专题3.9 弧长及扇形面积（知识梳理+14个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题）-2025-2026学年北师大版数学九年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦弧长及扇形面积核心知识点，系统梳理弧长公式、扇形面积公式及易错点拨，前承圆的半径、圆心角等基础概念，后接圆锥侧面积等立体几何应用，通过14个细化考点构建从基础计算到综合应用的学习支架。 资料特色为分层设计与素养融合，基础夯实与培优拔高分层练习适配不同学生，14个考点含典例与变式，如“弧形运动路径”培养几何直观，“圆锥最短路径”发展推理能力，中考真题与汽车可视范围等实际问题强化应用意识，助力课中教学与课后查漏补缺。

专题3.9 弧长及扇形面积 【知识梳理+14个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题】 （原卷版） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：弧长公式 2 知识点梳理02：扇形面积公式 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：求弧长 3 考点2：求扇形半径 3 考点3：求圆心角 3 考点4：求某点的弧形运动路径长度 4 考点5：求扇形面积 4 考点6：求图形旋转后扫过的面积 5 考点7：求弓形面积 5 考点8：求其他不规则图形的面积 6 考点9：求圆锥侧面积 7 考点10：求圆锥底面半径 7 考点11：求圆锥的高 8 考点12：求圆锥侧面展开图的圆心角 8 考点13：圆锥的实际问题 8 考点14：圆锥侧面上最短路径问题 8 中考真题 实战演练 9 难度分层 拔尖冲刺 11 基础夯实 11 培优拔高 13 知识点梳理01：弧长公式 半径为R的圆中： 360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：C=2πR 　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：L=(弧是圆的一部分) 【易错点拨】 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即 (2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 知识点梳理02：扇形面积公式 1. 扇形的定义 　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 半径为R的圆中 　　360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：S=πR² 　　n°的圆心角所对的扇形面积公式： 【易错点拨】 (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：. 考点1：求弧长 【典例精讲】（2024·湖南·模拟预测）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为 ． 【变式训练】（2024·安徽·模拟预测）如图，的半径为5，圆周角，则劣弧的长为 ． 考点2：求扇形半径 【典例精讲】（24-25九年级下·山东·自主招生）如图，扇形中，点C在弧上，连接，P为中点，若，点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式训练】（24-25九年级下·重庆·开学考试）一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是 ． 考点3：求圆心角 【典例精讲】（2024·山东济南·一模）一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为，当重物上升时，滑轮的一条半径按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·浙江杭州·模拟预测）在半径为的圆中，长为的弧所对的圆周角的度数为 ． 考点4：求某点的弧形运动路径长度 【典例精讲】（2025·浙江·模拟预测）中，，，cm，将绕点顺时针旋转至的位置，如图，、、三点在同一条直线上，则点所经过的路径长为 ． 【变式训练】（2025·江苏淮安·二模）如图，有一块长、宽的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点A的位置变化为．其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点A翻滚到点的位置经过的路径长为 ． 考点5：求扇形面积 【典例精讲】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在正方形中，和交于点O，过点O的直线交于点E（E不与A，B重合），交于点F，以点O为圆心，为半径的圆交直线于点M，N．若，则图中阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·上海·单元测试）如图，求图形中阴影部分的面积． 考点6：求图形旋转后扫过的面积 【典例精讲】（2025·广东阳江·模拟预测）如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域(图中阴影部分)的面积为 ．(结果保留) 【变式训练】（2025·浙江·模拟预测）如图，等腰直角的腰长为2．将绕C点逆时针旋转，则线段扫过的面积是 ． 考点7：求弓形面积 【典例精讲】（2025·内蒙古包头·模拟预测）如图，在中，过点D作，垂足为点F． (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【变式训练】（2025·广东中山·三模）如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在上．若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积是 ． 考点8：求其他不规则图形的面积 【典例精讲】（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 【变式训练】（2025·江西吉安·二模）如图，为的直径，内接于，且，连接，在的延长线上取一点E，使得． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为2，时，求图中阴影部分的面积． 考点9：求圆锥侧面积 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是（　　） A．60 B． C．120 D． 【变式训练】（2025·江苏无锡·模拟预测）圆锥的底面圆直径为，母线为，则圆锥的侧面积为 ． 考点10：求圆锥底面半径 【典例精讲】（2025·广东中山·模拟预测）2025年春节贺岁档的《哪吒之魔童闹海》中敖丙和哪吒联手对抗黑暗势力时，敖丙用冰之力创造出一个圆锥冰盾．已知该冰盾的高比底面半径r大，同时，哪吒用混天绫围绕这个圆锥体冰盾的底面刚好缠绕一圈进行加固，已知圆锥体冰盾的母线长为．则此时混天绫的长度为 ．（保留） 【变式训练】（2025·广东广州·模拟预测）如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 m． 考点11：求圆锥的高 【典例精讲】（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）已知圆锥的底面积为，圆锥的侧面积是，则圆锥的高为 ． 【变式训练】（2025·黑龙江大庆·中考真题）一个圆锥的底面半径为3，高为2，则它的体积为（   ） A． B． C． D． 考点12：求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例精讲】（2025·黑龙江佳木斯·一模）若圆锥的底面直径为10，母线长是20，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 【变式训练】（24-25九年级下·山东青岛·期末）如图所示，已知圆锥的母线长，底面圆的半径为，一只小虫从圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处．则小虫所走的最短路程为（    ） A． B． C． D． 考点13：圆锥的实际问题 【典例精讲】（2025·云南·模拟预测）某同学发现家里的草帽可以近似看作一个圆锥，测量得母线长为50 ，高度为30 ，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长为 ． 【变式训练】（2025·云南昆明·模拟预测）“五育课堂”手工课开课啦！某同学制作了一个圆锥模型，其侧面展开图的圆心角为，底面圆的半径为1，则这个圆锥的母线长为 ． 考点14：圆锥侧面上最短路径问题 【典例精讲】（2024·宁夏银川·二模）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．    【变式训练】（23-24九年级下·山东泰安·期中）如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 1．（2024·四川成都·中考真题）如图，A，B，C，D是上的点，半径，弧弧，，则扇形的面积为 ． 2．（2024·重庆·中考真题）如图，是的直径，是的切线，，连接，与交于点，连接，点是上的任意一点（不与，重合），连接，与交于点，与的延长线交于点． ①若点是的中点，则的长为 ；（用含的代数式表示） ②无论点在上的位置怎样变化， ． 3．（2024·广东·中考真题）如图，矩形对角线、交于点O，E为线段上一点，以点B为圆心，为半径画圆与相切于的中点G，交于点F，若，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·上海·中考真题）如图，在矩形中，，，以为圆心，为半径作圆交于点，为的中点，过作的平行线，交于点，交于点，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 5.（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，C是上一点，于点D，延长至点F，使得 (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的周长结果保留 基础夯实 1．（2025·山东东营·中考真题）小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（    ） A． B． C． D． 2．（2025九年级下·全国·专题练习）一个圆锥的底面半径是，母线长是，它的侧面积是（   ）（π取3.14） A．18.84 B．28.26 C．56.52 D．113.04 3．（2025·云南丽江·一模）半径为3、圆心角为的扇形的面积为（   ） A． B． C． D．3 4．（2025·江苏苏州·二模）扇形的半径为，弧长为，则扇形的面积为 （结果保留）． 5．（2025·甘肃武威·一模）随着我国电子技术的高速发展，全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶，如图是使用了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为米，可视角度为的扇形，则该可视区域形成的扇形弧长为 米． 6．（24-25九年级下·广东清远·月考）如图，在中，，，则扇形的面积为 ． 7．（2025·湖南·模拟预测）汽车的圆形轮毂（）半径为，装饰贴纸贴在轮毂边缘，其中一段贴纸对应的圆心角是，那么这段贴纸的长度是 ．（结果保留） 8．（24-25九年级下·全国·期末）已知扇形的半径为3，圆心角为，那么这个扇形的周长是多少？ 9．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，，是的两条弦，，过点的直线l与半径平行． (1)如图①，求证：直线与相切． (2)已知的半径．若，如图②，求图中阴影部分的面积． 10．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，是的直径，点C在上，，与相交于点E，与相交于点F，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 培优拔高 11．（2025·安徽淮南·二模）如图，以含有角的三角尺的顶点B为圆心，长为半径画，交边于点D．若，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·青海西宁·二模）如图是一个几何体的三视图，根据图纸标注的数据，求得这个几何体的侧面积是（    ）    A． B． C． D． 13．（2025·云南·模拟预测）如图所示，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形．若，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级下·全国·期末）把半径为的半圆围成一个圆锥的侧面，其圆心为圆锥顶点，则该圆锥的高是 ． 15．（23-24九年级下·重庆渝北·月考）如图，矩形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，以点B为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于上的点E处，则阴影部分的面积为 ． 16．（2025·安徽淮南·一模）如图，为的直径，，为的弦，，连接，，，则劣弧的长为 ． 17．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，扇形中，，，点C为的中点，将扇形绕点C顺时针旋转，得到扇形，则图中阴影部分的面积为 ． 18．（2025·四川乐山·二模）如图，是的外接圆，，过点作切线，过点作交于点． (1)求证：； (2)若的半径为2，求阴影部分的面积． 19．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点F，连接，过点D作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)求证： ； (3)若的半径为5，，求阴影部分的面积．(π取3) 20．（25-26九年级下·全国·期末）如图，镜面l与半圆O相切于点C，延长直径与l交于点D，P是上的动点，为入射光线，其反射光线与半圆O交于点Q，连结，，． (1)的度数为______； (2)当反射光线与平行时，求的长度； (3)在点P从点O运动到点B的过程中，直接写出点Q的运动路径长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.9 弧长及扇形面积 【知识梳理+14个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题】 （解析版） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：弧长公式 2 知识点梳理02：扇形面积公式 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：求弧长 3 考点2：求扇形半径 4 考点3：求圆心角 5 考点4：求某点的弧形运动路径长度 6 考点5：求扇形面积 8 考点6：求图形旋转后扫过的面积 10 考点7：求弓形面积 12 考点8：求其他不规则图形的面积 15 考点9：求圆锥侧面积 18 考点10：求圆锥底面半径 19 考点11：求圆锥的高 20 考点12：求圆锥侧面展开图的圆心角 21 考点13：圆锥的实际问题 22 考点14：圆锥侧面上最短路径问题 23 中考真题 实战演练 25 难度分层 拔尖冲刺 31 基础夯实 31 培优拔高 37 知识点梳理01：弧长公式 半径为R的圆中： 360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：C=2πR 　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：L=(弧是圆的一部分) 【易错点拨】 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即 (2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 知识点梳理02：扇形面积公式 1. 扇形的定义 　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 半径为R的圆中 　　360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：S=πR² 　　n°的圆心角所对的扇形面积公式： 【易错点拨】 (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：. 考点1：求弧长 【典例精讲】（2024·湖南·模拟预测）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了求弧长，根据弧长公式即可求解，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 【规范解答】解：由弧长公式得它的弧长为， 故答案为：． 【变式训练】（2024·安徽·模拟预测）如图，的半径为5，圆周角，则劣弧的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆周角定理和弧长的计算，圆内接四边形的性质，能正确作出辅助线是解此题的关键． 连接，在优弧上取一点D，连接，根据圆内接四边形性质求出，根据圆周角定理求出的度数，再由弧长计算公式求解即可． 【规范解答】如图，连接，在优弧上取一点D，连接， 则， ∴， ∴劣弧的长为． 故答案为：． 考点2：求扇形半径 【典例精讲】（24-25九年级下·山东·自主招生）如图，扇形中，点C在弧上，连接，P为中点，若，点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【思路点拨】本题考查了动点的运动轨迹问题，根据定弦定角确定圆所在的位置，以及等腰三角形的性质，中位线的性质，弧长公式等，熟练掌握这些公式和性质是解题的关键． 连接，易得，点P是在以点的中点D为圆心，为半径的圆上运动，再由弧长公式求出的半径，即可得出的长度． 【规范解答】解：连接， ， 为等腰三角形， 为中点， ， 即， 点P是在以点的中点D为圆心，为半径的圆上运动，如图所示： 当点C运动到点A的时候，点P到达点的位置， 点P所经过的路径为， 连接， 为 中点，为中点， ， ，， ， ， 即， 故选：A ． 【变式训练】（24-25九年级下·重庆·开学考试）一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是 ． 【答案】3 【思路点拨】此题考查了扇形的面积公式，能够灵活运用扇形的面积公式是解题关键． 根据扇形的面积公式进行计算． 【规范解答】解：设这个扇形的半径是r， 根据扇形面积公式，得， 解得（负值舍去）． 所以扇形的半径是3． 故答案为：3 考点3：求圆心角 【典例精讲】（2024·山东济南·一模）一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为，当重物上升时，滑轮的一条半径按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了弧长公式，解题的关键是理解重物上升的长度就是弧长，然后利用弧长公式进行计算． 本题理解重物上升的长度就是弧长，然后利用弧长公式进行计算，然后即可求解． 【规范解答】解：重物上升即是弧长， 所以根据弧长公式可求得旋转的度数， ， 解得． 故选：C． 【变式训练】（2025·浙江杭州·模拟预测）在半径为的圆中，长为的弧所对的圆周角的度数为 ． 【答案】/30度 【思路点拨】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义． 根据弧长的计算公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），代入即可求出圆心角的度数． 【规范解答】根据弧长的公式， 得到： ， 解得， ∴圆周角为， 故答案为：． 考点4：求某点的弧形运动路径长度 【典例精讲】（2025·浙江·模拟预测）中，，，cm，将绕点顺时针旋转至的位置，如图，、、三点在同一条直线上，则点所经过的路径长为 ． 【答案】 【思路点拨】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、旋转的性质、弧长公式等知识，推导出cm及是解题的关键．由，，求得，由旋转得cm，，则，由弧长公式求得点所经过的路径cm，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：，， ， 由旋转得，， 、、三点在同一条直线上， ， 点所经过的路径为半径为cm且圆心角等于的一段弧， 点所经过的路径（cm)， 故答案为：cm． 【变式训练】（2025·江苏淮安·二模）如图，有一块长、宽的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点A的位置变化为．其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点A翻滚到点的位置经过的路径长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是弧长的计算及矩形的性质，解答本题的关键是找准所旋转的弧的圆心和半径及圆心角的度数．第一次是点A以C为旋转中心，顺时针旋转得到，矩形的对角线长为，此次A点走过的路径为弧，第二次是点以E为旋转中心，顺时针旋转得到，此次A点走过的路径为弧，走过的总路径为两段弧长之和． 【规范解答】解：连接， 第一次是点A以C为旋转中心，顺时针旋转得到， 矩形的对角线长为， 此次A点走过的路径为弧，弧长； 第二次是点以E为旋转中心，顺时针旋转得到， ∵的长为，与桌面成角， ∴， ∴此次A点走过的路径为弧，弧长 ， ∴点A翻滚到点的位置路径为， 故答案为：． 考点5：求扇形面积 【典例精讲】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在正方形中，和交于点O，过点O的直线交于点E（E不与A，B重合），交于点F，以点O为圆心，为半径的圆交直线于点M，N．若，则图中阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了正方形的性质、求扇形面积等知识点，弄清图形间的面积关系是解题的关键． 根据题意可得四边形的面积等于正方形面积的一半，根据求解即可． 【规范解答】解：∵在正方形中，， ∴的半径为：， ∵过点O， ∴根据中心对称可得四边形的面积等于正方形面积的一半，即， ∴阴影部分面积为： ． 故选：A． 【变式训练】（24-25九年级下·上海·单元测试）如图，求图形中阴影部分的面积． 【答案】 【思路点拨】本题重点考查平面几何图形的面积计算（扇形、等腰直角三角形），准确识别图形的组成部分并正确应用面积公式进行组合与减法是解题的关键． 根据扇形面积和三角形面积公式求解即可． 【规范解答】如图 因为， 所以， 所以为等腰直角三角形， 所以， 所以，，， 所以． 考点6：求图形旋转后扫过的面积 【典例精讲】（2025·广东阳江·模拟预测）如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域(图中阴影部分)的面积为 ．(结果保留) 【答案】 【思路点拨】本题考查旋转的性质，解直角三角形，扇形的面积公式．根据题意结合图形可知是解题关键． 根据旋转和解直角三角形，可求出和的长度，再结合图形，即可求出阴影部分面积． 【规范解答】解：如图可知， ∵，是由绕圆心O逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ，， ． 故答案为：． 【变式训练】（2025·浙江·模拟预测）如图，等腰直角的腰长为2．将绕C点逆时针旋转，则线段扫过的面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了不规则图形的面积，根据题意可得， ，然后计算即可获得答案． 【规范解答】解：如图， ． 故答案为：． 考点7：求弓形面积 【典例精讲】（2025·内蒙古包头·模拟预测）如图，在中，过点D作，垂足为点F． (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题考查了圆的切线判定、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及扇形和三角形面积的计算，解题的关键是熟练运用圆的相关性质、相似三角形的判定定理及面积计算公式，通过添加辅助线构建所需的几何关系． （1）连接，证明，结合由，得到； （2）连接，由，可得，即，再证明即可； （3）连接，根据已知求出，从而可得和，即可得到答案． 【规范解答】（1）连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 为半径， ∴直线是的切线； （2）连接，如图： ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， ∴，即•， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）连接 ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∴ 【变式训练】（2025·广东中山·三模）如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在上．若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查扇形面积的计算，三角形的面积，解直角三角形，过C作于H，由平行线的性质推出，由等腰三角形的性质得到，求出，由，得到，求出的面积，扇形的面积，即可得到阴影部分的面积． 【规范解答】解：过C作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， ∵扇形的面积， ∴阴影部分的面积扇形的面积的面积． 故答案为：． 考点8：求其他不规则图形的面积 【典例精讲】（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了圆的切线判定定理、扇形面积与三角形面积的计算，利用弧相等推导圆心角相等，结合直角三角形性质分析线段与角度关系是解题的关键． （1）连接，，由得圆心角，进而得，由得，由得，可得，即可得，又因是的半径即可证明； （2）由，结合得，由勾股定理可得，由即可得出． 【规范解答】（1）证明：如图，连接，， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（2025·江西吉安·二模）如图，为的直径，内接于，且，连接，在的延长线上取一点E，使得． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为2，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【思路点拨】（1）连接，由等边对等角得出，结合已知条件可得出，再结合可知，即可得出，进一步即可证明． （2）先利用垂径定理得出，再利用圆周角定理得出，，，最后根据求解即可． 【规范解答】（1）证明：连接，如下图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴为的切线． （2）解：∵，为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点9：求圆锥侧面积 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是（　　） A．60 B． C．120 D． 【答案】B 【思路点拨】利用勾股定理易得圆锥的母线长，进而利用圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求解． 本题考查了圆锥侧面积公式的运用，熟练掌握圆锥的高、母线长和底面半径组成直角三角形是解题的关键． 【规范解答】解：∵圆锥的底面半径，高， ∴圆锥的母线长， ∴圆锥的侧面积， 故选：B． 【变式训练】（2025·江苏无锡·模拟预测）圆锥的底面圆直径为，母线为，则圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键． 根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【规范解答】解：， ∴圆锥的侧面积为． 故答案为：． 考点10：求圆锥底面半径 【典例精讲】（2025·广东中山·模拟预测）2025年春节贺岁档的《哪吒之魔童闹海》中敖丙和哪吒联手对抗黑暗势力时，敖丙用冰之力创造出一个圆锥冰盾．已知该冰盾的高比底面半径r大，同时，哪吒用混天绫围绕这个圆锥体冰盾的底面刚好缠绕一圈进行加固，已知圆锥体冰盾的母线长为．则此时混天绫的长度为 ．（保留） 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了圆锥的母线．设圆锥的底面半径为r米，则高米，母线长米，根据，可得，即可求解． 【规范解答】解：设圆锥的底面半径为r米，则高米，母线长米． ∵， ∴， 解得：， ∴米． 故答案为： 【变式训练】（2025·广东广州·模拟预测）如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 m． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了与圆有关的计算、勾股定理、圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 先利用等腰直角三角形的性质得到，设圆锥的底面圆的半径为，利用弧长公式得到，然后解方程即可． 【规范解答】解：由题意，，，， ∴， 设圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得， 即圆锥的底面圆的半径为． 故答案为：． 考点11：求圆锥的高 【典例精讲】（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）已知圆锥的底面积为，圆锥的侧面积是，则圆锥的高为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆锥的计算，注意：正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的侧面积是扇形的面积． 根据圆锥的底面积求得圆锥的底面半径，再由圆锥的侧面积是扇形的面积，求得圆锥的母线长，再求出圆锥的高． 【规范解答】解：∵圆锥的底面积为， ∴圆锥的底面半径为， ∵圆锥的侧面积是，     ∴圆锥的母线长为， ∴圆锥的高． 故答案为：． 【变式训练】（2025·黑龙江大庆·中考真题）一个圆锥的底面半径为3，高为2，则它的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查圆锥的体积．根据圆锥的体积=×底面积×高，即可求解． 【规范解答】解：∵圆锥的底面半径为3，高为2， ∴它的体积， 故选：B． 考点12：求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例精讲】（2025·黑龙江佳木斯·一模）若圆锥的底面直径为10，母线长是20，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 【答案】90 【思路点拨】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解． 【规范解答】解：∵圆锥的底面直径为10， ∴圆锥的底面周长是， 设圆锥侧面展开图的圆心角的度数是， 则， 解得， 这个圆锥侧面展开图的圆心角是． 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级下·山东青岛·期末）如图所示，已知圆锥的母线长，底面圆的半径为，一只小虫从圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处．则小虫所走的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，两点之间线段最短，弧长公式，先将圆锥的侧面展开，得，，再结合弧长公式求出，运用勾股定理列式计算得，即可求出小虫所走的最短距离，即可作答． 【规范解答】解：圆锥的侧面展开图，如下所示： ∴， ∴ 设 ∵圆锥的母线长，底面圆的半径为， ∴ 则 解得 依题意，得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：D 考点13：圆锥的实际问题 【典例精讲】（2025·云南·模拟预测）某同学发现家里的草帽可以近似看作一个圆锥，测量得母线长为50 ，高度为30 ，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用和圆周长等知识点，解决此题的关键是正确的计算；先根据勾股定理算出底面的半径，底面的周长即为圆锥的侧面展开图的弧长，进而求出答案即可； 【规范解答】解：∵， ∴底面周长（）为： 即圆锥侧面展开图的弧长为 故答案为： 【变式训练】（2025·云南昆明·模拟预测）“五育课堂”手工课开课啦！某同学制作了一个圆锥模型，其侧面展开图的圆心角为，底面圆的半径为1，则这个圆锥的母线长为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长是解题的关键．设这个圆锥的母线长为，根据圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，列出方程即可求解． 【规范解答】解：设这个圆锥的母线长为， 由题意得，， 解得：， 这个圆锥的母线长为3． 故答案为：3． 考点14：圆锥侧面上最短路径问题 【典例精讲】（2024·宁夏银川·二模）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形．扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解． 连接，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得是等边三角形，即可求解． 【规范解答】解：连接，如图所示，    ∵为底面圆的直径，， 设半径为r, ∴底面周长， 设圆锥的侧面展开后的圆心角为， ∵圆锥母线， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：， 解得：， ∴， ∵半径， ∴是等边三角形， ∵点C为圆锥母线的中点， ∴， 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路程为， 故答案为：． 【变式训练】（23-24九年级下·山东泰安·期中）如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 【答案】 【思路点拨】由题意得，圆锥的底面半径为3m，母线线长为6m．求出底面周长，根据圆的底面周长等于展开后扇形的弧长，可求得展开后扇形的圆心角为，即圆锥侧面展开为半圆．点正好在半圆的中点处，由此得为直角三角，根据勾股定理即可求出的长，即小猫所经过的最短路径． 本题主要考查了圆锥的侧面展开图，及弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 【规范解答】为正三角形， ， ， ∵底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得： ， ，则， （m）， 故答案为：． 1．（2024·四川成都·中考真题）如图，A，B，C，D是上的点，半径，弧弧，，则扇形的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查圆周角定理，扇形面积的计算，先根据圆周角定理计算出的度数，再根据扇形面积公式列式计算即可． 【规范解答】解：弧弧， ， ， ， 扇形的面积， 故答案为：． 2．（2024·重庆·中考真题）如图，是的直径，是的切线，，连接，与交于点，连接，点是上的任意一点（不与，重合），连接，与交于点，与的延长线交于点． ①若点是的中点，则的长为 ；（用含的代数式表示） ②无论点在上的位置怎样变化， ． 【答案】 / 72 【思路点拨】本题考查切线的性质、圆周角定理及其推论，相似三角形的判定和性质，遇比例化等积是解决问题的关键． ①先利用切线结合得到等腰直角三角形，结合直径得到，利用圆周角定理结合点D是的中点，求得，然后利用弧长公式求出结果； ②通过证明得到比例式，转化得到等积式求得． 【规范解答】解：①∵是圆O的切线， ∴， 又∵是圆O的直径， ∴， 又∵， ∴ ， 又D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴的长为 ， 故答案为： ． ②在等腰直角三角形中，， ∴ , ∴ , ∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ∴ ， 故答案为：72． 3．（2024·广东·中考真题）如图，矩形对角线、交于点O，E为线段上一点，以点B为圆心，为半径画圆与相切于的中点G，交于点F，若，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，含角的直角三角形的三边关系以及等边三角形的判定与性质． 连接，根据切线性质及G为中点可知垂直平分，再结合矩形性质可证明为等边三角形，从而得到，，再利用角的直角三角形的三边关系求出，然后求出和扇形的面积，两者相减即可得到阴影部分面积． 【规范解答】连接，由题可知， ∵G为中点， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，即为等边三角形， ∴， ∴，， 在中，， ， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 4．（2024·上海·中考真题）如图，在矩形中，，，以为圆心，为半径作圆交于点，为的中点，过作的平行线，交于点，交于点，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，根据图形得出明确阴影部分的面积矩形的面积，是解题的关键．连接，作于，根据题意求得是等腰直角三角形，即可求得，从而求得，然后根据阴影部分的面积等于矩形的面积，即可求解． 【规范解答】解：连接，作于，如图： ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 故选：C． 5.（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，C是上一点，于点D，延长至点F，使得 (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的周长结果保留 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查切线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，直线与圆的位置关系，扇形面积的计算，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，利用等腰三角形性质得到，再根据直径所对圆周角是直角和直角三角形两锐角互余，结合已知条件推出，进而得到，从而证明与相切； （2）先根据，，求出，再根据半径相等得到最后根据弧长公式求出的长，加上和的长，得到阴影部分的周长． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， ， ， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 与相切； （2）解：，， ， ， △是等边三角形， ， 的长度， 阴影部分的周长为． 基础夯实 1．（2025·山东东营·中考真题）小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】这道题考查的是圆锥侧面积的计算，首先明确圆锥侧面积公式为 (r为底面半径，l为母线长)，由三视图可知，圆锥的母线长，底面圆的直径等于等边三角形的边长，即底面半径，代入圆锥侧面积公式计算即可． 【规范解答】解：则所需铁皮面积 故选B 2．（2025九年级下·全国·专题练习）一个圆锥的底面半径是，母线长是，它的侧面积是（   ）（π取3.14） A．18.84 B．28.26 C．56.52 D．113.04 【答案】C 【思路点拨】本题考查圆锥的侧面积公式，根据圆锥的侧面积公式． 【规范解答】解：， 故选：C． 3．（2025·云南丽江·一模）半径为3、圆心角为的扇形的面积为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【思路点拨】本题考查求扇形的面积，根据扇形的面积公式进行求解即可． 【规范解答】解：由题意，该扇形面积为：. 故选：B． 4．（2025·江苏苏州·二模）扇形的半径为，弧长为，则扇形的面积为 （结果保留）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了扇形面积，利用扇形的面积公式求解即可，掌握扇形面积公式是解题的关键． 【规范解答】解：设扇形的面积为， 由题意得，弧长为，半径为， ∴扇形的面积， 故答案为：． 5．（2025·甘肃武威·一模）随着我国电子技术的高速发展，全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶，如图是使用了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为米，可视角度为的扇形，则该可视区域形成的扇形弧长为 米． 【答案】 【思路点拨】本题考查了扇形弧长公式的应用．扇形弧长公式为（其中为弧长，为圆心角度数，为扇形半径），将，代入公式即可求解． 【规范解答】根据扇形的弧长公式，该可视区域形成的扇形弧长（米）， 故答案为：． 6．（24-25九年级下·广东清远·月考）如图，在中，，，则扇形的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，扇形的面积，由圆周角定理得，再根据扇形的面积公式计算即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2025·湖南·模拟预测）汽车的圆形轮毂（）半径为，装饰贴纸贴在轮毂边缘，其中一段贴纸对应的圆心角是，那么这段贴纸的长度是 ．（结果保留） 【答案】 【思路点拨】本题考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式，是解题的关键． 根据题意将已知数据代入公式，即可求解． 【规范解答】解：∵半径，圆心角， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级下·全国·期末）已知扇形的半径为3，圆心角为，那么这个扇形的周长是多少？ 【答案】 【思路点拨】本题考查了弧长的计算．记住弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．先利用弧长公式计算出扇形的弧长，然后加上两个半径的长即可得到这个扇形的周长． 【规范解答】解：这个扇形的弧长为：， ∴这个扇形的周长，． 9．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，，是的两条弦，，过点的直线l与半径平行． (1)如图①，求证：直线与相切． (2)已知的半径．若，如图②，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)图中阴影部分的面积为 【思路点拨】本题考查了弧长和扇形的面积． （1）连接，根据圆周角定理可以得到直角，根据平行可以推导垂直，则可证明与相切； （2）连接，连接并延长交于点，由边相等可以得到垂直平分的关系，由圆周角定理可得直角，在直角三角形中，由勾股定理可以求得边长，此时可求三角形的面积，根据扇形面积公式求得扇形的面积作差即可. 【规范解答】（1）证明：如图，连接OA． ， ． ， ． 又是的半径， 直线l与相切． （2）解：如图，连接，，连接并延长交于点． ，， 垂直平分AB． ， ， ， ，． 在中， ， 即， 解得， 图中阴影部分的面积． 10．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，是的直径，点C在上，，与相交于点E，与相交于点F，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，求得，求得，根据等边三角形的性质得到，， ， ，得到，推出，根据扇形和三角形的面积公式可得到结论． 【规范解答】（1）证明：连接．    是的直径， ．     ， ． ．     ， ． 平分， ． ． ．     是的半径，               是的切线． （2）解：， ． ，即OD⊥BC， ∴CF＝BF．     ， ． ，． 是等边三角形．     ，，． ， ． ． 培优拔高 11．（2025·安徽淮南·二模）如图，以含有角的三角尺的顶点B为圆心，长为半径画，交边于点D．若，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查含有角的直角三角形的性质、弧长计算．明确圆心角和半径是解题的关键．由含有角的三角形可先求出半径，再由弧长公式得出劣弧的长． 【规范解答】解：含有角的三角尺的顶点B为圆心， ，， ，， 长为半径画，交边于点D， ， ， ， 劣弧的长为：． 故答案为：B． 12．（2025·青海西宁·二模）如图是一个几何体的三视图，根据图纸标注的数据，求得这个几何体的侧面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了三视图，几何体侧面积的计算，解题的关键是根据三视图想象出该几何体的形状，由三视图可知，该几何体是一个圆锥，根据圆锥的侧面积公式求解． 【规范解答】解：由三视图可知，该几何体是一个圆锥，且底面圆的半径是，母线长是， 底面的周长是， 侧面积为：， 故选B． 13．（2025·云南·模拟预测）如图所示，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形．若，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了不规则图形的面积的求解，阴影面积为扇形的面积减去等边三角形的面积的倍，代入已知数据计算即可． 【规范解答】解：过A点作于D点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 14．（24-25九年级下·全国·期末）把半径为的半圆围成一个圆锥的侧面，其圆心为圆锥顶点，则该圆锥的高是 ． 【答案】 【思路点拨】关键是先求得圆锥的底面半径；用到的知识点为：圆锥的底面半径，高，母线长组成以母线长为斜边的直角三角形；圆锥的侧面展开图的弧长圆锥底面周长．利用扇形的弧长公式可得圆锥侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以即为圆锥的底面半径，利用勾股定理可得圆锥的高． 【规范解答】解：半径为的半圆围成一个圆锥的侧面， 圆锥的侧面展开图的弧长为， 圆锥的底面周长为， 圆锥底面的半径为， 圆锥的高为：． 故答案为：． 15．（23-24九年级下·重庆渝北·月考）如图，矩形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，以点B为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于上的点E处，则阴影部分的面积为 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查扇形面积的计算，掌握矩形的性质以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提． 根据阴影部分的面积为：扇形的面积减去弓形的面积，根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积即可． 【规范解答】解：矩形中，，， ，， 根据勾股定理可得， ， ， ， ，， ， 阴影部分的面积为：． 故答案为：1． 16．（2025·安徽淮南·一模）如图，为的直径，，为的弦，，连接，，，则劣弧的长为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查垂径定理，圆周角定理，弧长公式，根据垂径定理和等腰三角形的性质求出，再根据弧长公式求解即可． 【规范解答】解：， ， ． 为的弦，， ， ∵， ∴的半径是2， 劣弧的长为． 故答案为：． 17．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，扇形中，，，点C为的中点，将扇形绕点C顺时针旋转，得到扇形，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】与交于点E，连接点，交于点F，由旋转得，，设，，则，，证明，由对应边成比例得，推出，由三角函数得，解直角三角形求出，，，则阴影部分的面积等于． 【规范解答】解：如图， 与交于点E，连接点，交于点F， 扇形绕点C顺时针旋转，得到扇形， ，， ，点C为的中点， ，， 设，，则，， ，， ， ，即， 解得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即图中阴影部分的面积为：， 故答案为：． 18．（2025·四川乐山·二模）如图，是的外接圆，，过点作切线，过点作交于点． (1)求证：； (2)若的半径为2，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了切线的性质，圆周角定理，求扇形面积； （1）连接，进而根据等边对等角以及三角形内角和定理求得，根据圆周角定理求得出，根据切线的性质得出，进而求得，即可得证； （2）连接、，证明是等边三角形，进而求得，再根据，即可求解． 【规范解答】（1）证明：连接，如图， ∵，   ，   ， ， 又为的切线，且点在上 ， ， ，   ． （2）连接、， 在中，，，   ， 又，，   为等边三角形， ，   ， ， 为等边三角形且， 又   ，， ，   中，，， 又，   ， ，   ． 19．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点F，连接，过点D作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)求证： ； (3)若的半径为5，，求阴影部分的面积．(π取3) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路点拨】（1）连结，由等边对等角得出，进而得出，由平行线的性质得出，进一步即可证明是的切线． （2）由直径所对的圆周角等于90度，可得出，结合已知条件可得出，再由平行线的性质得出，再由等腰三角形三线合一的性质得出，进而可得出 ． （3）连结，先求出，再求出，最后根据求解即可． 【规范解答】（1）证明：连接，记与交于点I，如图， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵为的半径， ∴是的切线． （2）证明：∵是直径， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， 则， ∴， ∴ 20．（25-26九年级下·全国·期末）如图，镜面l与半圆O相切于点C，延长直径与l交于点D，P是上的动点，为入射光线，其反射光线与半圆O交于点Q，连结，，． (1)的度数为______； (2)当反射光线与平行时，求的长度； (3)在点P从点O运动到点B的过程中，直接写出点Q的运动路径长． 【答案】(1)60° (2)CQ的长度为4 (3)点Q的运动路径长为4＋ 【思路点拨】本题主要考查切线的性质，垂径定理，求弧长等知识，正确作辅助线是解答本题的关键． （1）连接，由切线的性质得，由等腰三角形的性质可得，从而可求出； （2）过点作，由得，得，由勾股定理得，由垂径定理得； （3） 根据点P的运动得点Q的运动路径长为的长即可得出结论 【规范解答】（1）解：连接， ∵是半圆的切线， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：过点作，则， ∵ ∴， 又, ∴， 由勾股定理得， ∴； （3）解：根据题意得：点P在圆心，点Q与点O重合，当时，点Q与点A重合，当点P与点B重合时，， 点Q 的运动路径长为． 学科网（北京）股份有限公司 $