第13讲 圆内接正多边形（知识详解+2典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年北师大版数学九年级下册重难点讲义与测试

本讲义聚焦圆内接正多边形核心知识点，系统梳理概念（中心、半径、中心角、边心距）、计算（内角、中心角、外角及半径与边长、边心距关系）、画法（n等分圆及特殊多边形尺规作图），搭建从圆性质到综合应用的学习支架。 资料以“知识详解-典例分析-习题巩固”三阶设计为特色，典例融入冬奥会雪花、传统窗棂等实际情境，培养数学眼光。通过公式推导与变式训练发展数学思维，课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第13讲 圆内接正多边形（知识详解+2典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：圆内接正多边形 知识点02：正多边形的有关计算 知识点03：正多边形的画法 典例分析 （举三反三） 考点1：正多边形和圆的有关计算 考点2：正多边形的实际应用 习题巩固 一、单选题（5） 二、填空题（5） 三、解答题（5） 【知识点01】圆内接正多边形 1. 正多边形 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形. 2. 圆内接正多边形 顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆. 3. 正多边形的有关概念 (1)正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. (2)正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径. (3)正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. (4)正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 【知识点02】正多边形的有关计算 1. 正n边形的每个内角都等于. 2. 正n边形的每个中心角都等于 . 3. 正n边形的每个外角都等于 . 4. 设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则： (1)半径、边长、边心距的关系为R2=r2+ ()2； (2)周长l=na； (3)面积S=ar·n= lr. 【知识点03】正多边形的画法 1. 正n 边形的画法：将圆n 等分，然后顺次连接各等分点，即得到所要作的正n 边形. 2. 对于一些特殊的正n 边形，如正方形、正六边形、正八边形，可以用圆规和直尺作图. 如图3-8-3 ①，在圆周上任定一点为圆心，以圆的半径为半径作弧，然后以弧与圆周的交点为圆心依次作弧，在圆周上得到6 个交点，依次连接，得到一个内接正六边形. 如图3-8-3 ②，在⊙O中用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可把圆周四等分，从而作出正方形. 若再逐次平分各边所对的弧，就可以作边数逐次倍增的正多边形，如正八边形、正十六边形等. 【题型一】正多边形和圆的有关计算 【典例1-1】（25-26九年级上·吉林四平·期末）正六边形的边长是，则它的外接圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的内角度数和外接圆的定义，找到正多边形的外接圆圆心和正多边形的关系是解题关键． 利用先求出正六边形的内角度数，再通过正六边形的外接圆中边所对圆心角的度数，得到正六边形的边与外接圆的半径的关系即可． 【详解】解：如图，正六边形每个边所对圆心角为， 故图中正六边形的任意两个相邻顶点与外接圆圆心之间的连线构成的三角形是等边三角形， 所以正六边形的边长等于外接圆半径， 所以半径为， 故选：C． 【典例1-2】（25-26九年级上·北京·月考）如图，正六边形内接于，若正六边形的半径为6，则正六边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆内接正多边形，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题的关键． 将正六边形分成六个边长相等的正三角形，则正多边形的半径为正三角形的边长，据此计算正六边形的面积即可． 【详解】解：根据题意得，正六边形可以分成六个边长相等的正三角形， 则正多边形的半径为正三角形的边长， 即正三角形的边长为6，高为， 因此，正六边形的面积为， 故答案为：． 【典例1-3】（25-26九年级上·甘肃定西·月考）如图，的半径为4，正六边形内接于，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意可得，推出是等边三角形，再利用等边三角形的性质和勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：正六边形内接于， ， ， 是等边三角形， ， 如图，过O作的垂线， 则，， ， ． 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正九边形 B．正十边形 C．正十二边形 D．正十八边形 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，掌握构造同弧所对的圆心角是解题的关键． 构造弧所对的圆心角后，即可求解． 【详解】解：连接， ， ， ， 是正九边形的一条边． 故选：A． 【变式1-2】（25-26九年级上·四川广安·期中）由边长为4的正方形的外接圆与内切圆组成的圆环（如图）的面积S为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形外接圆与内切圆问题，圆的面积公式，得到半径是解题的关键． 根据题意，正方形外接圆半径，内切圆半径，再由圆的面积公式求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴． ∴． ∴此正方形外接圆的面积为， 此正方形内切圆的面积为． ∴此圆环的面积． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，正方形内接于，其边长为4，求的内接正三角形的边长．    【答案】 【分析】本题考查圆与等边三角形的综合题，正方形性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 连接作于点M，先求出，继而推导出，，可求出，则有， 即可解答． 【详解】解：如图，连接作于点M，    根据正方形的性质可得．， ∴是的直径． 在中，． ∴． ∵， ∴． ∵是正三角形， ∴， ∴． ∴． ∴． 在中，，， ∴，． ∴，即正三角形的边长为． 【题型二】正多边形的实际应用 【典例2-1】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）如图是小亮同学用等分圆周的方法画出的美丽图案，将该图案绕其中心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度不能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转对称图形的性质，正确理解求解方法是关键．根据题意可得园内是一个正八边形，求出中心角，得到旋转后能重合的最小旋转角，即可求解． 【详解】解：根据题意可得圆内是一个正八边形，则， 将该图案绕其中心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度是的整倍数， ∵，不是整数， 旋转角度不能是， 故选：B． 【典例2-2】（25-26九年级上·新疆·期中）北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形）的外接圆，则正六边形中心角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查正六边形性质，正六边形中心角计算等．根据题意可知正六边形的六个中心角均相等，再利用除法算式计算即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例2-3】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）中国古代窗户的设计体现了深厚的文化和智慧，如图所示的是一个正八边形窗户示意图，点是该正八边形的中心，分别为边的中点．连接，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正边形的每个中心角都等于是解题的关键． 连接，根据点是正八边形的中心，求得，然后根据等腰三角形的性质，得解答即可． 【详解】解：如图，连接． ∵点是正八边形的中心， ， 又是的中点， ． 【变式2-1】（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）齐齐哈尔市龙沙公园内有一楼亭，始建于1908年，1964年7月21日，朱德委员长来齐齐哈尔市视察，登楼远眺，神清气爽，嫩江水碧波荡漾，齐齐哈尔风光尽收眼底，朱老总即兴挥毫题写了“望江楼”三个大字，后将其制成黑底金字的长匾悬挂于飞檐之下，得名“望江楼”．我国古代许多楼亭的地基都是正六边形（如图），若有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则地基的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等多边形的性质，等边三角形的判定性质，解题的关键是掌握正多边形中心角相等；过点O作于点C，通过证明为等边三角形，得出，，根据勾股定理可得：，则，即可得出地基的面积． 【详解】解：过点O作于点C，    ∵该六边形为正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， ∴地基的面积， 故选：D． 【变式2-2】（25-26九年级上·江西南昌·月考）窗是我国传统建筑中重要的构成要素之一，窗的类型很多，图1是一个正六边形窗，这个正六边形的示意图如图2所示，已知该正六边形的边心距为，则这个正六边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆、勾股定理、含30度的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 过正六边形的中心作于点，连接、，根据正六边形的性质可得，，再利用含30度的直角三角形的性质得到，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，利用三角形的面积公式求出，即可求出正六边形的面积． 【详解】解：如图，过正六边形的中心作于点，连接、， 则，，， ∵，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴正六边形的面积为． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25九年级下·江苏徐州·月考）今年假期，你有没有和父母或者小伙伴一起走进影院去看一下国漫电影《哪吒2》呀？影片中，玉虚宫的镇宫之宝“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八边形”的宫殿，你想知道这座建筑有多大吗？ 问题一：要求出“正八边形”的面积，我们可以把一个“正八边形”均分成八个顶角为______度的等腰三角形； 问题二：中，，，，求的面积和的值分别是多少？（可以作的中垂线交于D，交于E，则为等腰三角形，） 问题三：若“正八边形”的边长为，求：正八边形的面积． 【答案】问题一：45；问题二：，；问题三：． 【分析】本题考查正多边形的有关运算，含的直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握含的直角三角形性质和利用正方形的面积解决正八边形的面积是解决本题的关键． 问题一：根据正八边形分成的八个等腰三角形的顶角组成，可得等腰三角形每个顶角的度数； 问题二：根据及的长可得和的长度，进而可得的长度，的面积，，把相关数值代入计算即可； 问题三：延长正八边形的四条边相交成正方形，则补充的四个小三角形为等腰直角三角形，求得正方形的边长后，正八边形的面积正方形的面积4个等腰直角三角形的面积，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：问题一：八个等腰三角形的顶角组成， 每个顶角的度数为：， 故答案为：45； 问题二：作的中垂线交于D，交于E， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； 问题三：如图，延长正八边形的四条边相交成正方形，则补充的四个小三角形为全等的等腰直角三角形， 正八边形的边长为， ∴， ， 正方形的边长为， 正八边形的面积． 一、单选题 1．（24-25九年级上·河北邢台·期中）如图，等边三角形和正方形 均内接于，若，则劣弧的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆的综合应用，连接，求出的度数，进而得到为等腰直角三角形，求出的长，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：连接，则：， ∵等边三角形和正方形 均内接于， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴的长； 故选B． 2．（25-26九年级上·全国·期中）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形内角和，掌握多边形内角和定理是解题的关键． 根据题意可得正五边形的每个内角的度数为，由此可得每个正五边形所对圆心角为，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴正五边形的每个内角的度数为，即， ∴， ∴，即每个正五边形所对圆心角为， ∵， ∴共需要正五边形的个数是10个， 故选：D． 3．（25-26九年级上·河南安阳·月考）如图，内有一内接正五边形，点为劣弧上的任意一点（不与端点重合），则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形，圆的内接四边形，能够正确作出辅助线是解题关键； 连接，通过正五边形性质求出，进而求出，最后利用圆的内接四边形对角互补计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形， ∴， ∴， ∵为圆的内接四边形， ∴， 故选：C． 4．（25-26九年级上·山东临沂·期中）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．图中空白部分与阴影部分的面积比值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，内切圆和外接圆的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． 假设正方形内切圆的半径为1，则，利用勾股定理求出外接圆的直径，然后利用圆的面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图所示，假设正方形内切圆的半径为1，则， 根据勾股定理得， ∴外接圆的半径为， ∴内切圆的面积为； 外接圆的面积为， ∴阴影部分的面积为； ∴图中空白部分与阴影部分的面积比值为1， 故选：C． 5．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，圆内接正三角形的边长为，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．根据正三角形的面积加上三个半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 【详解】解：如图，作、边上的高、，交于点O， ∵为正三角形，边长为， ∴，O为等边的外接圆的圆心， ∴正三角形的面积为：，， ∴等边的外接圆的面积为：， ∵以等边的各边为直径作半圆， ∴三个半圆的半径为：， ∴三个半圆的面积为：， ∴阴影部分的面积为：． 故选：B． 二、填空题 6．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，正八边形内接于，则的度数为 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查正多边形内角和公式，正多边形的内角性质，熟练掌握正多边形内角和公式是解题关键． 先确定正八边形的边数为，然后代入正多边形内角和公式算出内角和，再结合正八边形内角相等的性质，求出作为其内角的的度数． 【详解】解：对于边数为（且为整数）的正多边形，其内角和为， ∵正八边形的边数为， 则其内角和为， ∵正八边形的所有内角大小相等且为其内角， ． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·北京·期末）如图，为正八边形的中心，连接，以为圆心的圆弧经过点，，与交于点，连接，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，正多边形内角和定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练运用内角和公式、三角形内角和公式、等腰三角形的性质是解题的关键． 根据正多边形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴， 由对称性可得， ∵， ∴． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·福建福州·月考）正六边形内接于，若的半径为6，则正六边形的边长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了正多边形的中心角、等边三角形的判定与性质，熟练掌握正多边形的中心角的定义是解题关键．连接，则，再求出正六边形的中心角，然后根据等边三角形的判定与性质求解即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： 连接， ∵的半径为6， ∴， ∵正六边形内接于， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即正六边形的边长为6， 故答案为：6． 9．（25-26九年级上·广东汕头·月考）“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是掌握：正六边形的边长等于半径． 根据正六边形的边长等于半径的特点，正六边形可以分解为六个全等的三角形，易得每个三角形的面积，进而可得六边形的面积． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为点，连接、，过点作于点， ∴中心角， ∵正六边形的半径为， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即正六边形可以分解为六个全等的三角形，且每个三角形的边长都为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这个正六边形的面积是． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，是的内接正多边形的一条边，连接、，，则这个正多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆内接正多边形的中心角性质，掌握“正多边形的边数=单个中心角的度数”是解题关键． 圆内接正多边形的每个中心角相等，且所有中心角之和为，据此进行计算． 【详解】解：圆内接正多边形的中心角之和为，且每个中心角相等． 已知该正多边形的一个中心角，设正多边形的边数为，则： ． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图、正多边形和圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．任意作一条直径，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交于点B，F，再分别以点B，F为圆心，的长为半径画弧，分别交于点C，E，顺次连接，，，，，，即可得六边形． 【详解】解：如图，任意作一条直径，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交于点B，F，再分别以点B，F为圆心，的长为半径画弧，分别交于点C，E，顺次连接，，，，，， 则六边形即为所求． 12．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形． (1)求该地基的周长； (2)求该地基的面积（结果保留根号形式）； (3)若正六边形的半径用表示，写出正六边形的面积与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是正六边形及等边三角形的性质、勾股定理，作出辅助线构造出等边三角形以及直角三角形是解答此题的关键． （1）连接、，证明是等边三角形，得出即可求出结论； （2）过作于，求出，，再求出，即可求出结论； （3）求出，，再求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：连接、； ∵六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长； （2）解：过作于， 是等边三角形，， ， 于， ， 在中，由勾股定理， ， ； （3）解：是等边三角形，， ， 于， ， 在中，由勾股定理， ， ． 13．（25-26九年级上·山西朔州·月考）如图，正方形内接于，M为上的一点，连接． (1)若，求证：M为的中点． (2)若正方形的面积为4，请直接写出的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、正多边形与圆等知识，推导出是解题的关键． （1）由正方形得，可得，由得，由得，从而可得结论； （2）由正方形的面积为4得正方形的边长为2，连接得是等腰直角三角形，可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴M为的中点 （2）解：∵正方形的面积为4， ∴正方形的边长为2， 连接， ∴是等腰直角三角形， ∴，即圆的半径为． 14．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正六边形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． （1）连接，先根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，进行求解即可； （2）连接，，，求出圆心角的度数，再根据度数关系求边数即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， 正六边形内接于， ． ； （2）解：如图2，连接，，， ∵正六边形内接于， ． ∵点为的中点， ， ． 15．如图①，是的直径，，点C在上且位于直线上方，将半径绕点O顺时针旋转，点C的对应点为点D，连接，． (1)以为边的内接正多边形的边数为 ； (2)当直径平分时，求的长； (3)如图②，连接并延长，交的延长线于点E，当是等腰三角形时，直接写出扇形的面积． 【答案】(1)9 (2) (3)扇形的面积为或或 【分析】（1）根据旋转得出，再根据圆内接正多边形的性质即可得出答案； （2）先求出，然后根据弧长公式进行计算即可； （3）分三种情况：当时，时，时，分别画出图形，求出扇形所对的圆心角度数，然后再求出扇形的面积． 【详解】（1）解：根据旋转可知，， ∴以为边的内接正多边形的边数为：； 故答案为：9． （2）解：∵点C在上且位于直线上方，将半径绕点O顺时针旋转，点C的对应点为点D，直径平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． （3）解：当是等腰三角形，且时，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ； 当是等腰三角形，且时，如图所示： 则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当是等腰三角形，且时，如图所示： 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，扇形的面积为或或． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，扇形面积计算，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，弧长计算，解题的关键数形结合，注意进行分类讨论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 圆内接正多边形（知识详解+2典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：圆内接正多边形 知识点02：正多边形的有关计算 知识点03：正多边形的画法 典例分析 （举三反三） 考点1：正多边形和圆的有关计算 考点2：正多边形的实际应用 习题巩固 一、单选题（8） 二、填空题（8） 三、解答题（6） 【知识点01】圆内接正多边形 1. 正多边形 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形. 2. 圆内接正多边形 顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆. 3. 正多边形的有关概念 (1)正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. (2)正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径. (3)正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. (4)正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 【知识点02】正多边形的有关计算 1. 正n边形的每个内角都等于. 2. 正n边形的每个中心角都等于 . 3. 正n边形的每个外角都等于 . 4. 设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则： (1)半径、边长、边心距的关系为R2=r2+ ()2； (2)周长l=na； (3)面积S=ar·n= lr. 【知识点03】正多边形的画法 1. 正n 边形的画法：将圆n 等分，然后顺次连接各等分点，即得到所要作的正n 边形. 2. 对于一些特殊的正n 边形，如正方形、正六边形、正八边形，可以用圆规和直尺作图. 如图3-8-3 ①，在圆周上任定一点为圆心，以圆的半径为半径作弧，然后以弧与圆周的交点为圆心依次作弧，在圆周上得到6 个交点，依次连接，得到一个内接正六边形. 如图3-8-3 ②，在⊙O中用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可把圆周四等分，从而作出正方形. 若再逐次平分各边所对的弧，就可以作边数逐次倍增的正多边形，如正八边形、正十六边形等. 【题型一】正多边形和圆的有关计算 【典例1-1】（25-26九年级上·吉林四平·期末）正六边形的边长是，则它的外接圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26九年级上·北京·月考）如图，正六边形内接于，若正六边形的半径为6，则正六边形的面积为 ． 【典例1-3】（25-26九年级上·甘肃定西·月考）如图，的半径为4，正六边形内接于，求的面积． 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正九边形 B．正十边形 C．正十二边形 D．正十八边形 【变式1-2】（25-26九年级上·四川广安·期中）由边长为4的正方形的外接圆与内切圆组成的圆环（如图）的面积S为 ． 【变式1-3】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，正方形内接于，其边长为4，求的内接正三角形的边长．    【题型二】正多边形的实际应用 【典例2-1】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）如图是小亮同学用等分圆周的方法画出的美丽图案，将该图案绕其中心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度不能是（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（25-26九年级上·新疆·期中）北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形）的外接圆，则正六边形中心角的度数为 ． 【典例2-3】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）中国古代窗户的设计体现了深厚的文化和智慧，如图所示的是一个正八边形窗户示意图，点是该正八边形的中心，分别为边的中点．连接，求的度数． 【变式2-1】（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）齐齐哈尔市龙沙公园内有一楼亭，始建于1908年，1964年7月21日，朱德委员长来齐齐哈尔市视察，登楼远眺，神清气爽，嫩江水碧波荡漾，齐齐哈尔风光尽收眼底，朱老总即兴挥毫题写了“望江楼”三个大字，后将其制成黑底金字的长匾悬挂于飞檐之下，得名“望江楼”．我国古代许多楼亭的地基都是正六边形（如图），若有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则地基的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·江西南昌·月考）窗是我国传统建筑中重要的构成要素之一，窗的类型很多，图1是一个正六边形窗，这个正六边形的示意图如图2所示，已知该正六边形的边心距为，则这个正六边形的面积为 ． 【变式2-3】（24-25九年级下·江苏徐州·月考）今年假期，你有没有和父母或者小伙伴一起走进影院去看一下国漫电影《哪吒2》呀？影片中，玉虚宫的镇宫之宝“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八边形”的宫殿，你想知道这座建筑有多大吗？ 问题一：要求出“正八边形”的面积，我们可以把一个“正八边形”均分成八个顶角为______度的等腰三角形； 问题二：中，，，，求的面积和的值分别是多少？（可以作的中垂线交于D，交于E，则为等腰三角形，） 问题三：若“正八边形”的边长为，求：正八边形的面积． 一、单选题 1．（24-25九年级上·河北邢台·期中）如图，等边三角形和正方形 均内接于，若，则劣弧的长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·期中）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 3．（25-26九年级上·河南安阳·月考）如图，内有一内接正五边形，点为劣弧上的任意一点（不与端点重合），则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东临沂·期中）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．图中空白部分与阴影部分的面积比值为（   ） A． B． C．1 D．2 5．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，圆内接正三角形的边长为，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，正八边形内接于，则的度数为 ． 7．（25-26九年级上·北京·期末）如图，为正八边形的中心，连接，以为圆心的圆弧经过点，，与交于点，连接，则的大小为 ． 8．（25-26九年级上·福建福州·月考）正六边形内接于，若的半径为6，则正六边形的边长为 ． 9．（25-26九年级上·广东汕头·月考）“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的面积是 ． 10．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，是的内接正多边形的一条边，连接、，，则这个正多边形的边数为 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 12．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形． (1)求该地基的周长； (2)求该地基的面积（结果保留根号形式）； (3)若正六边形的半径用表示，写出正六边形的面积与之间的函数关系式． 13．（25-26九年级上·山西朔州·月考）如图，正方形内接于，M为上的一点，连接． (1)若，求证：M为的中点． (2)若正方形的面积为4，请直接写出的半径． 14．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 15．如图①，是的直径，，点C在上且位于直线上方，将半径绕点O顺时针旋转，点C的对应点为点D，连接，． (1)以为边的内接正多边形的边数为 ； (2)当直径平分时，求的长； (3)如图②，连接并延长，交的延长线于点E，当是等腰三角形时，直接写出扇形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $