江苏省徐州市第三中学2023-2024学年高一上上学期1月期末模拟考试数学试题

提 示 : 本 卷 A 3 纸 张 学业知讯，智慧作业系列 绝密 启用前 ID: 24xBeoT80# 总分：150分 注意: 请在答题卡上作答 2023~2024学年高一上学期1月喜迎期末集训调研 数学学科试卷 一、单选题 (本大题共8小题，共40分) 1. 设全集 ，集合 ， ，则 为 2. 函数 的定义域为 3. 已知 ，则 4. 设 ，则“ ”是“ ”的 5. 已知函数 ，则 的值为 6. 2023 年 2 月 27 日，学堂梁子遗址入围 2022 年度全国十大考古新发现终评项目．该遗址先后发现石制品 300 多 件，已知石制品化石样本中碳 14 质量 N 随时间 t（单位：年）的衰变规律满足 （ 表示 碳 14 原有的质量）．经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳 14 质量约是原来的 倍，据此推 测该石制品生产的时间距今约？（参考数据： ， ） 7. 已知函数 的图像如图所示，则 的解析式可能是 U = R 2{ | 6 5 0}A x x x= + + < { | 3}B x x= < - ( )UA BI ð A. B. C. D.( 3 1)- -， [ 3 5)- ， [ 3 1)- -， Æ 2( ) 1 logf x x x= - + A. B. C. D.{ | 0}x x > { | 0 1}x x< ≤ { | 1}x x ≥ { | 0}x x ≥ 1 tan 2 a = 2cos sin cos a a a - = A. 1 B. C. D. 3 2 3 2 - 2 3 - q Î R π π 12 12 q - < 1 sin 2 q < A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 1 2 cos 0 ( ) 0 x x f x x x <ìï = í ï î ， ，≥ π 3 f f é ùæ ö -ç ÷ê ú è øë û A. B. C. 4 D.2 2 2 1 4 5 730 0 1 2 t N N æ ö ÷ è ø = ç 0N 3 8 ln 2 0.69» ln 3 1.09» A. 8 037 年 B. 8 138 年 C. 8 237 年 D. 8 337 年 ( )y f x= ( )f x A. B. C. D. sin( ) 2 xf x = cos( ) 2 xf x = sin 1 ( ) 2 x f x æ ö= ç ÷ è ø cos 1 ( ) 2 x f x æ ö= ç ÷ è ø 8. 已知函数 ，若函数 有两个零点，则实数 a 的取值范围是 二、多选题 (本大题共4小题，共20分)(每题漏选得2分) 9. 下列说法错误的是 10.已知函数 的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有 11. 若 a，b 均为正数，且满足 ，则 12.已知函数 的定义域为 ，且 为奇函数， 为偶函数， ，则 三、填空题 (本大题共4小题，共20分) 13.在平面直角坐标系中，角 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有一点 ，则 的值为______________. 14.幂函数 在 R 上单调递增，则函数 的图象过定点是 ______________. 15.若定义在 R 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，则满足 的 x 的取值范围是 _______________. 1 2 2 1 ( ) log ( 1) 1 x x a f x x x a ì - ï = í + - < < ïî ，≥ ， ( ) ( ) 2g x f x= - A. B. C. D.21 log 3a- < ≤ 21 log 3a- <≤ 2 3 log 3 4 a- <≤ 2 3 log 3 4 a- < ≤ A. 命题“ ， ”的否定为“ ， ” B. 命题“ ，都有 ”的否定为“ ，使得 ” C. “ ”是“ ”的充要条件 D. “ ”是“ ”的充分不必要条件 x$ Î R 2 2 3 0x x- + = x" Î R 2 2 3 0x x- + ¹ 1x" > 2 1 5x + > 1x$ ≤ 2 1 5x + ≤ a b> ln lna b> 1 1 2 2( 1) (3 )a a+ < - 2 1a- < < ( ) 3 sin( )f x xw j= + A. 的最小正周期为 B. 是 的最小值 C. 在区间 上的值域为 D. 把函数 的图象上所有点向右平移 个单位长度，可得到函数 的图象 ( )f x π 2π 3 f æ öç ÷ è ø ( )f x ( )f x π 0 2 é ù ê úë û ， 3 3 2 2 é ù - ê úë û ， ( )y f x= π 12 3sin 2y x= 2 4a b+ = A. ab 的最大值为 2 B. 的最小值为 4 C. 的最小值是 6　 D. 的最小值为 1 1 a b a b æ ö æ ö + +ç ÷ ç ÷ è ø è ø 4 a a b + 2 2a b+ 16 5 ( )f x R (1 ) 2f x+ + (2 2 )f x- (4) 0f = A. 为奇函数 B. C. D. ( )f x (0) 0f = (2 022) 4f = - (1) (2) (3) (100) 200f f f f+ + + + = -L a (1 2)P ， cosa 2( ) ( 2 2) af x a a x= - - ( ) 1 ( 1)x ag x b b+= + > ( )f x (0 ) + ¥， ( 2) 0f - = ( 1) 0xf x - ≥ 1/2 学业知讯，智慧作业系列 16.设函数 ，则 _____________；若方程 有且仅有 1 个实数根，则 实数 b 的取值范围是_____________． 四、解答题 (本大题共6小题，共70分) 17.（10 分）已知集合 ， . （1）当 时，求 ； （2）若“ ”是“ ”成立的必要不充分条件，求 a 的取值范围. 18.（12 分）若 . （1）求 的值； （2）若 ，求 的值. 19.（12 分）某同学用“五点法”作函数 在某一周期内的图象时，列表并填 入的部分数据如下表： （1）求函数 的解析式及函数 在 上的单调递减区间； （2）若存在 ， 成立，求 m 的取值范围. 2 e 0 ( ) 1 0 4 x x f x x x x ì ï = í - + + >ï î ，≤ ， [ (0)]f f = ( )f x b= { | 2}A x x a x a= < > +或 1{ | 3 9}xB x -= ≥ 2a = A BU x AÎ x BÎ ( ) π 5 sin 4 sin cos π 1 2 a a a æ ö + + = + +ç ÷ è ø sin cosa a× (0 π)a Î ， tan a π ( ) sin( ) 0 | | 2 f x A xw j w jæ ö= + > <ç ÷ è ø ， ( )f x ( )f x [0 π] ， 2 π π 3 x é ùÎ - ê úë û ， ( ) 0f x m- ≤ 20.（12 分）定义在 上的函数 满足：对任意的 x， ，都有 ，且当 ， ． （1）求证：函数 是奇函数； （2）求证： 在 上是减函数； （3）解不等式： ；               21.（12 分）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下： ①3 小时内（含 3 小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的积累经验值 E（单位：EXP）与游玩时间 t（单 位：小时）满足关系式： ； ②3 到 5 小时（含 5 小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为 0（即累计经验值不变）； ③超过 5 小时的时间为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例 系数为 50. （1）当 时，写出累计经验值 E 与游玩时间 t 的函数关系式 ，并求出游玩 6 小时的累积经验值； （2）该游戏厂商把累计经验值 E 与游玩时间 t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记为 ，若 ，且该游 戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于 24，求实数 a 的取值范围.               22.（12 分）已知 且 ，函数 满足 ，设 ． （1）求函数 在区间 上的值域； （2）若函数 和 在区间 上的单调性相同，求实数 m 的取值范围．             ( 1 1)- ， ( )f x ( 1 1)y - Î ， ( ) ( ) 1 x y f x f y f xy æ ö+ + = ç ÷ +è ø ( 1 0)x - Î ， ( ) 0f x > ( )f x ( )f x ( 1 1)- ， ( ) 1 1 0 1 f x f x æ ö + + >ç ÷ -è ø 2 20 20E t t a= + + ( 0)t > 2a = ( )E f t= ( )H t 0a > 0a > 1a ¹ 4 0 ( ) 2 0 x a x x f x x-î ì = í <， ≥， (1 ) ( 1)f a f a- = - ( ) xh x a= 1(2 ) ( )y xh h x= - + [ 2 2]- ， | ( ) |y h x m= + | ( ) |y h x m= - + [1 2 023] ， 2/2 第 1⻚/共 17⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司 2023-2024学年⾼⼀上学期 1⽉喜迎期末集训调研 数 学 ⼀、选择题：本题共 8⼩题，每⼩题 5分，共 40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是 符合题⽬要求的． 1. 设全集 ，集合 ，则 为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据⼀元⼆次不等式求集合 A，再根据集合间的运算求解. 【详解】由题意可得： ， 则 故选：C. 2. 函数 的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由 可解得结果. 【详解】由函数 有意义，得 解得 ， 所以函数 的定义域为 . 故选：B 3. 已知 ，则 （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 第 2⻚/共 17⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司 【分析】利⽤同⻆三⻆函数的关系化简代⼊即可求值. 【详解】由题意可知， ，因为 ， 所以 ， 故选： . 4. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】 ，但 ，不满⾜ ，所以是 充分不必要条件，选A. 【考点】 充要条件 【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若 ，则 是 的充分条件，若 ，则 是 的必要条 件，若 ，则 是 的充要条件；从集合的⻆度看，若 ，则 是 的充分条件，若 ， 则 是 的必要条件，若 ，则 是 的充要条件，若 是 的真⼦集，则 是 的充分不必要条件， 若 是 的真⼦集，则 是 的必要不充分条件. 5. 已知函数 ，则 的值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数运算求解. 【详解】由题意可得： ，故 . 故选：B. 6. 2023年 2⽉ 27⽇，学堂梁⼦遗址⼊围 2022年度全国⼗⼤考古新发现终评项⽬．该遗址先后发现⽯制品 300 第 3⻚/共 17⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司 多件，已知⽯制品化⽯样本中碳 14质量N随时间 t（单位：年）的衰变规律满⾜ （ 表示 碳 14原有的质量）．经过测定，学堂梁⼦遗址中某件⽯制品化⽯样本中的碳 14质量约是原来的 倍，据此 推测该⽯制品⽣产的时间距今约（ ）．（参考数据： ， ） A. 8037年 B. 8138年 C. 8237年 D. 8337年 【答案】B 【解析】 【分析】由题意， ，即 ，根据对数的运算性质求解即可. 【详解】由题意， ，即 ， ∴ ，∴ ， 故选：B. 7. 已知函数 的图像如图所示，则 的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据 为偶函数，可排除B和D，根据 在 上为增函数，排除C. 【详解】对于B和D，因为 为偶函数，所以 和 都是偶函数，它们的图 象都关于 轴对称，故B和D都不正确； 对于C，由于 在 上为增函数，且 ，所以 在 上为减函数，由图可知， 第 4⻚/共 17⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司 C不正确； 故只有A可能正确. 故选：A 8. 已知函数 ，若函数 有两个零点，则实数 a的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出 、 和 的图象，结合图象以及函数 有两个零点求得 的取值范围. 【详解】函数 有两个零点， 即 有两个不相等的实数根， 即 与 的图象有两个交点. 画出 、 和 的图象如下图所示， 由 解得 ，设 . 由 解得 ，设 . 对于函数 ， 要使 与 的图象有两个交点，结合图象可知， . 故选：D 第 5⻚/共 17⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司 ⼆、选择题：本题共 4⼩题，每⼩题 5分，共 20分．在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬ 要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 命题“ ”的否定为“ ” B. 命题“ 都有 ”的否定为“ 使得 ” C. “ ”是“ ”的充要条件 D. “ ”是“ ”的充分不必要条件 【答案】BC 【解析】 【分析】根据含有⼀个量词的否定的定义，可判断A，B；根据充分条件和必要条件的定义可判断C，D. 【详解】对于A，命题“ ”的否定为“ ”，故A正确； 对于B，命题“ 都有 ”的否定为“ 使得 ”，故B不正确； 对于C，“ ”推不出“ ”，如 ， “ ”能推出“ ”，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，故C不正确； 对于D，若 ，则 ，解得： ， 所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故D正确. 故选：BC. 10. 已知函数 的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ） 第 6⻚/共 17⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司 A. 的最⼩正周期为 B. 是 的最⼩值 C. 在区间 上的值域为 D. 把函数 的图象上所有点向右平移 个单位⻓度，可得到函数 的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的图象求出函数 的解析式，再利⽤正弦型函数的性质逐项判断即可. 【详解】函数 的周期 ，则 ， 由 ，得 ，即 ， 因此函数解析式为 ， 对于A，函数 的最⼩正周期为 ，A正确； 对于B， ，B正确； 对于C，当 时， ，利⽤正弦函数的性质知， ，得 ，C错误； 对于D，函数 的图象上所有点向右平移 个单位⻓度， 得到函数 的图象，D正确. 故选：ABD 11. 若 a，b均为正数，且满⾜ ，则（ ） A. 的最⼤值为 2 B. 的最⼩值为 4 第 7⻚/共 17⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司 C. 的最⼩值是 6 D. 的最⼩值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本不等式、⼆次函数的性质对选项进⾏分析，从⽽确定正确答案. 【详解】A选项， ， 当且仅当 时等号成⽴，A选项正确. B选项， ，但由 解得 ，不满⾜ ， 所以等号不成⽴，所以B选项错误. C选项， ， 当且仅当 时等号成⽴，所以C选项错误. D选项， ， 所以当 ， 时， 取得最⼩值 ，D选项正确. 故选：AD 12. 已知函数 的定义域为 ，且 为奇函数， 为偶函数， ，则（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 【答案】BCD 第 8⻚/共 17⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司 【解析】 【分析】根据题意，求出函数的周期、对称轴，对称中⼼和奇偶性，进⽽根据选项逐项求解即可. 【详解】因为 为奇函数，所以 ， 则 ，所以函数 关于点 成中⼼对称； ⼜因为函数 为偶函数，则 ， 所以函数 关于直线 对称，则 ， 因为函数 关于点 成中⼼对称，所以 ， ，则 ，所以函数 为偶函数，故选项 错误； 因为 ，令 ，则有 ，故选项 正确； 因为函数 关于直线 对称，且函数 为偶函数，所以 ， 则函数 的周期为 4，因为 ，令 可得： ， 所以 ，则 ，故选项 正确； 由 ，令 可得： ， ，⼜因为 ， 所以 ， 因为函数 的周期为 4， 所以 ， 故选项 正确， 故选： . 三、填空题：本题共 4⼩题，每⼩题 5分，共 20分． 13. 在平⾯直⻆坐标系中，⻆ 的顶点与坐标原点重合，始边与 x轴的⾮负半轴重合，终边上有⼀点 ， 则 的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三⻆函数的定义可求出结果. 第 9⻚/共 17⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司 【详解】依题意得 ， ，所以 ， 所以 . 故答案为： . 14. 幂函数 在R上单调递增，则函数 的图象过定点是_____. A. （1，1） B. （1，2） C. （-3，1） D. 【答案】（-3，2） 【解析】 【分析】由函数 为幂函数且在R上单调递增，可得 ，再由指数函数过定点 ，即可得函数 所过的定点. 【详解】解：因 为幂函数且在R上单调递增， 所以 ，解得 ， 所以 ， ⼜因为指数函数 恒过定点 ， 所以 恒过定点 . 15.若定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，则满⾜ 的 的取值 范围是______. 【答案】 . 【解析】 【分析】根据题意，得到 单调性及 ，再结合不等式，分类讨论，即可得 出答案. 【详解】因为在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ， 所以 在 上也是单调递减，且 ， 所以当 时， ， 当 时， . 第 10⻚/共 17⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司 所以由 可得： 或 或 , 解得 或 或 ，即 或 . 所以满⾜ 的 的取值范围是 . 16. 设函数 ，则 _______；若⽅程 有且仅有 1个实数根，则 实数 b的取值范围是_______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（1）根据分段函数的解析式，代⼊ x的值，可求得函数值； （2）作出函数 的图象，根据数形结合思想可求得实数 b的取值范围. 【详解】（1） ， ； （2）⽅程 有且仅有 1个实数根，即 与 的图象有 1个交点， 当 时， ， ， 画出函数 的图象，由图可知当 与 只有 1个交点时， 或 故答案为： ； 或 . 【点睛】本题考查求分段函数 函数值，以及分段函数的图象，由分段函数的图象和⽅程的根的个数求参数 的范围，属于中档题. 四、解答题：本题共 6⼩题，共 70分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知集合 或 ， . 第 11⻚/共 17⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司 （1）当 时，求 ； （2）若“ ”是“ ”成⽴的必要不充分条件，求 a的取值范围. 【答案】（1） 或 ； （2） . 【解析】 【分析】（1）化简 ，根据并集 概念可求出结果； （2）转化为 是 的真⼦集，再根据真⼦集关系列式可求出结果. 【⼩问 1详解】 当 时， 或 ， 由 ，得 ，所以 ， 所以 或 . 【⼩问 2详解】 若“ ”是“ ”成⽴的必要不充分条件，则 是 的真⼦集， 故 ，解得 . 18. 若 . （1）求 的值； （2）若 ，求 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简得到 ，平⽅得到 ，得到答案. （2）根据 得到 ，解得 ，得到答案. 【⼩问 1详解】 ，则 ， 第 12⻚/共 17⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司 ， ， ，则 ； 【⼩问 2详解】 ，所以 ，即 ， ， . ，解得 ， 19. 某同学⽤“五点法”作函数 在某⼀周期内的图象时，列表并填⼊的 部分数据如下表： 0 0 1 0 0 0 0 0 （1）求函数 的解析式及函数 在 上的单调递减区间； （2）若存在 成⽴，求 的取值范围. 【答案】（1） ， 的单调减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据表格分析计算可得 ， ， ，则可得函数解析式，再根据正弦函数图象性 质，整体代⼊确定函数单调区间即可； （2）根据含参不等式能成⽴，求解函数 的最⼩值即可得 的取值范围. 第 13⻚/共 17⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司 【⼩问 1详解】 解：由表格可知 ，且 ，则 故 ， 所以当 时， ，⼜ ，得 ， 所以 的单调减区间为 ； 【⼩问 2详解】 解：由题意 当 ， ， 所以当 时， 故可得 . 20.定义在 上的函数 满⾜：对任意的 ，都有 ，且当 ， ． （1）求证：函数 是奇函数； （2）求证： 在 上是减函数； （3）解不等式： ； 【⼩问 1详解】 令 ，则 ，解得： ； 令 ，则 ， 为定义在 上的奇函数. 第 14⻚/共 17⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司 【⼩问 2详解】 设 ，则 ， ； ， ， ， ； ⼜ ， ，⼜当 ， ， ， ，即 ， 在 上是减函数. 【⼩问 3详解】 由 得： ； 定义域为 且在 上是减函数， ，解得： ， 不等式的解集为 . 21. 某游戏⼚商对新出品的⼀款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下： ①3⼩时内（含 3⼩时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的积累经验值 （单位：EXP）与游玩时间 （单 位：⼩时）满⾜关系式： ； ②3到 5⼩时（含 5⼩时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为 0（即累计经验值不变）； ③超过 5⼩时的时间为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正⽐例关系，正⽐ 例系数为 50. （1）当 时，写出累计经验值 E与游玩时间 函数关系式 ，并求出游玩 6⼩时的累积经验 值； （2）该游戏⼚商把累计经验值 与游玩时间 的⽐值称为“玩家愉悦指数”，记为 ，若 ，且该游戏 ⼚商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于 24，求实数 的取值范围. 第 15⻚/共 17⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司 【答案】（1） ， （EXP）. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合分段函数分析运算； （2）根据题意可得当 时， 恒成⽴，利⽤参变分离结合⼆次函数分析运算. 【⼩问 1详解】 由题意可得：当 时，则 ，且 ； 当 时，则 ； 当 时，则 ； 综上所述： . 若 ，则 ，所以 （EXP）. 【⼩问 2详解】 由（1）可得： ，则 ， 由题意可得：当 时， 恒成⽴， 整理得 对任意 恒成⽴， 因为 的开⼝向上，对称轴 ， 则 时， 取到最⼩值 ， 可得 ，解得 ， 第 16⻚/共 17⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司 所以实数 的取值范围为 . 22 已知 且 ，函数 满⾜ ，设 ． （1）求函数 在区间 上的值域； （2）若函数 和 在区间 上的单调性相同，求实数 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对 和 进⾏分类讨论，再利⽤题⽬所给的等式关系可求出 的值，将所要求的函 数换元后得到⼆次函数求出值域即可. （2）先得到两个函数解析式 和 ，分别对 上单调递增和单调递减进⾏分 类讨论，得到关于 的不等式组，进⽽求出 的取值范围即可. 【⼩问 1详解】 当 时， ，解得 ； 当 时， ，⽆解，故 的值为 ． 故 ． 因为 ，所以令 ，则 ， 故 ． 当 时， ，当 时， ． 故函数 在区间 上的值域为 ． 第 17⻚/共 17⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司 【⼩问 2详解】 由题意，函数 在 上单调递减，函数 在 上单调递增． 由题可知函数 与函数 在区间 上同增或者同减． ①若两函数在区间 上均单调递增， 则 在区间 上恒成⽴， 故 ，解得 ． ②若两函数在区间 上均单调递减， 则 在区间 上恒成⽴， 故 ，该不等式组⽆解． 综上，实数 的取值范围是 ．