数学一模突破卷02（广东专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 高三数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数定义域及值域问题可求集合A、B，再求即可. 【详解】因为，∴， ，， 故选：D. 2．已知为原点，复数在复平面内对应的点分别为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由复数的运算、模的计算、复数的几何意义、数量积的坐标公式以及充分条件和必要条件的概念依次判断即可得到结果. 【详解】设，则， 若，则， 即， 所以，，充分性成立； 若0，则，又， 所以 ， 即，必要性成立． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：C． 3．已知平面向量，，且，则（    ） A． B．4 C． D．24 【答案】C 【分析】由，得到，通过即可求解. 【详解】因为， 所以， 又，则， 所以， 所以， 所以 ， 故选：C 4．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则的值为（    ） A．58 B．57 C．56 D．55 【答案】D 【分析】利用下标和性质分别求出和即可得解. 【详解】设等差数列的首项为，等比数列的首项为， 则， 所以. 故选：D 5．已知直线与圆交于，两点，为圆心，若的面积等于8，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形的面积可求得，可求弦长. 【详解】圆的半径，由已知得，故， 所以，所以. 故选：D. 6．大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa），它随海拔高度h（m）的变化规律可以近似的表示为（其中e为自然对数的底数，是海平面大气压强，为常数）.已知宁波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为1018m，大气压强为90900Pa，宁波城区一处的海拔约为4m，大气压强为101000Pa.现测得某山峰上一处的大气压强为80800Pa，请估计该处的海拔高度（单位：m）位于以下哪个范围内？（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意与对数的运算性质求解海拔高度，再判断范围即可. 【详解】设城区的压强为，四明山的压强为， 由题意得，， 两式作除法可得，解得， 对于目标点，可得，由已知得， 两式作除法可得，解得， 则 ，在内，故C正确. 故选：C 7．若，对于恒有，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把不等式化简可得m的范围，求出b-a最大值即可. 【详解】由，得，即, 由几何意义可知，函数的图像在函数，的图像之间， 如下图所示，， 要使达到最大，仅需要或，此时.    故选：B. 8．若实数满足，设，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，令，有，把可以看作方程的解，则，进而求进行变形，令，求导判断函数的单调性，得到函数的最值，最后得到的最小值 【详解】由题易知，令，则， 所以可以看作方程的解，则， 根据对数的真数大于零可得，则， 所以， 令，则， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以，，即的最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．两组数据和，它们的平均数分别为，，方差分别为，，则（   ） A．的平均数为 B．的方差为 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据题意结合平均数的定义判断AC；对于BD：举反例说明即可. 【详解】由题意可知：，，即，， 对于选项A：因为， 所以的平均数为，故A正确； 对于选项C：若， 则，即，故C正确； 对于选项BD：例如两组数据分别为和， 则，，，， 数据的平均数为，方差为，故B错误； 且满足，，但，故D错误； 故选：AC. 10．在棱长为2的正方体中，是其表面上一点，且与所成的角为，下列说法正确的是（    ） A．若是的中点，则 B．若在线段上，则 C．若，则的轨迹长度是 D．若，则不在面上 【答案】ABD 【分析】利用几何法求出异面直线的夹角判断AB；由异面直线夹角的定义确定轨迹推理判断CD. 【详解】对于A，由，得，又平面，则，A正确； 对于B，过作交于，连接，则，， ，，B正确； 对于C，由，，得射线的轨迹是以为轴，轴截面等腰三角形顶角 为的圆锥侧面，当点在底面内时，， 点的轨迹是以为圆心，所含圆心角为的圆弧，轨迹长度为； 当点在侧面内时，点的轨迹分别是圆锥一条母线的一部分，长度为， 因此的轨迹长度是，C错误. 对于D，，射线的轨迹是以为轴，轴截面等腰三角形顶角为的圆锥侧面， 当点在平面内时，，不在底面上，D正确. 故选：ABD 11．已知函数，其中，，则（    ） A．若存在最小正周期且，则 B．若，则存在最小正周期且 C．若，，则的所有零点之和为2 D．若，，则在上恰有2个极值点 【答案】AD 【分析】由求出可判断A；若，当时，，可判断B；当，时，化简，即所以的所有零点之和，即与的交点的横坐标之和，画出图象可判断C；当，，则，对求导，令，则，则在的极值点个数，即图象的交点个数，画出图象可判断D. 【详解】对于A，若存在最小正周期且，则，解得：，故A正确； 对于B，若，当时， ， 所以，故B不正确； 对于C，令，则， 当，时，， ， ， 所以，即， 所以的所有零点之和，即与的交点的横坐标之和， 如下图，   与的有3个交点（从左到右）为，且与的关于对称， 故，，则，故，C不正确； 对于D，当，，则， 即， 因为，，令，则， 则，则在的极值点个数， 即图象的交点个数，如下图，    故图象有2个交点，故D正确. 故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量，且，则的展开式中常数项为 ． 【答案】60 【分析】先利用正态分布对称性求出的值，然后利用二项展开式求出常数项即可. 【详解】由随机变量，正态分布关于均值对称， 因为， 所以和关于2对称， 所以， 所以二项式为：， 又二项展开式的通项为：， 令解得：， 所以二项展开式中常数项为：， 故答案为：60. 13．在抛物线 上有横坐标为 2 的点 A，过A作 AB垂直于 C 的准线，垂足为，记C的焦点为F ，连接AF ，BF ，若△ABF的面积为 则p的值为 . 【答案】1 【分析】根据题意设出的坐标，再根据准线得到的坐标，从而求出的长度和焦点到的距离，利用三角形面积得到和的等式，再利用点在抛物线上，得到，通过解方程组得到的值. 【详解】   在抛物线 上有横坐标为 2 的点, 设，抛物线的准线方程为， 过作垂直于 C 的准线，垂足为，， ，抛物线C的焦点为,在轴上， 到的距离为， ，， 又在抛物线上，，联立方程组，解得. 故答案为：1 14．已知圆，点．过点作圆的两条切线，切点分别为，直线与轴、轴分别交于，两点．设的面积为，若数列满足，则 . 【答案】 【分析】利用四点在以直径的圆上，求出该圆方程与圆联立得到公共弦的方程为，再表示出，以及数列，利用裂项相消法即可得到答案. 【详解】由题可得：四点在以为直径的圆上， 该圆的圆心为，半径为, 故该圆方程为, 即， 将两圆方程相减， 可得公共弦的方程为． 令，得，故． 令，得，故． 所以． 从而． 因此 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）的角对应边是 a，b，c ，三角形的重心是 O.已知. (1)求 a 的长. (2)求的面积. 【答案】(1)； (2)18. 【分析】（1）根据给定条件，利用三角形重心的向量表示，结合数量积的运算律求出a 的长. （2）由（1）的信息，利用三角形面积公式，结合三角形重心的性质计算即得. 【详解】（1）在中，由O是重心，得 ，即有， 于是，解得， 而，所以. （7分） （2）由（1）得，又O是重心， 所以的面积. （6分） 16．（15分）某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额（单位：万亿元）的散点图，如图所示： (1)已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率； (2)由散点图知，和的关系可用经验回归模型进行拟合，求关于的经验回归方程. 参考数据：设，则. 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）16年中有4年居民存款余额超过100万亿元，根据组合知识求解概率； （2）两边取对数，再根据公式求出，，从而，故. 【详解】（1）由题意，16年中有4年居民存款余额超过100万亿元， 故所求概率为. （6分） （2）， 由题知，， ， ， ，故. （9分） 17．（15分）已知函数,. (1)当时，设曲线在处的切线为，求与曲线的公共点个数； (2)当时，若，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)1个 (2) 【分析】（1）先求切线方程，再联立方程，化为单变量方程，分析单调性和极值点，判断交点个数； （2）利用函数在区间内的最大值与最小值之差，考虑极值点和端点，列不等式，解出的取值范围. 【详解】（1）当时，，其定义域为. 因为，所以. 所以曲线在处的切线方程为，即. 联立方程可得，. 设，，求导得. 所以在上单调递增.又，所以有且仅有一个零点，所以直线与曲线的公共点个数为1. （6分） （2）对函数求导得，令，可得. 分情况讨论，①当时，即，此时在区间上单调递增， 则，解得. 又，所以. ②当时，即，在上单调递减，在上单调递增. 所以最小值为，，， 当最大时，即，解得. 此时，，而恒成立. 所以，满足题意. 当最大时，即，解得. 此时，即. 设，，， 所以在上递减，故，所以，满足题意. 综上，. ③当时，即，在区间上单调递减， 此时. 若其成立，则，与条件相矛盾，所以该情况下不等式不能恒成立. 综上所述，实数的取值范围为. （9分） 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，，点在线段上(与不重合). (1)若平面平面，证明: 平面； (2)当的面积最小时，求 值； (3)在 (2) 的条件下，若点 是线段的 等分点，分别过点 在四棱锥上作平行于平面的截面，记相应的截面面积为 ，证明: . 参考公式: 【答案】(1)证明过程见详解 (2) (3)证明过程见详解 【分析】（1）利用线面平行的性质定理可证明； （2）利用线面垂直的判定先证平面，当面积取得最小值时，即最小，计算出，的长度，根据相似比即可确定 值； （3）根据（2）可知，这些截面都是相似直角梯形，利用相似可得到第个截面的面积，再根据求和公式求和即可证明. 【详解】（1）证明：底面为正方形，则， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （3分） （2）由（1）知平面，设直线交于点，连接， 底面为正方形，，平面平面， 平面平面，所以平面， 又平面，所以， 在中，，，， 所以，即， 又，所以， 又，，平面，平面， 平面，，又，所以， 故当最小时，即时，面积取得最小值， ，，，时，， ，， 所以，即的面积最小时，的值为. （7分） （3）证明：由（2）知，， ， 由题意不妨设是距离点P的由近及远的个等分点，第个等分为，截面为， 则，所以， 即， . （7分） 19．（17分）已知满足，，，且是锐角. (1)求； (2)设，所在直线分别为直线，，A，B分别在，上，过A，B分别作的角平分线的垂线，垂足为M，N，且为定值，以，为邻边作平行四边形. （i）请建立适当的坐标系求出R点轨迹方程C； （ⅱ）若直线交C于P，Q两点，以线段，为直径的两圆的另一个交点为G，且，求的最大值. 【答案】(1)； (2)（i）R点轨迹方程C为；（ⅱ）2. 【分析】（1）由即可计算求解； （2）（i）由题意建立适当平面直角坐标系，求出，进而可设，接着结合题意求出，再利用即可求出R点轨迹方程C； （ⅱ）分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在两种情况求解，先求出特殊情形直线l的斜率不存在时的值，接着联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求出直线l的斜率存在时表达式，利用换元法和二次函数性质即可求解. 【详解】（1）由题可得； （2分） （2）（i）以O为原点、的角平分线所在直线为x轴建立如图所示平面直角坐标系， 由题意，则， 又由（1）得， ，即， 所以可设， 则， 设，由题意，所以， 所以，所以，即， 所以R点轨迹方程C为. （7分） （ⅱ）由题意可得，所以三点共线，且， 因为，所以原点到直线l的距离为1， 当直线l的斜率不存在时，即直线轴时，直线l的方程为，代入得， 所以； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 所以原点到直线l的距离为，即， 联立， 设，则， 因为， 所以， 令，则且， 因为，所以当即时有， 综上，的最大值为2. （8分） 8 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知为原点，复数在复平面内对应的点分别为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知平面向量，，且，则（    ） A． B．4 C． D．24 4．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则的值为（    ） A．58 B．57 C．56 D．55 5．已知直线与圆交于，两点，为圆心，若的面积等于8，则（   ） A． B． C． D． 6．大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa），它随海拔高度h（m）的变化规律可以近似的表示为（其中e为自然对数的底数，是海平面大气压强，为常数）.已知宁波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为1018m，大气压强为90900Pa，宁波城区一处的海拔约为4m，大气压强为101000Pa.现测得某山峰上一处的大气压强为80800Pa，请估计该处的海拔高度（单位：m）位于以下哪个范围内？（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 7．若，对于恒有，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．若实数满足，设，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．两组数据和，它们的平均数分别为，，方差分别为，，则（   ） A．的平均数为 B．的方差为 C．若，则 D．若，则 10．在棱长为2的正方体中，是其表面上一点，且与所成的角为，下列说法正确的是（    ） A．若是的中点，则 B．若在线段上，则 C．若，则的轨迹长度是 D．若，则不在面上 11．已知函数，其中，，则（    ） A．若存在最小正周期且，则 B．若，则存在最小正周期且 C．若，，则的所有零点之和为2 D．若，，则在上恰有2个极值点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量，且，则的展开式中常数项为 ． 13．在抛物线 上有横坐标为 2 的点 A，过A作 AB垂直于 C 的准线，垂足为，记C的焦点为F ，连接AF ，BF ，若△ABF的面积为 则p的值为 . 14．已知圆，点．过点作圆的两条切线，切点分别为，直线与轴、轴分别交于，两点．设的面积为，若数列满足，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）的角对应边是 a，b，c ，三角形的重心是 O.已知. (1)求 a 的长. (2)求的面积. 16．（15分）某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额（单位：万亿元）的散点图，如图所示： (1)已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率； (2)由散点图知，和的关系可用经验回归模型进行拟合，求关于的经验回归方程. 参考数据：设，则. 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 17．（15分）已知函数,. (1)当时，设曲线在处的切线为，求与曲线的公共点个数； (2)当时，若，恒成立，求实数的取值范围. 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，，点在线段上(与不重合). (1)若平面平面，证明: 平面； (2)当的面积最小时，求 值； (3)在 (2) 的条件下，若点 是线段的 等分点，分别过点 在四棱锥上作平行于平面的截面，记相应的截面面积为 ，证明: . 参考公式: 19．（17分）已知满足，，，且是锐角. (1)求； (2)设，所在直线分别为直线，，A，B分别在，上，过A，B分别作的角平分线的垂线，垂足为M，N，且为定值，以，为邻边作平行四边形. （i）请建立适当的坐标系求出R点轨迹方程C； （ⅱ）若直线交C于P，Q两点，以线段，为直径的两圆的另一个交点为G，且，求的最大值. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C C D D C B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ABD AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．60 13．1 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）【详解】（1）在中，由O是重心，得 ，即有， 于是，解得， 而，所以. （7分） （2）由（1）得，又O是重心， 所以的面积. （6分） 16．（15分）【详解】（1）由题意，16年中有4年居民存款余额超过100万亿元， 故所求概率为. （6分） （2）， 由题知，， ， ， ，故. （9分） 17．（15分）【详解】（1）当时，，其定义域为. 因为，所以. 所以曲线在处的切线方程为，即. 联立方程可得，. 设，，求导得. 所以在上单调递增.又，所以有且仅有一个零点，所以直线与曲线的公共点个数为1. （6分） （2）对函数求导得，令，可得. 分情况讨论，①当时，即，此时在区间上单调递增， 则，解得. 又，所以. ②当时，即，在上单调递减，在上单调递增. 所以最小值为，，， 当最大时，即，解得. 此时，，而恒成立. 所以，满足题意. 当最大时，即，解得. 此时，即. 设，，， 所以在上递减，故，所以，满足题意. 综上，. ③当时，即，在区间上单调递减， 此时. 若其成立，则，与条件相矛盾，所以该情况下不等式不能恒成立. 综上所述，实数的取值范围为. （9分） 18．（17分）【详解】（1）证明：底面为正方形，则， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （3分） （2）由（1）知平面，设直线交于点，连接， 底面为正方形，，平面平面， 平面平面，所以平面， 又平面，所以， 在中，，，， 所以，即， 又，所以， 又，，平面，平面， 平面，，又，所以， 故当最小时，即时，面积取得最小值， ，，，时，， ，， 所以，即的面积最小时，的值为. （7分） （3）证明：由（2）知，， ， 由题意不妨设是距离点P的由近及远的个等分点，第个等分为，截面为， 则，所以， 即， . （7分） 19．（17分）【详解】（1）由题可得； （2分） （2）（i）以O为原点、的角平分线所在直线为x轴建立如图所示平面直角坐标系， 由题意，则， 又由（1）得， ，即， 所以可设， 则， 设，由题意，所以， 所以，所以，即， 所以R点轨迹方程C为. （7分） （ⅱ）由题意可得，所以三点共线，且， 因为，所以原点到直线l的距离为1， 当直线l的斜率不存在时，即直线轴时，直线l的方程为，代入得， 所以； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 所以原点到直线l的距离为，即， 联立， 设，则， 因为， 所以， 令，则且， 因为，所以当即时有， 综上，的最大值为2. （8分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知为原点，复数在复平面内对应的点分别为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知平面向量，，且，则（    ） A． B．4 C． D．24 4．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则的值为（    ） A．58 B．57 C．56 D．55 5．已知直线与圆交于，两点，为圆心，若的面积等于8，则（   ） A． B． C． D． 6．大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa），它随海拔高度h（m）的变化规律可以近似的表示为（其中e为自然对数的底数，是海平面大气压强，为常数）.已知宁波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为1018m，大气压强为90900Pa，宁波城区一处的海拔约为4m，大气压强为101000Pa.现测得某山峰上一处的大气压强为80800Pa，请估计该处的海拔高度（单位：m）位于以下哪个范围内？（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 7．若，对于恒有，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．若实数满足，设，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．两组数据和，它们的平均数分别为，，方差分别为，，则（   ） A．的平均数为 B．的方差为 C．若，则 D．若，则 10．在棱长为2的正方体中，是其表面上一点，且与所成的角为，下列说法正确的是（    ） A．若是的中点，则 B．若在线段上，则 C．若，则的轨迹长度是 D．若，则不在面上 11．已知函数，其中，，则（    ） A．若存在最小正周期且，则 B．若，则存在最小正周期且 C．若，，则的所有零点之和为2 D．若，，则在上恰有2个极值点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量，且，则的展开式中常数项为 ． 13．在抛物线 上有横坐标为 2 的点 A，过A作 AB垂直于 C 的准线，垂足为，记C的焦点为F ，连接AF ，BF ，若△ABF的面积为 则p的值为 . 14．已知圆，点．过点作圆的两条切线，切点分别为，直线与轴、轴分别交于，两点．设的面积为，若数列满足，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）的角对应边是 a，b，c ，三角形的重心是 O.已知. (1)求 a 的长. (2)求的面积. 16．（15分）某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额（单位：万亿元）的散点图，如图所示： (1)已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率； (2)由散点图知，和的关系可用经验回归模型进行拟合，求关于的经验回归方程. 参考数据：设，则. 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 17．（15分）已知函数,. (1)当时，设曲线在处的切线为，求与曲线的公共点个数； (2)当时，若，恒成立，求实数的取值范围. 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，，点在线段上(与不重合). (1)若平面平面，证明: 平面； (2)当的面积最小时，求 值； (3)在 (2) 的条件下，若点 是线段的 等分点，分别过点 在四棱锥上作平行于平面的截面，记相应的截面面积为 ，证明: . 参考公式: 19．（17分）已知满足，，，且是锐角. (1)求； (2)设，所在直线分别为直线，，A，B分别在，上，过A，B分别作的角平分线的垂线，垂足为M，N，且为定值，以，为邻边作平行四边形. （i）请建立适当的坐标系求出R点轨迹方程C； （ⅱ）若直线交C于P，Q两点，以线段，为直径的两圆的另一个交点为G，且，求的最大值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $