精品解析：江西省赣州市大余县部分学校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年上学期九年级第二次学情调研 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列与杭州亚运会有关的图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的概念：“在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．” 根据中心对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 将二次函数的图像向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的新函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图像的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键；所以由题意易得平移后的二次函数表达式为，然后问题可求解． 【详解】解：由题意知：平移后的二次函数表达式为， ∴新函数的对称轴为直线； 故选：C． 3. 在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用列表法或画树状图法求概率，根据题意、正确画出树状图成为解题的关键． 正确画出树状图确定所有可能的结果数和能让灯泡发光的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的有2种情况， ∴能让灯泡发光的概率为：． 故选：B． 4. 如图，在中，，，．将绕点旋转至，使，交边于点，则的长是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握旋转的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据旋转的性质可证，根据直角三角形两锐角互余可证，由此可得，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点旋转至， ， ， ， ， ， ， 而， ， ， ， 故选：C． 5. 如图，已知是边长为3的等边三角形，的半径为1，是上一动点，，分别切于点，，的另一条切线切于点，分别交，于点，．若是的中点，则的周长是（　　） A. 4 B. 6 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质和切线长定理，掌握切线的性质和切线长定理是关键．根据切线长定理可知的周长，连接，，在中，由勾股定理求出的长即可得出结论． 【详解】解：连接，，如图， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ，分别切于点，， ，， 同理：，， 的周长， 在中，， 的周长为， 故选：C． 6. 将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ） A. 或－3 B. 或3 C. 或3 D. 或－3 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数解析式，可求与x轴的两个交点A、B，直线表示的图像可看做是直线的图像平移b个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线经过B点时，恰与所给图像有三个交点，故将B点坐标代入即可求解；当平移直线经过C点时，恰与所给图像有三个交点，即直线与函数关于x轴对称的函数图像只有一个交点，即联立解析式得到的方程的判别式等于0，即可求解． 【详解】解： 当时，即时， 解得： ∴ 作函数的图像并平移至过点B时，恰与所给图像有三个交点，此时有：， 解得： 平移图像至过点C时，恰与所给图像有三个交点， 当的函数图像由的图像关于x轴对称得到新抛物线， ∴联立， 整理得：， ∴， 解得： 综上所述：b的值为或－3 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度．解题的关键是数形结合思想的运用，从而找到满足题意的条件． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 有三张正面分别写有汉字“真”“善”“美”，背面完全一样的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面的汉字后将其背面朝上放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率公式，通过列表得出所有等可能结果及相同汉字的结果数，利用概率公式计算，即可求解 【详解】列表如下： 第一次＼第二次 真 善 美 真 （真，真） （真，善） （真，美） 善 （善，真） （善，善） （善，美） 美 （美，真） （美，善） （美，美） 共有9种等可能结果，其中抽取的两张卡片上的汉字相同的结果有3种，故概率为 8. 如图，是的内接三角形，是的直径，，的平分线交于点，则的度数是________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理、三角形内角和定理和角平分线定义，根据圆周角定理得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， 由圆周角定理得，， ∴， 故答案为：． 9. 若抛物线的对称轴不在y轴的右边，且关于x的一元二次方程有两个实数根，则所有满足条件的整数a的值之和为______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程的定义，根的判别式，由抛物线的对称轴不在y轴的右边，得到，则；关于x的一元二次方程有两个实数根，则且，即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴不在y轴的右边， 则，则； 关于x的一元二次方程有两个实数根， 则且， 解得：且， 即且， 则a为：，，0，2，3，4，5， 则所有满足条件的整数a的值之和， 故答案为：11． 10. 已知关于的方程（）的两实数根为，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求出以及，然后根据条件变形代入求解即可． 【详解】由题意，，， ∵， ∴， 即：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记基本公式，并灵活进行变形是解题关键． 11. 如图，等边内一点，连接，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，若，则下列结论正确的有______．（写出正确结论的序号） ①点与之间的距离为4；②；③；④． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质以及勾股定理的逆定理的运用，解决问题的关键是利用旋转变换构造等边三角形以及直角三角形；解题时注意：旋转前、后的图形全等；如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形． 首先证明为等边三角形，得到，故①正确；运用勾股定理逆定理证明为直角三角形，求出的度数，得到②正确，运用面积公式求出四边形的面积，可判断③错误；由三角形的面积公式可求的面积，可判断④正确． 【详解】解：如图，连接， ∵为等边三角形， ∴； 由题意得： ∴为等边三角形， 故①正确； 在中， ∵， ∴为直角三角形， 故②正确； 过点作， 故③错误； 过点作直线， 故④正确， 故答案为：①②④． 12. 如图，是抛物线上的一点，以点为圆心，1个单位长度为半径作．当与直线相切时，点的坐标为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，并与二次函数相结合，与直线相切时就是：与x轴相切，半径为1个单位长度，即点P的纵坐标，根据P是抛物线上的一点，代入计算出x的值，并写出点P的坐标，一共有3种可能． 【详解】解：如图， 当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：， ∴P点坐标为或， 则点P的坐标为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）如图所示，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，是切点，若求的长（结果保留） 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理以及弧长公式，解一元二次方程，熟练掌握垂径定理，勾股定理以及弧长公式是解题关键． （1）利用十字相乘因式分解，进而即可求解； （2）根据切线的性质和垂径定理可得，，则可得与是等腰直角三角形，则可得，再根据勾股定理求出大圆的半径，再结合弧长公式即可解答． 【详解】（1）解：， 利用因式分解，得，即或， 解得，． （2）解：如图：连接， ∵是切线 ∴， ∴ 又， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴的长． 14. 已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移： （1）将抛物线写成顶点式，根据抛物线平移规律写出新抛物线解析式，即可求解； （2）求出原抛物线与x轴的交点为，再根据平移的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 所以抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：令得，， 解得． 所以原抛物线与x轴的交点为， 又因为将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点， 所以， 解得． 故m的值为3． 15. 已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，可得，再由，得到关于k的方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系可得，， ∵， ∴， 即，解得，或0， 由（1）知：， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． 16. 如图，点是以为直径的半圆内任意一点，连接，，点在上，且，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）在图1中，找出边上的中线； （2）在图2中，画出的角平分线． 【答案】（1） 为所作： （2） 为所作： 【解析】 【分析】（1）连接、，它们相交于点，则点为的重心，连接并延长交于点，则满足条件； （2）延长交半圆于点，延长交于点，交半圆于点，连接交于点，利用为的中位线得到，而由为直径得到，所以，则，所以，则满足条件． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图复杂作图：考查了三角形的重心，中位线以及圆的相关性质：圆周角定理和垂径定理．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 17. 某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设了五类社团活动（音乐社团、体育社团、美术社团、文学社团、电脑编程社团），要求每人必须参加且只参加一类社团活动． （1）“小明恰好选中体育社团”是________事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； （2）现从文学社团里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件和用列表法与树状图法求概率： （1）根据随机事件的定义进行解答即可； （2）先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲和乙两名同学的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 由于体育社团是五类社团之一，所以，“小明恰好选中体育社团”是随机事件， 故答案为：随机； 【小问2详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果数为2种， 所以恰好选中甲和乙两名同学的概率． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，9月份“江南忆”的销售量为256件，11月份的销售量为400件．已知每件“江南忆”的进价为35元，售价为58元． （1）求该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，12月份该款吉祥物的销售量将与11月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式．调查发现，该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物每件的售价为多少元时，月销售利润能达到8400元? 【答案】（1） （2）当该款吉祥物每件的售价为50元时，月销售利润能达到8400元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用： （1）设该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，利用月销售利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：（1）设该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 故该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率为． （2）设该款吉祥物每件的售价为元，则每件的销售利润为元，则月销售量为件． 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 故当该款吉祥物每件的售价为50元时，月销售利润能达到8400元． 19. 如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，勾股定理和垂径定理等知识： （1）如图，根据角平分线的定义和等边对等角证明，推出，再由，得到，即可证明是的切线； （2）过点O作于M，证明四边形是矩形，得到，利用勾股定理求出，即可由垂径定理得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点O作于M， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 20. 定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“凤凰”方程． （1）已知是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c的关系； （2）已知关于x的方程是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的值． 【答案】（1） （2）0或2或4或6． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，公式法解一元二次方程，正确理解“凤凰”方程的定义是解题的关键． （1）根据有两个相等的实数根得到，根据是“凤凰”方程得到，则，代入整理得，即可得到结论； （2）根据“凤凰”方程的定义列式求出，然后求出，可得，，再根据两个实数根都是整数可得整数m的值． 【小问1详解】 解：∵有两个相等的实数根， ∴， ∵是“凤凰”方程． ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 解：方程整理得：， ∵此方程是“凤凰”方程， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵两个实数根都是整数， ∴或， ∴或或或， ∴整数m的值为0或2或4或6． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【问题解决】 在一节数学课上，张老师提出了这样一个问题：如图1，点E是正方形内一点，，，．你能求出∠BEC的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点C逆时针旋转，得到，连接，求出的度数； 思路二：将绕点C顺时针旋转，得到，连接，求出的度数． （1）请参考小明的思路，写出两种思路的完整解答过程． 【类比探究】 （2）如图2，若点E是正方形外一点，，，，求的度数． 【答案】（1），解答过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）思路一：根据旋转的性质可得，则，根据勾股定理可得，再根据勾股定理的逆定理可得，即可求解；思路二：根据旋转的性质可得，则，，根据勾股定理逆定理得出，即可求解． （2）用和（1）一样的方法即可求解． 【小问1详解】 解：思路一：如图， ∵绕点C逆时针旋转，得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 思路二：如图： ∵将绕点C顺时针旋转，得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 将绕点C逆时针旋转，得到 ∵绕点C逆时针旋转，得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，勾股定理逆定理，正确作出辅助线是解本题的关键． 22. “八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为，部分对应值如表： 售价x（元/千克） … 2.5 3 3.5 4 … 需求量（吨） … 7.75 7.2 6.55 5.8 … ②该蔬菜供给量（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为，函数图象见图1． ③1~7月份该蔬菜售价（元/千克），成本（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为，，函数图象见图2． 请解答下列问题： （1）求a，c的值． （2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由． （3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润． 【答案】（1） （2）在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大，理由： 设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意， 有， 化简，得， ∵在的范围内， ∴当时，w有最大值． 答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大． （3）该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据列出函数关系式，由二次函数的性质可得结论； （3）根据题意列出方程，求出x的值，再求出总利润即可． 【小问1详解】 把，代入可得 ②-①，得， 解得， 把代入①，得， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得， 化简，得，解得（舍去）， ∴售价为5元/千克． 此时，（吨）（千克）， 把代入，得， 把代入，得， ∴总利润（元）． 答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元． 【点睛】此题主要考查了函数的综合应用，结合函数图象得出各点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 已知点为抛物线上一动点，以为顶点，且经过原点的抛物线，记作“”，设其与轴另一交点为，点的横坐标为． （1）①当为直角三角形时，________； ②当为等边三角形时，求此时“”的解析式； （2）若点的横坐标分别为1，2，3，……（为正整数）时，抛物线“”，分别记作“”，“”…“”，设其与轴另一交点分别为，，…，过，，，…，作轴的垂线，垂足分别为，，，…，． ①的坐标为________，________；（用含的代数式表示） ②当时，求的值； ③是否存在这样的，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①，②；（2）①，，②，③存在， 【解析】 【分析】（1）①易知是以P为直角顶点的等腰直角三角形，则P（m，m），代入即可求出m； ②当为等边三角形时，则P（m，），代入求出m，可得P点和A点坐标，然后利用待定系数法求“”的解析式即可； （2）①根据二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的对称性可得答案； ②根据列方程求解即可； ③如图，当时，，证明，求出，求出，即可解决问题． 【详解】解：（1）①∵为“”顶点，为直角三角形， ∴是以P为直角顶点的等腰直角三角形， ∴P（m，m）， 代入得：， ∴； ②如图1，过作轴于， 当是等边三角形时，， ∴P（m，）， 代入得：， ∴， ∴，， 设“”的解析式为：， 将代入得，， 解得：， ∴“”的解析式为：； （2）①∵点为抛物线上的点， ∴，； ②∵， ∴，即， 解得：（舍去），， ∴； ③存在， 如图，当时，， ∴， ∵坐标为， 把代入，得， ∴坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、解一元二次方程以及三角函数的应用等，熟练掌握二次函数的对称性是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期九年级第二次学情调研 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列与杭州亚运会有关的图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将二次函数的图像向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的新函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，．将绕点旋转至，使，交边于点，则的长是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 5. 如图，已知是边长为3的等边三角形，的半径为1，是上一动点，，分别切于点，，的另一条切线切于点，分别交，于点，．若是的中点，则的周长是（　　） A. 4 B. 6 C. D. 2 6. 将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ） A. 或－3 B. 或3 C. 或3 D. 或－3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 有三张正面分别写有汉字“真”“善”“美”，背面完全一样的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面的汉字后将其背面朝上放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是_______． 8. 如图，是的内接三角形，是的直径，，的平分线交于点，则的度数是________． 9. 若抛物线的对称轴不在y轴的右边，且关于x的一元二次方程有两个实数根，则所有满足条件的整数a的值之和为______． 10. 已知关于的方程（）的两实数根为，，若，则______． 11. 如图，等边内一点，连接，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，若，则下列结论正确的有______．（写出正确结论的序号） ①点与之间的距离为4；②；③；④． 12. 如图，是抛物线上的一点，以点为圆心，1个单位长度为半径作．当与直线相切时，点的坐标为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）如图所示，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，是切点，若求的长（结果保留） 14. 已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m的值． 15. 已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 16. 如图，点是以为直径的半圆内任意一点，连接，，点在上，且，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）在图1中，找出边上的中线； （2）在图2中，画出的角平分线． 17. 某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设了五类社团活动（音乐社团、体育社团、美术社团、文学社团、电脑编程社团），要求每人必须参加且只参加一类社团活动． （1）“小明恰好选中体育社团”是________事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； （2）现从文学社团里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，9月份“江南忆”的销售量为256件，11月份的销售量为400件．已知每件“江南忆”的进价为35元，售价为58元． （1）求该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，12月份该款吉祥物的销售量将与11月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式．调查发现，该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物每件的售价为多少元时，月销售利润能达到8400元? 19. 如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 20. 定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“凤凰”方程． （1）已知是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c的关系； （2）已知关于x的方程是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【问题解决】 在一节数学课上，张老师提出了这样一个问题：如图1，点E是正方形内一点，，，．你能求出∠BEC的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点C逆时针旋转，得到，连接，求出的度数； 思路二：将绕点C顺时针旋转，得到，连接，求出的度数． （1）请参考小明的思路，写出两种思路的完整解答过程． 【类比探究】 （2）如图2，若点E是正方形外一点，，，，求的度数． 22. “八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为，部分对应值如表： 售价x（元/千克） … 2.5 3 3.5 4 … 需求量（吨） … 7.75 7.2 6.55 5.8 … ②该蔬菜供给量（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为，函数图象见图1． ③1~7月份该蔬菜售价（元/千克），成本（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为，，函数图象见图2． 请解答下列问题： （1）求a，c的值． （2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由． （3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润． 六、解答题（本大题共12分） 23. 已知点为抛物线上一动点，以为顶点，且经过原点的抛物线，记作“”，设其与轴另一交点为，点的横坐标为． （1）①当为直角三角形时，________； ②当为等边三角形时，求此时“”的解析式； （2）若点的横坐标分别为1，2，3，……（为正整数）时，抛物线“”，分别记作“”，“”…“”，设其与轴另一交点分别为，，…，过，，，…，作轴的垂线，垂足分别为，，，…，． ①的坐标为________，________；（用含的代数式表示） ②当时，求的值； ③是否存在这样的，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $