寒假作业03 直线的方程常考题型归纳（6知识点+8大考点+分层巩固培优）高二数学人教A版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 直线的方程常考题型归纳 一、直线的斜率 1、斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． 2、倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而减增大 3、倾斜角与斜率的区别和联系 （1）每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是90°时，倾斜角的正切值是斜率，此时斜率和倾斜角可以互相转化．因此，确定一条不垂直于轴的直线，只要知道直线上的一个点和直线的斜率即可． 4、解决三点共线的步骤 第一步：先判断两个点的横坐标是否相等，若其中有两个点横坐标相等，那么第三点的横坐标与其相等时，三点共线；若横坐标均不相等，则继续第二步； 第二步：计算三点中任意两个点确定的直线的斜率，若斜率相等，则三点共线． 5、利用直线的斜率的几何意义求最值（或取值范围）两点注意 （1）直线的斜率反映了直线的倾斜程度，且（，是直线上横坐标不等的两点）； （2）在求形如的式子的最值时，可以将看作动点与定点所确定的直线的斜率，数形结合求出最值（或取值范围），即将代数问题转化为几何问题来处理． 二、直线的平行与垂直 1、对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或，斜率都不存在. 2、对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 3、一般式方程下的平行与垂直 （1）平行与垂直的系数关系 已知直线的方程分别是（不同时为0）， （不同时为0） ①若 ②若 （2）平行与垂直的直线系方程 ①平行直线系：与直线垂直的直线方程可设为 ②垂直直线系：与直线垂直的直线方程可设为 三、截距式方程 1、截距式方程应用的注意事项 （1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； （3）要注意截距式方程的逆向应用． 2、点斜式、斜截式、两点式、一般式的选择 （1）若给出直线经过一个点，经常考虑用点斜式写直线方程，需要注意的是平行于轴的直线的斜率为0，垂直于轴的直线的斜率不存在． （2）若已知直线的斜率，通常用斜截式． （3）若给出两个点，常考虑利用两点式，但要注意两点连线是否与坐标轴平行或重合． （4）若给出的条件与面积相关，一般选用截距式，也可以选用点斜式或斜截式，注意直线方程各种形式的互化． 四、直线方程过定点问题常用的三种方法 （1）直接法：将方程化为点斜式，其中为参数，求得直线恒过定点． （2）分离参数法（方程法）：将方程变形，把作为参数的系数，即有参数的放在一起，没参数的放在一起，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得的值，即直线过的定点的坐标． （3）赋值法（特殊法）：因为参数取任意实数，所以给参数任取两次值，得到关于的二元一次方程组，解方程组可得的值，即为直线过的定点的坐标． 五、距离公式 1、平面上两点间的距离公式的应用 平面内两点，间的距离公式为：. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：． （1）已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解． （2）利用两点间距离公式可以判断三角形的形状．从三边长入手，如果有边长相等，则可能是等腰或等边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形． 2、点到直线距离公式的应用 点到直线的距离 （1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式，直接应用点到直线的距离公式求解即可． （2）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． （3）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点求的连线的最短距离，某些距离的最值问题可以转化为点到直线的距离问题来求解． （4）因为角平分线上任意一点到角两边的距离相等，因此可用点到直线的距离公式解决有关角平分线的问题． 3、 平行线间距离公式的应用 两条平行直线，， 它们之间的距离为： 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． （1）两条平行直线间的距离公式是由在一条直线上任取一点到另一条直线的距离推导出来的，所以求平行直线间的距离的方法有两种，一种是直接利用推导出的公式求解，另一种是在其中一条直线上取一个特殊的点，转化点到直线的距离求解． （2）如果两条平行直线的方程用斜截式方程表示为，，那么两条平行直线间的距离． 六、对称问题 1、点关于点对称：该点是两对称点连线段的中点． 利用中点坐标公式，面内点关于对称点坐标为，平面内点，关于点对称． 2、直线关于点对称：实质是两直线平行 法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）． 法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）． 3、点关于直线对称：实质上轴（直线）是对称点连线段的中垂线． 当直线斜率存在时：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，设点关于直线的对称点， 则 当直线斜率不存在时：点关于的对称点为． 4、直线关于直线对称 ①当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点； 第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点； 第三步：利用两点式写出方程． ②当与l平行时：对称直线与已知直线平行． 两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 直线与线段有交点问题 1．（25-26高二上·广东·月考）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东惠州·月考）直线过点与以为端点的线段有公共点， 则直线倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D．或 3．（25-26高二上·贵州·期末）设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 4．（25-26高二上·广西南宁·期中）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二 斜率公式的应用（三点共线） 1．（25-26高二上·河南·月考）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高二上·江苏淮安·月考）下列三点在同一直线上的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高二·全国·专题练习）若三点，，共线，则 ． 题型三 斜率公式的几何意义 1．对方程表示的图形，下列叙述中正确的是（    ） A．斜率为2的一条直线 B．斜率为的一条直线 C．斜率为2的一条直线，且除去点（,6） D．斜率为的一条直线，且除去点（,6） 2．已知实数、满足方程，那么的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江·月考）在平面直角坐标系中，，M是上一动点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东济南·月考）已知函数在内的图象是如图的一段圆弧，若，则（    ） A． B． C． D．不能确定 5．（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 6．（23-24高二上·上海青浦·期中）若与有交点，则实数的取值范围为 . 题型四 两条直线平行与垂直 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线，，若，则的值为 . 2．（25-26高二上·辽宁丹东·月考）若两条直线与垂直，则 . 3．（25-26高二上·四川成都·月考）已知直线与互相垂直，则实数的值为 . 4．（25-26高二上·江苏连云港·月考）若的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·云南玉溪·期中）根据下列条件分别求出直线的方程，并化为一般式方程．已知直线． (1)经过点且与直线平行的直线； (2)经过点且与直线垂直的直线． 6．（2025高二·全国·专题练习）求过两条直线和的交点，且分别满足下列条件的直线的方程： (1)与直线平行； (2)与直线垂直． 题型五 直线的截距式方程 1．（25-26高二上·湖北·月考）直线的纵截距为（    ） A．2 B． C．3 D． 2．（25-26高二上·青海·月考）已知直线经过点，在轴上的截距是其在轴上的截距的3倍，且两截距均不为0，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·月考）已知点，，直线在轴上的截距为 . 4．（25-26高二上·内蒙古包头·月考）直线经过点，且它在轴上的截距是它在轴上截距的3倍，求直线的方程为 ． 5．（25-26高二上·天津津南·月考）已知直线过点． (1)若直线与两坐标轴截距之和为0，求直线的方程； (2)直线与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线的方程. 题型六 直线过定点问题 1．（25-26高二上·辽宁·月考）直线（其中）必经过的点是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·辽宁沈阳·月考）直线，恒过定点，则的值为（    ） A．-5 B．-4 C．-3 D．3 3．（25-26高二上·江苏·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·北京·月考）已知点，若直线与线段相交，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·陕西汉中·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型七 直线中点到点、点到线、线到线的距离公式 1．（25-26高二上·浙江绍兴·月考）两平行直线和之间的距离为（　　） A． B．2 C． D．3 2．（25-26高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知的三个顶点分别为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知三点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（    ） A． B． C．12 D．14 6．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．或 题型八 直线中的对称问题 1．（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京·月考）与直线关于y轴对称的直线的方程为（   ）. A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏苏州·期中）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·安徽安庆·月考）入射光线l从出发，经y轴反射后，通过点，则入射光线l所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏南京·月考）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·内蒙古赤峰·月考）直线，则“”是“”的（   ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 2．（25-26高二上·广东中山·月考）已知实数满足，则的最小值是（　　） A． B． C．1 D． 3．（25-26高二上·安徽·月考）若直线过点且与直线相互垂直，则原点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖北十堰·月考）过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 5．（25-26高二上·重庆·期中）点到直线 的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河南·期中）直线与上各有一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 8．（25-26高二上·江苏苏州·月考）设，且，点，过点的直线l与线段始终有交点，则直线l的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·四川成都·期中）已知，，直线上存在点P，满足，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·安徽·月考）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·海南·期末）已知直线：恒过定点，点为圆上的动点，为坐标原点，则面积的最大值为（    ） A．10 B．4 C．6 D．8 12．（25-26高二上·河北·月考）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·河北衡水·期中）（多选题）记直线，，则（   ） A．过定点 B．的倾斜角为钝角 C．若，则 D．若，则 14．（24-25高二上·重庆·期中）（多选题）已知实数，满足方程，则（   ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 15．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，，不能构成三角形，则 ． 16．（25-26高二上·青海西宁·月考）若直线与以，为端点的线段有公共点，则实数a的取值范围是 ． 17．（25-26高二上·全国·课后作业）已知实数满足，则的最大值为 ． 18．（25-26高二上·湖北十堰·期中）已知实数，，，满足，则的最小值为 . 19．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知实数满足，则的最小值为 20．（23-24高二上·上海·课后作业）已知、、三点在直线上，求的方程. 21．（25-26高二上·北京平谷·月考）已知的三个顶点分别为，求： (1)所在直线的方程； (2)过点与边平行的直线方程； (3)边的垂直平分线的方程． 22．（25-26高二上·四川成都·月考）已知直线经过点. (1)若直线在轴上的截距是在轴上的截距3倍，求直线的方程； (2)若直线与轴、轴的正半轴分别相交于两点，求当的面积取得最小值时直线的方程. 23．（24-25高二上·福建龙岩·月考）已知直线，试求： (1)点关于直线l的对称点坐标. (2)直线关于直线l对称的直线的方程. (3)直线l关于点对称的直线方程. 1．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知点，，C为直线上一动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川德阳·期中）已知点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围（   ） A． B．或 C．或 D． 3．（25-26高二上·北京海淀·月考）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 5．（25-26高二上·辽宁·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·山东济宁·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹是一条线段 B．的最大值为2 C．的最大值为4 D．点到直线的距离的最大值为 7．（25-26高二上·山东济宁·期中）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河北石家庄·月考）已知直线恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·新疆喀什·期中）过定点的直线与过定点的直线交于点（与、不重合），则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 直线的方程常考题型归纳 一、直线的斜率 1、斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． 2、倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而减增大 3、倾斜角与斜率的区别和联系 （1）每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是90°时，倾斜角的正切值是斜率，此时斜率和倾斜角可以互相转化．因此，确定一条不垂直于轴的直线，只要知道直线上的一个点和直线的斜率即可． 4、解决三点共线的步骤 第一步：先判断两个点的横坐标是否相等，若其中有两个点横坐标相等，那么第三点的横坐标与其相等时，三点共线；若横坐标均不相等，则继续第二步； 第二步：计算三点中任意两个点确定的直线的斜率，若斜率相等，则三点共线． 5、利用直线的斜率的几何意义求最值（或取值范围）两点注意 （1）直线的斜率反映了直线的倾斜程度，且（，是直线上横坐标不等的两点）； （2）在求形如的式子的最值时，可以将看作动点与定点所确定的直线的斜率，数形结合求出最值（或取值范围），即将代数问题转化为几何问题来处理． 二、直线的平行与垂直 1、对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或，斜率都不存在. 2、对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 3、一般式方程下的平行与垂直 （1）平行与垂直的系数关系 已知直线的方程分别是（不同时为0）， （不同时为0） ①若 ②若 （2）平行与垂直的直线系方程 ①平行直线系：与直线垂直的直线方程可设为 ②垂直直线系：与直线垂直的直线方程可设为 三、截距式方程 1、截距式方程应用的注意事项 （1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； （3）要注意截距式方程的逆向应用． 2、点斜式、斜截式、两点式、一般式的选择 （1）若给出直线经过一个点，经常考虑用点斜式写直线方程，需要注意的是平行于轴的直线的斜率为0，垂直于轴的直线的斜率不存在． （2）若已知直线的斜率，通常用斜截式． （3）若给出两个点，常考虑利用两点式，但要注意两点连线是否与坐标轴平行或重合． （4）若给出的条件与面积相关，一般选用截距式，也可以选用点斜式或斜截式，注意直线方程各种形式的互化． 四、直线方程过定点问题常用的三种方法 （1）直接法：将方程化为点斜式，其中为参数，求得直线恒过定点． （2）分离参数法（方程法）：将方程变形，把作为参数的系数，即有参数的放在一起，没参数的放在一起，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得的值，即直线过的定点的坐标． （3）赋值法（特殊法）：因为参数取任意实数，所以给参数任取两次值，得到关于的二元一次方程组，解方程组可得的值，即为直线过的定点的坐标． 五、距离公式 1、平面上两点间的距离公式的应用 平面内两点，间的距离公式为：. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：． （1）已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解． （2）利用两点间距离公式可以判断三角形的形状．从三边长入手，如果有边长相等，则可能是等腰或等边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形． 2、点到直线距离公式的应用 点到直线的距离 （1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式，直接应用点到直线的距离公式求解即可． （2）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． （3）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点求的连线的最短距离，某些距离的最值问题可以转化为点到直线的距离问题来求解． （4）因为角平分线上任意一点到角两边的距离相等，因此可用点到直线的距离公式解决有关角平分线的问题． 3、 平行线间距离公式的应用 两条平行直线，， 它们之间的距离为： 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． （1）两条平行直线间的距离公式是由在一条直线上任取一点到另一条直线的距离推导出来的，所以求平行直线间的距离的方法有两种，一种是直接利用推导出的公式求解，另一种是在其中一条直线上取一个特殊的点，转化点到直线的距离求解． （2）如果两条平行直线的方程用斜截式方程表示为，，那么两条平行直线间的距离． 六、对称问题 1、点关于点对称：该点是两对称点连线段的中点． 利用中点坐标公式，面内点关于对称点坐标为，平面内点，关于点对称． 2、直线关于点对称：实质是两直线平行 法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）． 法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）． 3、点关于直线对称：实质上轴（直线）是对称点连线段的中垂线． 当直线斜率存在时：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，设点关于直线的对称点， 则 当直线斜率不存在时：点关于的对称点为． 4、直线关于直线对称 ①当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点； 第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点； 第三步：利用两点式写出方程． ②当与l平行时：对称直线与已知直线平行． 两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 直线与线段有交点问题 1．（25-26高二上·广东·月考）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的斜率，结合图象可求得结果. 【详解】 由题意得， 因为直线与连接两点的线段总有公共点， 所以由图可知，即， 即斜率的取值范围为， 故选：B. 2．（25-26高二上·广东惠州·月考）直线过点与以为端点的线段有公共点， 则直线倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】求出直线的倾斜角，直线的倾斜角，结合图形可得结果． 【详解】设直线的倾斜角为，， 则，从而， 设直线的倾斜角为，， 则，从而， 要使直线与线段有公共点， 结合图形可知，直线倾斜角的范围是：， 故选：A. 3．（25-26高二上·贵州·期末）设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】结合斜率公式和图象确定正确答案. 【详解】如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或， 即，或，，或， 即直线的斜率的取值范围是或． 故选：A 4．（25-26高二上·广西南宁·期中）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得PA、PB的斜率，设直线的斜率为，分析可得，根据倾斜角与斜率的关系，分析即可得答案. 【详解】由题意得， 与线段相交，由题意设直线的斜率为， ，，   或， 由于在及上均单调递增， ∴直线的倾斜角的范围为. 故选：D 题型二 斜率公式的应用（三点共线） 1．（25-26高二上·河南·月考）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据直线的斜率公式进行求解即可. 【详解】由三点共线得，即，解得． 故选：A. 2．（25-26高二上·江苏淮安·月考）下列三点在同一直线上的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】对于ABD：利用斜率来判断三点是否共线；对于C：根据三点结合直线分析判断. 【详解】对于选项A：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故A错误； 对于选项B：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故B错误； 对于选项C：显然三点在同一直线上，故C正确； 对于选项D：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故D错误； 故选：C. 3．（24-25高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意三点共线，结合两点式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可. 【详解】由题意三点共线，设，因为，， 所以，解得，所以. 故选：B 4．（2025高二·全国·专题练习）若三点，，共线，则 ． 【答案】 【分析】法一：由三点共线有，应用斜率两点式列方程，整理即可得；法二：写出直线的截距式方程，根据在直线上代入整理即可得. 【详解】法一：因为，，三点共线，则， 所以，得，即； 法二：因为，，三点共线，则点在直线上， 其中直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线方程，得到，即. 故答案为： 题型三 斜率公式的几何意义 1．对方程表示的图形，下列叙述中正确的是（    ） A．斜率为2的一条直线 B．斜率为的一条直线 C．斜率为2的一条直线，且除去点（,6） D．斜率为的一条直线，且除去点（,6） 【答案】C 【分析】根据方程成立的条件知，故它表示的直线中要去除一点. 【详解】方程成立的条件知， 当时，方程变形为，由直线方程的点斜式知它表示一条斜率为2的直线,但要除去点（,6）， 故选:C 2．已知实数、满足方程，那么的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将看作原点和圆上的点的连线的斜率，利用相切时圆心到直线的距离等于半径，求得k，即可确定答案. 【详解】由圆，得圆心，半径为1， 令，即，则可看作原点和圆上的点的连线的斜率， 当直线和圆相切时，k取得最大或最小值； 故由，解得，所以的取值范围为， 即的最大值为， 故选：C． 3．（23-24高二上·浙江·月考）在平面直角坐标系中，，M是上一动点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线的方程为，利用点到直线距离公式得到不等式，求出斜率的取值范围. 【详解】由图形可知，直线的斜率一定存在， 设出直线的方程为， 圆心到直线的距离， 解得. 故选：D 4．（25-26高二上·山东济南·月考）已知函数在内的图象是如图的一段圆弧，若，则（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】根据斜率的坐标公式，用数形结合思想进行判断即可. 【详解】. 因为的图象过原点， 所以式子的几何意义是点与原点连线的斜率， 观察图象可得：，即， 故选：C 5．（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将的范围转化为线段上的点与构成的直线的斜率的范围，然后求斜率即可. 【详解】 方程，令，则，令，则， 设点，， 所以可以表示线段上的点与构成的直线的斜率， ，， 所以的取值范围为. 故答案为：. 6．（23-24高二上·上海青浦·期中）若与有交点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，得到曲线和直线恒过定点，画出图象，结合斜率公式，即可求解. 【详解】由曲线，可得，表示以原点为圆心，半径为1的下半圆， 又由直线恒经过定点， 因为曲线与轴的交点分别为， 可得， 要使得与有交点，可得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：.    题型四 两条直线平行与垂直 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线，，若，则的值为 . 【答案】 【分析】根据两直线平行得到方程和不等式，求出答案. 【详解】两直线平行，故且， 由得或， 由得，因此. 故答案为：2. 2．（25-26高二上·辽宁丹东·月考）若两条直线与垂直，则 . 【答案】 【分析】由两直线垂直的结论求得. 【详解】由题意可得，，得. 故答案为： 3．（25-26高二上·四川成都·月考）已知直线与互相垂直，则实数的值为 . 【答案】或/或 【分析】利用两直线垂直的充要条件来求解参数即可 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得或. 故答案为：或. 4．（25-26高二上·江苏连云港·月考）若的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点间斜率公式及直线垂直的充要条件结合点斜式计算即可. 【详解】由题意可知直线的斜率为，则边上的高所在直线的斜率为， 所以该高线的方程为，整理得. 故选：A 5．（25-26高二上·云南玉溪·期中）根据下列条件分别求出直线的方程，并化为一般式方程．已知直线． (1)经过点且与直线平行的直线； (2)经过点且与直线垂直的直线． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设所求直线的方程为，求出即可； （2）设所求直线方程为，求出即可. 【详解】（1）设所求直线的方程为， 代入点，则有，解得， 所以所求直线方程为； （2）设所求直线方程为， 代入点，则有，解得， 所以所求直线方程为． 6．（2025高二·全国·专题练习）求过两条直线和的交点，且分别满足下列条件的直线的方程： (1)与直线平行； (2)与直线垂直． 【答案】(1) (2)． 【分析】解法1：（1）求出直线的交点，利用线线平行斜率相等即可求解；（2）利用线线垂直斜率关系即可求解； 解法2：（1）（2）设出两条直线和的交点的直线的方程为，利用平行、垂直关系即可求解. 【详解】（1）解法1：联立方程，得两条直线的交点为，所以直线过点． 因为直线与直线平行，所以，即，所以直线的方程为． 解法2：设过两条直线和的交点的直线的方程为， 即． 因为直线与直线平行，所以，解得， 所以直线的方程为，即． （2）解法1：因为直线与直线垂直，所以，即，所以直线的方程为． 解法2：设过两条直线和的交点的直线的方程为， 即． 因为直线与直线垂直，所以，解得， 所以直线的方程为，即． 题型五 直线的截距式方程 1．（25-26高二上·湖北·月考）直线的纵截距为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】令求出所对应的的值，即可得解. 【详解】对于直线，令，即，解得， 所以直线的纵截距为. 故选：B 2．（25-26高二上·青海·月考）已知直线经过点，在轴上的截距是其在轴上的截距的3倍，且两截距均不为0，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设截距式，再代入计算求参得出直线方程. 【详解】设的方程为， 则 解得则的方程为，即. 故选：C. 3．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·月考）已知点，，直线在轴上的截距为 . 【答案】 【分析】求出直线的方程，再令即可. 【详解】因为，，所以直线的斜率为， 则直线的方程为，令，得， 故直线在轴上的截距为. 故答案为：. 4．（25-26高二上·内蒙古包头·月考）直线经过点，且它在轴上的截距是它在轴上截距的3倍，求直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】根据给定条件，按截距是否为0分类，结合直线的截距式方程求解. 【详解】当直线在轴上的截距为零时，由直线过原点及，得方程为，即； 当直线在轴上的截距不为零时，设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，方程为，即， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 5．（25-26高二上·天津津南·月考）已知直线过点． (1)若直线与两坐标轴截距之和为0，求直线的方程； (2)直线与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线的方程. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）利用截距的概念与直线的截距式计算即可； （2）利用直线的截距式方程计算即可. 【详解】（1）若直线与两坐标轴的截距都是0，则该直线为，即可； 若直线与两坐标轴的截距不为0，不妨设在横轴上的截距为， 则其在纵轴上的截距为， 由截距式知，代入得， 所以，整理得； 综上得直线的方程为或. （2）由题意可设在横轴与纵轴上的截距分别为， 则由截距式可知，代入得， 又，联立方程得，解之得， 即直线的方程为，整理得. 题型六 直线过定点问题 1．（25-26高二上·辽宁·月考）直线（其中）必经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意列方程组计算即可求解. 【详解】由题意，令，解得， 所以直线必经过的点是. 故选：C 2．（25-26高二上·辽宁沈阳·月考）直线，恒过定点，则的值为（    ） A．-5 B．-4 C．-3 D．3 【答案】B 【分析】根据给定条件，列式求出定点坐标即得. 【详解】由整理得：， 由，解得， 即直线恒过点，故，所以. 故选：B 3．（25-26高二上·江苏·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可得直线恒过定点，记点为点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式，计算可得结果. 【详解】由得， 令，则，解得， 故直线恒过定点， 记点为点，当与直线垂直时， 点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D 4．（25-26高二上·北京·月考）已知点，若直线与线段相交，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把直线的方程整理为，显然直线过定点，结合图形进行求解即可. 【详解】由直线的方程为，变形得， 显然直线过定点， 而，， 由图可知，要使直线与线段AB相交， 则或，即k的取值范围是. 故选：B. 5．（24-25高二上·陕西汉中·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先求出点的轨迹方程，然后判断直线恒过定点，把点到直线的距离的最大值转化为圆心到直线的距离与半径之和的最大值即可. 【详解】设，又，得， 即点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆， 又过定点，又，所以在圆外， 设点到直线的距离为，点在圆上，直线恒过点， 点到直线的距离的最大值，等于圆心到直线的距离与半径之和的最大值， 圆心到直线的距离的最大值为， 所以点到直线的距离的最大值为. 故选：C. 题型七 直线中点到点、点到线、线到线的距离公式 1．（25-26高二上·浙江绍兴·月考）两平行直线和之间的距离为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案. 【详解】依题意，两平行直线间的距离为. 故选：A 2．（25-26高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题求出的中点坐标，根据两点间距离公式求得中线长. 【详解】设边的中点，则. 所以，所以. 所以过点的中线长. 故选：B. 3．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知的三个顶点分别为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先求，再求点到直线的距离，即可求的面积. 【详解】易得，，直线的方程为，即. 所以点到直线的距离为：. 所以的面积为：. 故选：B 4．已知三点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用两点间的距离公式列方程计算即可 【详解】由两点间的距离公式，及可得：，解得. 故选：A 5．（24-25高二上·安徽·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（    ） A． B． C．12 D．14 【答案】C 【分析】根据直线平行求出，再利用平行线距离公式即可求出，即可求解. 【详解】因为直线与平行， 所以，即， 因为直线与直线的距离为， 所以，即，解得或（舍去）， 故． 故选：C. 6．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．或 【答案】D 【分析】 利用点到直线的距离公式列方程即可得出． 【详解】由题意可得，即， 解得或 故选：D. 题型八 直线中的对称问题 1．（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 2．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求. 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 3．（25-26高二上·北京·月考）与直线关于y轴对称的直线的方程为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点关于y轴对称的点为，利用相关点法求直线方程. 【详解】在所求直线上任取一点，则点关于y轴对称的点为， 可知点在直线上，可得，即， 所以所求直线方程为. 故选：A. 4．（25-26高二上·江苏苏州·期中）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】假设所求点为，根据斜率关系和两点连线中点在对称轴上可构造方程组求得结果. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得：， 点关于直线的对称点为. 故选：B. 5．（25-26高二上·安徽安庆·月考）入射光线l从出发，经y轴反射后，通过点，则入射光线l所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点的对称点坐标，然后利用两点式直线方程求出结果即可. 【详解】因为关于y轴的对称点， 所以直线 因此入射光线l所在直线的方程为， 故选：C． 6．（25-26高二上·江苏南京·月考）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直线上任取一点，设其关于直线的对称点为，然后根据对称关系列方程可表示出，再代入中化简可得答案. 【详解】在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 因为点在直线上， 所以，即， 所以所求直线方程为， 故选：C. 1．（25-26高二上·内蒙古赤峰·月考）直线，则“”是“”的（   ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据直线平行的判定求参数，结合充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】若，则，可得或， 时，，即两直线平行，符合； 时，，即两直线重合，不符. 所以，即是的充要条件. 故选：C 2．（25-26高二上·广东中山·月考）已知实数满足，则的最小值是（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】将问题转化为点到直线的距离即可求解. 【详解】当取最小值时，即为点到直线的距离; 故选：A 3．（25-26高二上·安徽·月考）若直线过点且与直线相互垂直，则原点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据直线垂直得出直线，再应用点到直线距离计算求解. 【详解】直线与直线相互垂直，所以直线的斜率为， 直线过点且斜率为，则直线， 则原点到直线的距离为. 故选：C. 4．（25-26高二上·湖北十堰·月考）过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据条件分截距为零和截距不为零两种情况，分别设出相应的直线方程，再结合条件，即可求解. 【详解】当在轴，轴上的截距为零时，此时直线过原点，设直线方程为， 又直线过点，所以，所以直线方程为， 当在轴，轴上的截距不为零时，设直线方程为， 又直线过点，所以，解得，所以直线方程为， 所以过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是或， 故选：D. 5．（25-26高二上·重庆·期中）点到直线 的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点，点到直线的距离的最大值为. 【详解】直线， 即，由，解得， 所以直线过定点，， 点到直线的距离的最大值为. 故选：C 6．（25-26高二上·河南·期中）直线与上各有一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目条件计算得两条直线平行，的最小值就是两条平行线间的距离. 【详解】直线 ， ，即的最小值为这两条平行线间的距离， 设为之间的距离，则. 故选：C 7．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】求出对称点坐标，根据将军饮马模型即可求出最小值. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得，即. 连接与直线相交于点，则的最小值为. 故选：A. 8．（25-26高二上·江苏苏州·月考）设，且，点，过点的直线l与线段始终有交点，则直线l的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用斜率公式，分别求得，结合题意，得到且，进而求得直线l的倾斜角的取值范围，得到答案. 【详解】由点过点的直线l与线段始终有交点， 如图所示，可得， 设直线l的倾斜角为，可得且， 又因为，且，所以或， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 故选：D. 9．（25-26高二上·四川成都·期中）已知，，直线上存在点P，满足，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定直线所过定点，根据线段长度，可将问题转化为直线与线段有交点，结合图象确定临界状态，得到直线斜率的取值范围，进而求得结果. 【详解】直线方程可化为：， 令得：，直线恒过定点， 由得：， 当直线上存在点满足时，直线与线段有交点，如图所示， ，，由直线斜率不为， 直线的斜率， . 故选：D. 10．（24-25高二上·安徽·月考）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为圆上的点与点连线的斜率的取值范围的求解，根据直线与圆的位置关系可求得切线斜率，进而得到结果. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， ， 的几何意义是圆上的点与点连线的斜率， 设过点的圆的切线方程为：，即， 圆心到切线的距离，解得：， ，. 故选：C. 11．（24-25高二上·海南·期末）已知直线：恒过定点，点为圆上的动点，为坐标原点，则面积的最大值为（    ） A．10 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】首先求出直线过定点的坐标，再求出圆心坐标与半径，求出及直线的方程，再求出圆心到直线的距离，从而求出点到直线距离的最大值，从而得解. 【详解】由，整理为， 令，解得，所以直线恒过定点， 圆：的圆心，半径， 如图，，直线的方程为， 则圆心到直线的距离， 则点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离， 所以面积的最大值为. 故选：D. 12．（25-26高二上·河北·月考）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线的定点，然后结合图像，确定临界条件，进而求出结果. 【详解】直线可转化为，所以直线过定点，斜率为， 又曲线可转化为：，. 画出直线与曲线图象如图所示. 数形结合可得直线在，处产生临界条件， 设直线，的斜率分别为，. 点，则，设直线的方程为， 即，圆心到直线的距离为，解得， 所以要使直线和曲线有两个不同的交点，则. 故选：D. 13．（25-26高二上·河北衡水·期中）（多选题）记直线，，则（   ） A．过定点 B．的倾斜角为钝角 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对直线方程进行整理变形即可得出过定点，利用直线一般方程中的系数的关系即可得出直线关系和倾斜角的范围. 【详解】对于选项A，整理直线方程：，则，解得，即过定点，故A正确； 对于选项B，整理直线方程：，当，即时，的倾斜角为直角，故B错误； 对于选项C，代入，可得直线，，显然，故C正确； 对于选项D，若，则，解得，故D正确. 故选：ACD 14．（24-25高二上·重庆·期中）（多选题）已知实数，满足方程，则（   ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】BC 【分析】求出给定方程表示的几何图形，再结合各选项中的目标函数的几何意义求解判断即得. 【详解】方程，即， 因此方程表示以原点为圆心，1为半径的圆在轴及右侧的部分，其中， 对于A，表示半圆上的点到点的距离的平方， 显然为所求最小值，最小值为1，或为所求最大值，最大值为， 因此的取值范围为，A错误； 对于B，表示半圆上的点与点确定直线的斜率， 设过点的直线为，由，解得，此时为最小斜率， 直线的斜率为最大值，即，的取值范围是，B正确； 对于C，令，则为直线与轴的交点的纵坐标， 当与半圆相切于，取得最小值，取得最大值， 由，而，解得，当过点时，取得最大值，取得最小值， ，解得，因此的取值范围是，C正确； 对于D，表示半圆上的点到直线距离的倍， 过点作垂直于直线于点，与半圆交于点， 则即为半圆上的点到直线的距离最小值， 此时，， 过点作垂直于直线于点， 则即为半圆上的点到直线的距离最大值，最大值， 因此的取值范围是， 所以的取值范围为，D错误. 故选：BC 15．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，，不能构成三角形，则 ． 【答案】/ 【分析】根据已知分析出三点共线且斜率存在，应用斜率两点式列方程得，整理变形即可得. 【详解】三点不能构成三角形的情况，即三点共线， 因为斜率存在，所以，即，即, 因为，所以，即. 故答案为： 16．（25-26高二上·青海西宁·月考）若直线与以，为端点的线段有公共点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出直线过定点，设点，求出，根据题意作出图形，数形结合，即可求得答案. 【详解】由题意知直线即， 则该直线过定点，设为点， 而，，则， 要使得直线与以，为端点的线段有公共点， 需满足直线的斜率或， 即或，即a的取值范围为， 故答案为： 17．（25-26高二上·全国·课后作业）已知实数满足，则的最大值为 ． 【答案】8 【分析】根据斜率的两点式确定目标式的几何意义，再应用数形结合求目标式的最大值. 【详解】由的几何意义是图象上的点与点连线的斜率． 如图所示，直线的倾斜角始终为锐角，结合正切函数在上单调递增， 当直线过点时斜率最大，将代入，得最大值为8． 故答案为：8 18．（25-26高二上·湖北十堰·期中）已知实数，，，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据分式的性质，求出参数之间的等量关系，进而根据两点之间的距离公式，求出结果. 【详解】由题意得，化简得， 所以点分别在两平行直线上，且， 而表示这两点之间距离的平方， 所以其最小值为两平行直线间距离的平方，即为. 故答案为：. 19．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知实数满足，则的最小值为 【答案】 【分析】表示：直线上的点到点和的距离之和的最小值，即可求解． 【详解】， ， 则表示：直线上的点到点和的距离之和的最小值， 如图所示： 设点关于直线的对称点为， 得，解得， 得， 则 ， 等号成立时，三点共线， 故答案为： 20．（23-24高二上·上海·课后作业）已知、、三点在直线上，求的方程. 【答案】或. 【分析】根据三点共线求出斜率，再写出直线方程. 【详解】当直线斜率不存在时，则此直线为，所以有同时成立，这不可能，故直线斜率一定存在. 因为、、三点在直线上， 所以直线斜率为，， 由得，即，解得， 所以， 所以直线方程为或， 即或， 即或. 21．（25-26高二上·北京平谷·月考）已知的三个顶点分别为，求： (1)所在直线的方程； (2)过点与边平行的直线方程； (3)边的垂直平分线的方程． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据的坐标即可求得直线的斜率，利用点斜式可得所求方程； （2）根据平行可设所求方程，再将点的坐标代入可得所求方程； （3）根据垂直可求得斜率，再求得线段的中点坐标，根据点斜式可得所求方程. 【详解】（1）如图，因为，所以直线的斜率为， 由点斜式可得直线的方程为，即. （2）因为所求直线与直线平行， 由（1）知可设所求直线方程为， 又直线过点， 所以将的坐标代入可得，解得， 所以所求直线方程为. （3）因为，且其斜率都存在， 所以，解得. 又直线过线段的中点， 由点斜式可得直线的方程为，即. 22．（25-26高二上·四川成都·月考）已知直线经过点. (1)若直线在轴上的截距是在轴上的截距3倍，求直线的方程； (2)若直线与轴、轴的正半轴分别相交于两点，求当的面积取得最小值时直线的方程. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）讨论截距是否为0，设直线方程后代入点坐标，然后求得结果. （2）设直线，代入点坐标，得到，然后求出点坐标，根据题意列出不等式，求得的取值范围，利用基本不等式求得当取何值时面积取最小值，代入直线方程后得到结果. 【详解】（1）当直线l在轴上的截距和在轴上的截距均为0时， 设直线，则，即，则， 当直线l在轴上的截距和在轴上的截距均不为0时， 设直线l在轴上的截距为，则在轴上的截距为， 则直线，即，则，则，即. （2）由题意可知，直线斜率一定存在， 设直线，则，即，则， 令，则，令，则， 则， 则，∴，即. ∴， ∵时，，∴， 当且仅当，即时取等号， ∴， 即， ∴. 23．（24-25高二上·福建龙岩·月考）已知直线，试求： (1)点关于直线l的对称点坐标. (2)直线关于直线l对称的直线的方程. (3)直线l关于点对称的直线方程. 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）设对称点为，由与直线垂直，中点在直线上列方程组求解； （2）求出与的交点坐标，再求出直线上一点关于直线的对称点的坐标，由这两点可得直线方程； （3）设直线关于点对称的直线方程为，由点到这两条平行线间距离相等求解． 【详解】（1）设点P的对称点为， 则，解得， 所以对称点坐标为； （2）由，解得，即直线与的交点为， 点是直线上的一点，设它关于直线的对称点为， 则，解得，即， ，所以直线的方程为，即； （3）设直线关于点对称的直线方程为， 由，解得（舍去）或， 所以对称直线方程为． 1．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知点，，C为直线上一动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出两点间距离和直线的方程，再利用平行线间距离公式求出两直线间距离，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】 ， ， ，则直线所在方程为，整理得， 直线与直线平行， 直线与直线间距离为， ，故B正确． 故选：B． 2．（25-26高二上·四川德阳·期中）已知点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】利用特殊值排除错误答案，进而得到结果，数形结合由斜率列式求解计算得到结果. 【详解】因为直线， 变形为，进而，解得， 所以直线恒过定点， 求线段的两个端点与定点的斜率：， 如图可知，当，即时，设直线的斜率为， 则或， 情况1：，即， 可得，解得或， 情况2：，即， 可得，解得； 当，即时，直线与线段有一个公共点.符合题意， 结合以上分析，解得或. 故选：B. 3．（25-26高二上·北京海淀·月考）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】首先充分性验证：通过举反例直接否定充分性; 必要性验证：设()，由推出，进而得. 【详解】直线的斜率(，且). 充分性，已知，设，，则，，，，则充分性不成立. 必要性，由可知，异号，设： ，则； ，令()，则. 已知，代入得， 即. 因为正切函数在上单调递增， 所以，所以， 又因为，所以，代入得 化简得，所以， 必要性成立. 故选：B 4．（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论. 【详解】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示：      当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 5．（25-26高二上·辽宁·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线所过定点，再求出直线与曲线相切时切线的斜率，作出图象，数形结合得解. 【详解】由可得， 即直线过定点， 由可得， 即或， 作直线与曲线的图像， 由圆心到直线的距离可得或（舍去）， 即切线的斜率，同理可得， 又，所以，, 由图象可知，当或时，直线与曲线有2个交点， 故选：D 6．（25-26高二上·山东济宁·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹是一条线段 B．的最大值为2 C．的最大值为4 D．点到直线的距离的最大值为 【答案】C 【分析】根据直线经过定点，结合两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解A，根据基本不等式即可求解BC，又面积公式即可求解D. 【详解】由直线，令，得，可得过定点， 动直线， 令，可得，即恒过定点， 由， 所以两条直线始终互相垂直，是两条直线的交点，所以， 所以点在以为直径的圆上，A错； , 由于，又， 所以， 所以，故，当且仅当取等号， 故B错，C对； 设到直线的距离为，由于， 故，当取等号，故最大值为，故D错， 故选：C 7．（25-26高二上·山东济宁·期中）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设关于轴的对称点为，先求出点关于直线的对称点的坐标，再根据光学性质得到四点共线，由求出的坐标，进而求出直线与直线的交点的坐标，即可求出的值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则得，即. 设关于轴的对称点为，由光学性质可知，四点共线， 所以，， 又因为，所以，解得或， 故或， ①当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由，解得，所以直线与直线的交点， 此时，不符合题意，舍去； ②当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由，解得，所以直线与直线的交点， 此时. 综上，的值为. 故选：D. 8．（25-26高二上·河北石家庄·月考）已知直线恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，由得到三点共线，设弦PQ的中点为，得到，利用，得到E的轨迹是以为圆心，为半径的圆，设直线l为，利用点到直线的距离求出E到l的最小距离，过P、E、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为M、R、N，则四边形MNQP是直角梯形，且R是MN的中点， 则ER是直角梯形的中位线，即，计算得解. 【详解】直线，， ，，，,三点共线， 设弦PQ的中点为，连接OE，则，即， ∴，，， 所以点E的轨迹方程为， 即E的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设直线l为， 则E到l的最小距离为， 过P、E、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为M、R、N， 则四边形MNQP是直角梯形，且R是MN的中点， 则ER是直角梯形的中位线， ∴， 即， 即， 所以的最小值为. 故选：C． 9．（25-26高二上·新疆喀什·期中）过定点的直线与过定点的直线交于点（与、不重合），则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知方程求得点A，点B的坐标，求得直线的方程；用m表示出点P的坐标，利用点到直线的距离公式求得点P到直线的距离，并求得其取值范围，从而得到面积的最大值.或根据方程得两直线垂直，从而得到面积为，根据不等式得到其最大值. 【详解】由，得; 由，得. 所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即. 由，得，且. 所以，所以点P到直线的距离为. 因为且，所以且，所以且， 即且. 所以面积为，当且仅当时，等号成立. 所以当时，面积取得最大值，最大值为2. 故选：D. 方法二：由，得; 由，得.所以. 易知直线与直线垂直. 所以. 所以面积为. 所以时，面积取得最大值，最大值为2. 故选：D. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $