1.3 解题技巧专题 确定二次函数的表达式-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

14.解：如图，过点C作CH⊥OA于点H. .四边形OABC是菱形.OA= 25,∠AOC=60° ·OC=25,点A的坐标为 (25.0). 在Rt△COH中， OH=cos60°·25=5. CH=sin60°.25=3， ∴点C的坐标为(5,3)， ∴由菱形的性质可知，点B的坐标为(3√5,3). 设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c. 把O(0.0),C(5,3).B(35,3)代入.得 c=0 a= 1 3 3a+56+c=3, 解得 bs43 27a+35b+c=3. 3 c=0, 之抛物线的表达式为y=一子+ 1 3. 15.解：(1)把(-1,0).(0.-3)，(2，-3)代入y=ax2+ a-b+c=0. a=1, bx+c,得c=-3, 解得b=-2. 4a+2b+c=-3, c=-3. 抛物线的表达式为y=x-2x一3. 当x=一2时，d=4+4-3=5: 当x=1时，n=1一2一3=一4. (2)①画出抛物线如图①所示. ②描出点P的运动轨迹如图②所示. 设点P(m,m2-2m-3). :0(0,0),P为OP的中点，P(受 m2-2m-3 2 2=1, 则-2-3=-1-3=2-21-子 2 2 .点P'的运动轨迹的函数表达式为y=2x一2x 3 2 ① 图2 46 九年级数学XJ版 解题技巧专题确定二次函数的表达式 1.B2.D3.y=-x2+10x4.y=x-4x+3 5.解：=0y=2x+3=8y=00-是(-2 0)(0,3)y=ax2+x+c(0.3) (-2o) 0 3 =310-2b+c=0-6-73y=-6r- 7x+3 6.C【解析】：二次函数的图象的顶点坐标为(1，一2) ∴设该二次函数的表达式为y=a(x一1)2-2.：二次 函数的图象经过点(0，-5)，a一2=一5，解得a= 一3.故该二次函数的表达式为y=一3(x一1)一2. 7.y=-2(x+1)2+3或y=-4(x+1)2+3 8.解：(1)：二次函数图象的顶点为A(1,一3)，设二次 函数的表达式为y=a(x-1)一3.将C(2,0)代入表 达式，得a=3,∴.该二次函数的表达式为y=3(x一1) -3.即y=3x2-6x. (2)设Q(m,0).A(1.-3),0(0.0),.QA=(1- m)2+9=m2-2m+10,Q02=m2,A02=10. :△AOQ是等腰三角形，.可分以下三种情况讨论： ①当QA=Q0时，Q4=Q0产，则m-2m+10=m2. 解得m=5: ②当QA=A0时，QA2=AO2,则m2-2m+10=10. 解得m1=0(不合题意，含去)，m:=2: ③当Q0=A0时，Q02=A02,则m=10,解得m1= √/10，m:=-√10. 综上，符合条件的点Q的坐标为(5,0)或(2,0)或 (√10.0)或(-√10,0). 9.D 10.B【解析】：点（一4,0），(2.0)向右平移3个单位长 度后对应点的坐标为（一1.0），(5,0)，∴设平移后的 抛物线的表达式为y=a(x+1)(x一5). 把(0，-5)代入，得一5a=-5,解得a=1. .原抛物线的表达式为y=(x十4)(x一2)， 即y=x2+2x-8,∴.b=2,c=-8, .a+b+c=1+2-8=-5. 11.y=-x2+x+2或y=x2-x-2 12.解：如图，过点A作AC⊥x轴 于点C. ∠A0B=120°， .∠AOC=60° ∴.∠0AC=30° OA=0B=4, .OC=2,AC=25,B(4,0), .A(-2,25). 由抛物线经过点O(0,0),B(4,0),可设抛物线的表 达式为y=ax(x-4) 把A(-2,25)代入，得a·(-2)(-2-4)=25, 解得a= 6 六这条抛物线的表达式为y= 6x(x-4),即y= 5-23 61 3x. 13.y=(x-1)2-414.y=x2+4x+3 15.y=(x+1)2-3 16.y=-x2十6x-9【解析】：y=x2-6x+9=(x- 3)2. .旋转后抛物线的表达式为y=一(x一3)=一x+ 6x-9 17.解：(1)已知抛物线y=x+x十c经过点A(1,0), B(0,2), 六将A,B两点的坐标代人，得01+6十 12=c, 利化23 故抛物线的表达式为y=x-3x十2. (2)A(1,0),B(0,2),.OA=1,OB=2,可得旋转 后点C的坐标为(3,1).当x=3时，x一3x+2= 2,抛物线y=x2一3x十2经过点(3,2)，将原抛 物线沿y轴向下平移1个单位后经过点C,∴.平移后 所得新抛物线的表达式为y=x一3x+1. 1.4二次函数与一元二次方程的联系 1.A2.D 3.解：(1)1 (2),m=1,.y=x2+x-2.当y=0时，x+x-2 =0. .△=b2-4ac=12-4×1×(-2)=9>0, 二次函数的图象与x轴有2个交点. 【解析】1)将P(2,4)代入y=x十mx十m2-3,得4= 4十2m十m2-3,解得m1=1,m:=-3. 又m>0,∴.m=1. 4.C5.2.5 6.B【解折1令y=0,则一立红-0+3=0.即x-) =36,解得x1=10,x:=一2.由题意可知，x>0,∴x= 10,∴.这次铅球扔出的距离为10m 7.D变式题B 8.C【解析】二次函数y=ax2-2ax+c(a≠0)的图象 的对称轴是直线x=-二20-1.：点（一2,0）关于直 2a 线x=1的对称点是(4,0)，∴.一元二次方程ax-2ax 十c=0的两个实数根是x1=一2，x:=4,.两根之积 是一8. 9.≥一1且k≠0【解析】令y=0,则x-6x一9=0. ,二次函数y=kx一6x一9的图象与x轴有交点， ∴一元二次方程kx2一6x一9=0有实数根，.是≠0且 4=(-6)2-4k·(-9)≥0，解得k≥-1且k≠0. 10.m<a<b<n【解析】如图.由题意可知，二次函数y =(x-a)(x-b)一2的图象开口向上，与x轴交点 的横坐标为m,n.令y=一2，则(x一a)(x一b)=0, 解得x1=a,x:=b. 观察图象可知，m<a<b<n. 11.2≤1<11【解析】：抛物线y=x十a+3的对称轴 为直线=1心一会=1：解得6=-2抛物线的表 达式为y=x-2x十3，.一元二次方程x+bx+3 一1=0的实数根可以看作抛物线y=x一2x十3与 直线y=t的交点的横坐标. 方程在一1<x<4的范围内有实数根， y=x2-2x+3在x=1时有最小值2， 当x=一1时，y=6:当x=4时，y=11. t的取值范围是2≤1<11. 12.解：(1)证明：令y=0,则x2-2mx十m2-1=0, ∴.△=(-2m)2-4(m2-1)=4>0, ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴都有两个 交点. (2)对于x2-2mx十m3-1=0,x1十x:=2m,x1x:= m2-1. x+x=4, ∴xi+x=(x1十x:)2-2x1x2=4m2-2(m2-1) =4, 解得m1=1,m:=1. 故m的值为1或一1. 13.解：(1)①③(2)0<x<5 (3)令x2-2x-3=0,解得x1=3,x:= 一1，∴.抛物线y=x2一2x一3与x轴 的交点坐标为(3,0)和（一1,0）.画出二下 次函数y=x2-2x一3的大致图象（如 图所示).由图象可知，当x<一1或x>3时，函数图 象位于x轴上方，此时>0，即x2-2x一3>0，∴一 元二次不等式x-2x-3>0的解集为x<-1或x >3. 易错易混专练二次函数的图象 与系数a,b,c的关系 1.A2.B3.B4.A 5.C【解析】：直线I为抛物线y=ax2十bx+c(a≠0) 的对后轴对称轴为直线=一云>0.当a<0时.力 >0:当a>0时，b<0.故a,b异号. 下田参考答案解题技巧专题 确定 题型① 用一般式求二次函数的表达式 1.设二次函数y=a.x2十bx十2(a≠0，b是实数). 已知函数值y和自变量x的部分对应值如下 表所示，则该二次函数的表达式为 ( A.y=2.x2-x+2B.y=x2-2x十2 C.y=-2.x2-5x+2D.y=-x2+2x+2 2.二次函数y=一x2+b.x+c的图象经过点 (1,一7)和（一1，一3），则b,c的值分别是 A.2,4 B.2.-4 C.-2.4 D.-2,-4 3.(教材变式)一个二次函数的图象经过(0， 0),(-1,一11)，(1,9)三点，则这个二次函 数的表达式为 4.二次函数y=a.x2十b.x十c(a≠0)的图象过 点A(一1,8)，B(2,一1)，且与y轴交于点 C(0,3),则该二次函数的表达式为 5.答题模板已知二次函数的图象经过一次函 数y=2x十3的图象与x轴、y轴的交点，且 经过点（一1,4）.求这个二次函数的表达式 解：当 时， 当 时， =2x十3，解 得x= .一次函数y=2x十3的图象与x轴、y轴 的交点分别为 设二次函数的表达式为 将（一1,4）， 代入， 二次函数的表达式 a-b+c=4, 得 ’解得 二次函数的表达式为 题型②用顶点式求二次函数的表达式 6.已知某二次函数的图象的顶点坐标为(1， 一2)，且经过点(0，一5)，则该二次函数的表 达式为 ( A.y=-3(.x+1)2-2B.y=3(.x+1)2-2 C.y=-3(.x-1)2-2D.y=3(x-1)2-2 7.已知二次函数图象的顶点坐标为（一1,3）， 且与y轴的交点到x轴的距离为1，则该函 数的表达式为 8.如下图所示，已知二次函数图象的顶点为 A(1,-3),并经过点C(2,0). (1)求该二次函数的表达式。 (2)点Q在x轴上运动，求出所有满足△AOQ 是等腰三角形的点Q的坐标 下册第1章 6企 题型③用交点式求二次函数的表达式 9.(2025宁乡期中)已知抛物线与x轴交点的 横坐标为一3和2，且过点(1，一8)，则该抛 物线的表达式为 () A.y=x2+x-6 B.y=-x2-x+6 C.y=-2x2-2x+12 D.y=2.x2+2.x-12 10.已知抛物线y=a.x2十bx十c与x轴的交点 坐标是（一4,0），(2,0)，将该抛物线向右平 移3个单位长度后与y轴的交点坐标为 (0,一5)，则a十b十c的值为 () A.5 B.-5C.4 D.-9 11.已知抛物线经过点A(2,0),B(一1,0)，与y 轴交于点C,若O℃=2，则这条抛物线的表达 式是 12.如右图，在平面直角坐标系 中，一条抛物线经过A,O,B 三点，点B在x轴的正半轴 上，且OA=OB=4,∠AOB=120°.求这条 抛物线的表达式 16 九年级数学XJ版 题型④ 求图形变换后的二次函数的表达式 13.已知一个二次函数y=一x2十bx十3的图象 经过点A(1,4),则该抛物线关于x轴对称的 抛物线的表达式为 14.已知抛物线C:y=x2一4x十3，则该抛物线 关于y轴对称的抛物线C,的表达式为 15.已知抛物线y=一(x一1)2+3，则该抛物 线关于原点对称的抛物线的表达式为 16.将抛物线y=x2一6.x十9绕它的顶点A旋 转180°，则旋转后抛物线的表达式为 17.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物 线y=x2+bx十c经过A(1,0),B(0,2)两 点，顶点为D (1)求抛物线的表达式. (2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点 B落到点C的位置，再将抛物线沿y轴平 移，使其经过点C.求平移后所得新抛物线 的表达式