寒假作业05 直线与圆中的最值、取值范围重难题型归纳（6知识点+6大考点+分层巩固培优）高二数学人教A版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 直线与圆中的最值、取值范围重难题型归纳 一、常用距离公式 1、点到点的距离公式：平面内两点，间的距离公式为：． 2、点到直线的距离公式：点到直线的距离． 3、直线到直线的距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为：． 二、三点共线最值问题 1、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). 3、点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 三、点与圆的位置关系最值（范围）问题 1、若点在圆内，则，； 2、若点在圆外，则，； 3、圆上一点到圆外一定直线的距离最值 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 四、代数式的几何意义最值（范围）问题 1、形如，可以转化为过点和点的动直线斜率； 2、形如，可以转化为点和点的距离的平方； 3、形如，可以转化为动直线纵截距 五、直线与圆的位置关系最值（范围）问题 设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直的弦弦长为 六、圆的参数方程（供了解） 圆的标准方程，圆心为，半径为， 它对应的圆的参数方程：. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 斜率的几何意义应用 1．已知实数、满足方程，那么的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将看作原点和圆上的点的连线的斜率，利用相切时圆心到直线的距离等于半径，求得k，即可确定答案. 【详解】由圆，得圆心，半径为1， 令，即，则可看作原点和圆上的点的连线的斜率， 当直线和圆相切时，k取得最大或最小值； 故由，解得，所以的取值范围为， 即的最大值为， 故选：C． 2．已知实数满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意转化为圆上的点与定点之间的连线的斜率，结合圆的性质，即可求解. 【详解】由题意，设，且 可得表示点与点连线的斜率，其中点为圆上的点， 如图所示， 在直角中，可得，可得直线的斜率为； 在直角中，可得，可得直线的斜率为， 所以的范围为. 故答案为：.    3．已知点在曲线上运动，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】曲线表示以原点为圆心，2为半径的上半个圆，表示上半圆上的点与连线的斜率，作出图形，可知当直线与半圆相切时的斜率即得解. 【详解】变形为，它是以原点为圆心，2为半径的上半圆， 如图，   在上半圆上，表示点与连线的斜率， 由题意得，当直线与半圆相切时斜率最大， 设直线与半圆相切时直线斜率为，直线方程，即， 因此，解得（由图舍去）， 所以的最大值为. 故答案为： 4．在平面直角坐标系中，动点到两点的距离的平方和为10，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意计算化简得出点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆，将所求变形成，将看作是点与点连线的斜率，利用直线与圆的位置关系求得的取值范围，即可得解. 【详解】因为动点到两点的距离的平方和为10，所以， 化简上述等式得到动点的轨迹方程为，故点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆． 因为，其中可看作是点与点连线的斜率， 设直线，即，则圆心到直线的距离， 因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，整理得，解得或， 所以的取值范围为． 故答案为：. 5．（2024高二·全国·专题练习）已知实数满足，试求的取值范围． 【答案】 【分析】理解所求式的几何意义，作出已知函数图象，得出边界点，求出斜率范围即得. 【详解】如图，因，可知它表示经过定点与曲线段上任一点的直线的斜率．         分别把代入，即得，， ，． 由图可知，即得，． 故的取值范围是． 题型二 两点间的距离公式几何意义应用 1．（24-25高二上·广东广州·月考）已知点在直线上的运动，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将所求代数式等价为两点之间距离的平方，由动点在直线上，则最小值为定点到直线的距离的平方，利用点到直线距离公式，可得答案. 【详解】可表示为点到的距离的平方， 由点在直线上的运动， 则的最小值为点到直线的距离的平方， . 故选：A. 2．已知:.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式表示直线上的动点到定点的距离之和，求出点A关于直线对称的点，结合两点距离公式计算即可求解. 【详解】设， 表示直线上的动点到定点的距离之和， 如图，    设点A关于直线对称的点为， 则，解得， 所以. 故答案为： 3．（25-26高二上·广东广州·期中）已知，，三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值的和为（   ） A．160 B．158 C． D． 【答案】A 【分析】利用两点距离公式，结合圆的性质计算即可. 【详解】不妨设，则， 且 ， 显然最大值和最小值的和为. 故选：A 4．（23-24高二上·重庆·期中）已知在直线上，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】根据，即表示直线上的点到原点距离，由点到直线的距离公式计算，即可得结果. 【详解】因为表示点到原点的距离，而点在直线上， 所以的最小值即为原点到直线的距离，. 所以的最小值为3. 故答案为：. 5．（24-25高二上·上海·月考）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为，根据以上性质，已知，为 内一点，记，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，得到为锐角三角形，得出费马点在线段上，设，由为顶角是的等腰三角形，求得，结合费马点的性质，即可求解. 【详解】设为坐标原点，由， 可得，且为锐角三角形， 所以费马点在线段上，如图所示，设， 则为顶角是的等腰三角形，可得， 又由， 则， 所以的最小值为. 故答案为：. 题型三 点到线的距离 1．（25-26高二上·山东·月考）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（    ） A． B．4 C．5 D．25 【答案】C 【分析】数形结合，利用当直线 与线段 垂直时，点 到直线 的距离最大，可得答案. 【详解】直线方程可改写为 ，表明直线 恒过定点 ， 点 与点 的距离为：. 当直线 与线段 垂直时，点 到直线 的距离最大，且最大值为 . 此时线段 的斜率为 ，直线 垂直于 ，直线 的斜率为 . 故选：C 2．已知，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】可以看作是点到点的距离的平方；已知，那么点在直线上，所以求的最小值，就是求点到直线的距离的平方. 【详解】因为， 所以问题可转化为求直线上的点到点的距离的最小值， 故求点到直线的距离即可，因为距离， 所以． 故选：D. 3．（25-26高二上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知点在直线上，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设点坐标，由向量求得点坐标，由点横纵坐标的关系得到其轨迹方程，由点到直线的距离求得的最小值. 【详解】设，∵，∴， ∵，即点在直线上， 当时，最小， . 故答案为： 4．（24-25高二下·上海·期中）已知为圆上一动点，则的最大值为 ． 【答案】8 【分析】设，由题意直线与圆有公共点，通过圆心到直线的距离与半径的关系可以求解. 【详解】设，则在直线上， 又因为在圆上， 所以直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离，解得. 所以的最大值为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离不大于，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用点到直线距离公式计算. 【详解】点到直线的距离， 整理可得，解得． 故答案为：. 6．（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将所求式子看成圆上的点到直线距离的5倍，进而转化为圆到直线的距离可得. 【详解】由，表示圆上的点到直线的距离的5倍. 圆的圆心，半径，如图： 由圆心到直线的距离. 所以直线与圆相离，且圆上点到直线距离的最小值为. 所以的最小值为. 故答案为：3. 题型四 两平行线间的距离 1．（25-26高二上·山东·月考）若分别为与上任一点，则的最小值为 . 【答案】/1.5 【分析】先判断两直线互相平行，再利用两平行直线间的距离公式计算即得. 【详解】因，则直线与互相平行， 而分别为与上任一点， 故当线段为两直线的公垂线段时，的值最小， 此时的最小值即这两平行直线之间的距离， 而即，故. 故答案为：. 2．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线，，则直线，之间距离的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知：两直线平行，且均过定点，分析可得结果. 【详解】由题意可知：直线的斜率为，过定点； 直线的斜率为，过定点； 可知，所以两直线之间距离的最大值为． 故答案为：. 3．设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是 ． 【答案】 【分析】由直线知过定点，又,则直线与之间距离的最大值为两定点距离.用两点间距离公式计算即可. 【详解】解：由于直线，整理得：， 故，解得， 即直线恒过点；则过点作直线，且， 则最大距离． 故答案为：． 4．（24-25高二上·陕西咸阳·期中）两平行直线、分别过点，，它们分别绕旋转，，但始终保持平行，则、之间的距离的取值范围是 【答案】 【分析】根据题意分析可知，即可得结果. 【详解】设、之间的距离为， 若平行直线、分别过点，，则， 当且仅当、与直线垂直时，等号成立， 所以、之间的距离的取值范围是. 故答案为：. 题型五 将军饮马问题 1．（25-26高二上·江西赣州·期中）已知点，在轴上求一点，使最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对称性来求最小值，通过取等号时条件求出点的坐标. 【详解】 根据题意，作出关于的对称点， 则， 当点与共线时等号成立， 则由写出直线方程：， 再令得：， 故选：A 2．（25-26高二上·河南·月考）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”来自唐代诗人李颀的诗《古从军行》，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从山脚下的点处出发，则“将军饮马”的总路程最短为（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】作点关于直线对称的点，则“将军饮马”的总路程最短距离即为，求出即可． 【详解】设点关于直线对称的点为， 则有，解得，即， 所以“将军饮马”的总路程最短为． 故选：D． 3．已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表示直线上一动点到定点的距离之和，利用数形结合法求解. 【详解】解：表示直线上一动点到定点的距离之和，如图所示：    设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以对称点为，则 由图知：的最小值为， 故选：D 4．（25-26高二上·江西上饶·月考）已知点在轴上，在直线上，，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用对称性变换，再结合两点之间线段最短，即可得最小值. 【详解】 作点关于直线的对称点为， 再作点关于轴的对称点为， 由的周长， 因为， 所以的周长, 故答案为： 5．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知为圆上一动点，，点为轴上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】数形结合求出的最小值，从而将求的最小值转化为求定点到x轴上点的距离之和的最小值，利用对称性求解即可. 【详解】如图，由题意， 的最小值是， 所以的最小值即为求的最小值， 点关于x轴的对称点为， 则，当M，P，三点共线时，最小， 所以，即此时的值最小，即的最小值为. 故答案为： 题型六 点与圆的位置关系 1．（23-24高二上·四川成都·期中）已知点P是圆 上一点，点，则线段长度的最大值为（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】先由判断点在圆外，则最大值为. 【详解】圆 ，即， 则圆心，半径，由点， 则， 即点在圆外，则. 故选：C. 2．在平面直角坐标系中，从点向直线作垂线，垂足为M，则点与点M的距离的最小值是（    ） A． B． C． D．17 【答案】A 【分析】首先求出直线过定点，依题意可得在以为直径的圆上，求出圆的方程，即可判断点在圆外，求出到圆心的距离，减去半径即为距离最小值； 【详解】解：因为，所以，所以，解得，所以直线过定点； 从点向直线作垂线，垂足为M，则在以为直径的圆上，因为，，所以的中点为，，所以圆的方程为，即的轨迹方程为，因为，，所以点在圆外，，所以 故选：A 3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点与圆，P是圆C上任意一点，则的最小值是 ． 【答案】5 【分析】先判断点在圆外，然后可得的最小值为 【详解】圆的圆心为，半径， 因为，所以点在圆外， 所以的最小值为， 故答案为：5 4．（23-24高二上·河北·月考）若为圆：上任意一点，点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】判断点与圆的位置关系，利用圆的性质即可得解. 【详解】圆：化为标准方程，得， 因为， 所以点在圆的内部，且， 所以的取值范围为. 故答案为： 题型七 直线与圆的位置关系（含弦长最值问题） 1．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得圆心的轨迹方程为圆，得到圆上到点的最大距离为，结合圆的切线长公式，即可求解. 【详解】设圆的圆心坐标为， 因为圆的半径为，且过点，可得， 即，即圆心的轨迹表示以为圆心，半径为1的圆， 可得，则圆上的点到点的最大距离为， 又由切线长公式，可得切线长的最大值为. 故选：A. 2．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题化为直线与圆的上半部分有交点求参数范围即可． 【详解】解：曲线是圆的上半部分，且含端点， 由过定点，如下图： 由图知，当与半圆左上部相切时， 即且，可得， 结合图知：实数k的取值范围为：． 故选：D 3．已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，运用转化思想，把问题转化为直线与圆有公共点问题，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】设， 问题可转化为直线与圆有公共点． 由，得，所以的取值范围为， 故选：A 4．已知，，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用直线与圆的位置关系及两点距离公式计算即可. 【详解】易知为圆上一点与直线上一点的距离的平方， 易知圆心，半径，点C到直线的距离， 则，所以. 故答案为： 5．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知直线与轴､轴相交于两点，点在圆上移动，则面积的最大值与最小值之和为 ． 【答案】27 【分析】根据题意转化为先求圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，即可求面积的最大值和最小值. 【详解】由题意可知，，，， 圆心到直线的距离， 点到直线距离的最大值，最小值为， 所以面积的最大值和最小值的和为. 故答案为： 6．（24-25高二下·福建福州·期中）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出直线所过的定点并判断与圆的位置关系，再利用圆的性质求出范围. 【详解】由直线l：，得直线l恒过定点， 由圆C：，得，圆心，半径为， 又，即点在圆内， 当直线l经过圆心时，， 当直线时，，则， 所以的取值范围是. 故答案为：. 7．已知，点A为直线上的动点，过点A作直线与相切于点P，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，连接，求出、，求的最小值可转化为求到两点和距离和的最小值，连接可得答案. 【详解】 设，，连接，所以，且， 所以， ， 所以求的最小值可转化为求到两点和距离和的最小值，如图，连接即可，所以， 故答案为：. 题型八 圆与圆的位置关系 1．已知点为直线上的一点，、分别为圆与圆：上的点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．2 D．1 【答案】C 【分析】分别求得圆的圆心坐标和半径，求得，结合，即可求解. 【详解】如图所示，由圆，可得圆心，半径为， 圆，可得圆心，半径为， 可得圆心距，故两圆相离， 所以，当共线时，取得最小值， 故的最小值为. 故选：C. 2．已知分别为圆：与圆：上的动点，为轴上的动点，则的最小值是（    ） A．7 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】作圆N关于x轴对称的圆G，根据两边之差小于等于第三边，两边之和大于等于第三边，转化为的长度可得. 【详解】如图，作圆N关于x轴对称的圆G，则圆. 所以 ， 当且仅当三点共线时，等号成立. 则的最小值为， 故选：C. 3．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把两圆的方程作差即可得出公共弦所在直线方程，再利用直线系方程求出x,y的值，即a,b的值，然后代入直线方程，由重要不等式求的取值范围． 【详解】由圆，圆， 两式相减，得圆与圆的公共弦所在直线方程为：， 联立，解得，即，， 又在直线上， ，即． 有，得．当且仅当时取等， 的取值范围是. 故选：C． 4．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知两点分别在圆和圆上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】判断出两圆外离，根据求解即可. 【详解】因为，， 所以， 所以圆与圆外离，    所以. 故答案为： 5．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆：与圆：相交于、两点，则圆：的动点到直线距离的最大值为 . 【答案】 【分析】借助数形结合思想，结合直线与圆的位置关系可得答案. 【详解】圆：与圆：的方程相减， 可得，即直线的方程为. 圆：的圆心为，半径， 点到直线的距离， 则圆上的动点到直线距离的最大值为， 故答案为：. 题型九 圆的参数方程 1．已知实数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的参数方程可设，，再用二倍角公式整理计算． 【详解】∵，不妨设， 则 故选：D． 2．（23-24高二下·上海·期中）已知实数，满足，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】利用圆的参数方程思想，引入参数来表示、，代入后得到关于的三角函数来求最值. 【详解】由得：， 所以可设，, 则, 因为， 所以的最大值是， 故答案为：. 3．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知实数满足．则的最大值是 ． 【答案】 【分析】配方已知等式，利用三角换元法，结合三角函数知识可得答案. 【详解】因为，所以， 令得，其中， 因为，所以，所以的最大值是. 故答案为： 1．圆上的点到直线距离的最大值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得圆心到直线的距离，结合圆的性质，即可求解. 【详解】将圆的方程化为，可得圆心坐标为，半径为1， 则圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线距离的最大值为． 故选：A． 2．（25-26高二上·贵州·期末）、分别为与上任一点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】先通过直线平行的判定公式判断已知直线互相平行，再利用平行线的距离公式计算求解． 【详解】直线和直线满足， 两条直线互相平行， 又、分别为与上任一点， 的最小值就是平行线（即）与之间的距离， . 故选：C 3．（25-26高二上·吉林长春·月考）已知点，直线，直线随着取值变化而发生变化过程中，到的距离的最大值为（　　） A．3 B． C． D．5 【答案】D 【分析】整理直线方程得到直线经过定点，当时，此时点到动直线的距离最大，由两点的距离公式求出最大距离. 【详解】直线方程可以整理为， 令，解得，即直线过定点， 当时，点到直线的距离最大， 最大距离为. 故选：D. 4．（25-26高二上·山西晋中·月考）函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】由， 设，，. 得的几何意义为的值. 点关于轴对称点， 所以. 故选：B 5．（24-25高二上·山东济南·月考），函数的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据距离公式，利用的几何意义求最小值. 【详解】表示的几何意义为平面内的点到定点的距离， 表示的几何意义为平面内的点到定直线的距离， 所以表示的几何意义是动点到定点和到定直线的距离和， 如图，过点作直线的垂线，垂足为点，当点在线段时，最小，最小值为. 故选：C 6．（24-25高二上·江西南昌·期中）若实数满足，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A，设，利用点到直线距离公式求得的最值即可；对于B，直接利用重要不等式得出的范围即可； 【详解】 如图：是以为圆心，为半径的圆. 对于A，设，则直线与圆有公共点， 所以，解得，所以，故A正确； 对于B，由知，， 当且仅当或时取“”，故B正确； 对于C，表示圆上一点与坐标原点连线的斜率， 由图象知圆上的点与坐标原点连线的倾斜角的范围是， 故，即，故C正确； 对于D，取，满足，但，故D错误. 故选：D. 7．已知点在圆上，则的最大值是(    ) A． B．10 C． D． 【答案】D 【分析】把圆化为标准方程，令，，利用两角和的正弦公式化简的解析式，再利用正弦函数的最值求得的最大值． 【详解】 点在圆上，即点在圆上， 令，，则， 故的最大值为﹒ 故选：D． 8．（25-26高二上·安徽池州·期中）已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案. 【详解】因为， 则， 即点在直线上，点在直线上， 而的几何意义为点和点之间的距离的平方， 故的最小值为两平行线和间距离的平方， 所以最小值为. 故选：A. 9．（25-26高二上·北京东城·期中）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】将题目转化为两点之间的距离公式，然后再用对称求最小值. 【详解】表示点到点和到点距离的和. 设点关于直线的对称点，由对称点的性质可得：, 如图：    由对称的性质可得:,所以的最小值就是. 所以. 故选：C 10．（25-26高二上·山西太原·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最小值5 D．有最大值 【答案】D 【分析】根据两函数式结构构造动点到定点的距离形式，结合三角形三边关系一一分析选项即可. 【详解】易知，， 不妨设, 可将看作是，则， 当且仅当三点共线，且在线段上时取得等号，所以A，B错误； 可将看作是，则， 且存在点A使得，即C错误，D正确. 故选：D 11．（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知，满足，则的最小值为（   ） A．2025 B．2028 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得点的轨迹为圆，得到圆的圆心和半径，把转化为到直线的距离的倍，求得圆心到直线的距离，结合圆的性质，得到最短距离为，进而得到答案. 【详解】由题意知：点，且， 可得，整理得， 即，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 又由， 则可看作是点到直线的距离的倍， 因为圆心到直线的距离为， 则点到直线的最短距离为， 所以的最小值为. 故选：D. 12．（25-26高二上·湖北武汉·月考）已知实数满足，，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】B 【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案. 【详解】实数满足，， 即实数满足，， 则在直线上，在直线上， 直线与直线平行， 所以、两点间的最短距离为， 所以的最小值为. 故选：B 13．（24-25高二上·湖北·月考）已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据圆的标准方程得出圆心及半径，再结合点关于轴对称得出圆，再数形结合得出距离和的最小值为. 【详解】圆，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径为，如图：    圆关于轴的对称圆为圆， 连接，交轴于，交圆于，交圆于，此时，最小， 最小值为， 故选：A. 14．（25-26高二上·安徽·月考）已知圆，点，点B为直线上的动点，过点B作圆C的切线，切点为P，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，点关于直线的对称点为，可得，，结合图形的性质运算求解即可. 【详解】圆，可知圆心为，半径， 设，，点关于直线的对称点为， 则，， 可得， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 15．（24-25高二上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，点，直线，圆，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．10 【答案】C 【分析】设点E关于直线l的对称点为，则可转化为，而，通过求对称点为的坐标结合两点间距离即可求解. 【详解】解：根据题意，设点E关于直线l的对称点为，则， ， 当、P、Q三点共线时，取得最小值， 则， 又由，设点， 则，解得， 则， 圆，其圆心为，半径， 则， 故 故选：C. 16．（23-24高二下·广西桂林·开学考试）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（    ） A．4 B．8 C．32 D．64 【答案】D 【分析】首先根据已知条件得到直线恒过定点，直线恒过定点，且，根据交点得到点在以为直径的圆上，再利用点与圆的位置关系即可得到最值. 【详解】由题知：直线恒过定点. 直线化简为：，当时，，直线恒过点. 当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则. 当时，，，，则. 综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且. 因为直线与直线交于点， 所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为， 且，则其轨迹方程为（除点外），圆的半径， 因为表示圆上的点到原点距离的平方，设， 则，所以的最大值为64. 故选：D. 17．（24-25高二上·山东济宁·期中）如果实数满足等式，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用两点连线的斜率公式知，表示圆上的点与点连线的斜率，从而将问题转化成直线与圆的位置关系来处理，即可求解. 【详解】设，则表示圆上的点与点连线的斜率， 所以求的取值范围就等价于求同时经过点和圆上的点的直线中斜率的最大值与最小值， 从图中可知，当过点的直线与圆相切时取最大值和最小值，此时对应的直线斜率分别为和， 由圆心到直线的距离，解得或， 所以的取值范围是， 故选：B. 18．（2025高二上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，记平面内一动点（），若点在直线上，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】结合题设条件将所求式理解为直线上的点到轴的距离与到的距离之和．通过点关于直线对称，由三点共线时可得其最小值. 【详解】如图： 作点关于直线的对称点，则． 设，则有，解得，所以． 已知点，则， 而，所以点到轴的距离为， 所以可理解为直线上的点到轴的距离与到的距离之和． 过作轴，由图知，当且仅当，，三点共线时，和有最小值． 因直线与轴交于点，此时轴，且， 由图知，当点移动到点时，取得最小值为4． 故选：B. 19．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知圆，，是圆上的两个动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设线段的中点为，根据垂径定理得出点的轨迹方程，再利用点到直线的距离公式将目标转化为求点到直线的距离的倍，进而求圆上的动点到定直线的距离的最值问题即可. 【详解】如图， 圆，圆心为点，半径为， 设线段的中点为，得， 因，则， 所以点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其方程为， 因、可分别看作点到直线的距离， 则可分别看作点到直线的距离的倍， 又点到直线的距离为， 则点到直线的距离的最大值为， 则的最大值为， 则的最大值为 故选：D 20．（23-24高二上·四川南充·期末）设，其中.则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】先将问题转化为动点到定点距离的和，再利用数形结合求解即可． 【详解】解：设，则表示：， ，则直线的方程为，令，则， 所以直线与轴相交于点， 所以， 所以，当点P为时，等号成立，故的最小值为9. 故选：B.    21．（25-26高二上·贵州·月考）（多选题）已知，，P是直线上的动点，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】先求出B关于直线l对称的点为坐标，分析可得当三点共线时，的最小值，计算即可判断A、B的正误；当三点共线时，有最大值，计算即可判断C、D的正误，即可得答案. 【详解】设点B关于直线l对称的点为， 则，解得，即. 连接，与直线l交于点M，如图所示 当点P与点M重合时，， ， 当点P与点M不重合时，， 综上，的最小值为，故A错误，B正确. 连接AB并延长，交直线l于点N，如图所示 当点P与点N重合时，， ， 当点P与点N不重合时，， 综上，，即的最大值为，故C正确，D错误. 故选：BC 22．（25-26高二上·山东菏泽·月考）（多选题）已知点是圆上任意一点．则下列结论正确的是（      ） A．P点到直线的距离的最大值为2 B．P点到直线的距离的最小值为 C．的最大值为，最小值为 D．的最大值为，最小值为 【答案】BCD 【分析】先求圆心到直线的距离，进而求点到直线距离的最大值和最小值即可判断AB；设，即与圆有公共点，利用几何法即可判断C；设，即直线与圆有交点，利用几何法即可判断D. 【详解】由题意有：圆心为，由圆心到直线的距离： ，所以P点到直线的距离的最大值为，故A错误； 所以P点到直线的距离的最小值为，故B正确； 设，即，则与圆有公共点， 所以，所以的最大值为，最小值为，故C正确； 表示圆上点与点连线的斜率， 设，即，直线与圆有交点， 所以，所以的最大值为，最小值为，故D正确. 故选：BCD. 23．（25-26高二上·湖北·月考）（多选题）已知圆，点是圆上的任意一点，则以下说法错误的是（    ） A．的取值范围是 B．的最大值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】对于A，根据斜率定义，设出动点所在直线，结合圆的性质，利用点到直线距离公式，建立不等式，可得其正误；对于B，利用参数方程，结合三角函数的恒等式以及性质，可得其正误；对于C，利用两点距离公式，根据圆与点的位置关系，可得其正误；对于D，利用点到直线距离公式，根据圆与直线的位置关系，可得其正误. 【详解】由题可知圆的圆心为，半径为1， 设，则，又点是圆C上的任意一点， 所以，解得， 所以的最大值为，最小值为，故A正确； 设，， 则， 当时，取最大值，故B错误； 表示点P到点的距离， 因为圆心到点的距离为， 故的最大值为，最小值为，故C错误； ，表示点P到直线距离的倍， 因为圆心到直线的距离为， 故点P到直线距离的最小值为， 故的最小值为，故D正确. 故选：BC 24．若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先确定直线恒过定点，再计算，从而可得结论． 【详解】解：把直线的方程化为， 由方程组 解得 所以直线恒过定点， 其中直线不包括直线． 又， 且当与直线垂直时，点到直线的距离为， 所以点到直线的距离满足， 故答案为：． 25．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为 . 【答案】 【分析】确定，分别在直线上，由平行线间距离即可求解. 【详解】因为两条直线和都经过点， 所以，， 所以，分别在直线上， 所以两点，间的最短距离为两平行线间距离，即， 故答案为： 26．（25-26高二上·河北邢台·月考）已知，圆是圆上的动点，是轴上的动点，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】首先把的最小值转化为的最小值，再利用最短路径问题的结论即可求解. 【详解】由题意可知圆心的坐标为，半径， 点关于轴对称的点的坐标为， 则，从而， 故，即的最小值是4. 故答案为：4    27．（25-26高二上·天津·期中）在中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则周长的最小值为 . 【答案】 【分析】折线段之和最值问题，利用对称，将直线同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知. 【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为. 如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值. 设，则， 解得，即， 关于轴的对称点为， 故周长的最小值为. 故答案为：.    28．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意知直线过圆的圆心，由此得，再将问题转化为点到直线上的点的距离的最小值，从而利用点线距离公式可解. 【详解】由得，故圆心坐标为, 半径， 因为直线始终平分圆的周长，所以直线过圆的圆心， 把代入直线，得， 而可看作是点到直线上的点的距离， 因为到直线的距离为， 所以的最小值为. 故答案为：. 29．（23-24高二上·浙江·期中）已知点分别为圆与圆上的动点，点为轴上的动点，则的最小值为 . 【答案】7 【分析】作出圆M关于x轴的对称圆圆，根据对称性可知，. 【详解】如图，圆M关于x轴的对称圆为圆，点A关于x轴的对称点为点. 圆，圆心，半径，则圆M关于x轴的对称圆圆，圆心，半径； 圆，圆心，半径. 当共线时，最小， 此时. 故答案为：7 30．（25-26高二上·江苏连云港·期中）函数的最大值为 . 【答案】 【分析】根据代数式的几何意义作图求解. 【详解】表示点到点的距离与到点的距离之差. 如图，则当点为线段的延长线与轴的交点时，距离之差最大， 最大值为两点间的距离，即， 所以函数的最大值为. 故答案为：. 31．（25-26高二上·福建·月考）若分别为圆，与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】设圆心关于直线的对称点为，得到，且，化简得到，结合两点间的距离公式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 又由，可得圆心，半径为， 设圆心关于直线的对称点为，可得， 因为关于，则， 则， 因为，所以， 当且仅当三点共线时，取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 32．已知，动直线和动直线交于点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】动直线过定点，动直线过定点，发现两条直线的斜率乘积为-1，说明两条直线垂直，则点是在以为直径的圆上动，表示到点的距离，根据点与圆的关系可求出范围. 【详解】动直线过定点，动直线过定点，且两条直线的斜率乘积为-1，所以两条直线垂直， 所以是在以为直径的圆上动，则中点为圆心， 表示到点距离，其最大值为，其最小值为. ， ， =，= 所以的取值范围为 故答案为： 33．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知实数x，y满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先分析和的几何意义；再利用数形结合思想和直线与圆的位置关系列出关系式求解即可. 【详解】. 的几何意义为表示以点为圆心，为半径的圆. 的几何意义为过点和点的直线斜率，点为以点为圆心，为半径的圆周上任一点. 结合图形可知：当直线与圆相切时斜率可以取到最大值和最小值. 设直线的斜率为， 则直线方程为：，即. 令， 解得：或， 即的取值范围为， 所以的取值范围为. 故答案为： 34．（25-26高二上·山东菏泽·月考）已知，，三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为 . 【答案】 【分析】设，则，且，结合两点间距离，代入整理可得， 结合单调性，可求得的最大值和最小值，加和即可. 【详解】设，因为点在圆上运动， 所以，且， 又点，，， 所以 ， 令，函数为减函数，又， 所以当时，取最大值， 当时，取最小值. 所以取的最大值与最小值之和为. 故答案为： 1．（25-26高二上·广西南宁·月考）已知直线与圆交于两点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得直线恒过定点，求得圆心到直线的距离的最大值可求的最大值. 【详解】由，得圆心，半径， 由直线，可得直线恒过定点， 又越小，则圆心到直线的距离越大， 又， 所以圆心到直线的距离的最大值为，此时， 所以， 所以的最大值为. 2．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知，，点满足，点在圆：上运动，点在直线上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件确定点的轨迹，这是一个圆。然后，利用圆的对称性和点到直线的距离公式，结合两点之间线段最短的原理，求出的最小值. 【详解】已知，且，设， 根据距离公式列方程：， 化简整理得：， 因此，点的轨迹是以为圆心、半径的圆， 在圆上运动，根据圆上点到定点的距离性质， 到的最小距离为，当在与的连线上且靠近时取等号， 在圆上运动，同理，到的最小距离为， 当在与的连线上且靠近时取等号， 作 关于直线的对称点， 直线的斜率为，因此的斜率为，其方程为， 求与直线的交点：解方程组，得交点为， 由中点坐标公式，的坐标为， 此时，，当在与直线的交点时取等号， ， ， 故选：C. 3．（25-26高二上·江苏盐城·月考）设，圆．若动直线与圆M交于点A，C，动直线与圆M交于点B，D，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知有、均恒过点，且，令，则，结合圆的弦长求法有，再应用基本不等式求其最大值，注意取值条件. 【详解】由，圆心，半径为， 、均恒过点， 由知，且，即在圆内，如下图示， 所以，设分别是的中点，则， 令，则， 所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号，故最大值为. 故选：A 4．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（   ） A．4 B．8 C．32 D．64 【答案】D 【分析】首先根据已知条件得到直线恒过定点，直线恒过定点，且，根据交点得到点在以为直径的圆上，再利用点与圆的位置关系即可得到最值． 【详解】直线恒过定点， 直线化简为，恒过点， 当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则， 当时，，，，则， 综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且， 因为直线与直线交于点， 所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为， 且，则其轨迹方程为，圆的半径，    又转化为，其表示圆上的点到距离的平方， 设， 则，所以的最大值为64． 故选：D. 5．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值. 【详解】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 又，当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题. 6．（25-26高二上·江苏苏州·月考）若，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用几何意义把原问题转化为求两向量夹角的最大值，进而求得答案. 【详解】由，平方得：，即， 即表示点 位于圆心为 、半径为 1 的上半圆上， 考虑表达式：的几何意义， 设向量 ，点 对应向量 ， 与 的夹角为， 则： 当直线与此半圆相切时，此取到最大值，且有， 由点坐标为，知，所以； 设直线的斜率为，直线方程为， 当直线与半圆相切时，有，解得或（舍去负根）， 故此时， 所以， 由于余弦函数在 上单调递减，且， 所以 最大时，取最小值， 此时. 故选：A 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 直线与圆中的最值、取值范围重难题型归纳 一、常用距离公式 1、点到点的距离公式：平面内两点，间的距离公式为：． 2、点到直线的距离公式：点到直线的距离． 3、直线到直线的距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为：． 二、三点共线最值问题 1、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). 3、点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 三、点与圆的位置关系最值（范围）问题 1、若点在圆内，则，； 2、若点在圆外，则，； 3、圆上一点到圆外一定直线的距离最值 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 四、代数式的几何意义最值（范围）问题 1、形如，可以转化为过点和点的动直线斜率； 2、形如，可以转化为点和点的距离的平方； 3、形如，可以转化为动直线纵截距 五、直线与圆的位置关系最值（范围）问题 设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直的弦弦长为 六、圆的参数方程（供了解） 圆的标准方程，圆心为，半径为， 它对应的圆的参数方程：. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 斜率的几何意义应用 1．已知实数、满足方程，那么的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知实数满足，则的取值范围为 . 3．已知点在曲线上运动，则的最大值为 ． 4．在平面直角坐标系中，动点到两点的距离的平方和为10，则的取值范围为 ． 5．（2024高二·全国·专题练习）已知实数满足，试求的取值范围． 题型二 两点间的距离公式几何意义应用 1．（24-25高二上·广东广州·月考）已知点在直线上的运动，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．已知:.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东广州·期中）已知，，三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值的和为（   ） A．160 B．158 C． D． 4．（23-24高二上·重庆·期中）已知在直线上，则的最小值为 ． 5．（24-25高二上·上海·月考）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为，根据以上性质，已知，为 内一点，记，则的最小值为 . 题型三 点到线的距离 1．（25-26高二上·山东·月考）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（    ） A． B．4 C．5 D．25 2．已知，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26高二上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知点在直线上，，则的最小值为 ． 4．（24-25高二下·上海·期中）已知为圆上一动点，则的最大值为 ． 5．（25-26高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离不大于，则的取值范围是 ． 6．（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知，则的最小值为 ． 题型四 两平行线间的距离 1．（25-26高二上·山东·月考）若分别为与上任一点，则的最小值为 . 2．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线，，则直线，之间距离的最大值为 ． 3．设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是 ． 4．（24-25高二上·陕西咸阳·期中）两平行直线、分别过点，，它们分别绕旋转，，但始终保持平行，则、之间的距离的取值范围是 题型五 将军饮马问题 1．（25-26高二上·江西赣州·期中）已知点，在轴上求一点，使最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南·月考）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”来自唐代诗人李颀的诗《古从军行》，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从山脚下的点处出发，则“将军饮马”的总路程最短为（    ） A． B．4 C．5 D． 3．已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江西上饶·月考）已知点在轴上，在直线上，，则的周长的最小值为 ． 5．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知为圆上一动点，，点为轴上一动点，则的最小值为 ． 题型六 点与圆的位置关系 1．（23-24高二上·四川成都·期中）已知点P是圆 上一点，点，则线段长度的最大值为（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 2．在平面直角坐标系中，从点向直线作垂线，垂足为M，则点与点M的距离的最小值是（    ） A． B． C． D．17 3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点与圆，P是圆C上任意一点，则的最小值是 ． 4．（23-24高二上·河北·月考）若为圆：上任意一点，点，则的取值范围为 . 题型七 直线与圆的位置关系（含弦长最值问题） 1．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则的最小值为 . 5．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知直线与轴､轴相交于两点，点在圆上移动，则面积的最大值与最小值之和为 ． 6．（24-25高二下·福建福州·期中）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 7．已知，点A为直线上的动点，过点A作直线与相切于点P，若，则的最小值为 . 题型八 圆与圆的位置关系 1．已知点为直线上的一点，、分别为圆与圆：上的点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．2 D．1 2．已知分别为圆：与圆：上的动点，为轴上的动点，则的最小值是（    ） A．7 B．8 C． D． 3．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知两点分别在圆和圆上，则的最小值为 . 5．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆：与圆：相交于、两点，则圆：的动点到直线距离的最大值为 . 题型九 圆的参数方程 1．已知实数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海·期中）已知实数，满足，则的最大值是 ． 3．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知实数满足．则的最大值是 ． 1．圆上的点到直线距离的最大值是（    ） A． B．2 C． D． 2．（25-26高二上·贵州·期末）、分别为与上任一点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 3．（25-26高二上·吉林长春·月考）已知点，直线，直线随着取值变化而发生变化过程中，到的距离的最大值为（　　） A．3 B． C． D．5 4．（25-26高二上·山西晋中·月考）函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（24-25高二上·山东济南·月考），函数的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 6．（24-25高二上·江西南昌·期中）若实数满足，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 7．已知点在圆上，则的最大值是(    ) A． B．10 C． D． 8．（25-26高二上·安徽池州·期中）已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·北京东城·期中）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 10．（25-26高二上·山西太原·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最小值5 D．有最大值 11．（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知，满足，则的最小值为（   ） A．2025 B．2028 C． D． 12．（25-26高二上·湖北武汉·月考）已知实数满足，，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 13．（24-25高二上·湖北·月考）已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·安徽·月考）已知圆，点，点B为直线上的动点，过点B作圆C的切线，切点为P，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，点，直线，圆，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．10 16．（23-24高二下·广西桂林·开学考试）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（    ） A．4 B．8 C．32 D．64 17．（24-25高二上·山东济宁·期中）如果实数满足等式，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（2025高二上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，记平面内一动点（），若点在直线上，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 19．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知圆，，是圆上的两个动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二上·四川南充·期末）设，其中.则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 21．（25-26高二上·贵州·月考）（多选题）已知，，P是直线上的动点，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 22．（25-26高二上·山东菏泽·月考）（多选题）已知点是圆上任意一点．则下列结论正确的是（      ） A．P点到直线的距离的最大值为2 B．P点到直线的距离的最小值为 C．的最大值为，最小值为 D．的最大值为，最小值为 23．（25-26高二上·湖北·月考）（多选题）已知圆，点是圆上的任意一点，则以下说法错误的是（    ） A．的取值范围是 B．的最大值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 24．若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ． 25．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为 . 26．（25-26高二上·河北邢台·月考）已知，圆是圆上的动点，是轴上的动点，则的最小值是 . 27．（25-26高二上·天津·期中）在中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则周长的最小值为 . 28．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为 . 29．（23-24高二上·浙江·期中）已知点分别为圆与圆上的动点，点为轴上的动点，则的最小值为 . 30．（25-26高二上·江苏连云港·期中）函数的最大值为 . 31．（25-26高二上·福建·月考）若分别为圆，与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 . 32．已知，动直线和动直线交于点，则的取值范围为 . 33．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知实数x，y满足，则的取值范围是 ． 34．（25-26高二上·山东菏泽·月考）已知，，三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为 . 1．（25-26高二上·广西南宁·月考）已知直线与圆交于两点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知，，点满足，点在圆：上运动，点在直线上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏盐城·月考）设，圆．若动直线与圆M交于点A，C，动直线与圆M交于点B，D，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（   ） A．4 B．8 C．32 D．64 5．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 6．（25-26高二上·江苏苏州·月考）若，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $