第12讲 统计分析帮你做预测+抽签方法合理吗+概率帮你做估计+收取多少保险费才合理（知识详解+4典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年苏科版数学九年级下册重难点讲义与测试

本讲义聚焦统计与概率核心内容，涵盖构建函数模型预测变量关系、抽签及游戏公平性判断、利用频率估计概率、概率实际应用等知识点，形成从数据整理分析到随机事件概率计算再到实际决策的完整学习支架。 资料以真实情境典例（如射击成绩分析、摸球试验）培养数学眼光，通过列表法树状图强化推理意识，结合统计与概率应用发展数据意识和模型意识。课中助力教师情境化教学，课后习题分层巩固，帮助学生查漏补缺。

第12讲 统计分析帮你做预测+抽签方法合理吗+概率帮你做估计+收取多少保险费才合理（知识详解+4典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：构建函数模型预测变量间的关系 知识点02：抽签方法是合理的 知识点03：判断游戏的公平性 知识点04：利用频率估计概率 知识点05：利用概率进行估计 知识点06：概率的含义 知识点07：概率的实际应用 典例分析 （举三反三） 考点1：在坐标系中作出数值所对应的点、观察整体特点进行预测 考点2：利用概率判断游戏是否公平 考点3：利用频率估计概率 考点4：利用概率做出合理的判断、决策 习题巩固 一、单选题（8） 二、填空题（8） 三、解答题（6） 【知识点01】构建函数模型预测变量间的关系 1. 变量间的相关关系 在实际问题中，变量之间的关系一般有以下两类：一类是确定性函数关系，另一类是相关关系，即变量间有一定的联系，但不能完全用函数来表示，如身高与体重之间、同一种树的树叶的长与宽之间、我国部分年份的人口数与年份之间等，这就是变量间的相关关系. 2. 用函数表达式分析数据的一般步骤 (1)制作统计表； (2)选择事件中的两个量分别作为横坐标、纵坐标，建立直角坐标系； (3)根据统计表中的数据描点； (4)用光滑的线作出图像； (5)利用待定系数法求出函数表达式； (6)根据函数表达式预测事件的发展趋势. 【知识点02】抽签方法是合理的 生活中，我们有时会用抽签的方法来决定某件事情，每一个签被抽到的机会是相等的. 抽签虽然有先有后，但是先抽的人和后抽的人中签的概率是相同的，因此对每个人来说都是公平的，所以抽签方法是合理的. 【知识点03】判断游戏的公平性 在实际情境中，判断一个游戏是否公平，主要看参与的各方获胜(中签)的概率是否相同. 当制定的方法、规则使一方赢的机会超过另一方时，这个游戏就是一个不公平的游戏. 这就要求制定的方法、规则对于游戏的各方合理、公平. 先利用列表法或画树状图法求出概率(解题时要注意题目是放回试验还是不放回试验)，然后再根据概率的大小，判断游戏是否公平. 【知识点04】利用频率估计概率 1. 用频率估计概率 (1)用频率估计概率：从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性. 因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率. (2)适用对象：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，可通过事件发生的频率来估计概率. (3)计算方法：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p，那么估计事件A发生的概率P(A)＝p. 2. 频率与概率的关系 区别：频率是试验值或使用时的统计值，与试验人、试验时间、试验地点等有关；概率是理论值，与其他外界因素无关. 联系：试验次数越多，频率越趋向于概率. 【知识点05】利用概率进行估计 1. 运用概率进行估计时，有些问题需要设未知数，然后由公式来求出事件发生的概率(需要判断每次试验中所有可能出现的结果是否是等可能的)，再根据多次重复试验事件发生的频率的稳定值作为概率的估计值列出方程，使问题得到解决. 2. 建立“概率模型”的过程 提出问题 → 进行大量重复试验 → 计算频数、频率→ 用频率的稳定值估计概率 →解决问题(做出估计). 3. 我们可以用频率估计概率，但不能说频率等于概率，频率是经过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性大小，当试验次数足够多时，事件发生的频率接近于概率. 【知识点06】概率的含义 一般地，如果随机事件A发生的概率是P(A)，那么在相同的条件下重复n次试验，事件A发生的次数的平均值为n×P(A)． 类似地，如果奖券中奖的概率为0.01，并不能肯定在100张奖券中必有1张中奖，而是指当购买的奖券数量很大时，在100张一组的奖券中，平均会有(100×0.01)张，即1张中奖. 【知识点07】概率的实际应用 利用概率可以帮助保险业做出不亏本的决策，先通过试验和分析求出事件的概率，然后运用概率知识，结合不亏本的原则，即可判断出某种保险的收费情况. 运用概率的大小还可以对其他随机事件做出预估或预测，解决一些实际问题. 【题型一】在坐标系中作出数值所对应的点、观察整体特点进行预测 【典例1-1】甲、乙两名射击运动员在某次训练中5次射击成绩（单位：环）统计如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 8 7 a 9 8 乙 9 8 9 10 b 若数据a是甲成绩的平均数，数据b是乙成绩的中位数，根据表中数据，解答下列问题． (1)写出a和b的值． (2)根据这两人的成绩，在如图的统计图中画出表示两人成绩的折线． (3)分别计算甲、乙两人射击成绩的方差． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了求平均数，中位数和方差，方差的意义，熟练掌握平均数和方差的公式是解题的关键． （1）根据平均数和中位数的定义求解即可； （2）根据这两人的成绩，在如图的统计图中画出表示两人成绩的折线即可； （3）根据方差公式进行计算即可 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得，； 由图得 根据中位数定义得， （2）解：如图： （3）解：甲射击成绩的平均数为：8 甲的方差为：; 乙的平均数为 乙的方差为： 【典例1-2】在一个不透明的袋子中装有除颜色外都相同的红球和黄球，两种颜色的球一共有10个，每次摸出其中一个球，记下颜色后，放回搅匀．一个同学进行了反复试验，下面是做该试验获得的数据． x 200 400 600 800 1000 1200 y 0.26 0.33 0.27 0.31 0.30 0.28 （1）a= ，画出摸到红球的频率的折线统计图； （2）从这个袋子中任意摸一个球，摸到黄球的概率估计值是多少？（精确到0.1） （3）怎样改变袋中红球或黄球的个数，可以使得任意摸一次，摸到两种颜色球的概率相等？（写出一种方案即可） 【答案】（1）；（2）约为0.7；（3）添加4个红球或拿掉4个黄球（答案不唯一） 【分析】（1）根据题意只要用348除以1200即得a的值，进而可画出摸到红球的频率的折线统计图； （2）由表格数据可得摸到红球概率的估计值，进而可得摸到黄球的概率估计值； （3）先由前面确定袋子中红球和黄球的个数，再设添加x个红球或拿走y个黄球，根据题意列出方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：（1）348÷1200=0.29，即； 摸到红球的频率的折线统计图如图所示：    （2）由题意得：摸到红球概率的估计值为0.3，所以摸到黄球的概率估计值=1－0.3=0.7； （3）由于袋子中有红球3个，黄球7个，可设添加x个红球，则，解得：x=4； 或设拿走y个黄球，则，解得：y=4． 所以添加4个红球或拿掉4个黄球（答案不唯一），可以使得任意摸一次，摸到两种颜色球的概率相等． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率和折线统计图以及分式方程的解法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握频率与概率的关系是解题关键． 【典例1-3】某中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动，通过对学生的随机抽样调查得到一组数据，如图是根据这组数据绘制成的不完整统计图．    （1）求出被调查的学生人数； （2）把折线统计图补充完整； （3）求出扇形统计图中，公务员部分对应的圆心角的度数； （4）画出以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动的条形统计图． 【答案】（1）被调查的学生人数为200人；（2）见解析；（3）公务员部分对应的圆心角的度数是72º；（4）见解析． 【分析】（1）由军人有人，占比，利用可得总人数； （2）先求解医生的人数，再求解教师的人数，根据各自的人数画出折线统计图即可； （3）由公务员占比，乘以即可得到答案； （4）由教师人，医生人，公务员人，军人人，其他人，画出条形统计图即可． 【详解】（1）解：由军人有人，占比， 所以：20÷10％＝200（人） 答：被调查的学生人数为200人。 （2）∵医生的人数占15%， ∴医生的人数为：200×15%=30（人）， ∴教师的人数为：200-30-40-20-70=40（人）， 折线统计图补充完整如下：    （3）解: 360º×20%=72º 答：公务员部分对应的圆心角的度数是72º。 （4）由教师人，医生人，公务员人，军人人，其他人， 画出条形统计图如下：    【点睛】本题考查的是扇形统计图，折线统计图，条形统计图，以及求解扇形统计图中某部分所占的圆心角，利用部分所占总体的百分比求总体，掌握以上知识是解题的关键． 【变式1-1】为了参加全国初中生数学竞赛，乔老师利用寒假把甲、乙两名同学的前五个学期的数学成绩(单位：分)统计成下表： 第一学期 第二学期 第三学期 第四学期 第五学期 甲 75 80 85 90 95 乙 95 87 88 80 75 (1)分别求出甲、乙两名同学前五个学期的数学平均成绩； (2)在图中分别画出甲、乙两名同学前五个学期的数学成绩的折线统计图； (3)如果你是乔老师，你认为应该派哪名学生参加数学竞赛？请简要说明理由． 【答案】(1)甲同学前五个学期的数学平均成绩85分，乙同学前五个学期的数学平均成绩85分；(2)见解析；(3)派甲去，理由见解析. 【分析】（1）根据平均数的求法，用所有数据之和再除以数据的个数即可解答； （2）根据折线统计图的画法，依次描点连线即可，注意区分甲乙； （3）由于平均成绩相同，所以要看谁的呈上升趋势，读折线统计图可知． 【详解】(1)甲同学前五个学期的数学平均成绩＝＝85(分)， 乙同学前五个学期的数学平均成绩＝＝85(分)， (2)画出折线统计图，如图所示： (3)派甲去．因为甲的成绩呈上升趋势，而乙的成绩呈下降趋势． 【点睛】本题考查了折线图的意义和平均数的概念．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标．解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数． 【变式1-2】在某次疫情发生后，根据疾控部门发布的统计数据，绘制出如下统计图：图为地区累计确诊人数的条形统计图，图为地区新增确诊人数的折线统计图． （1）根据图中的数据，地区星期三累计确诊人数为 ，新增确诊人数为 ； （2）已知地区星期一新增确诊人数为人，在图中画出表示地区新增确诊人数的折线统计图． （3）你对这两个地区的疫情做怎样的分析，推断？ 【答案】（1）41,13；（2）见解析；（3）见解析（答案不唯一） 【分析】（1）根据图①的条形统计图即可求解； （2）根据图中的数据即可画出折线统计图； （3）根据折线统计图，言之有理即可． 【详解】（1）地区星期三累计确诊人数为41；新增确诊人数为41-28=13， 故答案为：41；13； 如图所示： 地区累计确诊人数可能会持续增加，地区新增人数有减少趋势，疫情控制情况较好（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查统计图的应用，解题的关键是根据题意作出折线统计图． 【题型二】利用概率判断游戏是否公平 【典例2-1】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（   ） A．连续抛一枚均匀硬币2次，有1次正面朝上是随机事件 B．连续抛一枚均匀硬币10次，10次均正面朝上是不可能事件 C．大量反复抛一枚均匀硬币，大约每1000次出现正面朝上500次 D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 【答案】B 【分析】本题考查概率的意义和事件的分类．根据概率的定义和随机事件、不可能事件的概念判断各选项． 【详解】解： 抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为， 选项A：连续抛2次，有1次正面朝上可能发生也可能不发生，是随机事件，原说法正确，不符合题意； 选项B：每次抛硬币正面朝上概率为，10次均正面朝上概率为，是随机事件，原说法错误，符合题意； 选项C：大量重复试验时，频率稳定于概率，大约每1000次出现500次正面朝上，原说法正确，不符合题意； 选项D：双方获胜概率均为，规则公平，原说法正确，不符合题意； 故选B． 【典例2-2】（25-26九年级上·江苏南京·月考）数学活动课上，小红和小明玩抽卡片游戏．如图，现有5张正面印有南京景区的卡片，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同，小红将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)若小红从中随机抽取1张卡片，抽到正面印着“玄武湖景区”的概率是 ； (2)若规定：小红从中随机抽取1张卡片，不放回，小明再从中随机抽取1张，若2张卡片的正面图案都是级景区，则小红赢，否则小明赢．请这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平；理由见解析 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率的简单计算是解题的关键， （1）利用概率的计算即可得到答案； （2）根据题意列出表格得到所有等可能情况，分别计算出小红赢或小明赢的概率，然后比较即可得到答案． 【详解】（1）解：抽到正面印着“玄武湖景区”的概率是； 故答案为：； （2）解：这个游戏不公平，理由如下： 设钟山风景名胜区为A，夫子庙—秦淮风光带景区为B，玄武湖景区为C，牛首山文化旅游区为D，红山森林动物园为E， 如图，列表如下： 由列表可知，共有20种等可能的结果， 其中2张卡片正面图案是级景区的有2种：， ∴小红赢的概率， 则小明赢的概率， ∵， 这个游戏不公平． 【典例2-3】（24-25九年级下·江苏泰州·月考）小王和小李两人只有一张电影票，两人想通过摸球的方式来决定谁去看电影，规则如下：第一个盒子内装入标有数字1，2，3，4的四个完全相同的小球，第二个盒子内装入标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于6，那么小王去，否则就是小李去． (1)用树状图或列表法求出小王去的概率； (2)小李说这种规则不公平，因此将规则做了如下调整：如果数字之和小于6得分，不小于6得分，、满足什么关系时，才能确保规则公平？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）先利用列表法展示所有12种等可能的结果数，然后根据概率公式求解即可； （2）根据（1）的结论，要使得游戏公平，则两种情况的得分一样，据此，即可求解． 【详解】（1）解：列表如下 和 共有12种等可能结果，其中和小于6的有9种， 故小王去的概率为； （2）解：∵数字之和小于6的有9种，不小于6的有种， 要使得游戏公平，要得分相等，则， 即． 【变式2-1】小颖、小明两人做游戏，掷一枚硬币，双方约定：正面朝上小颖胜，反面朝上小明胜，则这个游戏（　　） A．公平 B．对小颖有利 C．对小明有利 D．无法确定 【答案】A 【分析】先利用概率公式计算出小颖胜的概率为，小明胜的概率为，然后再利用两者的概率相等可判断游戏公平． 【详解】解：掷一枚硬币，共有2种等可能的结果，其中正面朝上的结果数为1，反面朝上的结果数为1， ∴小颖胜的概率为，小明胜的概率为， ∵， ∴这个游戏是公平的． 故选：A． 【点睛】本题考查了游戏公平性和概率公式，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则不公平． 【变式2-2】（24-25九年级上·江苏宿迁·月考）如图，转盘A中的4个扇形面积相等，转盘B中的6个扇形的面积相等，有人设计了如下游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘A、B一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数相乘，如果所得的积是偶数，则甲获胜；若所得的积是奇数，则乙获胜． (1)用列表法或树状图求出甲、乙两人分别获胜的概率； (2)当此游戏规则修改为：当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数字相加，如果所得的和是偶数，则甲获胜；若所得的和是奇数，则乙获胜，这样的规则公平吗？通过计算说明理由． 【答案】(1)甲胜的概率，乙胜的概率； (2)这样的规则公平，见解析 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据题意画出树状图，展示所有等可能的结果，利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案； （2）根据题意画出树状图，展示所有等可能的结果，利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案． 【详解】（1）解：画树状图如图所示： ， 由树状图知，共有24种等可能结果，其中甲获胜的有18种结果，乙获胜的有6种结果， 所以甲胜的概率，乙胜的概率； （2）解：这样的规则公平， 理由：画树状图如图所示： ， 由树状图知，共有24种等可能结果，其中甲获胜的有12种结果，乙获胜的有12种结果， 所以甲胜的概率，乙胜的概率， 所以这样的规则公平． 【变式2-3】如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘A，B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为0时，甲获胜；数字之和为1时，乙获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止． (1)用画树状图或列表法求乙获胜的概率； (2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)公平，理由见解析 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）依据题意先用画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出乙获胜的概率，比较即可． （2）根据概率公式求出甲乙获胜的概率，比较即可． 【详解】（1）解：（1）列表：        A盘 B盘 1 2 3 4 0 1 2 3 0 1 2 0 1 由列表法可知：会产生12种结果，它们出现的机会相等，其中和为1的有3种结果． ； （2）解：公平． ， ． ， 游戏公平． 【题型三】利用频率估计概率 【典例3-1】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）一只不透明的袋子中装有60个红球和白球，它们除颜色外无其他差别，某数学兴趣小组经过多次试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，袋中红球的个数约为（　　） A．30 B．25 C．20 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了已知频率求数量，根据一只不透明的袋子中装有60个红球和白球，摸到红球的频率稳定在0.25左右，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，（个）， ∴袋中红球的个数约为15， 故选：D 【典例3-2】（2025九年级下·江苏淮安·专题练习）在一个不透明的袋子中装有a个红球和3个白球（它们除了颜色外均相同），若从袋中任意摸出一个球，记录下颜色后放回，通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在，那么可以推算a大约是 ． 【答案】17 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系． 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：由题意可得，， 解得，， 经检验是原方程的解． 故答案为：17． 【典例3-3】（23-24九年级上·江苏盐城·开学考试）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数m 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数n 58 96 116 295 484 601 摸到白球的概率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近_______； (2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是_______； (3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？ 【答案】(1)0.60 (2)0.60 (3)白球12个，黑球8个 【分析】本题主要考查了如何利用频率估计概率： （1）根据表中的数据，估计出摸到白球的频率． （2）本题根据摸到白球的频率即可求出摸到白球的概率． （3）根据口袋中白色的球的概率即可求出口袋中白的球有多少只，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60． 故答案为：0.60 （2）解：∵当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60， ∴摸到白球的概率是0.60； 故答案为：0.60 （3）解：∵摸到白球的概率是0.60， ∴口袋中白球是：个， 黑球是个． 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏南通·期中）不透明袋子中有1个黑球，2个红球，3个白球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，放回并摇匀后重复操作，某一颜色的球出现的频率如图所示，则此球的颜色最有可能是（ ） A．红球 B．白球 C．黑球 D．黄球 【答案】A 【分析】本题考查利用频数率分布折线图，频率估计概率，理解频率、概率的意义和相互关系是正确解答的关键． 用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：观察统计图可知：该球的频率稳定在左右， 即抽到该球的概率为， 球的总个数为：， 抽到黑球的概率为， 抽到红球的概率为， 抽到白球的概率为， 抽到黄球的概率为， 该种球的颜色最有可能是红球． 故选：A 【变式3-2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）不透明的口袋中装有个红球、个黄球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同．课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，则的值最可能是 个． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是熟练掌握概率公式．利用频率估计概率，由概率列方程求解即可． 【详解】解：由大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，可得摸到蓝球的概率为， 解得， 经检验，是原方程的解， 因此的值最可能是． 故答案为：． 【变式3-3】（23-24九年级下·江苏盐城·期中）主题为“安全骑行，从头盔开始”的安全教育活动在本市全面开展．为了解市民骑电动自行车出行自觉佩戴头盔的情况，某数学实践探究小组在某路口进行调查，经过连续6天的同一时段的调查统计，得到数据并整理如下表： 经过路口的电动自行车数量/辆 180 230 280 260 240 300 自觉佩戴头盔人数/人 171 216 266 250 228 285 自觉佩戴头盔的频率 0.95 0.94 0.95 0.96 0.95 m (1)表格中______； (2)由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为 （结果精确到0.01） (3)若该小组某天调查到经过该路口的电动自行车共有1000辆，请问其中佩戴了头盔的骑行者大约有多少人？ 【答案】(1)0.95 (2)0.95 (3)950人 【分析】本题考查利用频率估计概率，利用概率求数量： （1）直接利用频数除以总数进行计算即可； （2）利用频率估算概率即可； （3）总数乘以概率即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：0.95； （2）由表格可知：经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为0.95； 故答案为：0.95； （3）（人）． 【题型四】利用概率做出合理的判断、决策 【典例4-1】在“书香社区”全民阅读活动中，某社区读书联盟计划举行一次参加活动有奖送书活动，活动规则是：在一个装有2个红球和3个白球（每个球除颜色外，其它都相同） 的不透明盒中，请每位参加活动的社区居民随机摸球一次，然后送书．联盟做了三种活动计划．计划1：随机摸一个球，摸到红球送一本精美图书；计划2：随机同时摸两个球，同时摸到2个都是红球送一本精美图书；计划3：随机同时摸两个球，摸到的两个球中，其中只要有一个是红球送一本精美图书． (1)分别求活动计划1和活动计划2中，居民获得精美图书的概率； (2)三种活动计划中，哪种计划送出的精美图书最多？为什么？ 【答案】(1)， (2)活动计划3送出的精美图书最多，理由见解析 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式等知识点， （1）活动计划1中，共有5种等可能的结果，其中摸到红球的结果有2种，利用概率公式可得答案；活动计划2中，列表可得出所有等可能的结果数以及同时摸到2个都是红球的结果数，再利用概率公式可得出答案； （2）求出活动计划3中居民获得精美图书的概率，再与活动计划1，2中居民获得精美图书的概率作比较，即可得出结论； 熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【详解】（1）解：活动计划1：共有5种等可能的结果，其中摸到红球的结果有2种， 居民获得精美图书的概率为． 活动计划2：列表如下： 红 红 白 白 白 红 （红，红） （红，白） （红，白） （红，白） 红 （红，红） （红，白） （红，白） （红，白） 白 （白，红） （白，红） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，红） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，红） （白，白） （白，白） 共有20种等可能的结果，其中同时摸到2个都是红球的结果有2种， 居民获得精美图书的概率为； （2）解：活动计划3：列表如下： 红 红 白 白 白 红 （红，红） （红，白） （红，白） （红，白） 红 （红，红） （红，白） （红，白） （红，白） 白 （白，红） （白，红） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，红） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，红） （白，白） （白，白） 共有20种等可能的结果，其中至少有一个是红球的结果有14种， 居民获得精美图书的概率为， ∵， 活动计划3送出的精美图书最多． 【典例4-2】某电视台一档综艺节目中，要求嘉宾参加知识竞答，竞答题共10道．每一题有三个选项，且只有一个选项正确，规定每题答对得2分，答错扣1分，不答得0分，若10道题全部答对则另外再奖励2分．某位嘉宾已经答对了8道题，剩下2道题他都不确定哪个选项． (1)若这位嘉宾随机选择一个选项，求他剩下的2道题一对一错的概率； (2)这位嘉宾对剩下2题可以都不答，或只随机答1题，或随机答2题，请你从统计与概率的角度分析，采用哪种做法解答剩下2道题才能总得分更高？ 【答案】(1) (2)这位嘉宾采用随机答2题的解答方式才能总得分更高 【分析】（1）根据题意可利用“对，错，错”来表示选择某选项的正误．由此可列出表格，找出符合题意的情况数，再根据概率公式计算即可； （2）根据题意可知有3种情况：①2题都不答，此时这两题得分为0；②只随机答1题，根据概率计算出得分概率和不得分概率，即得出其预期的得分；③随机答2题，可分类讨论：全答对得6分、一对一错得1分，全答错得-2分，分别计算出其概率，再计算出其预期得分即可．最后比较3种情况预期得分的大小即可． 【详解】（1）因为每小题有三个选项，且只有一个选项就正确的， 所以有两个选项是错误的，不妨用“对，错，错”来表示． 因此可列表如下： 对 错 错 对 （对，对） （错，对） （错，对） 错 （对，错） （错，错） （错，错） 错 （对，错） （错，错） （错，错） 共有9种等可能的结果，其中一对一错的有4种结果 ∴P（两小题一对一错）； （2）有3种可能的解答方式，分别为①2题都不答；②只随机答1题；③随机答2题． ①当2题都不答时，这两题得分为0分； ②当只随机答1题时，∵P（对），P（错） ∴预期得分为：； ③当随机答2题时，有2题都对，1对1错，2题都错三种可能， 所得的分数分别为6分，1分，-2分，相应的概率分别为： 得分值 6分 1分 -2分 概率 P（答对2题） P（1对1错） P（2题都错） ∴预期得分为：（分） ∴这位嘉宾采用随机答2题的解答方式才能总得分更高． 【点睛】本题考查列表或树状图法求概率，加权平均数．正确的列出表格或画出树状图，掌握求概率的公式是解答本题的关键． 【典例4-3】某商场进行“6·18”促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：如图1，有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：如图2，一个均匀的转盘被等分成12份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为3的倍数则获奖．    (1)若采用方式一，骰子掷出后，“5”朝上的概率为______； (2)若采用方式二，当转盘停止后，指针指向的数字为“5”的概率为______； (3)小明想增加获奖机会，应选择哪种摇奖方式？请通过相关计算，应用概率相关知识说明理由． 【答案】(1) (2) (3)选方式二．理由见解析 【分析】（1）根据概率的计算公式，易得标有数字“5“的面数，进而与总面数相比可得答案； （2）根据概率的计算公式，易得标有数字“5“的面数，进而与总面数相比可得答案； （3）分别求出两种摇奖方式的获奖概率，然后比较即可． 【详解】（1）解：∵正二十面体形状的骰子，5个面标有“5”， ∴“5”朝上的概率为， 故答案为：； （2）解：∵一个均匀的转盘被等分成12份，数字为“5”的个数为1， ∴“5”朝上的概率为， 故答案为：； （3）解：应选择方式二，理由如下： 采用方式一，（“6”朝上）， 采用方式二，指针指向的数字为3的倍数有3，6，9，12，共4个， ∴（指针指向的数字为3的倍数）， ∵， ∴方式二获奖机会大， ∴选方式二． 【点睛】本题考查了概率在游戏中的应用，根据题意确定两种摇奖方式的获奖概率是解答本题的关键． 【变式4-1】A、B两人去九龙湖风景区游玩，已知每天某一时段开往风景区有三辆舒适程度不同的车，开过来的顺序也不确定，两人采取了不同的乘车方案：A：无论如何总是上开来的第一辆车；B：先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒适度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请解决下列问题： （1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？ （2）你认为A、B两人采用的方案，哪种方案使自己乘上等车的概率大？请分别求出A，B乘上等车的概率并判断． 【答案】（1）三辆车按出现的先后顺序共有6种不同的可能，见解析；（2）A采用的方案使自己乘上等车的概率为，B采用的方案使自己乘上等车的概率为，所以B人采用的方案使自己乘上等车的概率大 【分析】（1）利用列表展示所有6种不同的可能结果即可得到答案； （2）分别求出两个方案使自己乘上等车的概率，然后比较概率大小可判断谁的可能性大． 【详解】解：（1）根据题意列表如下： 第1辆 第2辆 第3辆 上 中 下 上 下 中 中 上 下 中 下 上 下 中 上 下 上 中 三辆车按出现的先后顺序共有6种不同的可能； （2）A采用的方案使自己乘上等车的概率； B采用的方案使自己乘上等车的概率， 因为， 所以B人采用的方案使自己乘上等车的概率大． 【点睛】此题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 【变式4-2】在春节来临之际，某商场开展“庆新年”有奖酬宾活动：一次性购物满198元，均可得到一次在不透明的纸盒里抽奖的机会，抽奖规则如下：抽奖者从该纸盒中依次摸出两个球（不放回）．已知该纸盒里装有3个红球和2个白球，它们除颜色外其它都相同． (1)当抽奖者从该纸盒中摸出第一个球时，抽到红球的概率是多少？ (2)该商场支持“在线支付”和“现金支付”两种付款方式，根据抽奖者的付款方式和球的颜色决定赠送相应券值的礼金券．（如下表） 在线支付： 球 两红 一红一白 两白 礼金券/元 5 10 5 现金支付： 球 两红 一红一白 两白 礼金券/元 10 5 10 如果一个顾客当天在该商场一次性购物200元，他很想获得10元的礼金券，你推荐他采用哪种支付方式？并说明理由． 【答案】(1) (2)选择在线支付购物．理由见解析 【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式直接求解即可； （2）求出去两种支付方式摸一次奖获10元礼金券的概率，比较即可得到结果． 【详解】（1）解：该纸盒里装有3个红球和2个白球， 现随机摸出一个球，这个球是红球的概率是． （2）解：选择在线支付购物．记袋子中的3个红球为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2， 在线支付购物摸一次奖获10元礼金券的概率是（甲）， 现金支付购物摸一次奖获10元礼金券的概率是（乙）， 因为在线支付获奖的概率比现金支付获奖的概率大，所以选择在线支付购物． 【变式4-3】商场“迎新年”促销活动规定：在不透明的袋中装有2个红球和若干个白球，它们除颜色外其它都相同；凡购物满500元，再摸出1个，摸到白球的概率是． (1)请直接写出袋中白球的个数； (2)该商场采用“在线支付”和“现金支付”两种付款方式满500元均可抽奖．抽奖者从该不透明的袋中同时取出两个球，根据抽奖者的付款方式和球的颜色决定赠送相应券值的礼金券．试判断采用哪种付款方式，获得20元礼金券的概率较大？请说明理由． 在线支付 球 两红 一红一白 两白 礼金券/元 5 20 5 现金支付 球 两红 一红一白 两白 礼金券/元 20 5 20 【答案】(1)个 (2)在线支付 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽到两个红球的结果数、抽到一个红球一个白球的结果数、抽到两个白球的结果数，再利用概率公式可求出采用在线支付获得20元的礼金券的概率和采用现金支付获得20元的礼金券的概率，进而可得结论． 【详解】（1）设白球的个数为，由题意有： ， 解得： 答：有个白球． （2）列表如下： 共有种等可能的结果，其中抽到两个白球的结果有种，抽到一个红球一个白球的结果有种，抽到两个红球的结果有种； ∴采用在线支付获得元的礼金券的概率为，采用现金支付获得元的礼金券的概率为． ∵， ∴选择在线支付． 答：选择在线支付获得元礼金券的概率较大． 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）一只不透明的袋子中装有3个黄球和个红球，这些球除颜色外都相同．课外兴趣小组做摸球试验：每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在附近摆动，则的值最可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式．根据题意可得蓝球出现的频率稳定在附近，再根据概率公式列出方程，最后解方程即可求出n． 【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在， ， 解得：，经检验是方程的解， 即n的值最可能是． 故选：D． 2．在一个不透明袋子中装有12个只有颜色不同的球，其中1个红球、5个黄球、2个蓝球和4个绿球，从中随机摸出一个球，某种颜色的球出现的频率约为0.3，则该球的颜色最有可能是（    ） A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色 【答案】D 【分析】此题考查了频率估计概率，根据“频率频数总次数”计算求解即可估算概率，熟练掌握知识点的应用是解题的关键； 通过计算每种颜色球的概率，并与给定频率比较，概率最接近的颜色即为答案． 【详解】解：∵一共有12个球， ∴摸到红球概率为， 摸到黄球概率为， 摸到蓝球概率为， 摸到绿球概率为， ∵某种颜色的球出现的频率约为0.3， ∴绿球概率最接近， ∴该球的颜色最有可能是绿色， 故选：D． 3．小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（   ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率的应用．通过列举掷两枚硬币的所有可能结果，计算三人获胜的概率，比较概率大小判断游戏对谁有利． 【详解】解：掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能结果为：正正、正反、反正、反反，共4种． ∵ 小明获胜需两枚正面朝上，有1种情况， ∴ P（小明获胜）． ∵ 小颖获胜需两枚反面朝上，有1种情况， ∴ P（小颖获胜）． ∵ 小凡获胜需一枚正面一枚反面，有2种情况， ∴ P（小凡获胜）． ∵， ∴游戏对小凡有利． 故选：C 4．小明、小红、小刚三人在课间做“石头、剪刀、布”游戏．规则如下：由小明和小红两人来做“石头、剪刀、布”的游戏，两人出三种手势的可能性相同，如果他们两人所出的手势相同，那么小刚胜出，如果手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，小明和小红的获胜者为游戏的获胜者．以下说法正确的是（    ） A．这个游戏小刚获胜的可能性最大 B．这个游戏小刚获胜的可能性最小 C．这个游戏小明和小红获胜的可能性一样，都比小刚获胜的可能性大 D．这个游戏对三人是公平的 【答案】D 【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能的结果数以及小刚获胜的结果数、小明获胜的结果数、小红获胜的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果， 其中小刚获胜的结果有：（石头，石头），（剪刀，剪刀），（布，布），共3种，小明获胜的结果有：（石头，剪刀），（剪刀，布），（布，石头），共3种，小红获胜的结果有：（石头，布），（剪刀，石头），（布，剪刀），共3种， ∴小刚获胜的概率为，小明获胜的概率为，小红获胜的概率为． ∴小刚、小红、小明获胜的概率一样大， 故选：D． 二、填空题 5．冰冰和雪雪做掷两个筹码的游戏，其中一个两面都写有8，另一个一面写有8，另一面写有9．游戏规则如下：两人各持一个筹码同时掷出，如果掷出一对8，雪雪获胜；如果掷出一个8和一个9，冰冰获胜．你认为这个游戏 （填“公平”或“不公平”）． 【答案】公平 【分析】此题考查了游戏的公平性问题，关键在于计算每个事件的概率来比较判断. 列表得出所有可能情况，分别找出两种获胜情况的次数，求出概率，在比较判定即可. 【详解】根据题意，列表如下： 由表可知，共有4种等可能的结果，其中掷出一对8的结果有2种，掷出一个8和一个9的结果有2种， 这个游戏公平． 6．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）不透明的袋子中装有若干个除颜色外完全相同的小球（没有粉色），实验小组向其中投入10个除颜色外无其他差别的粉色小球，摸出一个球，记录颜色，放回混合均匀，再摸出一个球，记录颜色，重复多次，发现摸到粉色小球的频率稳定在0.2附近，可以估计袋子中原来有 个小球． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，能根据频率估计概率是解题的关键．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：设袋子中原来有n个小球，由题意可得，， 解得，， 经检验是原方程的解 故估计袋子中原来有个小球， 故答案为：． 7．（24-25九年级下·江苏苏州·月考）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频率表：估计该麦种10000粒的发芽数是 粒． 试验种子数（粒） 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频率 0.82 0.852 0.849 0.851 0.85 0.85 【答案】8500 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 根据图表中数据估计种子发芽的概率为0.95，进而估计该麦种10000粒的发芽数． 【详解】解：利用图表中数据可得估计种子发芽的概率为0.85， （粒）， 估计该麦种10000粒的发芽数是8500粒． 故答案为：8500． 8．小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为和的同心圆，如图．他们蒙上眼在一定距离外向同心圆内部掷石子，落在阴影内则小红胜，落在小圆内则小明胜．这个游戏 （填“公平”或“不公平”）． 【答案】不公平 【分析】本题考查了概率的应用，根据概率评判游戏是否公平是解题的关键． 求出小明与小红分别胜的概率，如果相等，则游戏公平，否则游戏不公平． 【详解】解：． ， 这个游戏不公平． 故答案为：不公平． 三、解答题 9．某区未成年人校外心理健康辅导站多年来一直致力于未成年人心理健康服务工作．2022年11月疫情期间，辅导站对全区135057名中小学生进行了心理普测，探索出“云端”守护学生心灵的服务模式，受到了社会的广泛赞誉．为了更好地服务未成年学生，该辅导站对全区学生是否需要心理辅导进行随机问卷调查，得到以下统计表： 调查人数 5000 10000 15000 20000 需要心理辅导的人次 163 294 446 602 需要辅导的频率 0.0326 0.0294 0.0297 0.0301 (1)通过以上数据估计，任意调查一名该区学生，这名学生需要心理辅导的概率大约是______；（精确到0.001） (2)辅导站通常使用A（沙盘游戏）、B（绘画分析）、C（会谈技术）、D（音乐放松）四种方式对需要辅导的学生进行公益心理辅导．在某次心理辅导服务中，有2名学生选择A方式，1名学生选择B方式，2名学生选择C方式．辅导站的马老师准备从这5名学生中选择2人进行辅导，请用列表法或树状图求选中的这两名学生恰好都是选择C方式的概率． 【答案】(1)0.030 (2) 【分析】（1）随着调查人数的逐渐增大，频率的数值逐渐稳定于0.030，据此可得答案； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：这名学生需要心理辅导的概率大约是0.030； 故答案为：0.030 （2）解：列表如下： （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） 可能出现的结果有20种，并且它们出现的可能性相等，其中，选中的这两名学生恰好都是选择C方式的结果有2种，则P（恰好都是选择C方式）． 【点睛】本题考查利用频率估计概率、列表法或树状图法求概率，解答本题的关键是掌握利用频率估计概率、列表法或树状图法求概率． 10．为促进消费，助力经济发展，某商场决定举办抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球和编号为①②的2个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的3个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会． (1)求该顾客首次摸球中奖的概率； (2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由． 【答案】(1) (2)他应往袋中加入黄球，理由见解析 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）用概率公式直接可得答案； （2）记往袋中加入的球为“新”，列表求出所有等可能的情况，分别求出新球为红色，黄色时获得精美礼品的概率，比较概率大小即可得到答案． 【详解】（1）顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，共3种等可能的结果． “首次摸得红球”的结果只有1种， 所以P（首次摸得红球），所以顾客首次摸球中奖的概率为． （2）他应往袋中加入黄球 理由：记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下： 共有12种等可能结果． ①若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有4种，此时该顾客获得精美礼品的概率 ； ②若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有6种，此时该顾客获得精美礼品的概率 ； 因为， 所以， 所以他应往袋中加入黄球． 11．我市长途客运站每天开往某县的三辆班车，票价相同，但车的舒适程度不同．小张和小王因事需在这一时段乘车去该县，但不知道三辆车开来的顺序．两人采用不同的乘车方案：小张无论如何决定乘坐开来的第一辆车，而小王则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况．若第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；若第二辆车不如第一辆车，他就上第三辆车．若按这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等，请你思考并回答下列问题： （1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种可能？ （2）请列表分析哪种方案乘坐优等车的可能性大？为什么？ 【答案】（1）共6种可能；（2）小王的方案乘坐优等车的可能性大． 【分析】（1）采用列举法比较简单，但是解题时要注意做到不重不漏； （2）考查了学生对表格的分析能力，解题的关键是理解题意，列得适宜的表格． 【详解】解：(1)三辆车按开来的先后顺序有：优、中、差；优、差、中；中、优、差；中、差、优；差、优、中；差、中、优，共6种可能. (2)根据三辆车开来的先后顺序，小张和小王乘车所有可能的情况如下表： 顺序 优，中，差 优，差，中 中，优，差 中，差，优 差，优，中 差，中，优 小张 优 优 中 中 差 差 小王 差 中 优 优 优 中 由表格可知： 小张乘坐优等车的概率是，而小王乘坐优等车的概率是. 所以小王的乘车方案乘坐优等车的可能性大. 12．（23-24九年级下·江苏南京·月考）2023年12月14日，一股冷空气开始影响我市，我市连续7天的天气情况如下： 周四(12-14) 阴转小雨 5/17℃ 北风3-5级 周五(12-15) 小雨转多云 ℃ 西北风4-5级 周六(12-16) 多云 ℃ 西北风4-5级 周日(12-17) 多云转晴 ℃ 北风 微风 周一(12-18) 雨夹雪 0/2℃ 东北风 微风 周二(12-19) 阴转晴 ℃ 西北风 微风 周三(12-20) 晴 ℃ 西北风 微风 上述天气情况包括了每天的天气状况（如阴转小雨，小雨转多云等）、气温（如“5/17℃”指当天最低和最高气温分别是5℃和17℃）、风向和风级． (1)计算这7天最低气温的平均数和方差． (2)阅读冷空气等级标准表： 序号 等级 冷空气来临的48小时内日最低气温变化情况 ① 弱冷空气 降温幅度小于6℃ ② 中等强度冷空气 降温幅度大于或等于6℃，但小于8℃ ③ 较强冷空气 降温幅度大于或等于8℃，且日最低气温超过8℃ ④ 强冷空气 降温幅度大于或等于8℃，且日最低气温不超过8℃ ⑤ 寒潮 降温幅度大于或等于10℃，且日最低气温不超过4℃ 本次来临的冷空气的等级是_______．（填序号） (3)本次冷空气除导致气温下降外，还带来哪些天气情况的变化？请写出一个结论． 【答案】(1)平均数为℃；方差为 (2)⑤ (3)这七天以阴雨天气为主（答案不唯一） 【分析】本题考查了平均数，方差的计算，温差的计算，熟练掌握方差公式是解题的关键． （1）根据平均数、方差的定义列式计算即可求解； （2）参照天气情况图可得答案； （3）参照天气情况图可得答案． 【详解】（1）解：这7天最低气温的平均数为（℃） 方差为； （2）解：∵周四与周五的温差为℃，降温幅度大于或等于10℃，且日最低气温不超过4℃ ∴来临的冷空气的等级是寒潮， 故答案为：⑤； （3）解：这七天以阴雨天气为主（答案不唯一）． 13．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2025年苏超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 解决问题 任务一 甲、乙两队抽签决定谁先踢，甲、乙两队要不要争着去抽签？为什么？ 任务二 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 【答案】任务一：不要争着去抽签，因为谁先踢的概率相等．任务二： 【分析】本题考查了概率的应用，抽签的公平性；用列举法求事件的概率，熟练掌握相关知识为解题关键 （1）根据点球决胜的规则里，先踢和后踢从概率角度来看，获胜的机会是均等的，抽签只是确定先后顺序，并不会直接影响最终的胜负概率，所以不需要争着抽签； （2）设进球为1，未进为0，第四轮的甲、乙比分情况为：，，，，所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，， ，，再得出第五轮的比赛得分可能，共12种比分可能，按比赛的规则，乙有7种获胜的可能性，结合两种上述情况即可得到结果． 【详解】解：任务一、甲、乙两队不需要争着去抽签， 原因：点球决胜的规则里，先踢和后踢从概率角度来看，获胜的机会是均等的，抽签只是确定先后顺序，并不会直接影响最终的胜负概率，所以不需要争着抽签． 任务二：设进球为1，未进球为0，则第四轮进球情况用列表分析为： 乙 甲 0 1 1 0 所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，，，， 第五轮过后的比分情况用列表分析为： 第四轮过后甲乙的比分 第五轮甲乙比分 由表中比分情况，按比赛的规则可知，乙有7种获胜的可能性， 结合四轮过后的甲、乙的比分情况可得乙胜的概率为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 统计分析帮你做预测+抽签方法合理吗+概率帮你做估计+收取多少保险费才合理（知识详解+4典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：构建函数模型预测变量间的关系 知识点02：抽签方法是合理的 知识点03：判断游戏的公平性 知识点04：利用频率估计概率 知识点05：利用概率进行估计 知识点06：概率的含义 知识点07：概率的实际应用 典例分析 （举三反三） 考点1：在坐标系中作出数值所对应的点、观察整体特点进行预测 考点2：利用概率判断游戏是否公平 考点3：利用频率估计概率 考点4：利用概率做出合理的判断、决策 习题巩固 一、单选题（8） 二、填空题（8） 三、解答题（6） 【知识点01】构建函数模型预测变量间的关系 1. 变量间的相关关系 在实际问题中，变量之间的关系一般有以下两类：一类是确定性函数关系，另一类是相关关系，即变量间有一定的联系，但不能完全用函数来表示，如身高与体重之间、同一种树的树叶的长与宽之间、我国部分年份的人口数与年份之间等，这就是变量间的相关关系. 2. 用函数表达式分析数据的一般步骤 (1)制作统计表； (2)选择事件中的两个量分别作为横坐标、纵坐标，建立直角坐标系； (3)根据统计表中的数据描点； (4)用光滑的线作出图像； (5)利用待定系数法求出函数表达式； (6)根据函数表达式预测事件的发展趋势. 【知识点02】抽签方法是合理的 生活中，我们有时会用抽签的方法来决定某件事情，每一个签被抽到的机会是相等的. 抽签虽然有先有后，但是先抽的人和后抽的人中签的概率是相同的，因此对每个人来说都是公平的，所以抽签方法是合理的. 【知识点03】判断游戏的公平性 在实际情境中，判断一个游戏是否公平，主要看参与的各方获胜(中签)的概率是否相同. 当制定的方法、规则使一方赢的机会超过另一方时，这个游戏就是一个不公平的游戏. 这就要求制定的方法、规则对于游戏的各方合理、公平. 先利用列表法或画树状图法求出概率(解题时要注意题目是放回试验还是不放回试验)，然后再根据概率的大小，判断游戏是否公平. 【知识点04】利用频率估计概率 1. 用频率估计概率 (1)用频率估计概率：从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性. 因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率. (2)适用对象：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，可通过事件发生的频率来估计概率. (3)计算方法：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p，那么估计事件A发生的概率P(A)＝p. 2. 频率与概率的关系 区别：频率是试验值或使用时的统计值，与试验人、试验时间、试验地点等有关；概率是理论值，与其他外界因素无关. 联系：试验次数越多，频率越趋向于概率. 【知识点05】利用概率进行估计 1. 运用概率进行估计时，有些问题需要设未知数，然后由公式来求出事件发生的概率(需要判断每次试验中所有可能出现的结果是否是等可能的)，再根据多次重复试验事件发生的频率的稳定值作为概率的估计值列出方程，使问题得到解决. 2. 建立“概率模型”的过程 提出问题 → 进行大量重复试验 → 计算频数、频率→ 用频率的稳定值估计概率 →解决问题(做出估计). 3. 我们可以用频率估计概率，但不能说频率等于概率，频率是经过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性大小，当试验次数足够多时，事件发生的频率接近于概率. 【知识点06】概率的含义 一般地，如果随机事件A发生的概率是P(A)，那么在相同的条件下重复n次试验，事件A发生的次数的平均值为n×P(A)． 类似地，如果奖券中奖的概率为0.01，并不能肯定在100张奖券中必有1张中奖，而是指当购买的奖券数量很大时，在100张一组的奖券中，平均会有(100×0.01)张，即1张中奖. 【知识点07】概率的实际应用 利用概率可以帮助保险业做出不亏本的决策，先通过试验和分析求出事件的概率，然后运用概率知识，结合不亏本的原则，即可判断出某种保险的收费情况. 运用概率的大小还可以对其他随机事件做出预估或预测，解决一些实际问题. 【题型一】在坐标系中作出数值所对应的点、观察整体特点进行预测 【典例1-1】甲、乙两名射击运动员在某次训练中5次射击成绩（单位：环）统计如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 8 7 a 9 8 乙 9 8 9 10 b 若数据a是甲成绩的平均数，数据b是乙成绩的中位数，根据表中数据，解答下列问题． (1)写出a和b的值． (2)根据这两人的成绩，在如图的统计图中画出表示两人成绩的折线． (3)分别计算甲、乙两人射击成绩的方差． 【典例1-2】在一个不透明的袋子中装有除颜色外都相同的红球和黄球，两种颜色的球一共有10个，每次摸出其中一个球，记下颜色后，放回搅匀．一个同学进行了反复试验，下面是做该试验获得的数据． x 200 400 600 800 1000 1200 y 0.26 0.33 0.27 0.31 0.30 0.28 （1）a= ，画出摸到红球的频率的折线统计图； （2）从这个袋子中任意摸一个球，摸到黄球的概率估计值是多少？（精确到0.1） （3）怎样改变袋中红球或黄球的个数，可以使得任意摸一次，摸到两种颜色球的概率相等？（写出一种方案即可） 【典例1-3】某中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动，通过对学生的随机抽样调查得到一组数据，如图是根据这组数据绘制成的不完整统计图．    （1）求出被调查的学生人数； （2）把折线统计图补充完整； （3）求出扇形统计图中，公务员部分对应的圆心角的度数； （4）画出以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动的条形统计图． 【变式1-1】为了参加全国初中生数学竞赛，乔老师利用寒假把甲、乙两名同学的前五个学期的数学成绩(单位：分)统计成下表： 第一学期 第二学期 第三学期 第四学期 第五学期 甲 75 80 85 90 95 乙 95 87 88 80 75 (1)分别求出甲、乙两名同学前五个学期的数学平均成绩； (2)在图中分别画出甲、乙两名同学前五个学期的数学成绩的折线统计图； (3)如果你是乔老师，你认为应该派哪名学生参加数学竞赛？请简要说明理由． 【变式1-2】在某次疫情发生后，根据疾控部门发布的统计数据，绘制出如下统计图：图为地区累计确诊人数的条形统计图，图为地区新增确诊人数的折线统计图． （1）根据图中的数据，地区星期三累计确诊人数为 ，新增确诊人数为 ； （2）已知地区星期一新增确诊人数为人，在图中画出表示地区新增确诊人数的折线统计图． （3）你对这两个地区的疫情做怎样的分析，推断？ 【题型二】利用概率判断游戏是否公平 【典例2-1】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（   ） A．连续抛一枚均匀硬币2次，有1次正面朝上是随机事件 B．连续抛一枚均匀硬币10次，10次均正面朝上是不可能事件 C．大量反复抛一枚均匀硬币，大约每1000次出现正面朝上500次 D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 【典例2-2】（25-26九年级上·江苏南京·月考）数学活动课上，小红和小明玩抽卡片游戏．如图，现有5张正面印有南京景区的卡片，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同，小红将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)若小红从中随机抽取1张卡片，抽到正面印着“玄武湖景区”的概率是 ； (2)若规定：小红从中随机抽取1张卡片，不放回，小明再从中随机抽取1张，若2张卡片的正面图案都是级景区，则小红赢，否则小明赢．请这个游戏是否公平？请说明理由． 【典例2-3】（24-25九年级下·江苏泰州·月考）小王和小李两人只有一张电影票，两人想通过摸球的方式来决定谁去看电影，规则如下：第一个盒子内装入标有数字1，2，3，4的四个完全相同的小球，第二个盒子内装入标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于6，那么小王去，否则就是小李去． (1)用树状图或列表法求出小王去的概率； (2)小李说这种规则不公平，因此将规则做了如下调整：如果数字之和小于6得分，不小于6得分，、满足什么关系时，才能确保规则公平？ 【变式2-1】小颖、小明两人做游戏，掷一枚硬币，双方约定：正面朝上小颖胜，反面朝上小明胜，则这个游戏（　　） A．公平 B．对小颖有利 C．对小明有利 D．无法确定 【变式2-2】（24-25九年级上·江苏宿迁·月考）如图，转盘A中的4个扇形面积相等，转盘B中的6个扇形的面积相等，有人设计了如下游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘A、B一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数相乘，如果所得的积是偶数，则甲获胜；若所得的积是奇数，则乙获胜． (1)用列表法或树状图求出甲、乙两人分别获胜的概率； (2)当此游戏规则修改为：当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数字相加，如果所得的和是偶数，则甲获胜；若所得的和是奇数，则乙获胜，这样的规则公平吗？通过计算说明理由． 【变式2-3】如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘A，B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为0时，甲获胜；数字之和为1时，乙获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止． (1)用画树状图或列表法求乙获胜的概率； (2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由． 【题型三】利用频率估计概率 【典例3-1】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）一只不透明的袋子中装有60个红球和白球，它们除颜色外无其他差别，某数学兴趣小组经过多次试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，袋中红球的个数约为（　　） A．30 B．25 C．20 D．15 【典例3-2】（2025九年级下·江苏淮安·专题练习）在一个不透明的袋子中装有a个红球和3个白球（它们除了颜色外均相同），若从袋中任意摸出一个球，记录下颜色后放回，通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在，那么可以推算a大约是 ． 【典例3-3】（23-24九年级上·江苏盐城·开学考试）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数m 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数n 58 96 116 295 484 601 摸到白球的概率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近_______； (2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是_______； (3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？ 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏南通·期中）不透明袋子中有1个黑球，2个红球，3个白球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，放回并摇匀后重复操作，某一颜色的球出现的频率如图所示，则此球的颜色最有可能是（ ） A．红球 B．白球 C．黑球 D．黄球 【变式3-2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）不透明的口袋中装有个红球、个黄球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同．课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，则的值最可能是 个． 【变式3-3】（23-24九年级下·江苏盐城·期中）主题为“安全骑行，从头盔开始”的安全教育活动在本市全面开展．为了解市民骑电动自行车出行自觉佩戴头盔的情况，某数学实践探究小组在某路口进行调查，经过连续6天的同一时段的调查统计，得到数据并整理如下表： 经过路口的电动自行车数量/辆 180 230 280 260 240 300 自觉佩戴头盔人数/人 171 216 266 250 228 285 自觉佩戴头盔的频率 0.95 0.94 0.95 0.96 0.95 m (1)表格中______； (2)由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为 （结果精确到0.01） (3)若该小组某天调查到经过该路口的电动自行车共有1000辆，请问其中佩戴了头盔的骑行者大约有多少人？ 【题型四】利用概率做出合理的判断、决策 【典例4-1】在“书香社区”全民阅读活动中，某社区读书联盟计划举行一次参加活动有奖送书活动，活动规则是：在一个装有2个红球和3个白球（每个球除颜色外，其它都相同） 的不透明盒中，请每位参加活动的社区居民随机摸球一次，然后送书．联盟做了三种活动计划．计划1：随机摸一个球，摸到红球送一本精美图书；计划2：随机同时摸两个球，同时摸到2个都是红球送一本精美图书；计划3：随机同时摸两个球，摸到的两个球中，其中只要有一个是红球送一本精美图书． (1)分别求活动计划1和活动计划2中，居民获得精美图书的概率； (2)三种活动计划中，哪种计划送出的精美图书最多？为什么？ 【典例4-2】某电视台一档综艺节目中，要求嘉宾参加知识竞答，竞答题共10道．每一题有三个选项，且只有一个选项正确，规定每题答对得2分，答错扣1分，不答得0分，若10道题全部答对则另外再奖励2分．某位嘉宾已经答对了8道题，剩下2道题他都不确定哪个选项． (1)若这位嘉宾随机选择一个选项，求他剩下的2道题一对一错的概率； (2)这位嘉宾对剩下2题可以都不答，或只随机答1题，或随机答2题，请你从统计与概率的角度分析，采用哪种做法解答剩下2道题才能总得分更高？ 【典例4-3】某商场进行“6·18”促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：如图1，有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：如图2，一个均匀的转盘被等分成12份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为3的倍数则获奖．    (1)若采用方式一，骰子掷出后，“5”朝上的概率为______； (2)若采用方式二，当转盘停止后，指针指向的数字为“5”的概率为______； (3)小明想增加获奖机会，应选择哪种摇奖方式？请通过相关计算，应用概率相关知识说明理由． 【变式4-1】A、B两人去九龙湖风景区游玩，已知每天某一时段开往风景区有三辆舒适程度不同的车，开过来的顺序也不确定，两人采取了不同的乘车方案：A：无论如何总是上开来的第一辆车；B：先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒适度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请解决下列问题： （1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？ （2）你认为A、B两人采用的方案，哪种方案使自己乘上等车的概率大？请分别求出A，B乘上等车的概率并判断． 【变式4-2】在春节来临之际，某商场开展“庆新年”有奖酬宾活动：一次性购物满198元，均可得到一次在不透明的纸盒里抽奖的机会，抽奖规则如下：抽奖者从该纸盒中依次摸出两个球（不放回）．已知该纸盒里装有3个红球和2个白球，它们除颜色外其它都相同． (1)当抽奖者从该纸盒中摸出第一个球时，抽到红球的概率是多少？ (2)该商场支持“在线支付”和“现金支付”两种付款方式，根据抽奖者的付款方式和球的颜色决定赠送相应券值的礼金券．（如下表） 在线支付： 球 两红 一红一白 两白 礼金券/元 5 10 5 现金支付： 球 两红 一红一白 两白 礼金券/元 10 5 10 如果一个顾客当天在该商场一次性购物200元，他很想获得10元的礼金券，你推荐他采用哪种支付方式？并说明理由． 【变式4-3】商场“迎新年”促销活动规定：在不透明的袋中装有2个红球和若干个白球，它们除颜色外其它都相同；凡购物满500元，再摸出1个，摸到白球的概率是． (1)请直接写出袋中白球的个数； (2)该商场采用“在线支付”和“现金支付”两种付款方式满500元均可抽奖．抽奖者从该不透明的袋中同时取出两个球，根据抽奖者的付款方式和球的颜色决定赠送相应券值的礼金券．试判断采用哪种付款方式，获得20元礼金券的概率较大？请说明理由． 在线支付 球 两红 一红一白 两白 礼金券/元 5 20 5 现金支付 球 两红 一红一白 两白 礼金券/元 20 5 20 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）一只不透明的袋子中装有3个黄球和个红球，这些球除颜色外都相同．课外兴趣小组做摸球试验：每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在附近摆动，则的值最可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．在一个不透明袋子中装有12个只有颜色不同的球，其中1个红球、5个黄球、2个蓝球和4个绿球，从中随机摸出一个球，某种颜色的球出现的频率约为0.3，则该球的颜色最有可能是（    ） A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色 3．小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（   ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 4．小明、小红、小刚三人在课间做“石头、剪刀、布”游戏．规则如下：由小明和小红两人来做“石头、剪刀、布”的游戏，两人出三种手势的可能性相同，如果他们两人所出的手势相同，那么小刚胜出，如果手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，小明和小红的获胜者为游戏的获胜者．以下说法正确的是（    ） A．这个游戏小刚获胜的可能性最大 B．这个游戏小刚获胜的可能性最小 C．这个游戏小明和小红获胜的可能性一样，都比小刚获胜的可能性大 D．这个游戏对三人是公平的 二、填空题 5．冰冰和雪雪做掷两个筹码的游戏，其中一个两面都写有8，另一个一面写有8，另一面写有9．游戏规则如下：两人各持一个筹码同时掷出，如果掷出一对8，雪雪获胜；如果掷出一个8和一个9，冰冰获胜．你认为这个游戏 （填“公平”或“不公平”）． 6．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）不透明的袋子中装有若干个除颜色外完全相同的小球（没有粉色），实验小组向其中投入10个除颜色外无其他差别的粉色小球，摸出一个球，记录颜色，放回混合均匀，再摸出一个球，记录颜色，重复多次，发现摸到粉色小球的频率稳定在0.2附近，可以估计袋子中原来有 个小球． 7．（24-25九年级下·江苏苏州·月考）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频率表：估计该麦种10000粒的发芽数是 粒． 试验种子数（粒） 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频率 0.82 0.852 0.849 0.851 0.85 0.85 8．小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为和的同心圆，如图．他们蒙上眼在一定距离外向同心圆内部掷石子，落在阴影内则小红胜，落在小圆内则小明胜．这个游戏 （填“公平”或“不公平”）． 三、解答题 9．某区未成年人校外心理健康辅导站多年来一直致力于未成年人心理健康服务工作．2022年11月疫情期间，辅导站对全区135057名中小学生进行了心理普测，探索出“云端”守护学生心灵的服务模式，受到了社会的广泛赞誉．为了更好地服务未成年学生，该辅导站对全区学生是否需要心理辅导进行随机问卷调查，得到以下统计表： 调查人数 5000 10000 15000 20000 需要心理辅导的人次 163 294 446 602 需要辅导的频率 0.0326 0.0294 0.0297 0.0301 (1)通过以上数据估计，任意调查一名该区学生，这名学生需要心理辅导的概率大约是______；（精确到0.001） (2)辅导站通常使用A（沙盘游戏）、B（绘画分析）、C（会谈技术）、D（音乐放松）四种方式对需要辅导的学生进行公益心理辅导．在某次心理辅导服务中，有2名学生选择A方式，1名学生选择B方式，2名学生选择C方式．辅导站的马老师准备从这5名学生中选择2人进行辅导，请用列表法或树状图求选中的这两名学生恰好都是选择C方式的概率． 10．为促进消费，助力经济发展，某商场决定举办抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球和编号为①②的2个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的3个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会． (1)求该顾客首次摸球中奖的概率； (2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由． 11．我市长途客运站每天开往某县的三辆班车，票价相同，但车的舒适程度不同．小张和小王因事需在这一时段乘车去该县，但不知道三辆车开来的顺序．两人采用不同的乘车方案：小张无论如何决定乘坐开来的第一辆车，而小王则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况．若第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；若第二辆车不如第一辆车，他就上第三辆车．若按这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等，请你思考并回答下列问题： （1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种可能？ （2）请列表分析哪种方案乘坐优等车的可能性大？为什么？ 12．（23-24九年级下·江苏南京·月考）2023年12月14日，一股冷空气开始影响我市，我市连续7天的天气情况如下： 周四(12-14) 阴转小雨 5/17℃ 北风3-5级 周五(12-15) 小雨转多云 ℃ 西北风4-5级 周六(12-16) 多云 ℃ 西北风4-5级 周日(12-17) 多云转晴 ℃ 北风 微风 周一(12-18) 雨夹雪 0/2℃ 东北风 微风 周二(12-19) 阴转晴 ℃ 西北风 微风 周三(12-20) 晴 ℃ 西北风 微风 上述天气情况包括了每天的天气状况（如阴转小雨，小雨转多云等）、气温（如“5/17℃”指当天最低和最高气温分别是5℃和17℃）、风向和风级． (1)计算这7天最低气温的平均数和方差． (2)阅读冷空气等级标准表： 序号 等级 冷空气来临的48小时内日最低气温变化情况 ① 弱冷空气 降温幅度小于6℃ ② 中等强度冷空气 降温幅度大于或等于6℃，但小于8℃ ③ 较强冷空气 降温幅度大于或等于8℃，且日最低气温超过8℃ ④ 强冷空气 降温幅度大于或等于8℃，且日最低气温不超过8℃ ⑤ 寒潮 降温幅度大于或等于10℃，且日最低气温不超过4℃ 本次来临的冷空气的等级是_______．（填序号） (3)本次冷空气除导致气温下降外，还带来哪些天气情况的变化？请写出一个结论． 13．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2025年苏超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 解决问题 任务一 甲、乙两队抽签决定谁先踢，甲、乙两队要不要争着去抽签？为什么？ 任务二 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $