精品解析：陕西省汉中市部分学校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试卷

陕西省汉中市部分学校2024-2025学年高三上学期1月期末联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8个小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的概念先求，再根据补集的概念求. 【详解】因为，， 所以. 所以. 故选：C 2. 已知复数，，复数，则的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的加法运算及共轭运算，再利用复数的几何意义即可得选项. 【详解】由， 则对应的点为位于第一象限，所以A正确， 故选：A. 3. 若为一组从小到大排列的数1，2，3，5，7，8，11的第上四分位数，则二项式的展开式的常数项是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】利用百分位数的概念计算，再利用二项式展开式通项公式求常数项即可. 【详解】因为， 所以的第上四分位数是，即， 则， 由解得， 所以常数项为， 故选：D. 4. 光束是由一粒一粒运动着的粒子流组成的，这种粒子被称为光量子，简称光子．已知在某次光学实验中，实验组相关人员用感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子A，B，通过数学建模与数据分析得知，在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为，设光子相对光子的位移为，则在上的投影向量的坐标表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量坐标的线性运算先求，再利用投影向量的定义即可求解. 【详解】由向量，可得， 所以在上的投影向量为．． 故选：C． 5. 曲线与交点个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】作出曲线与图象，结合图象即可得出答案. 【详解】作出曲线与大致图象，可知，而， 由曲线与图象知，曲线与有个交点. 故选：A. 6. “数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先假设数列是等差数列，结合等差数列的性质设出其首项及公差，计算可得数列亦为等差数列，举出恰当的数列的通项公式，使是等差数列，但不是等差数列即可得. 【详解】若数列是等差数列，可设其首项为，公差为， 则，则， 即数列是以为首项，为公差的等差数列； 若数列是等差数列，取，则，符合要求， 但数列不为等差数列， 故“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A, 7. 已知直线与直线交于，则原点到直线距离的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由交点在两条直线，代入点的坐标得的关系，再将关系变形代入点到直线的距离公式消元求最值可得. 【详解】因为两直线交于， 则，即，且，则； 由原点到直线的距离 由， 则，当且仅当时，取最大值，此时. 即两直线重合时，原点到直线的距离最大. 故选：B. 8. 正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出图形，设外接球半径为，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到球的表面积. 【详解】如图所示，，， 设为外接球球心，外接球半径为，为上下底面的中心，易知， 又侧棱长为，则，又易知， 设，则，， 故，解得：， 故，所以球的表面积为， 故选：B. 二、多项选择题（本题共3个小题，每题6分，共18分，两个选项的对一个得3分，三个选项的对一个得2分，有错误选项不得分.） 9. 随机事件A、B满足，，，下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件B相互独立 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用独立事件计算公式可判断A正确，易知，可得B错误，根据全概率公式可得C正确，计算可得D错误. 【详解】根据，可得； 又，可得； 即满足，因此事件与事件B相互独立，即A正确； 易知，因此B错误； 由可得，即可知C正确； 计算可得，所以，即D错误. 故选：AC 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，有3个零点 B. 当时，有两个极值 C. 当时，在上单调递减 D. 图象对称中心的横坐标不变 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，求导，判断单调性和极值的正负判断；对B，判断的单调性进而判断；对C，结合选项B可判断； 对D，求出图象的对称中心判断. 【详解】对于A，当时，，则， 所以当或时，，当时，， 所以和上单调递减，在上单调递增， 又，，所以有3个零点，故A正确； 对于B，由，当时，方程的，设其两根为， 易得在和上单调递减，在上单调递增，故在和处分别取到极小值和极 大值，所以有两个极值，故B正确； 对于C，由B，当时，在和上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对于D，因为 ， 所以图象对称中心坐标为，，图象对称中心的横坐标不变，故D正确. 故选：ABD. 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证和思维方法等之中，揭示了数学知识的规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列结论正确的是（ ） A. 曲线所围成图形的周长是 B. 曲线所围成图形的面积是 C. 曲线上任意两点间距离的最大值为 D. 直线与曲线一定有两个交点 【答案】BC 【解析】 【分析】分类讨论去掉绝对值，作出曲线的图形，结合图形特点可求答案. 【详解】当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 其图象如图， 曲线所围成图形的周长为四个半径相同的半圆的周长之和，，A错误； 曲线所围成图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和， ，B正确； 曲线上任意两点间距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，此时最大值为，C正确； 恒过定点，而恰好在曲线上， 当直线与曲线在处相切时，不可能有两个公共点，D错误. 故选：BC 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式的解集是_________. 【答案】 【解析】 【分析】先通过构造函数求出的表达式，再研究单调性，求解不等式. 【详解】设，对求导可得. 已知，所以.可得（为常数）. 因为，所以，则. 对求导，可得. 已知，将代入可得： ，所以. 求解不等式，即. 当时，与都大于， 令，对求导得. 再令，对求导得. 当时，，所以在上单调递增， 则. 因为，所以，即在上单调递增. 又. 所以由可得. 故不等式的解集是. 故答案为：. 13. 在中，，，若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率_____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据余弦定理得到，再结合题设及椭圆的定义可得，，进而求解即可. 【详解】在中，由余弦定理得， 则，即， 由于椭圆以A，B为焦点，则，即， 又椭圆经过点C，所以，则，即， 所以该椭圆的离心率. 故答案为：. 14. 已知抛物线，弦过抛物线的焦点F，设的中点为N，线段的垂直平分线交y轴于L，则________； 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据抛物线的基本性质，以及韦达定理，设出点的坐标和直线方程，根据弦长公式，求出线段长度的表达式，进而求出比值. 【详解】如图所示，可知直线的斜率肯定存在，抛物线焦点坐标为， 所以设直线方程为，， 联立方程组得，消去得， 可知恒成立，则， 则线段中点的坐标为，即， 线段中垂线的斜率为，则线段中垂线方程为，化简得， 则点，， 由弦长公式得， 则， 故答案为：. 四、解答题（本题共5个小题，共77分） 15. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若，的面积为，为边上一点，满足. ①求的周长； ②求的长. 【答案】（1） （2）①12；② 【解析】 【分析】（1）结合正弦定理和三角形的内角和定理以及两角和与差的正弦公式，可求角. （2）①先根据三角形的面积公式及余弦定理求得，可得为等边三角形，进而求得周长； ②根据余弦定理求. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理得，， 则， 则， 则， 因，所以， 则，即， 即，又， 则，即. 【小问2详解】 ①因为，所以. 由余弦定理：， 则，即， 所以，即为等边三角形， 则的周长为. ②由，所以， 在中，由余弦定理得， ， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. （1）求证：平面； （2）求直线与面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得、、、四点共面，如果存在求出的值；如果不存在说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）1 （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质有，又，根据线面垂直的判定即可证结论； （2）构建以A为原点，建立空间直角坐标系，根据已知确定对应点坐标，求出平面的法向量，应用向量法求线面角的正弦值； （3）设，根据点共面，利用与平面一个法向量垂直，由向量垂直的坐标表示求，即可确定结果. 【小问1详解】 由平面，平面，则， 又，，平面，所以平面. 【小问2详解】 以A为原点，平面内与垂直的直线为x轴，的正方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则有， 为的中点，，得，， 则有，，，， 设平面一个法向量为，则， 令，则，得， 设直线与面所成角为，则有， 所以直线与面所成角的正弦值为1. 【小问3详解】 若线段上存在点使、、、四点共面，设，， 则，， 若、、、四点共面，则在平面内， 又平面的一个法向量为，则有，解得. 所以线段上存在点，使得、、、四点共面，此时. 17. 已知为数列的前项和，为数列的前项和，. （1）求的通项公式； （2）若，求的最大值； （3）设，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据递推公式得出等差数列再应用基本量运算得出通项公式； （2）分组求和分别求出,再计算化简结合指数函数单调性计算求解； （3）先根据得出,再证明，结合等比数列求和证明右侧不等式 【小问1详解】 由，得，所以数列为等差数列， 所以，所以. 又，所以， 设的公差为d，即解得 所以的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）知，所以 ， ， 令，得， 设，则数列是递增数列. 又，， 所以n的最大值为5. 【小问3详解】 由（2）知， 设是的前n项和，则，所以是递增数列， 所以成立. 又， 所以当时，，所以， 得， 所以. 综上，. 18. 在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小2． （1）求的轨迹的方程； （2）设动点的轨迹为曲线，过点作斜率为，的两条直线分别交于M，N两点和P，Q两点，其中．设线段和的中点分别为A，B，过点作，垂足为．试问：是否存在定点，使得线段的长度为定值．若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在定点，使得线段的长度为定值2；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据动点G到点的距离比它到直线的距离小2和抛物线的定义可知点G的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，进而得出结果； （2）设直线方程，联立抛物线方程，求得A，B的坐标，从而表示出AB的方程，说明其过定点，由可说明点D点在一个圆上，由此可得结论. 【小问1详解】 由题意可得动点到点的距离比到直线的距离小2， 则动点到点的距离与到直线的距离相等， 故G的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线， 设抛物线方程为 ， 则焦准距 ，故的轨迹的方程为： ； 小问2详解】 由题意，直线MN的方程为 ，由题意可知 ， 由 ，消去y得： ， ， 设 ，则， 故 ，同理可求得， 所以直线AB的斜率， 故直线AB的方程为： ， 故直线AB过定点 ，设该点为, 又因为，所以点D在以EF为直径的圆上， 由于 , , 故以EF为直径的圆的方程为， 故存在定点，使得线段的长度为定值2. 【点睛】本题考查了抛物线方程的求解以及直线和抛物线的位置关系中的定点问题，综合性较强，解答时要注意设直线方程并和抛物线方程联立,利用很与系数的关系进行化简，关键是解题思路要通畅，计算要准确，很容易出错. 19. 已知函数. （1）若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值. （2）已知有三个不同零点. （i）求的取值范围； （ii）若为较大的两个零点，证明：. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）分段求出函数的导数，再利用导数的几何意义，结合已知列式求解. （2）（i）由函数零点的意义分离参数，构造函数，利用导数探讨函数性质即可；（ii）由（i）可得，利用零点的意义建立关系，利用分析法推理证明，再构造函数，利用导数推理得证. 【小问1详解】 函数， 求导得， 则， 因为曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补， 则，即，所以. 【小问2详解】 （i）函数的定义域为，由，得， 令函数，求导得， 当或时，；当时，， 则函数在上递减，在上递增，在取得极大值， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 而，当时，恒有， 又有三个零点，则， 所以的取值范围为. （ii）由（i）知， 要证，只需证，又， 即证，即证，由， 得，则，需证， 即证，只证， 令，函数， 求导得， 由，得恒成立，函数在上单调递增，因此， 即，则， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省汉中市部分学校2024-2025学年高三上学期1月期末联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8个小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，，复数，则的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若为一组从小到大排列的数1，2，3，5，7，8，11的第上四分位数，则二项式的展开式的常数项是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 光束是由一粒一粒运动着的粒子流组成的，这种粒子被称为光量子，简称光子．已知在某次光学实验中，实验组相关人员用感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子A，B，通过数学建模与数据分析得知，在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为，设光子相对光子的位移为，则在上的投影向量的坐标表示为（ ） A. B. C. D. 5. 曲线与交点个数是（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. “数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知直线与直线交于，则原点到直线距离的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 8. 正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3个小题，每题6分，共18分，两个选项的对一个得3分，三个选项的对一个得2分，有错误选项不得分.） 9. 随机事件A、B满足，，，下列说法正确的是（ ） A 事件与事件B相互独立 B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，有3个零点 B. 当时，有两个极值 C. 当时，在上单调递减 D. 图象对称中心的横坐标不变 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证和思维方法等之中，揭示了数学知识的规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列结论正确的是（ ） A. 曲线所围成图形周长是 B. 曲线所围成图形的面积是 C. 曲线上任意两点间距离的最大值为 D. 直线与曲线一定有两个交点 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式的解集是_________. 13. 在中，，，若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率_____. 14. 已知抛物线，弦过抛物线的焦点F，设的中点为N，线段的垂直平分线交y轴于L，则________； 四、解答题（本题共5个小题，共77分） 15. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若，的面积为，为边上一点，满足. ①求的周长； ②求的长. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. （1）求证：平面； （2）求直线与面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得、、、四点共面，如果存在求出的值；如果不存在说明理由. 17. 已知为数列的前项和，为数列的前项和，. （1）求的通项公式； （2）若，求的最大值； （3）设，证明： 18. 在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小2． （1）求的轨迹的方程； （2）设动点的轨迹为曲线，过点作斜率为，的两条直线分别交于M，N两点和P，Q两点，其中．设线段和的中点分别为A，B，过点作，垂足为．试问：是否存在定点，使得线段的长度为定值．若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，说明理由． 19. 已知函数. （1）若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值. （2）已知有三个不同的零点. （i）求取值范围； （ii）若为较大的两个零点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $