3.9 弧长及扇形的面积（教学设计）数学北师大版九年级下册

该初中数学教学设计聚焦弧长及扇形面积，通过运动会跑道起跑线、绿化喷水池等生活情境导入，结合圆周长、面积和圆心角旧知，构建新旧知识联系，搭建学习支架。 以传送带转动、拴狗活动区域为探究模型，引导学生用比例思想推导公式，培养推理意识与几何直观，多层次练习（阴影面积、组合扇形）和分层作业提升应用意识，助力学生夯实基础，教师教学易上手。

3.9 弧长及扇形的面积 教学设计 1.教学内容 本节选自北师大版·九年级下册第三章圆（3.9 弧长及扇形的面积），围绕“弧长与扇形面积”这两个核心知识点展开。通过回顾圆心角、圆周长与圆面积等基础，进一步探究弧长和扇形面积公式的推导及应用。 2.内容解析 本节分别类比圆周长和圆面积的计算方式，推导得到弧长公式 和扇形面积公式 。学生需理解其中的“度数”“弧长”与“扇形面积”三者关系，并在解决实际问题时正确运用。 1.教学目标 •理解弧长和扇形面积公式的探求过程。 •会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算。 2.目标解析 • 强调公式的推导思路，帮助学生建立几何直观和比例思想。 • 促使学生将公式应用于运动赛道、园林设计等情境，提升综合解题能力。 3.重点难点 • 教学重点：应用弧长与扇形面积公式解决实际问题，熟练掌握比例关系。 • 教学难点：公式背后的推理过程及对圆心角在计算中的准确运用。 九年级学生已掌握圆周长、圆面积和角度概念，但对角度与弧、扇形之间对应比例的理解仍需巩固。结合已有的几何基础，通过形象比喻与实践应用，可帮助学生突破对公式推导与应用的难点。 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是多少？⊙O的面积是多少？ C=2πR，S＝. ②什么叫圆心角？ 角的顶点在圆心，角的两边分别与圆还有一个交点,这样的角叫做圆心角. 2.情景引入 问题1:你注意到了吗，在运动会的4×100米比赛中，各选手的起跑线不再同一处，你知道这是为什么吗？ 因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的. 你知道怎样来计算弯道的“展直长度”吗？ 问题2:如图所示，在一块五边形绿化园地的五个角都建有半径为2m的圆形喷水池，你能求出这五个喷水池占去的绿化园地的面积是多少吗？ 【设计意图】通过运动会跑道及园地喷泉等真实情境，使学生更直观地理解弧长与扇形区域面积在生活中的应用，激发学习兴趣，明确学习方向。 探究点1：弧长的计算 1.议一议 如图所示，某传送带的一个转动轮的半径为10cm. （1）转动转轮一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？ （2）转轮转动1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ （3）转轮转动n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ 分析：（1）转动轮转一周，传送带上的物品应被传送的实际距离是转动轮的周长．（2）转动轮转1°，可以表示成360°的圆心角的，所以传送带上的物品A被传送的距离也应该是整个圆周长的．（3）转动轮转n°，可以表示成360°的圆心角的，所以传送带上的物品A被传送的距离也应该是整个圆周长的． 解：(1)传送带上的物品A被传送的距离是： 2π×10＝20π(cm)． (2)传送带上的物品A被传送的距离是：＝(cm)． (3)传送带上的物品A被传送的距离是：＝(cm)． 2.知识归纳 弧长公式 半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l为: 注意：(1)用弧长公式l=进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的. (2)区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧． 3.练一练 如图，某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头盒，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面.为了获得较佳视觉效果，字样在罐头盒侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为(　　) A.cm B.cm C.cm D．7πcm 解：B 【设计意图】通过“传送带”这一具体模型，将周长按比例分割，引出弧长公式；同时强调不带单位、弧度数与弧长的区别等概念要点，突破学生对弧长计算的理解难点。 探究点2：扇形面积的计算 1.想一想 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗． （1）这只狗的最大活动区域有多大？ 解：（1）这只狗的最大活动区域是半径为3 m的圆（如图①所示），它的面积为：32π＝9π()． （2）如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？ 解：（2）狗的活动区域是扇形(如图②所示)，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积是9π，1°的圆心角对应扇形的面积的，即×9π＝，n°的圆心角对应的扇形的面积为n×＝． 教师提问：类比弧长公式的推导过程，你能推导出扇形的面积计算公式吗？ 学生思考： 如果圆的半径为R，则圆的面积为π， 1°的圆心角对应的扇形面积为， n°的圆心角对应的扇形面积为n∙＝． 2.知识归纳 扇形面积公式 如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形面积的计算公式为 注意：①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）. 3.想一想 （1）比较弧长公式与扇形面积公式之间有什么关系？ （2）扇形的面积公式与什么公式类似？ 4.练一练 一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________(结果保留π)． 解析：把圆心角和半径代入扇形面积公式 S＝＝＝3π. 4.典例分析 例1 扇形AOB的半径为12cm，∠AOB= 120°，求的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1). 解：的长=×12≈25.1（cm） S扇形=×≈150.8（）. 因此，的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.8. 例2 如图，扇形AOB中，半径OA＝2，∠AOB＝120°，C是AB的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分的面积是(　　) A.－2 B．2π－2    C.－ D.－ 解：连接OC，过O作OM⊥AC于M， ∵∠AOB＝120°，C为AB中点， ∴∠AOC＝∠BOC＝60°. ∵OA＝OC＝OB＝2， ∴△AOC、△BOC是等边三角形， ∴AC＝BC＝OA＝2，AM＝1， ∴△AOC的边AC上的高OM＝，△BOC边BC上的高为， ∴阴影部分的面积是(－×2×)×2＝－2.故选A. 【设计意图】通过“拴狗”情境自然引出“整圆面积按比例”的思路，让学生在已有知识的基础上抽象得出扇形面积公式；培养学生将实际问题转化为数学模型的能力。 1.如图，是的直径，点为上一点，且，，则劣弧的长为（　　） A. B. C. D. 解：D． 2.如图，半径为1cm、圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为(　　) A. B. C. D. 解：C． 3.如图，⊙O及两个半径为1的⊙O1和⊙O2两两外切，切点分别为 A，B，C，且∠O=90°，则的长为（ ） A. B. C. D. 解：B. 4.如图，每个圆的半径都是1 cm，则图中的三个扇形（即阴影部分）的面积之和为（　　） A. π B. π C. π D.π 解：B． 5. (1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于π，则该扇形的半径是______； (2)如果一个扇形的半径是1，弧长是π，那么此扇形的圆心角的大小为________． 解：2,60° 6.如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是_____c. 解：12π 7. 如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，则劣弧的长为_______cm. 解： 8. 如图，C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD＝8 cm，P是直径AB上的任意一点． （1）求的长； （2）求阴影部分的面积． 解：（1）如图，连接OC，OD． ∵ C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点， ∴ ∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°． 又∵ OC＝OD， ∴ △OCD是等边三角形， ∴ OC＝CD＝8（cm）， ∴ CD的长l＝＝（cm）． （2）∵ ∠OCD＝∠AOC＝60°， ∴ CD∥AB， ∴ ， ∴（cm²）． 9.如图，OA、OB是某墙角处的两条地脚线，夹角∠AOB=150°，一根4m长的绳子一端拴在墙角O处（OA＞4m，OB＞4m），另一端拴一只小狗，小狗在地面上活动，求 （1）小狗可活动的最大区域图形的周长； （2）小狗可活动的最大区域图形的面积（结果保留π）． 解：（1）小狗可活动的最大区域图形的周长为：= （m）； （2）小狗可活动的最大区域图形的面积为： = （）． 【设计意图】本环节提供多层次题型，从基础到综合，涵盖弧长与扇形面积的直接计算及变化形式，帮助学生夯实基础知识，并在练习中不断体会公式的应用场景，查漏补缺，强化技能。 主板书 3.9 弧长及扇形的面积 探究点1 弧长的计算 探究点 2 扇形面积的计算 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1. 必做题：习题3.9第1-3题。 2.探究性作业：习题3.9第4题。 学科网（北京）股份有限公司 $