江苏省徐州市2024-2025学年高一上学期期末模拟数学试卷

期末模拟卷一 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 4. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 任何一个正实数N可以表示成的形式，这便是科学记数法，若N两边取常用对数，则有，当时，N是n＋1位数，则的位数为（参考数据：）（ ） A. 611 B. 610 C. 609 D. 608 7. 已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若a，b均为正数，且满足，则（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值是6 D. 的最小值为 11. 已知函数，若x1、是关于的方程的两个不同的解，且的最小值为，下列说法中正确的有（ ） A. B. 若是图象的一条对称轴，则 C. 若在区间内无最大值，则 D. 若，则的图象在内有且仅有一个对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为______. 13. 设tan10°＝m，则＝______（结果用含m的式子表示）. 14. 用表示､两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则的最大值是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）若角的终边过点，求； （2）若，分别求和的值． 16. 已知集合，． （1）若，求集合； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 17. 已知函数（，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间内的值域． 18. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； （3）任意，求实数的所有整数解. 19. 已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且． （1）求和的解析式； （2）若函数在上的值域为，求正实数a的值； （3）证明：对任意实数k，曲线与曲线总存公共点． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末模拟卷一 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解绝对值不等式，再利用交集定义求解即可. 【详解】由可得，即，即得， 则. 故选：B. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词的命题的否定的规定，改变量词并否定结论即可. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：D. 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】结合诱导公式和特殊角余弦值，根据分段函数解析式求值即可. 【详解】. 故选：C 4. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性和零点存在定理即可判断. 【详解】因为函数为上的增函数，又， 所以，故函数仅有一个零点，其所在的区间是. 故选：A. 5. 已知，，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分必要的定义，结合三角函数的定义即可得解. 【详解】若“”，则“”必成立，即充分性成立； 但是“”，未必有“”，例如，即必要性不成立； 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：A. 6. 任何一个正实数N可以表示成的形式，这便是科学记数法，若N两边取常用对数，则有，当时，N是n＋1位数，则的位数为（参考数据：）（ ） A. 611 B. 610 C. 609 D. 608 【答案】B 【解析】 【分析】计算的值，由此确定的位数. 【详解】， 是610位数. 故选：B. 7. 已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考虑的两段分段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系即可求解出a的范围． 【详解】因为单调递减，故对应的指数函数部分、二次函数部分都要单调递减， 对指数函数在单调递减，需， 对二次函数，开口向下、对称轴为，故二次函数在单调递减，满足要求， 此外还需满足分段点处的函数值满足，整理得，解得或， 结合，可得， 故选：B． 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求函数的定义域，再判断函数为偶函数，可得，再判断当时，的单调性，即可根据单调性脱掉，解不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为，且 ， ∴为偶函数， 当时，，由和在上单调递增． 所以在上单调递增． 由可得， 即，所以，解得：或 又因为，解得 不等式的解集为： 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是判断函数是偶函数可得 ，又由在上单调递增，即可得 ，两边平方即可求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据根式性质化简即可判断，对于B，根据对数运算公式化简即可判断，对于C，根据分数指数幂的运算性质化简，，，即可判断，根据换底公式的推论及对数运算性质化简，，即可判断. 【详解】对于A，，A正确， 对于B，，B错误， 对于C，因为，， ，， 所以，C正确， 对于D，因为， ， 所以，D错误， 故选：AC. 10. 若a，b均为正数，且满足，则（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值是6 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本不等式、二次函数的性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，， 当且仅当时等号成立，A选项正确. B选项， ，但由解得，不满足， 所以等号不成立，所以B选项错误. C选项，， 当且仅当时等号成立，所以C选项错误. D选项，， 所以当，时， 取得最小值，D选项正确. 故选：AD 11. 已知函数，若、是关于的方程的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 若是图象的一条对称轴，则 C. 若在区间内无最大值，则 D. 若，则的图象在内有且仅有一个对称中心 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的最小正周期，利用正弦型函数的周期公式求出的值，可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；当时，求出的取值范围，结合正弦型函数的最值可得出关于的不等式组，结合可得出的取值范围，可判断C选项；由可求出的取值范围，分、两种情况讨论，结合正弦型函数的对称性可判断D选项. 【详解】对于A选项，设函数的最小正周期为，由题意可知，则，故，A对； 对于B选项，由A选项可知，， 若是图象的一条对称轴，则，可得， 因为，则，B对； 对于C选项，因为，当时，， 因函数在内无最大值，则， 所以，解得， 令，，则， 所以，，C错； 对于D选项，若，即， 当时，则， 当时，，此时函数上有且只有一个对称中心； 当时，，此时函数上有且只有一个对称中心. 综上所述，当时，函数的图象在内有且仅有一个对称中心，D对. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据对数型复合函数定义域可得：，解不等式即可求解. 【详解】由， 则，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 13. 设tan10°＝m，则＝______（结果用含m的式子表示）. 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式可求答案. 【详解】. 故答案为： 14. 用表示､两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则的最大值是___________. 【答案】2 【解析】 【分析】恒成立，即，利用分段函数单调性，求函数最小值. 【详解】，当时，；当时，；当时，. 由，，∴，图像如图所示， 可得在上单调递减，在上单调递增，所以，则，即，的最大值是2. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）若角的终边过点，求； （2）若，分别求和的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，根据三角函数的定义求得. （2）根据齐次式的知识求得正确答案. 【小问1详解】 ， 若角的终边过点，则， 所以. 【小问2详解】 若， 所以； . 16. 已知集合，． （1）若，求集合； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求解指数不等式和一元二次不等式，得到集合，再由交集定义即得； （2）由条件判断集合B是集合的真子集，进而得到关于参数的不等式，求解即得. 【小问1详解】 由可得，故集合， 当时，即，解得，即， 所以． 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，故集合B是集合的真子集， ，，则有，解得，故实数m的取值范围为． 17. 已知函数（，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间内的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由图象确定周期和最值得到，，再结合点，即可求解； （2）确定平移后解析式，即可求解. 【小问1详解】 设的最小正周期为T， 由图可知，，，即， 且，所以， 此时， 将代入得，即， 且，则， 可得，解得， 所以． 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度， 得到； 再将横坐标变为原来的2倍，得； 因为，， 所以函数在区间内值域为． 18. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； （3）任意，求实数的所有整数解. 【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2）在上单调递减，证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算证明即可； （2）利用单调性的定义任取满足，结合对数的运算判断的符号证明即可； （3）由在上的单调性求出的最值，解不等式即可. 【小问1详解】 函数是奇函数，证明如下： ，所以，解得函数定义域, 因为任意，都有， 又，所以函数是奇函数. 【小问2详解】 在上单调递减，证明如下： 法一：任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． 法二：任取满足，因为， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，即，所以在上单调递减． 【小问3详解】 由第（2）问知在上单调递减， 所以， 因为， 所以， 所以，即得，解得， 因为，所以或． 19. 已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且． （1）求和的解析式； （2）若函数在上的值域为，求正实数a的值； （3）证明：对任意实数k，曲线与曲线总存公共点． 【答案】（1）， （2） （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）利用解方程组法即可求得解析式. （2）构造函数通过换元法利用二次函数的最值即可求得的值. （3）分类讨论利用零点存在性定理即可证明. 【小问1详解】 ，分别为定义在上的奇函数和偶函数 所以，又因为①， 所以②， 有①②可知， ， 【小问2详解】 令，由（1）知，， 又因为，令，所以 所以， 函数在上的值域为， 所以，故, 当时，得，又因为，所以 【小问3详解】 由（1）知，所以 与曲线总存在公共点， 即在有实数根，令， 当时，易知为函数的零点， 当时，易知函数在单调递减， 又因为，，由零点存在性定理可知: ,使得成立. 当时，， 又因为，，所以. 由零点存在性定理可知:,使得成立. 故对任意实数函数在有零点. 即对任意实数曲线与曲线总存在公共点. 学科网（北京）股份有限公司 $