数． 【答案】 【分析】通过作辅助线，利用平行线的传递性得到，再根据平行线的性质，分别得出与相关的角的关系，进而求出的度数． 【详解】解：如图，过点作． ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的性质，掌握作辅助线构造平行关系，利用平行线的内错角相等、同旁内角互补等性质进行角的计算是解题的关键． 12．（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）下列图形是用钉子把橡皮筋紧钉在墙壁上而成的，其中． (1)如图1，若、，则___________； (2)如图2，若、，则___________（用含的式子表示）； (3)如图3，若、，那么与、之间有什么数量关系？请加以证明． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查的是平行线的性质，解题的关键是由平行线性质得出角相等从而求出答案； （1）先过作，由平行线的性质得，，所以求得的度数． （2）首先过作，根据平行线的性质可得：，，，从而表示出． （3）由平行线的性质得，再根据三角形的外角性质，表示出与、之间的关系． 【详解】（1）解：过作，，， ， 故答案为：． （2）解：过作，，， ， ， ． 故答案为：． （3）证明： 证明：， 又， ． 13．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）已知，，点为射线上一点． (1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数． (2)如图2，当点在的延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的等量关系，请说明你的结论． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，正确作出辅助线是解决问题的关键． （1）过E作，根据平行线的性质得到，，即可求得. （2）过E作，根据平行线的性质得到，，即． 【详解】（1）解：过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴. （2）解：． 理由如下： 过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 14．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点． (1)如图，若，，求的度数． (2)求证： (3)如图，若，，，求的度数（用，的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质找角之间的关系． 过点作，根据平行线的性质可知，，根据角之间的关系可以求出； 过点作，过点作，设，，根据平行线的性质可证，，从而可得：，即可得到：，从而可证结论成立； 设，，可得：，，根据平行线的性质可证：，又因为，从而可得：． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如下图所示，过点作，过点作， ， ，， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， 设，， 则，， 又，， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：设，， ，， ，， 平分，平分， ，， 如下图所示，过点作， ， ， ， ， ， ， ， 由可知，， ， ， ， 即， ． 15．（20-21七年级下·江西上饶·期中）已知直线，点P为平面内一点，连接与． (1)如图1，点在直线之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点在直线之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点落在下方，与的角平分线相交于点，（2）中的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论仍然成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算． （1）先过作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到． 【详解】（1）解：如图1，过作， ， ， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过作， ， ， ，， ， 过作， ， ， ，， ， ， 与的角平分线相交于点， ， ； （3）解：（2）中的结论仍然成立，理由如下： 如图3，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 过作， ， ， ，， ， ， ∵与的角平分线相交于点K， ∴，， ∴， ∴． 16．（23-24七年级下·广西河池·期末）已知直线，直线 分别与 ， 交于 ， 两点，点 是直线 上的一个动点，试探究与 之间的数量关系． (1)如图①，当点在线段上运动（点不与 重合）时，若 ，则_____；猜想：此时数量关系是：_____，请说明理由； (2)如图②，当点在点的上方运动（三点不在同一直线上）时，猜想：此时与 之间数量关系是：_____，请说明理由； (3)如图③，当点在点 的下方运动（三点不在同一直线上）时，猜想：此时与 之间数量关系是：_____． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加平行线是解答的关键． （1）过作，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过作，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过作，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：，此时数量关系是：， 理由：如图，过作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，． （2）解：此时数量关系是：， 理由：如图，过作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． （3）解：此时数量关系是：， 理由：如图，过作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 17．（24-25七年级下·湖南长沙·开学考试）【感知】 （1）如图1，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间一点，连接．求证：； 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程． 证明：过点B作， ∴ （两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（ ）， ∴， ∵， ∴． 【类比探究】 （2）如图2，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B、F是直线之间的点，连接平分，平分，设，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间一点，连接平分，平分，已知，试探究的度数，若不变求其值，若变化说明理由． 【答案】（1）；平行于同一直线的两直线平行；（2）；（3）的值不变，为． 【分析】此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质及角的和差求解即可； （2）根据角平分线定义、结合（1）结论求解即可； （3）根据角平分线定义、结合（1）结论求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，过点B作， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴， ∵， ∴． 故答案为：；平行于同一直线的两直线平行； （2）∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴由（1）可得， ∴ ， ∴的度数为； （3）解：的值不变，为， 理由：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 由（1）可得， ∴ ， ∵， ∴． 18．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）（1）如图1，已知，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．解：过点作，，．． ． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中、和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系： ． （2）如图2，已知，点分别在直线上，点在两平行线之间，求、和之间的数量关系． （3）如图3，在图2的条件下，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点作，由平行线的性质得，，则； （2）过点作，由平行线的性质得，再由平角的定义即可求解； （3）过点作，由平行线的性质得，则，再由（2）得，则，进而求解即可． 【详解】解：（1）过点作，如图1所示： ， ． ． ． 故答案为：； （2）过点作，如图2所示： ， ． ， ， ， 和之间的数量关系为：； （3）分别是和的平分线， ，， 过点作，如图3所示： ， ． ， ， 由（2）得：， ， ， ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第05讲解题技巧专题：作辅助线解决平行线中的拐点问题 风内容导航 一一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01析教材学知识 ☑知识点1：猪蹄模型(M型)与锯齿模型 M M >P2n+1 B 图1 图2 图3 如图I,①已知：AMBN,结论：∠APB=∠A+∠B;②已知：∠APB=∠A+∠B,结论：AMIBN. 如图2，己知：AMBN,结论：∠P1十∠P3=∠A+∠B+∠P2 如图3，已知：AMBN,结论：∠P1+∠P3+.+∠P2m+1=∠A+∠B+∠P2+.+∠P2n 【模型证明】 (1)∠APB=∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM, M ,PQ∥AM,AM∥BN,PQ∥AM∥BN,∴.∠A=∠APQ,∠B=∠BPQ, ∴.∠A+∠B=∠APQ+∠BPQ=∠APB,即：∠APB=∠A+∠B. (2)根据(1)中结论可得，∠A+∠B+∠P2=∠P1+∠P3, 故答案为：∠A+∠B+∠P2=∠P1+∠P3, (3)由(2)的规律得，∠A+∠B+∠P2++P2m=∠P1+∠P3+∠P5++∠P2m1 故答案为：∠A+∠B+∠P2++P2m=∠P1+∠P3+∠P5++∠P2m1 ☑知识点2：铅笔头模型 1/15 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Pn-2 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN,结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN, 如图2，已知：AM∥BN,结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，己知AM∥BN,结论：∠1+∠2++∠n=(n-1)180°. 【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ, ,AM∥BN,.PQ∥BN,∴.∠1+∠APQ=180°，∠3+∠BPQ=180°，∴.∠1+∠2+∠3=360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C,过点P2作AM的平行线PD, .AM∥BN,∴AM∥PC∥P2D∥BN, .∠1+∠AP1C=180°，∠P2P1C+∠PP,D=180°，∠BP2D+∠4=180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3++∠n=(n-1)180°. ☑知识点3：牛角模型 D 图1 图2 如图1，已知AB∥CD,结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD,结论：∠1+∠3-∠2=180 【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF,.∠1+∠FEB=180° ·D 图1 图2 2/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ,AB∥CD,∴.EF∥CD,.∠3+∠FED=180°，即：∠3+∠2+∠FEB=180°，∴.∠1=∠2+∠3 在图2中，过E作AB的平行线EF,∴.∠1+∠FEB=180 ,AB∥CD,∴.EF∥CD,∴.∠3=∠FEC,即：∠3-∠2=∠FEB,.∠1+∠3-∠2=180°. 注意：牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F,或延长EB交CD于点F等。 ☑知识点4：羊角模型 E 图1 图2 如图1，已知：ABDE,结论：Oa=Y-B 如图2，已知：ABDE,结论：+阝+Y=180° 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF,∴.∠B=∠FCB 图1 图2 刀 :ABIDE,∴CFIDE,∴∠y=∠FCD,:∠O=∠FCD-∠FCB,.∠O=∠y-∠B 在图2中，过C作AB的平行线CF,∴.∠B=∠FCB :ABIDE,∴CFDE,∴.∠Y+∠FCD=180°，∠FCD=∠a+∠FCB,∠+∠B+∠y-∠=180°. ☑知识点5：蛇形模型（“5”字模型) 基本模型：如图，AB∥CD,结论：∠1+∠3一∠2=180° A 8 0 图1 图2 如图1，已知ABDE,结论：a+Y=B+180° 如图2，己知：ABDE,结论：a+B=y+180° 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF,∴.∠B=∠FCB. 3/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :ABIDE,CFDE,.∠y+∠FCD=180°，∠o=∠FCD+∠FCB,.∠a+∠y=∠B+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF,.∠B+∠FCB=180°， :ABIDE,CFDE,.∠Y=∠FCD,·∠a=∠FCD+∠FCB,.∠o+∠B=∠y+180 02练题型强知识 【题型1猪蹄模型(M型)与锯齿模型】 例1.(24-25七年级下广东江门阶段练习)如图，已知AB∥CD,∠B=32°，∠D=28°，则 ∠E=」 A B E C D 例2.(1)如图①，如果AB∥CD,求证：∠APC=∠A+∠C. (2)如图②，AB∥CD,根据上面的推理方法，直接写出∠A+∠P+∠Q+∠C= (3)如图③，AB∥CD,若∠ABP=x,∠BPQ=,∠PQC=z,∠QCD=m,则m=_ (用x、y z表示). 图① 图② 图③ 变式1.已知直线l∥12，直线马与直线4、马分别相交于C、D两点. C/ C /ls 3>B kD/E D P3一B 图a 图b (1)如图Q,有一动点P在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中， ∠1、∠2、∠3又怎样的数量关系？试说明理由 (2)如图b,当动点P线段CD之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出 4/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 新的结论并说明理由， 变式2.(24-25七年级上·全国课后作业)如图，直线AB∥CD,点P为平面内一点（不在两条直线上）. 图① 图② 图③ (1)如图①，若点P在直线AB与CD之间，且∠AEP=40°，∠PFD=130°，求∠EPF的度数： (2)如图②，若点P在直线AB上方，且∠AEP=50°，∠PFC=120°. ①求∠EPF的度数； ②如图③，∠AEP的平分线和LPFC的平分线交于点G,求∠G的度数 【题型2铅笔头模型】 例3.(2025七年级下.全国.专题练习)如图，AB‖CD,∠B+∠C+∠D=() A B E D A.180° B.360° C.540° D.270° 例4.如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度.图②是这盏台灯的 示意图.已知台灯水平放置，当灯头AB与支架CD平行时可达到最佳照明角度，此时支架BC与水平线BE 的夹角∠CBE=130°，两支架BC和CD的夹角∠BCD=110°. B ------E M- -N D 图① 图② (1)求此时支架CD与底座MN的夹角LCDM的度数； (2)求此时灯头AB与水平线BE的夹角∠ABE的度数， 变式1.(1)如图1，AB∥CD,求LA+∠AEC+∠C的度数. 解：过点E作EF∥AB :EF∥AB(己作)， ∠A+∠AEF=180°(). 又：AB‖CD(己知)， 5/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (平行关系的传递性)， ·.∠CEF+∠ =180°（两直线平行，同旁内角互补）， :∠A+∠AEF+∠CEF+∠C=360°（等式性质）， 即LA+LAEC+LC=—; (2)根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，AB∥EF,则LB+LC+LD+∠E= (3)根据(1)和(2)的规律，图3中AB‖GF,猜想：∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=: (4)如图4，AB∥CD,在B,D两点的同一侧有M,M2,M.Mn共n个折点，则 ∠B+∠M1+∠M,+…+∠Mn+∠D的度数为 (用含n的代数式表示). B -R M M M 图1 图2 图3 图4 D 【题型3牛角模型】 例5.如图，己知AB∥DE,∠ABC=75°，∠CDE=145°，则∠BCD的度数为 A C 例6.(24-25七年级上河南新乡·期末)如图，∠AEC=80°，在∠AEC的两边上分别过点A和点C向同方 向作射线AB和CD,且AB∥CD. (1)若∠A=60°，则∠DCE的度数为」 (2)若∠EAB和∠ECD的平分线所在的直线交于点P(P与C不重合)，则∠APC的度数为 D -B 变式1.直线AB∥CD,P为直线AB上方一点，连接PA、PD. 6/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)如图1，若∠A=100°，∠D=130°，求∠APD的度数： (2)如图1，设∠PAB=a,∠CDP=B,求∠APD的度数（用含a、的式子表示）： B如图2，N为∠PAB内部一点，∠B4N=3∠PAN,连接CN,若∠DCN=3∠PCY,求C的值。 【题型4羊角模型】 例7.(24-25七年级上黑龙江绥化期中)已知，如图，AB∥EF,∠ABC=75°，∠CDF=135°，则 ∠BCD等于() A E F 135° C A.45° B.40° C.35° D.30° 例8.(24-25七年级下·全国.单元测试)如图，已知AB∥CD,E,F是直线AB上方两点，连接AE,CE, A,CF,已知AF平分∠BAE,且∠ECF=)∠ECD.若∠E=15°，∠ECD=75°，求∠F的度数为() 3 D A.10° B.15 C.20 D.30° 变式1，(24-25七年级下·全国期中)己知：在如下四个图形中，AB‖CD, 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) (I)图(1)中∠P与LA,∠C的关系满足：∠P+∠A+C=360°，请说明理由 (②)分别探讨其余的三个图形中，∠P与∠A,∠C的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由. 7/15 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B .AB∥CD, D 图(2) :PEll ABI CD, .∠BAP=∠APE,∠EPC=∠PCD, :∠APE+∠EPC=∠BAP+∠PCD, 即∠APC=LA+∠C: 【题型5蛇形模型(“5”字模型)】 例9.(2025七年级下，全国.专题练习)如图，AB∥CD,AC∥DE,∠D=30°，则∠A的度数为() B D E A.120° B.130 C.140° D.150° 例10.(24-25七年级下.全国期末)劳动情境·公路修建一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一 次拐弯∠M的度数为.第二次拐弯LN的度数为B,到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之 前的道路平行，则∠P=_ B B 变式1.(24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末)已知直线AB∥CD,P为平面内一点，连接PA、PD H A D G 图1 图2 图3 (1)如图1，已知∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的度数： (②)如图2，猜想∠PAB、LCDP、∠APD之间的数量关系，并说明理由. (3)如图3，在(2)的条件下，点E在射线AB的反向延长线上，过点E作EF∥PC,∠PEG=∠PEF,点 G在直线CD上，作LBEG的平分线EH,交PC于点H.若∠APC=30°，∠PAB=110°，∠PEH的度数为 8/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式2.(24-25七年级下·北京海淀·期中)如图1，已知∠ACB=90°，MA∥BN. M M M N B 图1 图2 备用图 (I)设LMAC=a,∠CBN=B,直接写出a、B之间的数量关系； (2)如图2，已知∠MAC、∠CBN的平分线交于点P,当∠MAC的度数发生变化时，∠APB的度数是否发生 变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠APB的度数； (3)在(2)的条件下，若∠MAC=50°，E为射线BN上的一个动点，过点E作EF∥BC交直线AP于点F, 连接EP,已知∠FEP=10°，求∠BPE的度数. 03串知识识框架 知识点1：猪蹄模型(M型)与锯齿模型 知识点2：铅笔头模型 作辅助线解决平行 知识点3：牛角模型 线中的拐点问题 知识点4：羊角模型 知识点5：蛇形模型(（"5"字模型) 04过关测稳提升 一、单选题 9/15 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(2025七年级上全国.专题练习)如图，AB∥CD,点0在AB与CD之间，∠A0C=75°，∠C=28°， 则∠A=() C D B A.47 B.123 C.51.5 D.30° 2.(24-25七年级下江西·期末)如图，玲玲在美术课上用丝线绣出了一个“2”，AB∥DE,，∠A=30°， ∠ACE=110°，则∠E的度数为() D B A.30° B.150 C.120° D.100° 3.(25-26七年级上江苏苏州期末)如图，AB∥CD,∠I=∠CDE,∠2=∠ABE,则∠DEB:∠DFB为 3 () ☒ A.2:1 B.3:1 C.3:2 D.4:3 8.25.26九年级上黑大肤月者如图，AB∥EF,乙ABP4ABC,∠EP∠EFC,已随 ∠FCD=80°，则∠P的度数为() B E A.55° B.60° C.65° D.70° 5.(2025云南模拟预测)如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国 天眼”，如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中EG为竖直方向的馈源（反射面)，入 射波A0经过三次反射后沿O'A'水平射出，且OA∥O'A',若点F为球的中心，入射波AO与法线的夹角 ∠1=30°，则∠A'0'F=() 10/15