精品解析：山东省威海市临港区2024-2025学年上学期八年级数学期末检测试卷

2024-2025学年第一学期期末质量检测 初三数学 注意事项： 1．本试卷共5页，共120分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题在指定位置用0.5毫米黑色签字笔作答，在试卷或草稿纸上答题无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分．） 1. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据因式分解的定义及方法判断每个选项即可得出答案． 【详解】A．由提取公因式得，故Ａ错误，不符合题意； B．由平方差公式得，故B正确，符合题意； C．由完全平方公式得，故C错误，不符合题意； D．由十字相乘法得，故Ｄ错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解的方法，熟练掌握各种运算方法是解题的关键． 2. 如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（ ） A. 点O B. 点B C. 线段的中点 D. 线段的中点 【答案】D 【解析】 【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点． 【详解】解：如图： 作法：1．过点作交于点，过点作交于点， 2．连接交于点， 故点即为所求 证明：，， 是对称点，是对称点， 故的交点为对称中心． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键． 3. 如图，在长方形中，，，、分别是、的中点，如果将长方形绕点逆时针旋转，则旋转后的长方形与长方形重叠部分的面积是（ ）． A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转、长方形的面积计算，掌握相关知识是解题关键． 根据题意画出旋转后的图形，得到两个长方形的重叠部分，再利用长方形的面积公式解题． 【详解】解：如图所示，将长方形绕点逆时针旋转得到长方形， ∵为中点， ∴， ∵长方形绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴长方形与长方形的重叠部分是边长为的正方形， ∴其面积为， 故选：D． 4. 如图是荷兰著名版画大师埃舍尔创作的作品《飞马》，该作品运用的数学方法是（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 中心对称 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用平移设计图案，平移变换不改变图形的形状、大小和方向，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质即可得到结论． 【详解】解：该作品运用的数学方法是平移， 故选：A． 5. 如图，某同学用根相同的小木棍首尾顺次相接组成了五边形，固定边，将点向下推，使点、、共线，形成四边形，则此变化过程中（ ） A. 内角和减少了 B. 内角和增加了 C. 外角和减少了 D. 外角和不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角与外角，根据多边形内角和定理，外角和是一一判断即可． 【详解】解：变化过程中，从五边形变为四边形，外角和不变，都是，内角和减少了． 故选项D正确． 故选：D． 6. 学校食堂有15元，18元，20元三种盒饭供学生选择（每人购一份）．某天盒饭销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是（ ） A. 16元 B. 17元 C. 18元 D. 19元 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求加权平均数，用对应盒饭的价格乘以其销售占比再求和即可得到答案． 【详解】解：元， 故选：B． 7. 当n为正整数时，一定能被某个数整除，则该数可能是（ ） A. 5 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用平方差公式分解因式．先把分解因式可得结果，结合n为正整数可得答案． 【详解】解： ， n为正整数， 一定能被12整除， 故选D． 8. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、，，推出，，则能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； B、，，不能判定这个四边形是平行四边形，本选项符合题意； C、由，推出，又，能判定这个四边形平行四边形，本选项不符合题意； D、，，能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； 故选：B． 9. 如图1，规定，按此规定图2中处的代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，分式的乘除混合运算．根据题意，用除法即可计算出的代数式． 【详解】解： ， 故选：C． 10. 观察图中尺规作图的痕迹，可知要与 重合，需绕点A逆时针旋转（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形判定和性质，由作图可知，，得到，均为等边三角形，进而得到，即可． 【详解】解：由作图可知：， ∴，均为等边三角形， ∴， ∵要与 重合， ∴旋转角度为； 故选B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果．） 11. 当______时，方程无解． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的无解问题．先按照解分式方程的步骤得到，再把增根代入即可求出答案． 【详解】解析： 对 去分母可得：， 整理可得：， ∵当时，此分式方程无解， ∴， ∴， 解得：． 故答案为： 12. 如图，在平行四边形中，点为边上一点，，点，点分别是中点，若，则的长为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据三角形中位线定理可得BC的长，再根据平行四边形的性质可得AD的长，然后根据即可得． 【详解】点，点分别是中点 是的中位线 四边形ABCD是平行四边形 又 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质等知识点，解题的关键是熟记三角形中位线定理． 13. 临近五一劳动节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过节，租金为元，出发时，乙厂有名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到名，如果包车租金不变，那么甲厂为员工支付的人均车费可比原来________元（用最简分式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据题意表示出平均每人要付的车费，进而结合分式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解：由题意可得：（元）； 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了最简分式，分式的加减，正确掌握分式的加减运算法则是解题关键． 14. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标是，点A的坐标是，点B不在第一象限，若以点O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了坐标与图形的性质以及平行四边形的性质，先建立平面直角坐标第，再分和两种情况求解即可． 【详解】解：①当，时，如图： ∵点C的坐标是，点A的坐标是， ∴， ∵点B不在第一象限， ∴点B坐标为，即 ①当，时，如图： 由坐标可知：点向下平移3个单位，向左平移1个单位到点O， ∴由坐标可知：点向下平移3个单位，向左平移1个单位到点B， 故点B坐标为：即， 综上所述：点B的坐标是或， 15. 如图，在等边中，，点M，N分别在边上，且，则线段的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质及平行四边形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质与平行四边形的性质与判定是解题的关键；过点C，M分别作的平行线，并交于点P，作射线，然后可得四边形是平行四边形，则有，，进而可得，所以可知当当时，有最小值，最后问题可求解 【详解】解：如解图，过点C，M分别作的平行线，并交于点P，作射线． ， ∴四边形是平行四边形， ， 又， ， ， 是等边三角形， ， ． ∵四边形是平行四边形， ， ∴当时，有最小值，此时， 最小值是． 故答案为 16. 如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，，，，…，那么的直角顶点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系及图形的旋转变换、勾股定理，通过分析几次旋转得到旋转规律是解题的关键． 过点作轴于点，根据勾股定理列式求出，利用等积法求出，根据勾股定理列式求出，得出，可得坐标，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用除以，根据商为，余数为，可知第个三角形的直角顶点为第个循环组后第二个三角形的直角顶点，求出即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵，， ∴，， ∴， 由旋转得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵第一次旋转变换后直角顶点坐标为， ∴第二次旋转变换后直角顶点坐标为， 第三次旋转变换后直角顶点坐标为， 第四次旋转变换后直角顶点坐标为， 第五次旋转变换后直角顶点坐标为， ∴由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环， ∵， ∴的直角顶点是第个循环组后第二个三角形的直角顶点， ∵一个循环组横坐标前进的长度为：， ∴， ∴的直角顶点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. （1）因式分解： （2）在实数范围内分解因式：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式展开，再合并同类项，然后运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先把原式整理得，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 先化简，再求值：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】． 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件得出x的值，继而代入计算可得． 【详解】原式 ， 且， 在的范围内使分式有意义的x的整数为， 则原式． 【点睛】本题主要考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件． 19. 在中，E是的中点，相交于点F，，．连接交于点O，若，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键． 由题意得是的中位线，推出，结合即可求证四边形为平行四边形；由题意得，，，故可求出，，结合即可求解； 【详解】解：∵E是的中点，， ∴是的中位线， ∴，， 即：， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹。 （1）在图1中，点在格点上，以、为邻边作出； （2）在图2中，点在网格线上，以、为邻边作出； （3）在图3中，点在网格线上，已知点是线段上的任意一点，作出一条线段，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图−对称变换，熟知图形对称的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质即可解决问题； （2）分别画出点A和点B关于点O的对称点即可解决问题； （3）先画出关于点O的对称线段，再延长与之相交即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图所示， 即为所求； 【小问2详解】 如图所示，即为所求； 【小问3详解】 如图所示，即为所求作的线段． 21. 某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表、扇形统计图、频数直方图． 投稿篇数（篇） 1 2 3 4 5 七年级频数（人） 7 12 15 10 6 八年级频数（人） 2 12 12 4 根据频数分布表分别计算有关统计量： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 七年级 3 1.47 八年级 3 3.4 1.06 （1）扇形统计图中圆心角的度数为______，表格中为______，为______． （2）补全频数直方图，并求出； （3）请你从平均数和方差的角度分析，哪个年级学生的投稿情况更好？ 【答案】（1），3，4 （2）见解析， （3）八年级，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表、扇形统计图、频数直方图、众数、中位数、平均数、利用平均数和方差做决策等知识，通过统计图表获得所需信息是解题关键． （1）利用“参与调查的七年级学生中投稿数为2篇的学生占比”，即可求得的值；根据众数和中位数的定义，可确定的值； （2）结合（1）中值，可补画频数直方图，并结合平均数的定义求得的值； （3）根据平均数和方差的定义和性质，即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，； 参与调查的七年级学生共计有人， 投稿数按照从少到多的顺序排列，排在第25，26位的为3和3， 故七年级的中位数； 由统计表格可知，， 故在参与调查的八年级学生中，投稿数量最多的为4， 故八年级的众数为． 故答案为：，3，4； 【小问2详解】 结合（1），可补画频数直方图如下图所示， （篇）； 【小问3详解】 从平均数角度分析，八年级投稿件的平均数大于七年级投稿件的平均数， 从方差角度分析，八年级方差小于七年级，所以更加稳定． 综上所述，八年级学生投稿情况更好． 22. 如图，在等腰中，，，将绕点C逆时针方向旋转得到， 连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先求解，，结合旋转的性质可得，，，再证明，，从而可得结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵由旋转可得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，平行四边形的判定，熟练的利用旋转的性质解题是关键． 23. A种糖的单价为18元/千克，B种糖的单价为30元/千克，商店将10千克A种糖和30千克B种糖混合而成什锦糖． （1）求该什锦糖的单价； （2）商店要使该什锦糖的单价降低1元，请通过计算确定需加入A，B两种糖中的哪一种糖？且需要加入多少千克． 【答案】（1）27元/千克 （2）加5千克A糖，可以使什锦糖的价格降低1元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到等量关系，正确的列出方程是解题的关键． （1）根据总费用除以总质量进行计算即可； （2）根据“什锦糖的价格降低1元”列方程求解； 【小问1详解】 解：（元/千克）， 答：10千克A种糖和30千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为27元/千克； 【小问2详解】 若加A种糖x千克，则有： ， 解得：， 经检验：是这个方程的解； 若加B种y千克，则有： ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，不合题意，舍去； 答：加5千克A糖，可以使什锦糖的价格降低1元； 24. 小明在研究平面几何知识时，意识到等腰三角形和直角三角形经常同时出现，比如：等腰三角形三线合一：再比如：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．等等．在此基础上，小明同学还做了一些研究，并邀请你参加． 已知中，，将绕着点A旋转，点B、C的对应点分别是点D、E，连接． （1）求证； （2）点F在边上（且F不与点C、D重合），连接，过A作，交射线于点G，连接，小明发现线段、、能够组成一个直角三角形，你认为小明的发现正确吗？如果正确，请证明，如果不正确，请说明理由； （3）在（2）的条件下，已知，，设，，直接写出y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）小明的发现是正确的，理由见解析 （3）； 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理推导出即可； （2）延长，交于点M，连接，证明，再由垂直平分线的性质得出，在直角三角形中，，即； （3）由（2），可得，在中，，整理得到，连接，当G点与C点重合时求出的长，即可求x的取值范围． 【小问1详解】 证明：由旋转可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：小明的发现是正确的，理由如下： 如图，延长，交于点M，连接，如图所示： 根据旋转可知，，，， ∴B、A、D在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，，即， ∴， 整理得，， 当G点与C点重合时，连接，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴， 根据旋转可知：， 在中，， 即， 解得：， ∵点G在射线上， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，求函数解析式，求自变量的取值范围，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期末质量检测 初三数学 注意事项： 1．本试卷共5页，共120分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题在指定位置用0.5毫米黑色签字笔作答，在试卷或草稿纸上答题无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分．） 1. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（ ） A. 点O B. 点B C. 线段的中点 D. 线段的中点 3. 如图，在长方形中，，，、分别是、的中点，如果将长方形绕点逆时针旋转，则旋转后的长方形与长方形重叠部分的面积是（ ）． A. B. C. 5 D. 4. 如图是荷兰著名版画大师埃舍尔创作的作品《飞马》，该作品运用的数学方法是（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 中心对称 5. 如图，某同学用根相同的小木棍首尾顺次相接组成了五边形，固定边，将点向下推，使点、、共线，形成四边形，则此变化过程中（ ） A 内角和减少了 B. 内角和增加了 C. 外角和减少了 D. 外角和不变 6. 学校食堂有15元，18元，20元三种盒饭供学生选择（每人购一份）．某天盒饭销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是（ ） A. 16元 B. 17元 C. 18元 D. 19元 7. 当n为正整数时，一定能被某个数整除，则该数可能是（ ） A. 5 B. 8 C. 9 D. 12 8. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 9. 如图1，规定，按此规定图2中处的代数式是（ ） A. B. C. D. 10. 观察图中尺规作图的痕迹，可知要与 重合，需绕点A逆时针旋转（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果．） 11. 当______时，方程无解． 12. 如图，在平行四边形中，点为边上一点，，点，点分别是中点，若，则的长为__________． 13. 临近五一劳动节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过节，租金为元，出发时，乙厂有名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到名，如果包车租金不变，那么甲厂为员工支付的人均车费可比原来________元（用最简分式表示）． 14. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标是，点A的坐标是，点B不在第一象限，若以点O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标是__________． 15. 如图，在等边中，，点M，N分别在边上，且，则线段的最小值为___________． 16. 如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，，，，…，那么直角顶点的坐标为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. （1）因式分解： （2）在实数范围内分解因式：． 18. 先化简，再求值：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 19. 在中，E是的中点，相交于点F，，．连接交于点O，若，，，求的长． 20. 图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹。 （1）在图1中，点在格点上，以、为邻边作出； （2）在图2中，点在网格线上，以、为邻边作出； （3）在图3中，点在网格线上，已知点是线段上的任意一点，作出一条线段，使得． 21. 某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表、扇形统计图、频数直方图． 投稿篇数（篇） 1 2 3 4 5 七年级频数（人） 7 12 15 10 6 八年级频数（人） 2 12 12 4 根据频数分布表分别计算有关统计量： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 七年级 3 1.47 八年级 3 3.4 1.06 （1）扇形统计图中圆心角度数为______，表格中为______，为______． （2）补全频数直方图，并求出； （3）请你从平均数和方差的角度分析，哪个年级学生的投稿情况更好？ 22. 如图，在等腰中，，，将绕点C逆时针方向旋转得到， 连接．求证：四边形是平行四边形． 23. A种糖的单价为18元/千克，B种糖的单价为30元/千克，商店将10千克A种糖和30千克B种糖混合而成什锦糖． （1）求该什锦糖的单价； （2）商店要使该什锦糖的单价降低1元，请通过计算确定需加入A，B两种糖中的哪一种糖？且需要加入多少千克． 24. 小明在研究平面几何知识时，意识到等腰三角形和直角三角形经常同时出现，比如：等腰三角形三线合一：再比如：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．等等．在此基础上，小明同学还做了一些研究，并邀请你参加． 已知中，，将绕着点A旋转，点B、C的对应点分别是点D、E，连接． （1）求证； （2）点F在边上（且F不与点C、D重合），连接，过A作，交射线于点G，连接，小明发现线段、、能够组成一个直角三角形，你认为小明的发现正确吗？如果正确，请证明，如果不正确，请说明理由； （3）在（2）的条件下，已知，，设，，直接写出y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $