专题10 三角形中的重要模型之特殊三角形中的分类讨论模型（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦特殊三角形分类讨论模型，覆盖等腰三角形（角/高、边分类）和直角三角形（斜边不确定、存在性）四大中考核心考点，通过“模型提炼-真题解析-方法归纳”教学流程，帮助学生系统突破漏解难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“模型化+分层训练”教学策略，如用“两圆一线”法解决坐标系等腰三角形存在性问题，结合2025年多地中考真题培养学生数学思维与几何直观。设置基础例题与综合练习题，配合即时反馈机制，助力学生提升分类讨论能力，教师可据此精准把控复习节奏，高效提升应考水平。

专题10 三角形中的重要模型之特殊三角形中的分类讨论模型 特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分类讨论模型，是初中各类考试中几何压轴题的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在处理等腰三角形和直角三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰或直角三角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把特殊三角形分类讨论情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型 6 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型 7 模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 12 模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型 14 17 特殊三角形中的分类讨论模型源于动态特殊三角形（等腰、直角三角形等）的不确定性，强调分类讨论的逻辑性，后由教育工作者将其系统归纳形成了特殊三角形中的分类讨论模型。 （2025·广东深圳·模拟预测）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角度数为，则顶角的度数为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 （2025·江苏扬州·二模）如图，矩形纸片中，，，对角线、将矩形纸片分割成4个等腰三角形，除了这种方法外，还有 种不同的方法也能将这张矩形纸片完全分割成4个等腰三角形． （2025·黑龙江绥化·中考真题）在边长为7的等边三角形中，点在上，．点是直线上的一个动点，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接，当为直角三角形时，则的长是 ． 1）等腰三角形中的分类讨论模型-对角或高的分类讨论 （1）若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和腰的原理相同。 （2）若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。 2）等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。 2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。 等腰三角形的两种分类讨论方法 方法1. “两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。 如图：已知，两点是定点，在坐标轴上找一点构成等腰。 ①以已知线段为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2个）； ②以已知线段为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以为圆心的有4个，以为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。 方法2. “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。 若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。 3）斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。 4）直角三角形存在性模型 直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。 直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。 “两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。 问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形． 分三种情况，如图： ①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求； ②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求； ③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求． 代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。 几何法计算：找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过添加辅助线构造相似三角形。特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解． 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角或高的分类讨论 例1（2025·浙江·模拟预测）如图，在平行四边形 中， ，点 为边 上一点，当 为等腰三角形时， 的度数是 ．    例2（24-25九年级上·山东·期末）若等腰内接于，，，则底角的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 例3已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　） A． B．或 C．或 D． 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 例1（2025·山东·校考二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，若为轴上一点，且使得为等腰三角形，则满足条件的点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例2（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．      例3（2025·浙江绍兴校考·一模）中，∠A=36°，∠B是锐角．当∠B=72°时，我们可以如图作线段BD将分成两个小等腰三角形如果存在一条线段将分成两个小三角形，这两个小三角形都是等腰三角形，则∠B的角度还可以取到的有 ． 例4（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，已知，，，点，是边上的两个动点，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒．（值用小数表示）      （1）当为 时，是等腰三角形； （2）当点在上运动时，值从小到大依次是 ， ， 时，为等腰三角形． 例5（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知直线的图象与轴、轴交于、两点，，．(1)求直线的函数表达式；(2)在轴上有点，点在第一象限内，同时也在直线上，若面积等于4，求点的坐标；(3)若是轴正半轴上的一个动点，请直接写出当是等腰三角形时的坐标． 模型3.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 例1（2025·浙江嘉兴·三模）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（    ） A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或 例2（2025·河南郑州·校考一模）在矩形中，，为的中点，取的中点，连接，当为直角三角形时，的长为 ． 例3（2025·江西吉安·三模）如图，在中，，，，为上一点，，为边上的动点，当为直角三角形时，的长为 ． 模型4.直角三角形存在性模型 例1（24-25九年级·广东·专题练习）如图，已知，C为坐标轴上一点，且是直角三角形，则满足条件的C点有(    )个． A．6 B．7 C．8 D．9 例2（2025·河南南阳·模拟预测）如图1，是边长为4的等边三角形，将沿中线折叠，得到，如图2，再次沿过点的直线将折叠，得到，其中点为折痕与边的交点，点为点的对应点，与边交于点，如图3所示．当点在边上，且为直角三角形时，的长度是 ． 例3（2025·河南郑州·二模）如图，在菱形中，，将边绕点A顺时针旋转 ()得到，连接，当为直角三角形时，的度数为 例4（2025·河南·模拟预测）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法将一条线段截为三段，且三段顺次相连恰好构成直角三角形的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应任务． 小明：如图①， （1）以线段为斜边作等腰直角；（2）在线段上取一点D，作射线； （3）将射线绕点C逆时针旋转至，交线段于点E．线段，，顺次相连恰好构成直角三角形． 小亮：我可以用轴对称的方法进行证明，如图②，将沿所在的直线对折得到，连接．简述理由如下：通过证明，进而说明线段，，顺次相连即为直角三角形． 小强：我可以用旋转的方法进行证明，如图③，将绕点C逆时针旋转至，连接． … 任务：(1)小亮得出的依据是________（填序号）； ①　②　③　④　⑤ (2)请完成小强的证明过程；(3)如图④，已知，小娟认为以线段为底边作等腰，使，在线段上取一点D，作射线，再将射线绕点C逆时针旋转至，交线段于点E，也能得到线段，，顺次相连构成直角三角形，请直接写出线段的长． 1．（2025·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在中，，，．若点P为直线BC上一点，且为等腰三角形，则符合条件的点P有（       ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25·广东佛山·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，．点E为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，则的长为（    ） A．2或18 B．3或18 C．3或2 D．2或8 3．（24-25·河北衡水·九年级统考期中）“如图，是等腰三角形，，平分．是射线上一点，如果点满足是等腰三角形，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则下列判断正确的是（    ）    A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙合在一起才正确 D．三人合在一起答案才完整 4．（2025·江西吉安·二模）如图，在中，，，点P为边上一动点，连接，若与至少有一个为等腰三角形，且满足长为整数，则这样的点P个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5.（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）等腰三角形中，有一个角是，则另外两个角分别为 ． 6．（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，正方形边长为，为边中点，连接，点为线段延长线上一点，若为直角三角形，则的长是 ． 7．（2025·江西萍乡·模拟预测）已知等边的顶点坐标，，点在轴上方，是所在平面上的点，若，，都是等腰三角形，且这3个等腰三角形中恰好有2个的面积等于4，则点的坐标为 ． 8．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，，，点是的中点，点是斜边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，若为直角三角形，则的长为 ．    9．（2025·河南濮阳·二模）如图，在中，，，，的垂直平分线交于E，交于点D，将线段绕点D顺时针旋转，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为 ． 10．（2025·江西萍乡·校考一模）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，点D是BC边上的一点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处，当△BDE是直角三角形时，∠CAD的度数为 ． 11．（2025·新疆·模拟预测）如图，在中，，，将三角形沿某条直线折叠，使点落在边上的点，折痕与边、分别交于点、．若折叠后的为等腰三角形，为直角三角形，则 ． 12．（2025·广东深圳·一模）如图，在菱形中，，对角线交于点，是上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转到，且，连接，若是直角三角形，则的长为 ． 13．（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，在长方形中，，．延长到点E，使，连结．动点P从点B出发，沿以每秒1个单位的速度向终点E运动，当运动时间t为 时，是等腰三角形． 14．（2025·江西吉安·二模）若一个三角形中存在一个内角的两倍与另一个内角的和等于，我们称该三角形为倍角三角形： (1)a．倍角三角形一定是______________三角形（填“钝角”、“锐角”或“直角”）； b．顶角为的等腰三角形______________倍角三角形（填“是”或“不是”）； (2)如图1，为倍角三角形，，过点C作边的垂线交其延长线于点D，若，求的度数； (3)如图2，中，，，，在的延长线上是否存在一点D，使得是倍角三角形，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由． 15．（2025·上海·模拟预测）小明所在的数学学习小组对“分割等腰三角形”产生兴趣，并设计了如下问题，请你帮助他们完成： 探究过等腰三角形顶点的直线对该等腰三角形的分割 任务一 对于一个锐角等腰三角形，若分割得的两个三角形都是直角三角形，那么该等腰三角形的_____（选填“高”“中线”“角平分线”）一定在该直线上． 任务二 若分割得的两个三角形中，有一个三角形是直角三角形，另一个三角形是等腰三角形．现给出如下三种等腰三角形，判断它们是否能符合上述条件，若可以，请直接写出两小三角形的面积比． （1）顶角为60°的等腰三角形；（2）顶角为90°的等腰三角形；（3）顶角为120°的等腰三角形． 任务三 若分割得的两个三角形都是等腰三角形．现给出如下三种等腰三角形，判断它们是否能符合上述条件，若可以，请直接写出两小三角形的面积比． （1）顶角为36°的等腰三角形；（2）顶角为90°的等腰三角形；（3）顶角为108°的等腰三角形． 若还有其他三角形符合上述条件，请直接写出该三角形的顶角． 16．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0，2)，△ABO为等边三角形，P是x轴上的一个动点（不与O点重合），将线段AP绕A点按逆时针旋转60°，P点的对应点为点Q，连接OQ，BQ (1)点B的坐标为 ；(2)①如图①，当点P在x轴负半轴运动时，求证：∠ABQ=90°； ②当点P在x轴正半轴运动时，①中的结论是否仍然成立？请补全图②，并作出判断（不需要说明理由）； (3)在点P运动的过程中，若△OBQ是直角三角形，直接写出点P的坐标. 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 三角形中的重要模型之特殊三角形中的分类讨论模型 特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分类讨论模型，是初中各类考试中几何压轴题的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在处理等腰三角形和直角三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰或直角三角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把特殊三角形分类讨论情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型 6 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型 7 模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 12 模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型 14 17 特殊三角形中的分类讨论模型源于动态特殊三角形（等腰、直角三角形等）的不确定性，强调分类讨论的逻辑性，后由教育工作者将其系统归纳形成了特殊三角形中的分类讨论模型。 （2025·广东深圳·模拟预测）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角度数为，则顶角的度数为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【详解】解：如图：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部， 由题意可得，则顶角； 如图：当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，由题意可得， 则顶角．故顶角的度数为或．故选C． （2025·江苏扬州·二模）如图，矩形纸片中，，，对角线、将矩形纸片分割成4个等腰三角形，除了这种方法外，还有 种不同的方法也能将这张矩形纸片完全分割成4个等腰三角形． 【答案】5 【详解】解：如图1所示，分别是的中点，， ∴都是等腰三角形； 如图2所示，，则， ∴都是等腰三角形； 如图3所示，为中点， ∴都是等腰三角形； 如图4所示，， ∴都是等腰三角形； 如图5所示，分别是的中点，， ∴都是等腰三角形； 综上所述，一共有5种不同的裁剪方法，故答案为：5． （2025·黑龙江绥化·中考真题）在边长为7的等边三角形中，点在上，．点是直线上的一个动点，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接，当为直角三角形时，则的长是 ． 【答案】6或8或9 【详解】解：过点D作交于点E， ①当时，如图（1），∵是等边三角形，， ∴，，即是等边三角形， ∴， ∴，∴，∴，， ∴，∴， ∴，即，∴． ②当时，如图（2）同理可得，， ∴，即， ∴，∴． ③当时，如图（3）同理可证， ∴∴．∴． ④当时，如图（4） 同理可证， ∴，∴，∴． 综上所述，的长是6或8或9．故答案为：6或8或9． 1）等腰三角形中的分类讨论模型-对角或高的分类讨论 （1）若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和腰的原理相同。 （2）若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。 2）等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。 2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。 等腰三角形的两种分类讨论方法 方法1. “两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。 如图：已知，两点是定点，在坐标轴上找一点构成等腰。 ①以已知线段为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2个）； ②以已知线段为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以为圆心的有4个，以为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。 方法2. “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。 若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。 3）斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。 4）直角三角形存在性模型 直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。 直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。 “两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。 问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形． 分三种情况，如图： ①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求； ②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求； ③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求． 代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。 几何法计算：找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过添加辅助线构造相似三角形。特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解． 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角或高的分类讨论 例1（2025·浙江·模拟预测）如图，在平行四边形 中， ，点 为边 上一点，当 为等腰三角形时， 的度数是 ．    【答案】 或 【详解】解：点 为边 上一点，当 为等腰三角形时，如图，    ① 当 时， ， ② 当 时， ， ③当时，点P在的延长线上，此种情况舍去；故答案为： 或 ． 例2（24-25九年级上·山东·期末）若等腰内接于，，，则底角的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：（1）圆心在外部，在优弧上任选一点，连接，． ∵，，； ，； （2）圆心在内部．∵，∴， ，．综上所述，底角的度数为或，故选：C． 例3已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【详解】如图1，三角形是锐角三角时，，顶角； 如图，三角形是钝角时，，顶角， 综上所述，顶角等于或．故选：B． 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 例1（2025·山东·校考二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，若为轴上一点，且使得为等腰三角形，则满足条件的点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解：如图，满足条件的点M的个数为2．故选A． 例2（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．      【答案】或或 【详解】解：由折叠的性质知，，当时，，      由三角形的外角性质得，即，此情况不存在； 当时，，， 由三角形的外角性质得，解得； 当时，，∴，          由三角形的外角性质得，解得； 当时，，∴， ∴； 综上，的度数为或或．故答案为：或或． 例3（2025·浙江绍兴校考·一模）中，∠A=36°，∠B是锐角．当∠B=72°时，我们可以如图作线段BD将分成两个小等腰三角形如果存在一条线段将分成两个小三角形，这两个小三角形都是等腰三角形，则∠B的角度还可以取到的有 ． 【答案】54°，36°，18°，12° 【详解】解：这条直线从A、B、C出发皆可，设 假设从A出发，如下图： ①当BD=AD，AD=DC时 此时的值不存在； ②当BD=AD，AC=DC时， 解得：； ③当BD=AD，AD=AC时， ， 解得：此时，此种情况不存在； ④当AB=AD，AD=DC时，， ，解得：（不符合题意） 假设从B出发，如下图： ①当AD=BD，BD=BC时,此情况成立； ②AD=BD，BD=DC时解得：，此时不成立； 假设从C出发，如下图： ①BD=DC，AC=DC时 解得：，此时成立； ②BD=DC，AD=DC时, 解得：，此时成立； ③BD=BC，AD=DC；，， 解得：； 综上所述，∠B的角度还可以取到的有、、、．故答案为：54°，36°，18°，12°． 例4（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，已知，，，点，是边上的两个动点，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒．（值用小数表示）      （1）当为 时，是等腰三角形； （2）当点在上运动时，值从小到大依次是 ， ， 时，为等腰三角形． 【答案】 6 【详解】解：（）如图， 由于，要使是等腰三角形，只能，， 在 中，，，解得，故答案为：； （）当点在上运动时，要使为等腰三角形，分三种情况， ①如图，当时，可得， ，，， 在 中，， ， ，，即，解得； ②如图，当时，可知，即，解得； ③如图，当 ，过点作，垂足为点，则， ，， ，，，解得； 综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，为等腰三角形．故答案为：，，． 例5（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知直线的图象与轴、轴交于、两点，，．(1)求直线的函数表达式；(2)在轴上有点，点在第一象限内，同时也在直线上，若面积等于4，求点的坐标；(3)若是轴正半轴上的一个动点，请直接写出当是等腰三角形时的坐标． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解： 经过点，， ，解得，所以，直线的表达式为； （2）解：如图，，，，，点在点的右侧时， ，解得，此时，∴点的坐标为． （3）解：如图，点在轴正半轴上， ∵为等腰三角形，∴当时，∵，∴，∴， 当时，∴，∴，综上：点的坐标为或． 模型3.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 例1（2025·浙江嘉兴·三模）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（    ） A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或 【答案】A 【详解】解：当和为直角边时，则斜边，中线， 当斜边为时，中线，∴斜边的长为或，故选：A． 例2（2025·河南郑州·校考一模）在矩形中，，为的中点，取的中点，连接，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，， ∵点为的中点，∴，∴， ∴，， 当时，如图，则，∴为等腰直角三角形，∴； ②当时，如图，则， ∵点为的中点，∴垂直平分，∴， ∵，∴，∴为等边三角形， ∴，∴，∴， ∴；综上，的长为或，故答案为：或． 例3（2025·江西吉安·三模）如图，在中，，，，为上一点，，为边上的动点，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或6或7 【详解】∵在中，，，，∴，， 过点A作于点M，∵，，，∴， ∴．∵，∴，． ①如图1，当时，则，∴，∴． 在中，，∴，∴，∴ ②如图2，当时，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，∴， ∴，，． 设，则．∵，， ∴，∴，∴， 整理得，解得，∴，∴； ③如图3，当时，在中，， ∴，∴． 综上所述，当为直角三角形时，的长为3或6或7． 模型4.直角三角形存在性模型 例1（24-25九年级·广东·专题练习）如图，已知，C为坐标轴上一点，且是直角三角形，则满足条件的C点有(    )个． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：分三种情况考虑： ①当为直角顶点时，过作，交轴于点，交轴于点，此时满足题意的点为，； ②当为直角顶点时，过作，交轴于点，交轴于点，此时满足题意的点为，； ③当为直角顶点时，以为直径作圆，由、，可得此圆与轴相切， 则此圆与轴有个交点，与轴有个交点，分别为． 综上，所有满足题意的有个．故选：B． 例2（2025·河南南阳·模拟预测）如图1，是边长为4的等边三角形，将沿中线折叠，得到，如图2，再次沿过点的直线将折叠，得到，其中点为折痕与边的交点，点为点的对应点，与边交于点，如图3所示．当点在边上，且为直角三角形时，的长度是 ． 【答案】或 【详解】解：沿中线折叠，得到，,, 在中，由勾股定理得出， ①当，如下图： ,, ,, 是边长为4的等边三角形,, ,; ②当，如下图：，,，， 在中，由勾股定理得出，； 综上的长度是或．故答案为：或． 例3（2025·河南郑州·二模）如图，在菱形中，，将边绕点A顺时针旋转 ()得到，连接，当为直角三角形时，的度数为 【答案】或 【详解】解：∵为直角三角形，∴①当时，点在以为圆心，长为半径的圆上， ∴为的直径，∵菱形，，∴和是等边三角形， ∴，∴，∴旋转角的度数为：； ②当时，则为的直径，∵，∴， ∵，，∴，∴，∴旋转角的度数为：； ③当时，以为直径的圆与除外无交点，∴此种情况不存在， 综上所述：的度数为或． 例4（2025·河南·模拟预测）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法将一条线段截为三段，且三段顺次相连恰好构成直角三角形的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应任务． 小明：如图①， （1）以线段为斜边作等腰直角；（2）在线段上取一点D，作射线； （3）将射线绕点C逆时针旋转至，交线段于点E．线段，，顺次相连恰好构成直角三角形． 小亮：我可以用轴对称的方法进行证明，如图②，将沿所在的直线对折得到，连接．简述理由如下：通过证明，进而说明线段，，顺次相连即为直角三角形． 小强：我可以用旋转的方法进行证明，如图③，将绕点C逆时针旋转至，连接． … 任务：(1)小亮得出的依据是________（填序号）； ①　②　③　④　⑤ (2)请完成小强的证明过程；(3)如图④，已知，小娟认为以线段为底边作等腰，使，在线段上取一点D，作射线，再将射线绕点C逆时针旋转至，交线段于点E，也能得到线段，，顺次相连构成直角三角形，请直接写出线段的长． 【答案】(1)②(2)见解析(3)或 【详解】（1）∵是等腰直角三角形，∴，，． 将沿所在的直线对折得到，∴，． ∵，∴，，∴． 在与中，，∴． （2）完成证明过程如下：∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，，， ∵是由绕点C逆时针旋转得到的， ∴，，，， ∵，∴， ∴，即，∴． 在与中，，∴，∴， ∵，∴， ∴线段，，恰好构成直角三角形，则线段，，顺次相连能构成直角三角形 （3）∵是等腰三角形，且，∴．如解图①，②， 将绕点C逆时针旋转得到，连接， ∴，，，． ∵，∴，∴，∴， 在与中，∴，∴， ∵，∴．设． 如解图①，当时，，． ∵，∴，解得． 如解图②，当时，，， ∴，解得．综上所述，线段的长为或． 1．（2025·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在中，，，．若点P为直线BC上一点，且为等腰三角形，则符合条件的点P有（       ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：在△ABC中，∠B=90°，BC＝8，AC＝6，由勾股定理的：， 如图，以点A为圆心，以10为半径画圆，交直线BC于两点，即点B和点P1； 以点B为圆心，以10为半径画圆，交直线BC于两点，即点P2和P3； 作线段AB的垂直平分线交直线BC与一点，即点P4；即共4个点，故选：D 2．（24-25·广东佛山·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，．点E为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，则的长为（    ） A．2或18 B．3或18 C．3或2 D．2或8 【答案】A 【详解】解：分两种情况讨论： ①当E点在线段DC上时，∵△AD'E≌△ADE，∴∠AD'E＝∠D＝90°， ∵∠AD'B＝90°，∴∠AD'B+∠AD'E＝180°，∴B、D'、E三点共线， ∵，AD'＝AD，∴BE＝AB＝10， ∵，∴DE＝D'E＝10﹣8＝2； ②当E点在线段DC的延长线上，且ED″经过点B时，满足条件，如下图， ∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，∴∠CBE＝∠BAD″， 在△ABD″和△BEC中，∵，∴△ABD″≌△BEC（ASA），∴BE＝AB＝10， ∵，∴DE＝D″E＝BD''+BE＝8+10＝18．综上所知，DE＝2或18．故选：A． 3．（24-25·河北衡水·九年级统考期中）“如图，是等腰三角形，，平分．是射线上一点，如果点满足是等腰三角形，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则下列判断正确的是（    ）    A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙合在一起才正确 D．三人合在一起答案才完整 【答案】D 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴， ∵平分，∴， 可分三种情况讨论：①当时，如下图，则；          ②当时，如下图，则； ③当时，如下图，则，∴． 综合所述，的度数为或或．故选：D． 4．（2025·江西吉安·二模）如图，在中，，，点P为边上一动点，连接，若与至少有一个为等腰三角形，且满足长为整数，则这样的点P个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：根据题意求出可以取的整数值． 在 中，， ，， 点为边上一个动点，∴当时，最大，当时，最小． 过点作于，则，解得：，， 的长为整数，∴或 6 或 7 ． ①当时，为等腰三角形． ②当时，设点为中点，连接，如图（1）， 则，此时点与点重合，∴与均为等腰三角形． ③当时，如图（2），过点作于点，则． 设，则，，， ，解得：（负值已舍）， ∴，此时与均不是等腰三角形． 综上，符合条件的点的个数为2．故选：C． 5.（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）等腰三角形中，有一个角是，则另外两个角分别为 ． 【答案】或 【详解】解：①当的角为顶角时，另外两个角为底角，度数相同均为：； ②当的角为底角时，则一个角为底角度数为，一个角为顶角，度数为； 故答案为：或 6．（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，正方形边长为，为边中点，连接，点为线段延长线上一点，若为直角三角形，则的长是 ． 【答案】或 【详解】解：分种情况讨论：如图，当时， ∵是的中点，且，∴， ∵四边形是正方形，∴，，∴，∴； 如图，当时，∵四边形是正方形，∴ ∴， ∵，，∴，∴，∴， 综上，的长是或．故答案为：或． 7．（2025·江西萍乡·模拟预测）已知等边的顶点坐标，，点在轴上方，是所在平面上的点，若，，都是等腰三角形，且这3个等腰三角形中恰好有2个的面积等于4，则点的坐标为 ． 【答案】或或或 【详解】解：，，，是等边三角形，， 如图，当和的面积为4时，则到的距离为2， 过点作，交直线于点，过点作轴， 是等边三角形，是的垂直平分线， 此时，，，是等腰三角形， 若，都是等腰三角形，则， ，，； 如图，当和的面积为4时，同理可得：， 如图，当和的面积为4时， 过点作，延长到点，使得，连接，此时和是等腰三角形，是等边三角形，是的垂直平分线， ，，是等腰三角形，， ，，，和的面积恰好为， ， 如图，同理可得，，,, 综上所述，点P的坐标为或或或． 故答案为：或或或． 8．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，，，点是的中点，点是斜边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，若为直角三角形，则的长为 ．    【答案】或 【详解】解：在中，，，∴，， ∵点是的中点，∴， 当时，如图：    ∵，∴，∴，即，∴， 在中，，， 在中，，即，∴； 当时，作交的延长线于．如图： 设，则，∵，，∴，∴， ∵，∴，在中，，， 在中，，即，解得：； 综上所述，满足条件的的值为或．故答案为：或． 9．（2025·河南濮阳·二模）如图，在中，，，，的垂直平分线交于E，交于点D，将线段绕点D顺时针旋转，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】2或 【详解】解：在中，，∴， ∵的垂直平分线交于，交于点，∴， 在中，，∴， ∴∴， ∵由线段绕点顺时针旋转得到，∴，在中，， 当为直角边时，，当为斜边时，， 故答案为：2或． 10．（2025·江西萍乡·校考一模）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，点D是BC边上的一点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处，当△BDE是直角三角形时，∠CAD的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：分两种情况：如图， ①当时，点在上时， ②当时，即在外时，如图， 由折叠可得：，，， 平分，，不可能为直角．故答案为或． 11．（2025·新疆·模拟预测）如图，在中，，，将三角形沿某条直线折叠，使点落在边上的点，折痕与边、分别交于点、．若折叠后的为等腰三角形，为直角三角形，则 ． 【答案】或 【详解】解：设，则， ∵在中，，∴，即，∴， ∵在中，，为等腰三角形，∴， 由折叠的性质得：，∴， ∴，则分以下两种情况： ①当时，为直角三角形，， ∴即，解得，符合题意，∴； ②当时，为直角三角形，∴， 解得，符合题意，∴； 综上，或，故答案为：或． 12．（2025·广东深圳·一模）如图，在菱形中，，对角线交于点，是上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转到，且，连接，若是直角三角形，则的长为 ． 【答案】或 【详解】解：在菱形中，，，，， ，是等边三角形，，， ，，，， ，，将线段绕点逆时针旋转到，， ，，， ，，是定值， 若是直角三角形，分两种情况： 当时，，则，； 当时，，则，；故答案为：或． 13．（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，在长方形中，，．延长到点E，使，连结．动点P从点B出发，沿以每秒1个单位的速度向终点E运动，当运动时间t为 时，是等腰三角形． 【答案】4或5或 【详解】解：根据题意，得， ∵长方形中，，．∴，，， ∵，∴， 当时，，，， 当时，，，， 当时，，解得； 当时，，∴，∴，解得； 当时，，，∴，解得． 综上所述，当运动时间为4或5或时，是等腰三角形． 14．（2025·江西吉安·二模）若一个三角形中存在一个内角的两倍与另一个内角的和等于，我们称该三角形为倍角三角形： (1)a．倍角三角形一定是______________三角形（填“钝角”、“锐角”或“直角”）； b．顶角为的等腰三角形______________倍角三角形（填“是”或“不是”）； (2)如图1，为倍角三角形，，过点C作边的垂线交其延长线于点D，若，求的度数； (3)如图2，中，，，，在的延长线上是否存在一点D，使得是倍角三角形，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)a．钝角；b．是(2)(3)的长为或6 【详解】（1）解：a.由倍角三角形定义得：若，则故，则倍角三角形一定是钝角三角形，故答案为：钝角； b.顶角为的等腰三角形的底角为， ∵，故顶角为的等腰三角形是倍角三角形，故答案为：是； （2）如图，在线段上截取，连接，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴ ∵∴∵，∴； （3）存在，由题意知，，是倍角三角形，∴分两种情况讨论： ①如图，是倍角三角形且，∵，∴ ∵∴，∴平分，过点A作于点P， ∵平分，∴ ∵∴；∴，∴∴； 设，则，在中，， 即；解得（负值已舍去），∴； ②如图，是倍角三角形且，∵，∴ ∵∴，∴ ∵在中，；在中， ∴，即 ∴ 综上，的长为或6 15．（2025·上海·模拟预测）小明所在的数学学习小组对“分割等腰三角形”产生兴趣，并设计了如下问题，请你帮助他们完成： 探究过等腰三角形顶点的直线对该等腰三角形的分割 任务一 对于一个锐角等腰三角形，若分割得的两个三角形都是直角三角形，那么该等腰三角形的_____（选填“高”“中线”“角平分线”）一定在该直线上． 任务二 若分割得的两个三角形中，有一个三角形是直角三角形，另一个三角形是等腰三角形．现给出如下三种等腰三角形，判断它们是否能符合上述条件，若可以，请直接写出两小三角形的面积比． （1）顶角为60°的等腰三角形；（2）顶角为90°的等腰三角形；（3）顶角为120°的等腰三角形． 任务三 若分割得的两个三角形都是等腰三角形．现给出如下三种等腰三角形，判断它们是否能符合上述条件，若可以，请直接写出两小三角形的面积比． （1）顶角为36°的等腰三角形；（2）顶角为90°的等腰三角形；（3）顶角为108°的等腰三角形． 若还有其他三角形符合上述条件，请直接写出该三角形的顶角． 【答案】任务一：高；任务二：（1）不可以；（2）可以，面积比为；（3）可以，面积比为或；任务三：（1）可以，面积比为或；（2）可以，面积比为；（3）可以，面积比为或；其他三角形的顶角：． 【详解】解：①任务一：过等腰三角形顶点的直线将等腰三角形分割成两个三角形，分割成的两个三角形均为直角三角形，则三角形的一条高一定在这条直线上，故答案为：高； ②任务二：（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，过等边三角形的顶点分割等边三角形，分割成的两个三角形若其中一个为直角三角形，则另外一个也是和它全等的直角三角形，这两个直角三角形的内角从小到大为30°、60°、90°，如图：故（1）中三角形不符合条件； （2）可以，两小三角形面积比为．如图虚线（顶角角平分线所在直线）可将等腰直角三角形分为两个全等的小等腰直角三角形： （3）可以，面积比为或，如图中直线（将顶角分为90°和30°的直线）即为所求直线： 设，则，过A作于E，则， ∴． ③任务三（1）可以，面积比为或，如图中（底角角平分线所在直线）即为所求直线： 设， ∵，∴， ∴，即，即，解得， ∵，∴，∴，或； （2）可以，面积比为，如图中虚线（等腰直角三角形斜边上的高所在直线）即为所求直线： （3）可以，面积比为或，如图中（将顶角平分为36°角和72°角的直线即为所求： 由任务三（1）解答过程可知顶角为的等腰三角形的底和腰的比，即本题的为， 故可设， ∴，或；其他三角形的顶角：，如图： 由图得，即．则顶角为 16．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0，2)，△ABO为等边三角形，P是x轴上的一个动点（不与O点重合），将线段AP绕A点按逆时针旋转60°，P点的对应点为点Q，连接OQ，BQ (1)点B的坐标为 ；(2)①如图①，当点P在x轴负半轴运动时，求证：∠ABQ=90°； ②当点P在x轴正半轴运动时，①中的结论是否仍然成立？请补全图②，并作出判断（不需要说明理由）； (3)在点P运动的过程中，若△OBQ是直角三角形，直接写出点P的坐标. 【答案】(1)(，1)(2)①见解析；②补全图②见解析，成立(3)(，0)或(，0) 【详解】（1）解：如图，过点B作轴， ∵点A的坐标为(0，2)，△ABO为等边三角形，∴，，∴， ∴，∴，∴B(，1)；故答案为：(，1)； （2）①由旋转的性质可知AP=AQ，． ∵为等边三角形，∴AO=AB，，∴， ∴，∴，∴．∵，∴； ②补全图②如图，①中的结论仍然成立． 由①同理可证，∴； （3）当点P在x轴负半轴运动时，∵，，∴． 当点P在x轴正半轴运动时，∵，，∴．综上可知， 故可分类讨论：①当时，如图，此时点P在x轴负半轴， ∵，，∴． ∵，∴，解得：或（舍）． ∵，∴，∴P(，0)； ②当时，如图，此时点P在x轴负半轴， ∵，，∴，∴． ∵，∴，∴P(，0)． 综上可知当△OBQ是直角三角形时，点P坐标为(，0)或(，0)． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $