复习专题03 直线的方程9题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题03 直线的方程9题型分类 1．直线的斜率 (1)斜率与倾斜角：k=tanα． (2)过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝． 2．直线的平行与垂直 (1) l1∥l2⇔k1＝k2． (2) l1⊥l2(两直线的斜率都存在) ⇔k1k2＝－1． 3．直线的方程 (1)点斜式：y－y0＝k(x－x0)． (2)斜截式：y＝kx＋b． (3)截距式：＋＝1． (4)一般式：Ax＋By＋C＝0． 4．距离公式 (1)点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝． (2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． (3)两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝． （一） 1．倾斜角和斜率 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tanα(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解． (3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解． 2．两直线垂直的判定 (1)在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可． (2)但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 题型1：直线的倾斜角与斜率 1．（2024高二上·四川遂宁·期末）直线的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2024高二上·四川泸州·期末）直线的倾斜角的范围是，则的取值范围是（    ） A．（0，1） B．[0，1] C． D． 3．（2024高二上·湖北荆州·期末）已知点，若直线与线段没有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二上·安徽阜阳·阶段练习）若如图中的直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·北京·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·辽宁·期末）已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·湖北黄冈·期中）已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型2：两直线的平行与垂直 8．（2024高一下·北京·期末）设，则“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2024高二上·四川南充·期末）“”是“直线和直线互相垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2024高二上·贵州黔东南·期末）若为正实数，直线和直线互相垂直，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·吉林·期末）设，则“直线与直线平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2024高二上·广东惠州·阶段练习）已知直线与直线垂直，则 ． （二） 1．直线的点斜式方程 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． (2)点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 2．直线的斜截式方程 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 3．直线的截距式方程 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． 题型3：直线的方程 13．（2024高二上·湖南·期中）一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 14．（2024高二上·四川凉山·期末）若圆的弦被点平分，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 15．（2024高二上·天津·期末）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ）． A． B． C． D． 16．（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 . 17．（2024高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 题型4：直线中的定点问题 18．（24-25高二上·海南海口·期中）直线过定点 ； 19．（24-25高二上·重庆·期中）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于，两点，求面积的最小值. 20．（2024高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 21．（2024高二上·山西运城·阶段练习）已知直线：经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． （三） 1．两点间距离 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝． (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 2．点到直线的距离 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|． (3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 3．两条平行直线间的距离 (1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝． 题型5：直线的交点问题 22．（2024高二上·广东广州·期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 23．（2024高二上·安徽合肥·期末）直线与直线的交点位于第一象限内，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 25．（2024高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 题型6：两点间的距离 26．（2024高一下·贵州遵义·期末）已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 27．（2024高二上·浙江杭州·期末）已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 28．（2024高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 29．（2024高三下·浙江丽水·开学考试）设点A,B在曲线上．若的中点坐标为，则（    ） A．6 B． C． D． 题型7：点到直线的距离 30．（2024高二上·广东河源·期末）过点引直线，使，，两点到直线的距离相等，则直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 31．（2024高二上·河南驻马店·期末）点到直线距离的最大值为（    ） A．5 B． C． D．3 32．（2024高二上·广东广州·期末）过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 33．（2024高一下·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知动点到两直线与的距离之和为 ，则的最大值为 . 题型8：两平行线间的距离 34．（2024高二上·江西新余·期末）已知，若直线：与直线：平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 35．（2024高三上·江西赣州·阶段练习）已知直线，若，则与之间的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 36．（2024·北京东城·一模）两条平行直线和间的距离为，则，分别为（    ） A．， B．， C．， D．， （四） 有关对称问题的两种主要类型 (1)中心对称： ①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称： ①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有 ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．　 题型9：直线的对称问题 37．（2024高二上·四川遂宁·期末）已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 38．（2024高二上·四川遂宁·期中）已知入射光线经过点被x轴反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 39．（2024高一下·四川攀枝花·期末）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为 A．或 B．或 C．或 D．或 40．（2024高二上·江苏南京·期末）已知的一条内角平分线所在直线的方程为，两个顶点为． (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求第三个顶点的坐标． 41．（2024高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 42．（2024高二上·湖南常德·期中）若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）过点和点的直线的斜率为（   ） A．7 B． C． D．3 2．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知直线，设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024高二上·山东临沂·期中）已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东江门·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二上·安徽黄山·期末）若直线经过点，且点，到它的距离相等，则的方程为（ ） A． B． C．或 D．或 6．（24-25高二上·四川绵阳·期末），函数的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 7．（2024高二上·福建龙岩·期末）已知直线l的法向量为，且经过点，则原点O到l的距离为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高二上·四川南充·期中）已知直线，直线，则下列说法正确的为（    ） A．直线过定点 B．若，则 C．若两条平行直线与间的距离为，则 D．点到直线距离的最大值为 9．（2024高二下·内蒙古赤峰·期末）已知直线，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴的对称直线为 C．直线一定经过第四象限 D．点到直线的最大距离为 10．（2024高二下·江苏南京·期末）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 11．（2024高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 三、填空题 12．（2024高一下·上海·期末）已知直线过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为 ． 13．（2024高二下·上海·期末）过点且平行于直线的直线方程为 . 14．（24-25高二上·上海·期中）直线绕其与轴的交点顺时针旋转所得的直线方程为，则原点到的距离为 . 四、解答题 15．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知点，，点C在x轴上，且是直角三角形，． (1)求点C的坐标； (2)求的面积； (3)求斜边上的中线所在直线的方程． 16．（24-25高二上·陕西西安·期中）已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 17．（2024高一下·江苏无锡·期末）已知顶点，边AC上的高BH所在直线方程为，边AB上的中线CM所在的直线方程为. (1)求直线AC的方程； (2)求的面积. 18．（2024高二上·河北石家庄·阶段练习）已知直线与x轴，y轴的正半轴分别交于两点，O为坐标原点． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题03 直线的方程9题型分类 1．直线的斜率 (1)斜率与倾斜角：k=tanα． (2)过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝． 2．直线的平行与垂直 (1) l1∥l2⇔k1＝k2． (2) l1⊥l2(两直线的斜率都存在) ⇔k1k2＝－1． 3．直线的方程 (1)点斜式：y－y0＝k(x－x0)． (2)斜截式：y＝kx＋b． (3)截距式：＋＝1． (4)一般式：Ax＋By＋C＝0． 4．距离公式 (1)点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝． (2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． (3)两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝． （一） 1．倾斜角和斜率 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tanα(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解． (3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解． 2．两直线垂直的判定 (1)在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可． (2)但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 题型1：直线的倾斜角与斜率 1．（2024高二上·四川遂宁·期末）直线的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的倾斜角为.由已知，可推得.分两种情况时以及时，结合正切函数的性质求解即可得到结果. 【详解】设直线的倾斜角为. 因为，，，所以，. 又，则. 当时，单调递增，解，可得； 当时，单调递增，解，可得. 综上所述，. 故选：B. 2．（2024高二上·四川泸州·期末）直线的倾斜角的范围是，则的取值范围是（    ） A．（0，1） B．[0，1] C． D． 【答案】C 【分析】由斜率大于等于0列式求解即可. 【详解】直线的倾斜角的范围是， 所以斜率，解得或. 故选：C. 3．（2024高二上·湖北荆州·期末）已知点，若直线与线段没有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出，即可得到答案. 【详解】直线经过定点. 因为，所以, 所以要使直线与线段没有公共点， 只需：，即. 所以的取值范围是. 故选：A 4．（2024高二上·安徽阜阳·阶段练习）若如图中的直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线的倾斜角分别为， 则由图知， 所以，即． 故选：D. 5．（24-25高二上·北京·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得直线的斜率，进而求得直线的倾斜角. 【详解】依题意，直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率为，对应倾斜角为. 故选：D 6．（24-25高二上·辽宁·期末）已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，已知可求出直线斜率取值范围，再根据直线的方程求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 即直线的斜率. 又由直线方程可得，所以， 解得， 即实数的取值范围是. 故选：C. 7．（24-25高二上·湖北黄冈·期中）已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点式求斜率，结合参数范围有，根据斜率与倾斜角关系确定倾斜角范围. 【详解】由题设，则直线AB的倾斜角的取值范围为. 故选：B 题型2：两直线的平行与垂直 8．（2024高一下·北京·期末）设，则“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】运用两直线平行的充要条件得出与平行时的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可． 【详解】当时，， 两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行. 当与平行时可得：，解得或. 若时，由上可得与平行 当时，，,此时两直线重合. 所以当与平行时， 故“”是“直线与直线平行”的充要条件. 故选：C 9．（2024高二上·四川南充·期末）“”是“直线和直线互相垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【详解】解：若时，由，得，则， 由，得，则， 若两直线垂直，则，则，化简得， 若时，可化为，时，可化为，此时直线与垂直，满足， 所以由可得直线和直线互相垂直，由直线和直线互相垂直，可得， 所以“”是“直线和直线互相垂直”的充要条件， 故选：C 10．（2024高二上·贵州黔东南·期末）若为正实数，直线和直线互相垂直，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两条直线的垂直关系可求得，利用基本不等式可求得结果. 【详解】直线和直线互相垂直， ，即，， （当且仅当时取等号）， 的最大值为. 故选：B. 11．（24-25高三上·吉林·期末）设，则“直线与直线平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分不必要条件的定义以及两直线平行求参数的方法求解. 【详解】因为，所以，则有，解得， 当时，，，则重合， 当时，，，则平行， 所以等价于， 所以“直线与直线平行”能推出“”， “”不能推出“直线与直线平行”， 所以“直线与直线平行”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 12．（2024高二上·广东惠州·阶段练习）已知直线与直线垂直，则 ． 【答案】2 【分析】根据两直线垂直，分类讨论，直接列出方程求解，即可得出结果. 【详解】当时，， 由知，斜率为2， 所以直线与不垂直，不符合题意； 当时，， 因为直线与直线垂直， 所以，解得． 故答案为：2． （二） 1．直线的点斜式方程 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． (2)点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 2．直线的斜截式方程 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 3．直线的截距式方程 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． 题型3：直线的方程 13．（2024高二上·湖南·期中）一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出关于的对称点，然后根据两点式求解直线方程即可； 【详解】设关于的对称点为， 则有， 解得：，即， 反射光线所在直线为， 整理得： 故选：B． 14．（2024高二上·四川凉山·期末）若圆的弦被点平分，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若圆心，根据题设知求出直线的斜率，应用点斜式写出直线方程即可. 【详解】由题设，直线过，若圆心，则，即， 由，则，故直线方程为， 所以直线的一般方程为. 故选：A 15．（2024高二上·天津·期末）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出交点坐标，再根据与直线 的位置关系求出斜率，运用点斜式方程求解. 【详解】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ； 直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ， 由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ； 故选：B. 16．（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】通过讨论截距为0和不为0两类情况讨论即可. 【详解】当截距为0时,过点和原点,所以的方程为,即; 当截距不为0时，设的方程为，由过点，得， 解得，所以的方程为. 故答案为：或 17．（2024高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可； （2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可. 【详解】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得， 所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； （2）设直线的方程为， 所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 题型4：直线中的定点问题 18．（24-25高二上·海南海口·期中）直线过定点 ； 【答案】 【分析】将直线方程变形为，由可求得直线所过定点的坐标. 【详解】将直线方程化为，由可得， 因此，直线过定点. 故答案为：. 19．（24-25高二上·重庆·期中）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于，两点，求面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）把直线方程写成，由可得定点坐标. （2）设过点直线方程的点斜式，求出与坐标轴交点坐标，利用基本（均值）不等式求三角形面积的最小值. 【详解】（1）由，可得， 令，所以直线过定点. （2）由（1）知，直线恒过定点，由题意可设直线的方程为， 设直线与轴，轴正半轴交点为，，令，得；令，得， 所以面积， 当且仅当，即时，面积最小值为4. 20．（2024高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 【答案】 【分析】变形得到方程组，求出定点坐标. 【详解】令，解得，故经过的定点坐标为. 故答案为： 21．（2024高二上·山西运城·阶段练习）已知直线：经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线方程变为，可得定点.根据的方向向量，可得斜率为，代入点斜式方程，化简为一般式即可. 【详解】可变形为， 解得，即点坐标为. 因为，所以直线的斜率为，又过点， 代入点斜式方程可得，整理可得. 故选：A. （三） 1．两点间距离 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝． (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 2．点到直线的距离 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|． (3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 3．两条平行直线间的距离 (1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝． 题型5：直线的交点问题 22．（2024高二上·广东广州·期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立方程计算交点为，根据直线垂直得到，得到直线方程. 【详解】，解得，故直线交点为， 直线的斜率，故垂直于它的直线斜率， 故所求直线方程为，整理得到. 故选：B 23．（2024高二上·安徽合肥·期末）直线与直线的交点位于第一象限内，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】联立方程组解出交点坐标，结合象限内点坐标的特点，解不等式即可解决． 【详解】解：由，解得， 直线与直线的交点位于第一象限内， ，解得：， 则实数a的取值范围是. 故选：C． 【点睛】本题主要考查两直线交点坐标的求解，以及象限内点坐标的特点． 24．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立和方程，求得交点坐标，再结合垂直关系求得斜率，即可求解 【详解】由，，联立方程可得： 又直线的斜率为，所以所求的直线斜率为， 故直线方程为，即. 故选：D. 25．（2024高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分线线平行和三线共点讨论即可. 【详解】若，则，解得．若，则，解得． 若，，交于一点，联立方程组，解得得， 代入，得，解得，故a的取值集合为． 故选：D. 题型6：两点间的距离 26．（2024高一下·贵州遵义·期末）已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可. 【详解】，, ， ，所以三角形为直角三角形， ， 故选：A. 27．（2024高二上·浙江杭州·期末）已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值. 【详解】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 又，当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题. 28．（2024高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据两点距离公式，结合直线方程即可求解. 【详解】， 表示平面上点与点，的距离和， 连接，与轴交于，此时直线方程为， 令，则 的最小值为，此时 故选：C． 29．（2024高三下·浙江丽水·开学考试）设点A,B在曲线上．若的中点坐标为，则（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据题意，利用对数的运算，求得的值，结合两点间的距离公式，即可求解. 【详解】设， 因为的中点坐标为，可得， 整理得，解得或， 不妨设，所以. 故选：B. 题型7：点到直线的距离 30．（2024高二上·广东河源·期末）过点引直线，使，，两点到直线的距离相等，则直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在，由点到直线距离公式列出方程，求出直线斜率，得到直线方程. 【详解】若直线斜率不存在，即，此时，两点到直线的距离分别为3和5，故距离不相等，舍去； 若直线斜率存在时，设直线方程为， 由得：或， 故直线方程为或， 整理得或. 故选：D 31．（2024高二上·河南驻马店·期末）点到直线距离的最大值为（    ） A．5 B． C． D．3 【答案】A 【分析】首先确定直线所过的定点，再利用数形结合求点到直线的距离的最大值. 【详解】直线：，    令，，得直线过定点， 所以直线表示过定点的直线，如图，当时，表示点到直线的距离， 当不垂直于时，表示点到直线的距离，显然， 所以点到直线距离的最大值为, 所以点到直线距离的最大值为. 故选：A 32．（2024高二上·广东广州·期末）过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设所求的直线为，则直线平行于或直线过线段的中点，分情况讨论即可求解. 【详解】设所求的直线为，则直线平行于或直线过线段的中点， 因为，，所以， 所以过点且与平行的直线为：即， 因为，，所以线段的中点为， 所以过点与线段的中点为的直线的方程为：， 即， 所以这条直线的方程是：或， 故选：. 33．（2024高一下·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知动点到两直线与的距离之和为 ，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹，画出图形，再利用的几何意义求出最大值. 【详解】依题意，，即， 于是得或或或， 动点的轨迹如图中正方形，其中， 表示正方形边上的点与定点确定直线的斜率， 观察图象知，当点与点重合时，直线的斜率最大， 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用分类讨论的思想作出轨迹，再利用目标函数的几何意义求解是关键. 题型8：两平行线间的距离 34．（2024高二上·江西新余·期末）已知，若直线：与直线：平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据题意结合两直线平行求得，再代入两平行线间距离公式运算求解. 【详解】若直线：与直线：平行，则，解得或， 当时，直线：与直线：平行； 当时，直线：与直线：平行； 综上所述：若直线与直线平行，则或. ∵，则，此时直线：，直线：， 故直线、之间的距离. 故选：A. 35．（2024高三上·江西赣州·阶段练习）已知直线，若，则与之间的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线平行求出，再由平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为，所以，解得，经检验符合题意； 所以， 所以与之间的距离， 故选：A 36．（2024·北京东城·一模）两条平行直线和间的距离为，则，分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据两直线平行的性质可得参数，再利用平行线间距离公式可得. 【详解】由直线与直线平行， 得，解得， 所以两直线分别为和，即和， 所以两直线间距离， 故选：D. （四） 有关对称问题的两种主要类型 (1)中心对称： ①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称： ①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有 ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．　 题型9：直线的对称问题 37．（2024高二上·四川遂宁·期末）已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直. 【详解】设，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直， 则， 即点A坐标为. 故选：C 38．（2024高二上·四川遂宁·期中）已知入射光线经过点被x轴反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出关于x轴的对称点，由两点式方程可求. 【详解】可得关于x轴的对称点为，则在反射光线上， 又反射光线经过点，所以反射光线所在直线的方程为，即. 故选：D. 39．（2024高一下·四川攀枝花·期末）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为 A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】由题意可知：点在反射光线上．设反射光线所在的直线方程为：，利用直线与圆的相切的性质即可得出． 【详解】由题意可知：点在反射光线上． 设反射光线所在的直线方程为：，即． 由相切的性质可得：，化为：， 解得或． 故选． 【点睛】本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 40．（2024高二上·江苏南京·期末）已知的一条内角平分线所在直线的方程为，两个顶点为． (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求第三个顶点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于直线对称列方程组求点即可； （2）根据点关于直线对称列方程组求点即可. 【详解】（1）设点关于直线的对称点的坐标为， 则有，解得，故点的坐标为 （2）设，则有，解得，故点的坐标为. 41．（2024高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程． 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即． 故选：B． 42．（2024高二上·湖南常德·期中）若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线与l的交点在直线上，并且直线上任取一点，该点关于直线l的对称点也在直线上，根据两点坐标求出斜率，即可求出直线的方程. 【详解】联立，解得，即与l的交点为. 又点在上，设A关于l的对称点为， 则，解得，即， 所以直线的斜率， 从而直线的方程为， 即. 故选：D 一、单选题 1．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）过点和点的直线的斜率为（   ） A．7 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据斜率公式求解即可. 【详解】由题意，直线的斜率. 故选：B. 2．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知直线，设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用两条直线平行的条件得到得到或再判断即可得到结果 【详解】由直线，，当两条直线平行时，解得或， 当时，， 当时， 所以甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 3．（2024高二上·山东临沂·期中）已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合可求得直线的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率． 由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率， 因此直线的倾斜角的取值范围是． 故选：A. 4．（24-25高二上·广东江门·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线方程求出斜率的取值范围，结合正切函数图象及性质求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，， 因为的斜率为，即， 由正切函数的图象及性质得， 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：B. 5．（2024高二上·安徽黄山·期末）若直线经过点，且点，到它的距离相等，则的方程为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分类讨论，满足条件的直线有两条，一条是过这两点的中点，另一条是平行于这两点的直线，然后利用直线方程的知识求解即可. 【详解】根据题意，分情况讨论可得： 当两个点，在所求直线的异侧时， 即过线段的中点．由于直线又经过， 此时直线的斜率不存在，即满足题意的直线方程为； 当，在所求直线同侧时， 直线与所求的直线平行， 又因为， 所以所求的直线斜率为，由于直线又经过， 直线方程为， 化简得：， 综上，满足条件的直线为或， 故选：C． 6．（24-25高二上·四川绵阳·期末），函数的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据距离公式，利用的几何意义求最小值. 【详解】表示的几何意义为平面内的点到定点的距离， 表示的几何意义为平面内的点到定直线的距离， 所以表示的几何意义是动点到定点和到定直线的距离和， 如图，过点作直线的垂线，垂足为点，当点在线段时，最小，最小值为. 故选：C 7．（2024高二上·福建龙岩·期末）已知直线l的法向量为，且经过点，则原点O到l的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线点法式得直线方程，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】设点为直线上一点，则，所以， 即直线的方程为，所以原点O到l的距离为. 故选：C. 二、多选题 8．（24-25高二上·四川南充·期中）已知直线，直线，则下列说法正确的为（    ） A．直线过定点 B．若，则 C．若两条平行直线与间的距离为，则 D．点到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据直线过定点问题可判断A；结合题设直线的方程易得，进而结合直线垂直与斜率的关系即可判断B；先根据直线平行与斜率的关系可得时，，再结合平行直线之间的距离公式求解判断C；分析可得时，点到直线距离最大，进而求出即可判断D 【详解】由， 令，所以直线过定点，故A对； 若，所以，故B对； 若，则，即， 此时，即，， 因为直线与间的距离为， 所以或15，故C错； 由C知，直线过定点，要使点到直线距离最大，则， 则点到直线距离的最大值为，故D对； 故选：ABD 9．（2024高二下·内蒙古赤峰·期末）已知直线，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴的对称直线为 C．直线一定经过第四象限 D．点到直线的最大距离为 【答案】BD 【分析】A.由判断；B.由时，直线方程为判断；C.由时，直线方程为判断；D.点到定点的距离判断. 【详解】对于A，直线，所以直线过定点，故A错误； 对于B.当时，直线方程为，关于轴的对称直线为，故B正确； 对于C，当时，直线方程为，直线不经过第四象限，故C错误； 对于D，如图所示： 设，由图象知：，点到直线的最大距离为，故D正确； 故选：BD 10．（2024高二下·江苏南京·期末）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据直线平行可得在直线上运动，即可根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】解：动点分别在直线与上移动， 又线段的中点为，， 在直线上运动， 到直线的距离． 到坐标原点的距离大于等于． 故选：CD． 11．（2024高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 【答案】BD 【分析】将直线化为，代入两平行线间距离公式分析求解. 【详解】将直线化为， 则，之间的距离， 即，解得或． 故选：BD． 三、填空题 12．（2024高一下·上海·期末）已知直线过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为 ． 【答案】 【分析】首先利用直线垂直设直线方程的一般形式，再代入点，即可求解. 【详解】依题意设直线的一般式方程为：， 因为直线过点，所以，得， 所以直线的一般式方程为：． 故答案为：． 13．（2024高二下·上海·期末）过点且平行于直线的直线方程为 . 【答案】 【分析】依题意设所求直线方程为，代入点的坐标，求出参数的值，即可得解. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 把点代入可得，解得， 故所求的直线的方程为， 故答案为：． 14．（24-25高二上·上海·期中）直线绕其与轴的交点顺时针旋转所得的直线方程为，则原点到的距离为 . 【答案】 【分析】求出直线与轴的交点坐标、斜率，利用两角差的正切公式，求出所求直线的方程，再求出原点到直线的距离. 【详解】设直线的倾斜角为，则，直线的倾斜角为， 设直线的斜率为，则， ∵直线与轴的交点为， 所以直线的方程：，即． 原点到的距离为. 故答案为：． 四、解答题 15．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知点，，点C在x轴上，且是直角三角形，． (1)求点C的坐标； (2)求的面积； (3)求斜边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1) (2)10 (3)． 【分析】（1）设出C点坐标，利用垂直，转化为斜率之积为即可求出的值； （2）求出两直角边长，代入三角形面积公式即可； （3）写出AC中点E的坐标，利用直线的点斜式方程即可求出斜边中线所在直线方程． 【详解】（1）设．因为，所以， 显然，则． 因为，， 所以，解得，则． （2），， 的面积为． （3）记AC的中点为E，则． 直线BE的斜率为， 直线BE的方程为，即， 所以斜边上的中线所在直线的方程为． 16．（24-25高二上·陕西西安·期中）已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将直线方程改写成形式，解方程组即可得解； （2）设直线的方程为，求出点坐标，表示出面积，利用基本不等式求出面积的最小值得解. 【详解】（1）由可得：， 令，解得， 经检验，满足， 所以直线过定点． （2）由题意可设直线的方程为， 设直线与轴，轴正半轴交点分别为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 所以的周长为. 所以当面积最小时，的周长为. 17．（2024高一下·江苏无锡·期末）已知顶点，边AC上的高BH所在直线方程为，边AB上的中线CM所在的直线方程为. (1)求直线AC的方程； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2)24. 【分析】（1）利用点斜式求得直线的方程. （2）先求得两点的坐标，结合点到直线的距离公式、两点间的距离公式求得三角形的面积. 【详解】（1）由边上的高所在直线方程为，得直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）边上的中线所在的直线方程为， 由，解得，即， 设，则， 所以，解得，即， ，到的距离为， 所以的面积为. 18．（2024高二上·河北石家庄·阶段练习）已知直线与x轴，y轴的正半轴分别交于两点，O为坐标原点． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）先判断直线经过定点，设直线的截距式方程，代入得，利用基本不等式即可求得； （2）利用（1）的结论，借助于常值代换法和基本不等式即可求得 【详解】（1）由整理得，， 令，解得，即直线经过定点. 不妨设直线的方程为，则有（*） 由（*）和基本不等式可得，，解得， 当且仅当时，即时，等号成立， 故当时，的最小值为12； （2）因，由（1）得，， 则，当且仅当时，等号成立， 故当时，取得最小值. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$