1.3 不共线三点确定二次函数的表达式 同步练习题 2025-2026学年湘教版九年级数学下册

1.3 不共线三点确定二次函数的表达式 同步练习题 一．选择题 1．二次函数y＝2（x﹣3）2+2的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，﹣12，20 B．2x2，﹣12，20 C．2，12，20 D．2，﹣12x，20 2．函数y＝ax2（a≠0）的图象经过点（a，8），则a的值为（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D．3 3．用配方法将函数yx2﹣2x+1写成y＝a（x﹣h）2+k的形式是（　　） A．y（x﹣2）2﹣1 B．y（x﹣1）2﹣1 C．y（x﹣2）2﹣3 D．y（x﹣1）2﹣3 4．下表是变量x与y的一组对应值： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 1 ﹣0.5 ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 从这组数据看，y与x的函数关系是（　　） A．正比例函数 B．常数项不为零的一次函数 C．二次函数 D．反比例函数 5．把抛物线解析式通过配方后得到的解析式是（　　） A． B．y＝（x﹣1）2﹣3 C． D． 6．若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表，则当x＝1时，y的值为（　　） x ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 y ﹣27 ﹣13 ﹣3 3 5 3 A．5 B．﹣3 C．﹣13 D．﹣27 7．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点为（﹣1，0），（3，0），其形状和开口方向与抛物线y＝﹣2x2相同，则y＝ax2+bx+c的函数关系式为（　　） A．y＝﹣2x2﹣x+3 B．y＝﹣2x2+4x+5 C．y＝﹣2x2+4x+8 D．y＝﹣2x2+4x+6 8．如图，已知抛物线l1：y（x﹣2）2﹣2与x轴分别交于O、A两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的函数表达式为（　　） A．y（x﹣2）2+4 B．y（x﹣2）2+3 C．y（x﹣2）2+2 D．y（x﹣2）2+1 二．填空题 9．把二次函数y＝2x2﹣4x改写成形如y＝a（x﹣m）2+k的形式为　 　 ． 10．请写出一个开口向上，且对称轴为x＝3的抛物线的解析式　 　 ． 11．若抛物线y＝x2﹣6x+c的顶点在x轴，则c＝　 　 ． 12．如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点在y轴上，那么这条抛物线的表达式可以是　 　 ．（只需写一个） 13．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣m2的顶点P随着m的变化而变化，当P点最高时，抛物线的函数解析式为　 　 ． 14．给出一个二次函数，它的部分性质如下：①当x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小；②函数的最大值为3；③函数图象过点（0，2）．根据以上信息，可知该二次函数的解析式为 　 　 ． 三．解答题 15．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+（k﹣1）x+2． （1）该抛物线经过一个定点：　 　 （写出坐标）； （2）若抛物线的对称轴为直线x，求抛物线解析式； （3）在（2）的基础上，若点P（m，n）为抛物线上一点，且n＞6，求m的取值范围． 16．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象经过A（﹣1，﹣2），B（m，﹣2）． （1）当m＝3时，求二次函数的表达式． （2）若二次函数的图象经过M（x1，y1），N（x2，y2）． ①在（1）的条件下，当x2＝3x1时，y1＝y2，求y1的值； ②若，x1＜x2，恒有y1＞y2，求m的取值范围． 17．已知x的二次函数y＝x2+2ax﹣3a． （1）当函数图象经过点（2，5）时． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点A（m，n）向左平移5个单位或向右平移4个单位，都恰好落在函数y＝x2+2ax﹣3a的图象上，求m的值． （2）设点M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的两点，且x1+x2＝3．求证：． 18．已知二次函数y＝mx2﹣mx﹣12m（m≠0）． （1）若函数经过（2，5），求二次函数的解析式； （2）若点A（t﹣1，n），点B（t，n）均在函数图象上，求t的值； （3）当﹣4≤x≤1时，函数最大值为7，求m的值． 19．关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+6（b是常数）的图象经过点（1，7）． （1）求二次函数的表达式； （2）若二次函数的图象经过M（x1，y1），N（x2，y2） ①当x2﹣x1＝2时，y1＝y2，求y1的值； ②若x2﹣x1≥2，0＜x2＜m，恒有y1≤y2，求m的取值范围． 20．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC． （1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段AC所在直线的函数表达式． （2）P是线段AC上方抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F．当PF＝EF时，求点P的坐标． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A C C D D C 二．填空题 9．y＝2（x﹣1）2﹣2． 10．y＝（x﹣3）2（答案不唯一）． 11．c＝9． 12．y＝x2﹣1（答案不唯一）． 13．y＝x2﹣2x． 14．y＝﹣（x﹣1）2+3． 三．解答题 15．解：（1）已知抛物线y＝x2+（k﹣1）x+2， ∵当x＝0时，y＝2， ∴抛物线经过一个定点（0，2）， 故答案为：（0，2）； （2）∵抛物线的对称轴为直线x， 又∵x， ∴k＝﹣2， ∴抛物线解析式为：y＝x2﹣3x+2， 答：抛物线解析式y＝x2﹣3x+2； （3）∵点P（m，n）为抛物线上一点，且n＞6， ∴m2﹣3m+2＞6， ∴m2﹣3m﹣4＞0， ∴（m+1）（m﹣4）＞0， ① 解得：m＞4， ② 解得：m＜﹣1， 答：m＜﹣1或m＞4． 16．解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象经过A（﹣1，﹣2），B（m，﹣2），m＝3， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣5； （2）①在（1）的条件下，函数为y＝x2﹣2x﹣5， ∵二次函数的图象经过M（x1，y1），N（x2，y2），y1＝y2， ∴， ∴x1+x2＝2， ∵x2＝3x1， ∴4x1＝2，即x1， ∴y1＝（）2﹣25； ②∵二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象经过A（﹣1，﹣2），B（m，﹣2）， ∴图象开口向上，对称轴为直线x， ∵二次函数的图象经过M（x1，y1），N（x2，y2），x1＜x2，恒有y1＞y2， ∴M（x1，y1）到对称轴的距离大于点N（x2，y2）到对称轴的距离， ∴， ∵， ∴m． 17．解：（1）①由题意，∵函数图象经过点（2，5）， ∴4+4a﹣3a＝5． ∴a＝1． ∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣3． ②由题意可得，点A向左平移后的点为（m﹣5，n），点A向右平移后的点为（m+4，n）， ∵对称轴是直线x＝﹣1， ∴． ∴． （2）由题意，∵x1+x2＝3， ∴x2＝3﹣x1， ∵M（x1，y1），N（3﹣x1，y2）是二次函数y＝x2+2ax﹣3a图象上两点， ∴ ． ∴． 18．解：（1）由题意，将（2，5）代）y＝mx2﹣mx﹣12m＝4m﹣2m﹣12m＝5， ∴． ∴． （2）由题意，∵点A（t﹣1，n），点B（t，n）均在函数图象上， ∴A（t﹣1，n），B（t，n）关于对称轴对称． ∴对称轴是直线x， ∴． ∴t＝1． （3）由题意，①m＞0时，∵且， ∴当x＝﹣4时，y＝16m+4m﹣12m＝7． ∴． ②m＜0时，∵， ∴当时，． ∴． 综上所述，或． 19．解：（1）由题意，将（1，7）代入y＝﹣x2+bx+6得，﹣1+b+6＝7， ∴b＝2． ∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+6； （2）①由题意可得，y＝﹣x2+2x+6的对称轴为直线x＝1， ∵当x2﹣x1＝2时，y1＝y2． ∴． ∴当x1＝0时，y1＝6． ②由题意，∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴当0＜m≤1时，此时y1≤y2恒成立；当m＞1时，1﹣（m﹣2）≥m﹣1，解得；m≤2． 综上所述，0＜m≤2时，恒有y1≤y2． 20．解：（1）由题意，把x＝0代入 ，得 y＝4． ∴C（0，4）． 把y＝0 代入 ，得 ， ∴x1＝﹣3，x2＝1． ∵点A在点B的左侧， ∴A（﹣3，0），B（1，0）． ∵A（﹣3，0），C（0，4）， ∴AC所在直线为：． （2）由题意，∵点P在抛物线 上， ∴设点P的坐标为 ． ∵PE⊥x轴于点E，交AC于点F， ∴点E的坐标为（m，0），点F的坐标为 ． ∴，． ∵点P在线段AC上方的抛物线上， ∴﹣3＜m＜0． ∵PF＝EF， ∴． ∴m＝﹣1 或m＝﹣3（舍去）． ∴P ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/23 15:07:16；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $