1.2 二次根式的性质（题型专练，8基础&3提升+培优）数学新教材浙教版八年级下册

1.2 二次根式的性质 题型一：利用二次根式的性质进行计算 1．（25-26八年级上·陕西西安·月考） 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及化简二次根式，计算绝对值，立方根和零指数幂，正确化简是解题的关键． 分别化简二次根式，计算绝对值，立方根和零指数幂，再进行加减计算． 【详解】解： ． 2．（2025·内蒙古·一模）计算：； 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．首先计算负指数幂、二次根式和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【详解】解：原式 ； 3．（2025·辽宁·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的化简，实数的乘方，去绝对值，解题的关键是熟练掌握运算法则．根据二次根式的化简，实数的乘方，去绝对值的运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解：原式 ． 4．（2025·辽宁·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数混合运算，熟练掌握零指数与负整数指数幂运算法则是解题的关键．先化简绝对值和二次根式，并计算负整数指数幂和零指数幂，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 5．（25-26八年级上·陕西西安·月考）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，先化简二次根式和去绝对值，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 6．（25-26九年级上·云南曲靖·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据二次根式性质，绝对值意义，零指数幂和负整数指数幂运算法则，进行求解即可． 【详解】解： ． 题型二：利用二次根式的性质化简代数式 1．（25-26八年级上·上海·期中）若，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据二次根式的性质直接化简，根据条件，，简化根式，需利用平方根的性质和绝对值的意义进行化简． 【详解】解：∵，， ∴（负数的立方为负）， 故，从而，根式有意义． ∵， ∴， 又∵，且，∴， ∴原式， 即，与选项A一致． 故选：A． 2．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的符号，再正确移动根号外的因式． 先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再将根号外的负因式处理符号后，平方移入根号内进行化简． 【详解】解：∵， ∴． ∴= ． 故选：C． 3．（24-25八年级下·四川巴中·月考）化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，利用二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先判断x的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键，根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，在的前提下化简即可得到答案． 【详解】解：若二次根式有意义，则， ，解得， ∴原式． 故选：B． 5．（24-25八年级下·甘肃张掖·期中）已知，则化简后为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先得出，再根据二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得：， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）化去式子根号内的分母，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：． 故选：D． 题型三：利用二次根式的化简判断等式是否成立 1．（24-25八年级下·福建漳州·期末）下列各式中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握成为解题的关键． 根据二次根式的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：根据二次根式的性质可得：A、B、C是正确的； D、，故D选项错误． 故选D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列化简正确的有（   ） ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质逐项计算即可得出答案． 【详解】解：①，化简正确； ②，化简过程错误； ③，化简正确； 综上可知，正确的有2个， 故选C． 3．（24-25八年级下·广西南宁·期中）下列各式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，根据二次根式性质计算出正确的值即可得出答案． 【详解】解：A、无意义，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级下·全国·期末）下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，根据二次根式的性质逐项化简求解判断即可 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，不正确，不符合题意； C、，不正确，不符合题意； D、，不正确，不符合题意； 故选：A 5．（24-25七年级下·全国·周测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根的运算，需要依次对每个选项进行分析，判断其运算过程是否正确； 本题考查了二次根式，熟练掌握二次根式相关内容是解题的关键. 【详解】解： 选项A， 在实数范围内无意义，A错误； 选项B，， ，  B正确； 选项C， ， ，  C错误； 选项D，表示0.25的算术平方根，则 ， 不应有负值， D错误； 故选：B. 题型四：已知等式求参数的取值范围 1．（24-25八年级下·北京顺义·期中）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式性质，把问题转化为绝对值，化简解答即可． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解： ∴， 解得． 故选：D． 2．（24-25八年级下·上海·月考）若，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查二次根式的性质，绝对值的意义，解题关键在于掌握其性质，利用平方根与绝对值的性质，将方程转化为绝对值方程，再根据绝对值的非负性确定取值范围． 【详解】解：∵ ， ∴原方程化为 ， 又∵， ∴，即， 当时，， ∴ ，等式成立， 故的取值范围是． 故选：C． 3．（24-25八年级下·上海·月考）若等式成立，则实数的取值范围是是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，根据等式成立需两边均有意义且相等，右边分式要求分子和分母的根号内非负且分母不为零，即 且 ，故 ，此时左边也有意义且等式恒成立． 【详解】∵ 等式右边 有意义的条件是：，解得 ． 当 时，左边 ，等式成立． ∴ 实数 的取值范围是 ， 故选：C． 4．（24-25八年级下·上海·月考）能使等式成立的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件及分式二次根式的性质．等式 成立的条件是 且 ，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选：D． 5．（24-25八年级下·辽宁·月考）等式成立的条件是（   ） A．a、b同号 B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法运算和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的运算法则：除法法则． 根据二次根式除法法则的条件求解． 【详解】解：根据题意可知在分子上，在分母上，所以． 故选：B． 题型五：已知参数的取值范围求代数式的值 1．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质．由可知，因此，代入原式，进行化简，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级下·湖南郴州·期中）已知，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解其性质是解题的关键． 根据二次根式的性质解题即可． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， ， ∴ 原式． 故选：C． 3．（24-25八年级下·北京顺义·月考）已知，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的性质，绝对值性质，根据二次根式的性质，再结合x的取值范围去掉绝对值符号，最后合并同类项，即可解题． 【详解】解： ， ，， 因此，， 原式， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·四川达州·月考）若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，算术平方根的性质， 根据的条件，确定的符号，从而化简平方根表达式，再代入绝对值中计算． 【详解】解：因为， 所以， 因此 ． 则． 由于，所以， 因此． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）已知三角形三边长分别为、、，则化简代数式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值和二次根式的定义，根据三角形三边关系确定的取值范围，再根据绝对值和二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：三角形三边长分别为、、， ，即， ， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·广东深圳·月考）已知，化简： ． 【答案】6 【分析】本题考查化简二次根式和绝对值，根据二次根式的性质，绝对值的意义，进行化简，求解即可，熟练掌握二次根式的性质和绝对值的意义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：6． 题型六：二次根式与数轴结合化简代数式 1．（24-25八年级下·江苏南通·月考）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简代数式的值为 ． 【答案】 【分析】分析,的取值范围，进而根据二次根式的性质以及绝对值的性质判断即可． 本题考查的是实数与数轴的关系，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 【详解】解：由数轴可知，, 则,,, 故答案为：． 2．（24-25八年级下·湖南益阳·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了数轴，二次根式的性质，绝对值，正确掌握二次根式的性质是解题关键．利用数轴得出的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质化简求解即可． 【详解】解：由数轴得，且，， ∴， 故． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·山东东营·月考）已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，化简二次根式，化简绝对值．直接利用数轴得出，进而化简求出答案． 【详解】解：由数轴得， ，，， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·重庆万州·期中）已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出a、b、c的大小并正确运用二次根式和绝对值的性质是解题关键． 根据a、b、c在数轴上的位置，判断出a、b、c的正负情况，继而得出，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值符号，再进行计算即可解答． 【详解】解：由图可知，，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·上海金山·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式、二次根式的性质、取绝对值、整式的加减等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先通过完全平方公式简化两个根式，再根据二次根式化简，然后根据x的取值范围去绝对值，最后相加并合并同类项即可． 【详解】解：由完全平方公式，有： ， ， ∵ ， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为 ． 6．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了实数和数轴，二次根式和绝对值的化简，解题的关键是掌握二次根式和绝对值的化简法则． 通过数轴得出的取值范围，然后利用二次根式和绝对值的化简法则进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 7．（24-25八年级下·重庆万州·期中）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根据数轴上点的位置信息，二次根式的性质，绝对值化简，立方根的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据数轴上点的位置信息结合运算法则化简运算即可． 【详解】解：由图象可得：，， ∴ 故答案为：． 8．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握其性质是解题的关键．由数轴易得，则，，，利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得， 则，，， 原式 ， 故答案为：． 题型七：用字母表示二次根式 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）设，用含a，b的式子表示，则下列表示正确的是（    ） A．0.2ab B．2ab C． D． 【答案】A 【分析】本题需要将进行化简，然后用已知的来表示，所以要先把转化为分数，再根据二次根式的性质进行分解． 【详解】先将化为分数： 则 ∵，已知 ∴ ∴ 故选：A ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与运算，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 2．（24-25八年级下·河南周口·月考）设用含a，b的式子表示，则下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是将进行化简，再用、表示． 先把化简为含有和的形式，再将代入． 【详解】解： 又因为 所以， 所以， 故选：B． 3．（24-25八年级下·山西晋城·月考）若，，则用含x，y的代数式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．利用计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．（22-23八年级下·湖北恩施·期中）若，用含的式子表示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的性质进而化简用含有的式子表示即可． 【详解】解：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简，正确化简是解题的关键． 5．（24-25八年级上·全国·期末）设，，则可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的乘法运算，根据二次根式的性质化简计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 题型八：二次根式化简综合 1．（24-25八年级下·上海·期中）已知，求的平方根. 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，， ∴， 则， ∴， 则的平方根为． 2．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）已知、满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的双重非负性和二次根式混合运算顺序与运算法则．先根据二次根式的非负性得出，解之求得、的值，再代入计算可得． 【详解】解：， ， 解得， ． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、二次根式的性质、代数式求值等知识点，掌握二次根式的性质以及分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据完全平方公式和二次根式的性质化简，再运用分式的混合运算法则化简，最后将代入求值即可． 【详解】解： ∵， ∴ 则原式 ， 当时， 原式 ． 4．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）已知，化简． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的化简、一元一次不等式组等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据二次根式有意义的条件可得，则可得，再根据二次根式的性质、绝对值的性质化简即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 5．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式的变形以及二次根式的性质． 先将代数式变形为完全平方的形式，即，再求出的值，进而判断的正负，最后根据二次根式的性质化简求值． 【详解】 ， ， ． 6．（24-25八年级下·上海·月考）已知，求的值． 【答案】的值为． 【分析】本题考查了配方法，二次根式的性质，非负性的性质，代数式求值，由，配方为，然后通过非负性质求出，，，然后代入即可求解， 掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴的值为． 题型一：复合二次根式的化简 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案． 【详解】解： 故答案为：5． 2．（24-25八年级下·四川遂宁·月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、完全平方公式等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 仿照示例，将表达式化为完全平方形式，再利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：首先将写成，这里，，即，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·河北沧州·月考）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类、完全平方式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据定义化成完全平方式的形式即可； （2）根据定义化成完全平方式的形式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 4．（24-25八年级下·江西赣州·月考）阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 【答案】(1)， (2)或 (3)① ② 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的灵活应用． （1）利用完全平方公式展开，一一对应相等即可； （2）根据完全平方公式进行展开，然后根据x，m，n的取值，分情况进行讨论即可； （3）①根据完全平方公式进行求解即可； ②根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴，； （2）解：， ∴，， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴当时，， 此时，； 当时，； 此时，； ∴或； （3）解：①； ② ． 5．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)16或32 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，理解题意是解决本题的关键． （1）将7转化为，进行求解即可； （2）先将算术平方根内部的式子结合题意进行转化即可求解； （3）根据可得，进而根据题意即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ； （2）解： ； （3）解： 由题意得， ， ∴， ∵，且，，均为正整数， ∴，的值可能为15，1或5，3， ∴当、时，， 则； 当、时，， 则． 6．（24-25八年级下·河南鹤壁·期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题． 例：求的算术平方根． 解：∵， ∴的算术平方根是． 根据以上材料，回答下列问题： (1)_____________； (2)化简：； (3)在中，，，，那么BC边的长为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，勾股定理，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）将变形为完全平方式的形式，然后开平方即可； （2）先利用（1）中得到的结论，把换成，然后将变形为完全平方式，最后开平方即可； （3）先利用勾股定理表示出，最后开平方即可． 【详解】（1）解： 故答案为： （2） ． （3）在中，由勾股定理，得 ， 即边的长度为． 7．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如： ，那么，那么如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数，（，），使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简； 例如：化简； 且， ， ， 由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： 【方法运用】 （1）填空：①__________；②__________； 【方法应用】 （2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长； 【迁移运用】 （3）已知为常数（），满足，求的值． 【答案】（1）①；②；（2）新正方形花圃的边长为米；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，掌握相应的运算法则是关键． （1）将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，利用二次根式化简，即可求得答案； （2）得到新正方形花圃面积为，根据题意计算边长即可； （3）将转化为，计算即可解答． 【详解】解：（1）①； ②； 故答案为：；； （2）由题可知，新正方形花圃面积为（平方米）， ， 则新正方形花圃的边长为米； （3）∵， ∴， ∴， ∴． ， ∴的值为． 题型二：二次根式的化简阅读题型 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则，即， ∴，当且仅当时取等号，此时有最小值为； 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，∵，即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如 ， ． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当 时，式子取得最小值，最小值为 ； (2)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有 个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取得最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)4，8 (2)真分式，，4 (3)当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】（1）根据材料1可得，即可求解； （2）根据新定义分式是真分式，根据题意得出为整数，进而求得满足条件的整数x的值有4个； （3）设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米，结合材料1，即可求解； （4）根据材料2的方法，进行化简即可求解． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； 故答案为：4，8； （2）解：根据新定义分式是真分式， ∵x为整数，的值为整数， ∴为整数， ∴或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴ 此时，， ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； （4）解： ∵， ∴， ∴ 当且仅当时，即时，式子有最小值为4， ∴当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 2．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”，类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： ；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当x=______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)，4 (3)当时，分式取到最大值，最大值为． 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算、分式加减乘除混合运算、二次根式的性质、不等式的性质等知识点，理解新定义运算并利用二次根式的性质化简是解题的关键． （1）先设、，可得出，将、代入后根据当且仅当时式子有最小值，据此求出x及最小值即可； （2）先将已知式子化为，再根据x为整数，且为整数，得出关于x的方程求解即可； （3）先将式子化为，再得出，然后根据当且仅当时式子有最小值，求出x及原式的最大值即可． 【详解】（1）解：设、，则， ∴， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6． 故答案为：3，6． （2）解： ∵x为整数，且为整数， 或或或， ∴或或或，则满足条件的整数x的值有4个． 故答案为：，4． （3）解：， ， ， 当且仅当时，即时，式子有最小值为， ∴当时，分式取到最大值，最大值为． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·月考）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明： 左边右边． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题 (1)若正数x，则的最小值为______． (2)若正数a，b满足，，n为的最小值，求； (3)若正数a，b满足，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料2即可求解； （2）先根据分式的性质以及恒等式变形求得的值，再根据负指数幂即可求解； （3）根据题意可得，进而解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴的最小值为 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）∵正数a，b满足， ∴ ∵不等式恒成立， ∴ ∴①或② ∴解不等式组①无解，解不等式组②得 【点睛】本题主要考查了不等式恒成立与最值关系的转化，二次根式的性质化简，分式的加减运算，负整数指数幂，理解题意，利用好不等式的性质是解题的关键 4．（23-24八年级下·广东佛山·月考）阅读下列材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号，它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有．一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式：如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______； (3)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6； (2)；，，，； (3)当时，分式取到最大值，最大值为． 【分析】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）， x为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或， 故答案为：；，，，； （3）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 5．（23-24八年级下·湖南衡阳·月考）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：左边右边． 阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，用代替a，b得，，即，我们把(*)式称为基本不等式．例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 2． 阅读材料三：正实数a，b满足，求的最小值? 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号． 请同学们根据以上所学的知识解决下列问题． (1)若，求的最小值________；若，求的最小值________． (2)已知且，求的最小值是? (3)，且，不等式恒成立，求的范围? (4)已知且，求的最小值? 【答案】(1)4，6 (2) (3) (4)4 【分析】本题考查了不等式的性质，完全平方公式的应用，利用二次根式的性质进行化简．理解题意，熟练掌握不等式的性质，完全平方公式的应用，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）时，，根据，计算求解，然后作答即可；当时，，根据，计算求解，然后作答即可； （2）同理（1），根据 ，计算求解，然后作答即可； （3）同理（1），根据 ，计算求解即可； （4）由，可得，根据求解，进而可得，然后作答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为4； 当时，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为6； 故答案为：4，6； （2）解：∵且， ∴，， ∴ ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为； （3）解：∵，且，则，， ∴ ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为， ∵恒成立， ∴的最小值，即； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当且仅当，即时，有最小值，最小值为4． 6．（2023九年级上·全国·专题练习）阅读材料：基本不等式当且仅当时，等号成立，其中我们把叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数，它是解决最大小值问题的有力工具，例如：在的条件下，当为何值时，有最小值？最小值是多少？ 解：，， ， ，当且仅当时，即时，有有最小值为． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)填空：当 时，设，则当且仅当_______时，有最_______值为_______； (2)若 ，函数，当为何值时，函数有最值？并求出其最值． 【答案】(1)，小， (2)，有最小值2 【分析】（1）根据基本不等式即可求得的最小值，及此时的取值； （1）根据基本不等式即可求得的最小值，及此时的取值． 【详解】（1）， ， 当且仅当即 时，有最小值． 故答案为：，小， （2）， ， ， 当且仅当即 时，有最小值 ． 【点睛】本题属于阅读材料题目，考查了学生对材料的阅读理解能力和应用能力，考查了解方程，不等式的性质，二次根式的性质等知识，关键是读懂材料并能应用材料的知识解决问题． 题型三：二次根式中规律探索问题 1．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）【观察思考】 观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 【规律发现】 （1）根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①_____； ②_____； （2）用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：_____； 【规律应用】 （3）根据上述规律计算： ． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （3）根据，计算即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得： ①， ②， 故答案为：， （2）第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 出第个等式：， 故答案为：； （3） ． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期中）观察下面算式： 第一个算式： 第二个算式： 第三个算式： 第n个算式：……………… (1)根据上述特征，请再写出第五个算式______________ (2)你发现上述等式有什么规律？请用恰当的方式描述这个规律； (3)请你用含n式子表示上述规律，并证明这个规律． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，证明见解析． 【分析】本题考查二次根式的运算以及数字的变化规律，通过观察找到各式子分母分子之间的规律是解题的关键． （1）通过观察所给的式子，直接分析即可求解； （2）通过观察算式的左边和右边的变化量和不变化量可以得出规律； （3）通过观察算式的规律可以直接写出用含n式子表示上述规律，并利用二次根式的计算进行计算证明． 【详解】（1）解：由题意可得第五个算式：； 故答案为：； （2）解：通过观察可以得出规律：等号左边的被开方数都是这个算式的序号大的数减去的差再乘以加上比这个算式的序号大的数的倒数，等号右边是这个算式的序号大的数分之这个算式的序号大的数乘以比这个算式的序号大的数的算术平方根； （3）解：第个等式：， 证明：是正整数， ． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． （1）根据前个的规律即可得出答案； （2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：等式④：； （2）解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为， 证明如下：等式左边右边； （3）解：∵（均为正整数）， ∴，， ∴ ． 4．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）【观察思考】 观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 【规律发现】 （1）根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______，②______； （2）用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：____________； 【规律应用】 （3）根据上述规律计算： ． 【答案】（1）5，100；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （3）根据，计算即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得： ， ， 故答案为：5，100 （2）第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 出第个等式：， 故答案为：； （3） ． 5．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）【观察规律】 观察下列式子：，，，…， 【类比分析】 （1）按照上述式子的书写格式，再写出两个同类型的式子． 【推理证明】 （2）用含（的正整数）的式子表示上述规律，并给出证明． 【创新应用】 （3）按此规律，若（，为正整数），求的值． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）2069 【分析】本题考查了二次根式的性质、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题干所给例子即可得解； （2）根据题干所给例子即可得出，再根据二次根式的性质进行证明即可； （3）由规律可知，，代入所求式子计算即可得解． 【详解】解：（1）由题意可得：，． （2）由题意可得：， 证明：左边， 右边， ∴左边=右边，等式成立； （3）由规律可知，， ． 6．（24-25八年级下·山东泰安·期中）在学习二次根式运算时，同学们根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． ………… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出第个等式（为正整数）； (3)【应用规律】计算：． 【答案】(1)，验证见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据已知，探索发现变化规律，写出答案，并验证即可； （2）根据发现规律，写出第n个式子即可； （3）根据规律计算即可． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ， 故． 验证：. （2）解：∵①； ②； ③． ………… ∴按照上面各等式反映的规律，第个等式（为正整数）为 ． （3）解： ． 1．（24-25八年级下·全国·周测）下列计算正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】C 【分析】依次计算每个选项，判断其正确性． 【详解】解：A、∵ 表示算术平方根，∴，故A错误； B、∵，两边同时6次方，得，即，整理得，解得或，∴“则”的说法错误，故B错误； C、∵，，∴，故C正确； D、∵，∴，∴，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是立方根、平方根的定义和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）当时，代数式的值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式和去绝对值，熟练掌握二次根式的性质以及去绝对值的方法是解题的关键． 根据给定条件 ，可确定绝对值符号内的正负，从而化简表达式． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ 原式， 故选：A． 3．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，小亮一家自驾到风景区C游玩．当到达A地后，小亮发现风景区C在A地的北偏东方向，但导航显示车辆应沿北偏西方向行驶6千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C，则A，C两地的距离为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．6千米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定等，作出合适的辅助线构建直角三角形是解题的关键．过点作于，根据题意分别求出，，然后利用30度所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，求得和，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于，则， 由题意可知：，， ∴，， ∴， 在中，千米，， 则千米， ∴千米， 在中，， ∴千米， ∴千米， 故选：B． 4．（24-25八年级下·福建泉州·期中）已知实数满足，那么的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的被开方数的非负性，绝对值的化简，有理数的乘方，熟练掌握非负性是解题的关键． 根据二次根式的有意义的条件，化简绝对值，后计算解答即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， ， ， 故选：C． 5．（24-25八年级下·上海·期中）实数在数轴上位置如图，的化简结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握． 先根据数轴得到，则，然后利用二次根式的性质将原式化简为，再化简绝对值，进行合并即可． 【详解】解：由数轴可得，则 ， 故选：B． 6．（24-25八年级下·安徽宿州·月考）如图所示的是底面半径为，高为的圆柱，如果用一根无弹性的细线从点开始绕圆柱两周至其竖直方向上的点，那么所用细线最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的性质，将圆柱的侧面图展开，根据两点之间线段最短，即可求解． 【详解】解：如图， 依题意，， 故选：B． 7．（24-25八年级下·上海杨浦·月考） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，整式的化简，根据二次根式有意义的条件求出，然后在此条件下简化绝对值表达式和化简二次根式，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）实数x、y满足，则yx＝ ． 【答案】3 【分析】本题考查算术平方根的非负性，二次根式有意义的条件，一元一次不等式组，二次根式的混合运算，掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，即被开方数必须非负，从而确定x的值，再代入求y，最后计算即可． 【详解】解：由有意义，得 ，即， 解得， ∴． 则． 故答案为：3． 9．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，在中，，，边在数轴上．点表示的数为1，点表示的数为3，以为圆心，的长为半径画弧，交数轴负半轴于点，则表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了实数与数轴，勾股定理，数轴上两点间的距离，二次根式的化简，关键是正确计算出的长．首先利用勾股定理计算出的长，进而可得的长度，再由点表示的数为1可得答案． 【详解】解：∵点表示的数为1，点表示的数为3， ∴， ∵，， ， ∵以为圆心，的长为半径画弧，交数轴负半轴于点， ， ∵点表示的数为1，在数轴的负半轴， 表示的数为． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·重庆·期中）在进行实数的化简时，我们可以用“”，如，利用这种方式可以化简被开放数较大的二次根式． （1）已知m为正整数，若是整数，求m的最小值 ； （2）设n为正整数，若，y是大于1的整数，则y的最大值与y最小值的差为 ． 【答案】 15 10 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）由题意知，，然后求解作答即可； （2）由题意知，，则当时，，当n增大时，y减小，则当时，，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：∵，m为正整数，是整数， ∴m的最小值为， 故答案为：； （2）解：∵，n为正整数，y是大于1的整数， ∴当时，， ∵当n增大时，y减小， ∴当时，， ∴y的最大值与y最小值的差为， 故答案为：10． 11．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)求的值； (2)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点间的距离公式确定的值，再代入，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质进行计算即可； （2）根据已知条件和绝对值与偶次方的非负性，列出关于、的方程，解方程求出、，继而得到的值，再根据平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点表示，且一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点所表示的数为， ∴， ∴ ； （2）∵与互为相反数，，， ∴， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查实数与数轴，绝对值的意义，二次根式的性质，平方根的定义，掌握平方根的定义和二次根式的性质是解题关键． 12．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图中以格点为端点画出，，的线段； (2)求点A到边的距离． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理．解决本题的关键是用勾股定理画出符合长度的线段． （1）利用勾股定理和格点画出符合要求的线段即可． （2）利用勾股定理的逆定理判断的形状，再求解即可． 【详解】（1）解：如下图所示，，，，即为所求， （2）解：， 又 ∵， ， ∴是直角三角形，， 设点到的距离是， ， ， ， 即点A到边的距离是． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间（单位：）与其开始落下的高度（单位：）满足关系． (1)用含有的式子表示． (2)当的值分别为0，10，15，20，25时，得到的的值分别是什么？的值是怎样变化的？ 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；的值随的增大而增大 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，熟练掌握算术平方根二次根式的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的意义解答即可； （2）将数据代入（1）中的式子，解答即可． 【详解】（1）解：， ． ， ． （2）当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∵， 的值随的增大而增大． 14．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）【阅读材料】著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”新湘教版八年级《数学》上册84页第10题描述了一个有趣的数学现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】（1）______； 【推理证明】（2）分析上述式子，你能猜出其中的规律吗？用字母n表示这一规律，并验证你的猜想是否正确． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】（1）；（2）（，且n为正整数），见解析；（3）14或34或71 【分析】本题考查二次根式的化简与求值，分式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键， （1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据“穿墙”的定义得到，整理得到，分情况求出，的值，代入即可得到答案． 【详解】解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2），证明如下， ； （3）∵ ∴根据（2）规律可得： ∴ ∴ ∵a，b为正整数 ∴或或 ∴或或． 15．（25-26八年级上·湖南常德·期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时， ， ，当且仅当时取等号，请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，当且仅当_____时，有最小值______． (2)当时，求的最小值． (3)请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为米．若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【答案】(1)， (2)最小值为 (3)需要用的篱笆最少是米 【分析】本题考查了二次根式在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据阅读中的公式计算即可； （2）先化简，运用公式计算即可； （3）设所需的篱笆长为L米，由题意得L＝2x+设所需的篱笆长为米，由题意得，再根据阅读中的公式计算即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ，即时，的最小值为， 故答案为：，； （2）解：， ， ， 即， 的最小值为； （3）解：设所需的篱笆长为米，由题意得， 由题意可知：， 需要用的篱笆最少是米． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 二次根式的性质 题型一：利用二次根式的性质进行计算 1．（25-26八年级上·陕西西安·月考） 2．（2025·内蒙古·一模）计算：； 3．（2025·辽宁·一模）计算：． 4．（2025·辽宁·一模）计算：． 5．（25-26八年级上·陕西西安·月考）计算： 6．（25-26九年级上·云南曲靖·月考）计算：． 题型二：利用二次根式的性质化简代数式 1．（25-26八年级上·上海·期中）若，则（） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川巴中·月考）化简正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·甘肃张掖·期中）已知，则化简后为（ ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）化去式子根号内的分母，结果为（    ） A． B． C． D． 题型三：利用二次根式的化简判断等式是否成立 1．（24-25八年级下·福建漳州·期末）下列各式中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列化简正确的有（   ） ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25八年级下·广西南宁·期中）下列各式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·全国·期末）下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·全国·周测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四：已知等式求参数的取值范围 1．（24-25八年级下·北京顺义·期中）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海·月考）若，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·上海·月考）若等式成立，则实数的取值范围是是（    ） A． B．或 C． D． 4．（24-25八年级下·上海·月考）能使等式成立的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 5．（24-25八年级下·辽宁·月考）等式成立的条件是（   ） A．a、b同号 B．， C．， D．， 题型五：已知参数的取值范围求代数式的值 1．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南郴州·期中）已知，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25八年级下·北京顺义·月考）已知，化简 ． 4．（24-25八年级下·四川达州·月考）若，则 ． 5．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）已知三角形三边长分别为、、，则化简代数式的结果是 ． 6．（24-25八年级下·广东深圳·月考）已知，化简： ． 题型六：二次根式与数轴结合化简代数式 1．（24-25八年级下·江苏南通·月考）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简代数式的值为 ． 2．（24-25八年级下·湖南益阳·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为 ． 3．（24-25八年级下·山东东营·月考）已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简 ． 4．（24-25八年级下·重庆万州·期中）已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 5．（24-25八年级下·上海金山·期中）若，则 ． 6．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简 ． 7．（24-25八年级下·重庆万州·期中）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简 ． 8．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 题型七：用字母表示二次根式 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）设，用含a，b的式子表示，则下列表示正确的是（    ） A．0.2ab B．2ab C． D． 2．（24-25八年级下·河南周口·月考）设用含a，b的式子表示，则下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山西晋城·月考）若，，则用含x，y的代数式表示为（   ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·湖北恩施·期中）若，用含的式子表示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·全国·期末）设，，则可以表示为 ． 题型八：二次根式化简综合 1．（24-25八年级下·上海·期中）已知，求的平方根. 2．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）已知、满足，求的值． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）先化简，再求值：，其中． 4．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）已知，化简． 5．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，求代数式的值． 6．（24-25八年级下·上海·月考）已知，求的值． 题型一：复合二次根式的化简 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为 ． 2．（24-25八年级下·四川遂宁·月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = ． 3．（25-26八年级上·河北沧州·月考）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 4．（24-25八年级下·江西赣州·月考）阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 5．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 6．（24-25八年级下·河南鹤壁·期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题． 例：求的算术平方根． 解：∵， ∴的算术平方根是． 根据以上材料，回答下列问题： (1)_____________； (2)化简：； (3)在中，，，，那么BC边的长为多少？ 7．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如： ，那么，那么如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数，（，），使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简； 例如：化简； 且， ， ， 由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： 【方法运用】 （1）填空：①__________；②__________； 【方法应用】 （2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长； 【迁移运用】 （3）已知为常数（），满足，求的值． 题型二：二次根式的化简阅读题型 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则，即， ∴，当且仅当时取等号，此时有最小值为； 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，∵，即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如 ， ． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当 时，式子取得最小值，最小值为 ； (2)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有 个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取得最大值，最大值是多少？ 2．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”，类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： ；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当x=______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 3．（23-24八年级上·湖南长沙·月考）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明： 左边右边． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题 (1)若正数x，则的最小值为______． (2)若正数a，b满足，，n为的最小值，求； (3)若正数a，b满足，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 4．（23-24八年级下·广东佛山·月考）阅读下列材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号，它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有．一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式：如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______； (3)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 5．（23-24八年级下·湖南衡阳·月考）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：左边右边． 阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，用代替a，b得，，即，我们把(*)式称为基本不等式．例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 2． 阅读材料三：正实数a，b满足，求的最小值? 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号． 请同学们根据以上所学的知识解决下列问题． (1)若，求的最小值________；若，求的最小值________． (2)已知且，求的最小值是? (3)，且，不等式恒成立，求的范围? (4)已知且，求的最小值? 6．（2023九年级上·全国·专题练习）阅读材料：基本不等式当且仅当时，等号成立，其中我们把叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数，它是解决最大小值问题的有力工具，例如：在的条件下，当为何值时，有最小值？最小值是多少？ 解：，， ， ，当且仅当时，即时，有有最小值为． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)填空：当 时，设，则当且仅当_______时，有最_______值为_______； (2)若 ，函数，当为何值时，函数有最值？并求出其最值． 题型三：二次根式中规律探索问题 1．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）【观察思考】 观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 【规律发现】 （1）根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①_____； ②_____； （2）用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：_____； 【规律应用】 （3）根据上述规律计算： ． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期中）观察下面算式： 第一个算式： 第二个算式： 第三个算式： 第n个算式：……………… (1)根据上述特征，请再写出第五个算式______________ (2)你发现上述等式有什么规律？请用恰当的方式描述这个规律； (3)请你用含n式子表示上述规律，并证明这个规律． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 4．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）【观察思考】 观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 【规律发现】 （1）根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______，②______； （2）用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：____________； 【规律应用】 （3）根据上述规律计算： ． 5．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）【观察规律】 观察下列式子：，，，…， 【类比分析】 （1）按照上述式子的书写格式，再写出两个同类型的式子． 【推理证明】 （2）用含（的正整数）的式子表示上述规律，并给出证明． 【创新应用】 （3）按此规律，若（，为正整数），求的值． 6．（24-25八年级下·山东泰安·期中）在学习二次根式运算时，同学们根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． ………… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出第个等式（为正整数）； (3)【应用规律】计算：． 1．（24-25八年级下·全国·周测）下列计算正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 2．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）当时，代数式的值是（    ） A． B．1 C． D． 3．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，小亮一家自驾到风景区C游玩．当到达A地后，小亮发现风景区C在A地的北偏东方向，但导航显示车辆应沿北偏西方向行驶6千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C，则A，C两地的距离为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．6千米 4．（24-25八年级下·福建泉州·期中）已知实数满足，那么的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 5．（24-25八年级下·上海·期中）实数在数轴上位置如图，的化简结果为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·安徽宿州·月考）如图所示的是底面半径为，高为的圆柱，如果用一根无弹性的细线从点开始绕圆柱两周至其竖直方向上的点，那么所用细线最短的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·上海杨浦·月考） ． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）实数x、y满足，则yx＝ ． 9．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，在中，，，边在数轴上．点表示的数为1，点表示的数为3，以为圆心，的长为半径画弧，交数轴负半轴于点，则表示的数是 ． 10．（25-26八年级上·重庆·期中）在进行实数的化简时，我们可以用“”，如，利用这种方式可以化简被开放数较大的二次根式． （1）已知m为正整数，若是整数，求m的最小值 ； （2）设n为正整数，若，y是大于1的整数，则y的最大值与y最小值的差为 ． 11．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)求的值； (2)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 12．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图中以格点为端点画出，，的线段； (2)求点A到边的距离． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间（单位：）与其开始落下的高度（单位：）满足关系． (1)用含有的式子表示． (2)当的值分别为0，10，15，20，25时，得到的的值分别是什么？的值是怎样变化的？ 14．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）【阅读材料】著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”新湘教版八年级《数学》上册84页第10题描述了一个有趣的数学现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】（1）______； 【推理证明】（2）分析上述式子，你能猜出其中的规律吗？用字母n表示这一规律，并验证你的猜想是否正确． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 15．（25-26八年级上·湖南常德·期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时， ， ，当且仅当时取等号，请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，当且仅当_____时，有最小值______． (2)当时，求的最小值． (3)请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为米．若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $