专题03 等式与不等式的性质（思维导图+2大知识点+5大题型）（讲义+精练）-2026年高考艺术生数学40天提分100分冲刺计划

该高中数学高考复习资料聚焦等式与不等式性质专题，覆盖比较大小（作差法、作商法）、不等式性质应用、目标式取值范围、综合问题及糖水不等式等核心考点，按“基本方法—性质理解—综合应用”逻辑架构知识点，通过考点统计明确考情，知识点梳理构建体系，方法技巧总结提炼规律，题型归纳（含例题与变式）强化应用，助力学生系统突破难点。 资料突出“真题导向+分层突破”特色，题型归纳环节精选2022-2025年高考真题及模拟题，如通过“作差法步骤分解”培养运算能力，“糖水不等式生活情境分析”强化数学语言表达现实世界的意识，设置基础到综合的模拟题精练，配合方法技巧总结，确保学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

专题03 等式与不等式的性质 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 考点统计 4 04 知识点梳理 5 知识点1、比较大小基本方法 5 知识点2、不等式的性质 5 方法技巧与总结 5 05 题型归纳，举一反三 7 题型一：不等式性质的应用 7 题型二：比较数（式）的大小 7 题型三：求目标式的取值范围 7 题型四：不等式的综合问题 8 题型五：糖水不等式 8 06 模拟题精练 10 考点要求 考题统计 复习目标 （1）掌握等式性质． （2）会比较两个数的大小． （3）理解不等式的性质，并能简单应用． 2025年北京卷第6题，5分 2022年II卷第12题，5分 1、理解用作差法、作商法比较两个实数的大小． 2、理解等式与不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用． 知识点1、比较大小基本方法 关系 方法 做差法 与0比较 做商法 与1比较 或 或 知识点2、不等式的性质 （1）基本性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向 可加性 同向同正 可乘性 可乘方性 方法技巧与总结 1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率． 2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性． 比较法又分为作差比较法和作商比较法． 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论． 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论． 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小． 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法． 题型一：不等式性质的应用 【例1】（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·上海·高考真题）已知a、b、，，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】若，则下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 题型二：比较数（式）的大小 【例2】已知：，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知实数，则以下不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知，则与的大小是 ． 【变式2-3】当，且时， 与的大小为： . 【变式2-4】设，，且，则和的大小关系是 ． 题型三：求目标式的取值范围 【例3】设，则的取值范围是 ；的取值范围是 ；的取值范围是 ；的取值范围是 ． 【变式3-1】若变量，满足约束条件，，则的最小值为 ． 【变式3-2】设，且，则的取值范围是 ． 【变式3-3】（1）已知，，则的取值范围是 ． （2）已知，，则的取值范围是 ． 【变式3-4】已知，，则的取值范围为 . 题型四：不等式的综合问题 【例4】（2025·高三·上海金山·月考）已知直角坐标平面上的三点，，，记，，.请你写一个关于三者之间正确的不等式 . 【变式4-1】已知过长方体同一顶点的三条面对角线的长分别为5，4，，则的取值范围为 ． 【变式4-2】记实数中的最大数为，最小为，若，，均为正数，则 . 【变式4-3】若，，则与的大小关系为 .（用“”连接） 题型五：糖水不等式 【例5】（2025·高三·海南海口·月考）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·高三·河南·月考）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 1．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高三·北京·月考）设，，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·上海金山·一模）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·上海杨浦·一模）已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 6．若实数，满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·高三·广东汕头·期中）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（2025·高三·河北邯郸·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·高三·上海·期中）设，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·高三·云南·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 11．已知，下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 12．（多选题）（2025·四川德阳·一模）下列选项正确的是（   ） A．； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 13．（多选题）（2025·高三·江苏·月考）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，， D．若，则 14．（多选题）（2025·高三·重庆·月考）如图，这是某十字路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 ， ， ， 的机动车辆数如图所示，例如:路口 中的数字 “55”表示单位时间驶入路口 的机动车辆数，数字“50”表示单位时间驶出路口 的机动车辆数. 图中 分别表示该时段单位时间通过路段 的机动车辆数 (假设单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)， 则（    ） A． B． C． D． 15．（多选题）（2025·广东·模拟预测）已知，则下列命题一定为真命题的有（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 16．已知且，则与的大小关系为 ． 17．（2025·高三·山东菏泽·期中）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定 （填第一种或者第二种）方式比较经济. 18．（2025·高三·河南·月考）已知，，则的取值范围为 ． 19．（2025·高三·江西·月考）若，，则的最小值是 ． 20．已知，，则的取值范围为 . 21．刘老师沿着某公园的环形道（周长大于）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数.已知刘老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为 .    22．（2025·高三·河北衡水·开学考试）记为中最小的数.设，，.则的最大值为 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 等式与不等式的性质 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 考点统计 4 04 知识点梳理 5 知识点1、比较大小基本方法 5 知识点2、不等式的性质 5 方法技巧与总结 5 05 题型归纳，举一反三 7 题型一：不等式性质的应用 7 题型二：比较数（式）的大小 8 题型三：求目标式的取值范围 9 题型四：不等式的综合问题 12 题型五：糖水不等式 13 06 模拟题精练 16 考点要求 考题统计 复习目标 （1）掌握等式性质． （2）会比较两个数的大小． （3）理解不等式的性质，并能简单应用． 2025年北京卷第6题，5分 2022年II卷第12题，5分 1、理解用作差法、作商法比较两个实数的大小． 2、理解等式与不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用． 知识点1、比较大小基本方法 关系 方法 做差法 与0比较 做商法 与1比较 或 或 知识点2、不等式的性质 （1）基本性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向 可加性 同向同正 可乘性 可乘方性 方法技巧与总结 1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率． 2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性． 比较法又分为作差比较法和作商比较法． 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论． 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论． 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小． 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法． 题型一：不等式性质的应用 【例1】（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A,取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D,取，则，此时，故D错误， 故选：C 【变式1-1】（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 【变式1-2】（2024·上海·高考真题）已知a、b、，，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，当时，，则，故A错误； 对B，则则，故B正确； 对C，当时，故C错误； 对D，当时，故D错误. 故选：B 【变式1-3】若，则下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，由于，故，所以，即，A正确， 对于B，由于，故，B正确， 对于C，由于，故，故C正确， 对于D，因为在上单调递减，又，所以，故D错误， 故选：D. 题型二：比较数（式）的大小 【例2】已知：，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， ， 又，， . 故选：D． 【变式2-1】已知实数，则以下不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于实数，则， ，所以， ，所以， 所以. 故选：C 【变式2-2】已知，则与的大小是 ． 【答案】 【解析】， ，， ， 故答案为： 【变式2-3】当，且时， 与的大小为： . 【答案】 【解析】， ①当时，即，时，，所以； ②当时，即，时，，所以； 综上所述，当，且时，. 故答案为： 【变式2-4】设，，且，则和的大小关系是 ． 【答案】 【解析】因为，，且，所以， 当时，由，，可得，所以． 当时，由，，可得，所以． 综上可得，． 故答案为：． 题型三：求目标式的取值范围 【例3】设，则的取值范围是 ；的取值范围是 ；的取值范围是 ；的取值范围是 ． 【答案】 【解析】①由，得. 又，所以. 所以的取值范围是. ②由，，知. 所以的取值范围是. ③由，得； 由，得. 所以. 所以的取值范围是. ④由，得. 又，所以. 所以的取值范围是. 故答案为：；；；. 【变式3-1】若变量，满足约束条件，，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设， 故. 故. 由于，， 所以 所以，即，故最小值为－6． 故答案为：－6 【变式3-2】设，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由条件：⇒， ， 又， 所以， 即的取值范围是. 故答案为： 【变式3-3】（1）已知，，则的取值范围是 ． （2）已知，，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】（1）因为，所以，因为， 所以，所以的取值范围是. （2）因为，所以. 因为，所以，即，解得. 将代入中得，即， 得，所以，所以的取值范围是. 故答案为：（1）；（2）. 【变式3-4】已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】设，即，解得. 所以. 因为，. 所以，. 所以. 故答案为：. 题型四：不等式的综合问题 【例4】（2025·高三·上海金山·月考）已知直角坐标平面上的三点，，，记，，.请你写一个关于三者之间正确的不等式 . 【答案】 【解析】， 当且仅当取等号， 同理可得：， 当且仅当取等号， 所以， 当且仅当且取等号， 即. 故答案为： 【变式4-1】已知过长方体同一顶点的三条面对角线的长分别为5，4，，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】如图，设，则有， 从而得， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 【变式4-2】记实数中的最大数为，最小为，若，，均为正数，则 . 【答案】9 【解析】设，因为，，均为正数，所以， 依题意，整理得， 所以，得 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9. 【变式4-3】若，，则与的大小关系为 .（用“”连接） 【答案】 【解析】 ， 因为，，则，， 所以. 故答案为：. 题型五：糖水不等式 【例5】（2025·高三·海南海口·月考）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】这一事实表示为一个不等式为． 证明：， 又，， ，即， 即. 故选： 【变式5-1】克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，，A错误； 对于B，，，则，B错误. 对于C，由，得，C正确； 对于D，，D错误； 故选：C 【变式5-2】（2025·高三·河南·月考）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原糖水的浓度为，加入糖后糖水的浓度为，加入糖后糖水浓度变大了， 所以. 故选：D 【变式5-3】十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，加入克糖（）后糖水变甜了， 即糖水的浓度增加了， 加糖之前，糖水的浓度为：；加糖之后，糖水的浓度为：； 所以. 故选：A. 1．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，若，则，故AC正确； 对于B， 当，则；故B错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：B. 2．若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，由，所以，错误； 对B，由，，所以，正确； 对C，由，所以，错误； 对D，由，所以，错误. 故选：B. 3．（2025·高三·北京·月考）设，，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时， ，此时，选项A不成立； 当时， ，此时，选项B不成立； 当时， ，此时，选项C不成立； 令，由则 ， 构造函数 ，则，当且仅当时，等号成立， 所以函数在时单调递增，因为 ，因此当时， ，即， 即 ，故，选项D正确. 故选D 4．（2025·上海金山·一模）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，因，由，可得，故A错误； 对于B，因，则，利用不等式的性质，可得，即，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C错误； 对于D，因，利用不等式的性质，可得，即，故D正确. 故选：D. 5．（2025·上海杨浦·一模）已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，令，满足， 此时，，故A错误； 对于B，由，两式相加得，故B正确； 对于C，令，满足， 此时，，故C错误； 对于D，令，满足， 此时，，故D错误. 故选：B 6．若实数，满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，， 所以，A选项错误. 当时，，B选项错误. 根据不等式的性质可知，C选项正确. 根据不等式的性质可知，D选项错误. 故选：C 7．（2025·高三·广东汕头·期中）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，因为， 若，则，，， 所以，即，故B正确； 对于C，因为， 若，则，， 所以，即，故C错误； 对于D，令，，则，，故D错误． 故选：B． 8．（2025·高三·河北邯郸·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，， 又，． 故选：D． 9．（2025·高三·上海·期中）设，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得，所以，故C一定成立， 若，，满足，但是，，故A、B、D不一定成立. 故选：C 10．（2025·高三·云南·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，又因为，所以， 又由，所以，， 若，此时，与矛盾，所以， 即，所以， 即，所以， 即，所以， 故选：D． 11．已知，下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于B，由，知，所以.故B正确. 对于C，若，则，则； 若，则，则； 若，则，则.故C错误. 对于D，，所以.故D错误. 故选：B. 12．（多选题）（2025·四川德阳·一模）下列选项正确的是（   ） A．； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 【答案】AC 【解析】因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以，故A正确； 当，满足，但，故B错误； 若，则，则即，故C正确； 当时，，故D错误. 故选：AC 13．（多选题）（2025·高三·江苏·月考）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，， D．若，则 【答案】BCD 【解析】对于选项A，当时,，故A错误. 对于选项B，因为,所以,所以 ,故B正确. 对于选项C，,而,所以，故C正确. 对于选项D，令,所以且, 又因为显然成立， 所以成立，即，故D正确. 故选：BCD. 14．（多选题）（2025·高三·重庆·月考）如图，这是某十字路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 ， ， ， 的机动车辆数如图所示，例如:路口 中的数字 “55”表示单位时间驶入路口 的机动车辆数，数字“50”表示单位时间驶出路口 的机动车辆数. 图中 分别表示该时段单位时间通过路段 的机动车辆数 (假设单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】依题意，有，所以， 同理，，所以， 同理，，所以， 同理，，所以， 所以． 故选：AC． 15．（多选题）（2025·广东·模拟预测）已知，则下列命题一定为真命题的有（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于A，因为函数单调递增，又，所以，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，由不等式的传递性可知，故C正确； 对于D，由得，又，所以，即. 又，即，则，即，又，故，故D正确. 故选：ACD. 16．已知且，则与的大小关系为 ． 【答案】 【解析】， 因为且， 所以，所以，即． 故答案为： 17．（2025·高三·山东菏泽·期中）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定 （填第一种或者第二种）方式比较经济. 【答案】第二种 【解析】按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为，购， 第二次购物时的价格为元，仍购， 两次购物的平均价格为； 若按第二种策略购物，第一次花元钱，能购物品， 第二次仍花元钱，能购物品， 两次购物的平均价格为， 比较两次购的平均价格：， 第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格， 因而用第二种策略比较经济. 故答案为：第二种. 18．（2025·高三·河南·月考）已知，，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为，又，， 则，所以， 故答案为：． 19．（2025·高三·江西·月考）若，，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】，，又， ，即的最小值为. 故答案为：. 20．已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】设， 则， 令，解得， 故， 因为，， 所以， 所以，即， 所以的取值范围为. 故答案为： 21．刘老师沿着某公园的环形道（周长大于）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数.已知刘老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为 .    【答案】8 【解析】设公园的环形道的周长为，刘老师总共跑的圈数为，（）， 则由题意，所以，即， 因为，所以， 又，所以，即刘老师总共跑的圈数为8. 故答案为：8 22．（2025·高三·河北衡水·开学考试）记为中最小的数.设，，.则的最大值为 【答案】 【解析】设， ∵，， ∴， ∴，， ∴，∴， ∴，当且仅当时取等号. 所以的最大值为. 故答案为： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $