1.3 不共线三点确定二次函数的表达式 同步练习 2025-2026学年湘教版数学九年级下册

不共线三点确定二次函数的表达式 一、单选题 1．若二次函数的与的部分对应值如右表，则当时，的值为（   ） … … … 0 3 4 3 … A． B． C．0 D．3 2．已知二次函数的图象经过点和，这个二次函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 3．一条抛物线的开口方向与抛物线相同，顶点为，则其解析式可能为（　　） A． B． C． D．或 4．某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格： x … 0 1 2 3 … y … 2 … 由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（   ） A． B． C． D．2 5．二次函数的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点．将二次函数的图象以轴为对称轴进行折叠，则折叠后得到的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … 若将此抛物线向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度后的抛物线表达式为（    ） A． B． C． D． 7．若某函数中的值与对应的值如下表所示，则该函数关系式可能为（    ） 0 1 2 5 2 1 2 5 A． B． C． D． 8．一抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 9．如表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值，则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（    ） 0 3 4 0 A．图象的开口向下 B．有最小值 C．图象与轴的一个交点是 D．图象的对称轴是 10．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 二、填空题 11．已知抛物线 经过点，它的对称轴是直线，则这条抛物线的函数表达式是 ． 12．已知二次函数图像与x轴相交于点，且，若二次函数经过点，则二次函数表达式为 ． 13．某个函数同时满足两个条件：①图象过点、；②当时，随的增大而减小．这个函数表达式可以是 ．（只要写出一个符合愿意的答案即可） 14．若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点，请写出一个符合上述条件的二次函数表达式： ． 15．如图，，，，抛物线过O、A、B三点，则该抛物线的解析式为 ．    16．已知二次函数（a，b，c是常数，）的y与x的部分对应值如下表： 0 2 6 0 6 下列结论： ①； ②； ③当时，函数最小值为-6； ④若点，点在二次函数图象，则； ⑤方程有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上） 三、解答题 17．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)该抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的？ (3)当在什么范围内时，随的增大而减小？ 18．在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象经过点．且当时，有最小值． (1)求这个二次函数的表达式 (2)试判断点是否在此二次函数的图象上，并说明理由 19．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、两点，二次函数的图象经过点A，． (1)求二次函数的表达式； (2)直线与二次函数图象的对称轴交于点，求点坐标． 20．下表给出了代数式与x的一些对应值： x …… 0 1 2 3 …… …… 5 n c 2 …… (1)根据表格中的数据，确定b，c，n的值． (2)设，直接写出当时y的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A A B D C C C D 1．B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再代入计算即可得解． 【详解】解：将，，代入二次函数得， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，， 故选：B． 2．C 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，由给定点的坐标，利用待定系数法，即可求出这个二次函数的表达式． 【详解】解：将和代入得：， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为． 故选：C． 3．A 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，根据抛物线的顶点坐标为，则抛物线的关系式为，再根据抛物线的开口方向与抛物线相同，可知即可． 【详解】∵抛物线的顶点坐标是， 设抛物线的关系式为． ∵抛物线的开口方向与抛物线相同， ∴， 观察A，B，C，D四个选项，只有符合题意． 故选：A． 4．A 【分析】先根据表格数据得出是错误的或是错误的，因为函数经过函数经过，，，利用待定系数法求出函数解析式，再代入或进行计算，可得答案．本题考查了二次函数图象，待定系数法求出函数解析式，利用函数图象关于对称轴对称是解题关键． 【详解】解：由图得时，则或，此时对称轴， ∵与关于对称轴对称， ∴与所对应的是相等的， ∵他算错了其中一个y值， ∴是错误的或是错误的， ∴函数经过，，， 把，，代入函数解析式，得， ， 解得， 函数解析式为； 当时，，当时，， 故选：A． 5．B 【分析】本题考查了二次函数的几何变换、对称的性质的知识．根据旋转的性质，折叠后的函数图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点，设折叠后得到的函数解析式为，将代入得，即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点， ∴折叠后的函数图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点， ∴设折叠后得到的函数解析式为， 将代入得，， 解得， ∴折叠后得到的函数解析式为， 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的平移规律，根据二次函数经过原点得，以及二次函数的对称性得出，再把代入，然后解出，最后根据平移规律，即可作答． 【详解】解：∵表格的对应的 ∴的 ∵表格的对应的 ∴对称轴 ∴ 把代入 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵将此抛物线向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度 ∴ 故选：D 7．C 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质．根据一次函数、反比例函数、二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：根据表格数据，当时，值随增大而增大； 当时，值随增大而减少； 可知该函数是二次函数，且顶点坐标为， ∴函数满足所有数据的对应关系， 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．首先确定的值，再利用顶点式即可解决问题． 【详解】解：抛物线的形状、开口方向与抛物线相同， ， 顶点为， 抛物线解析式为． 故选：C． 9．C 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质等知识点，学会根据表格中的信息求得函数的解析式是解题的关键． 由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质即可得出结果． 【详解】解：设二次函数的解析式为（、、为常数，）， 由题意可知， 解得， 二次函数的解析式为 ， 函数的图象开口向上，顶点为，图象与轴的交点分别为和， 图象的对称轴是，函数有最小值， 选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 10．D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴图象的开口向下，故选项A不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D符合题意； 当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意； ∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下， ∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意； 故选：D． 11． 【分析】本题考查了根据二次函数的对称性求函数值，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据“抛物线 经过点”得出，根据“对称轴是直线”得出，解方程组即可求解． 【详解】解∶∵抛物线 经过点，它的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴， 故答案为∶ ． 12． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及根于系数的关系，熟练掌握待定系数法及根与系数的关系是解题关键． 利用根与系数的关系得出，再将点C代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 将三点代入到中，得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式．设此函数的解析式为，再把点，代入求出、的值即可． 【详解】解：设此函数的解析式为， 图象过点、， ， 解得， 这个函数表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 14．（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为，结合抛物线经过点，得到，选择，得到解析式为． 本题考查了待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法，灵活选择数值计算即可． 【详解】∵二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴解析式为． 故答案为：． 15．/ 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，待定系数法求二次函数解析式．先求出，然后用待定系数法求解即可． 【详解】如图，作于点C    ∵，，， ∴， ∴， 设函数解析式为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．①④⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，理解和掌握二次函数的图象与系数的关系是正确判断的关键． 任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图象与系数之间的关系进行判断即可． 【详解】解：将，，，代入得， ， 解得， 抛物线的关系式为， ，因此①正确； ，故②错误； 对称轴为直线，即当时，函数的值最小，因此③不正确； 把，，代入关系式得，，，因此④正确； 方程，也就是，即方程，由可得有两个不相等的实数根，因此⑤正确； 正确的结论有：①④⑤， 故答案为：①④⑤． 17．(1)抛物线解析式为； (2)抛物线是由抛物线向左平移2个单位； (3)当时，y随x的增大而减小． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据对称轴，可得的值，根据抛物线过点，可得a值； （2）根据顶点式，即可说明需要移动的单位和方向； （3）根据函数图象及函数的增减性回答即可； 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即抛物线解析式为， ∵过点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：由（1）得：抛物线解析式为， ∴抛物线是由抛物线向左平移2个单位长度得到的； （3）解：由（1）得：抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小． 18．(1) (2)在此函数图象上，见解析 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征； （1）根据题意设出函数解析式，再把点代入求解即可； （2）求出时y的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意设这个二次函数的表达式为， 将点代入，得， 解得， 这个二次函数的表达式为； （2）点在此函数图象上； 理由：当时，， 在此函数图象上． 19．(1) (2)点的坐标为 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）由（1）可得抛物线的对称轴为直线，然后代入一次函数解析式可求解． 【详解】（1）解：令的，则，令，则． ，． 把，代入得： ，解方程组得， 二次函数的表达式为； （2）解：由 二次函数的对称轴为直线， 把代入得， 点的坐标为． 20．(1) (2)y的最大值是5 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据时，代数式的值可得一个关于b，c的二元一次方程组，解方程组可得b，c的值，再将代入代数式即可得n的值； （2）先将二次函数化成顶点式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据表格数据可得， 解得：， ， 当时，， ； （2）解：由（1）可知：， ， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y最大． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $