第02讲 无理数和实数（5个知识点+13个题型+思维导图+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材沪科版

第02讲 无理数和实数 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·安徽六安·期末）如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与无理数，绝对值，无理数的估算，根据数轴可得点在和之间，再进行无理数的估算即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、是有理数，不符合题意； 、是有理数，不符合题意； 、由，不符合题意； 、∵， ∴，符合题意； 故选：． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）在实数，，，，中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的识别，根据无理数的定义解答即可，熟练掌握无理数的定义是解答本题的关键． 【详解】解：，， 在实数，，，，中，无理数有，，共个， 故选：B． 知识点2 ：实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 【即时训练】 3．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）毕达哥拉斯学派发现无理数，这是数学史上的一件大事．在，，0，，，，，，这些数中，无理数的个数有 个． 【答案】 【分析】此题主要考查了无理数的定义．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可得到答案． 【详解】解：∵，没有意义， ∴在，，0，，，，，，这些数中，无理数有：，，，共个． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）把下列各数的序号填在相应的大括号中： ①；②；③；④；⑤；⑥（两个2之间的0逐次增加）；⑦． (1)整数集合：{___________…}； (2)分数集合：{___________…}； (3)有理数集合：{___________…}； (4)无理数集合：{___________…} 【答案】(1)①⑦ (2)② (3)①②⑦ (4)③④⑤⑥ 【分析】本题主要考查了实数的分类，熟知实数的分类方法是解题的关键： （1）先计算立方根，再根据整数的定义求解即可； （2）根据分数的定义求解即可； （3）有理数是整数和分数的统称，据此求解即可； （4）无理数是无限不循环小数，据此求解即可． 【详解】（1）解：， 整数集合：{①⑦…}； （2）解：分数集合：{②…}； （3）解：有理数集合：{①②⑦…}； （4）解：无理数集合：{③④⑤⑥…} 知识点3 ：实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. … 有理数集合 … 无理数集合 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 【即时训练】 5．（24-25七年级上·安徽淮南·月考）已知实数a、b在数轴上的对应点如图，化简 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值化简，根据点在数轴的位置判断式子的正负；根据数轴上的对应点得到，，得到，再化简绝对值得到，进行计算即可． 【详解】解：根据数轴上的对应点得到， ， ∴ ∴ ． 6．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）数轴上，两点表示的数分别为和，则，两点之间表示整数的点共有 个． 【答案】 【分析】本题考查的是无理数的估算与数轴上的整数点，明确无理数的近似值是解题的关键．先估算出的近似值，再结合数轴确定其与之间的整数，进而得出整数点的个数． 【详解】解：， ， 又点表示的数为， 、两点之间的整数点包括从到的所有整数，即、、、、、，共个． 故答案为：． 知识点4 ：实数的有关概念 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 【即时训练】 7．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段练习）我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（   ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它可以表示成分数形式 【答案】C 【分析】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“”的意义是解题的关键．根据实数的分类和的特点进行解答即可得出答案． 【详解】解：圆周率是一个实数，是无理数，不能表示成分数形式，在数轴上有表示它的点， ∴关于圆周率说法正确的是C选项， 故选：C． 8．（25-26八年级上·安徽·专题练习）数3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），中，实数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查的是实数的定义，根据实数分为有理数和无理数进行解答． 【详解】解：3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），都是实数，共5个． 故选：D． 知识点5 ：比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 【即时训练】 9．（2025八年级·安徽·专题练习）要比较两个无理数的大小，在不借助计算器的情况下，有一种简便的估算方法：先找出一个中间量分别与要比较的两个数作比较，再利用“若，，则”这一性质比较大小．根据这种思路，比较与的大小，可取数 做中间量． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数的估算及立方根、算术平方根，熟练掌握无理数的估算及立方根、算术平方根是解题的关键． 根据与比较接近，与比较接近，而，从而以为中间数即可比较大小． 【详解】解：∵，即：， ，即：， ∴， 故答案为：． 10．（2025七年级下·安徽·专题练习）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． ， ． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小的比较方法，是解题的关键． （1）先求出，然后根据，即可得出答案； （2）先求出，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）解： ． ， ， ． （2）解： ． ， ， ， ． （针对题型进行试题训练，每个题型下面可放置1~2道典例+2~3道变式） 【题型1 无理数】 例1．在一组数，，(相邻的两个1之间依次多一个3)中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了无理数，无限不循环小数是无理数．判断每个数是否是无理数即可得到答案． 【详解】解：∵是有限小数， ∴是有理数； ∵ 0是整数， ∴0是有理数； ∵ π是无理数， ∴是无理数； ∵是分数， ∴是有理数； ∵（相邻的两个1之间依次多一个3）是无限不循环小数， ∴（相邻的两个1之间依次多一个3）是无理数. ∴ 无理数共2个， 故选：B 例2．下列实数、、、2.101001000、中，无理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：实数、、、、中，无理数有、，共2个． 故选：A． 变式1．在数，，，，，（每两个之间依次多个），中，有 个无理数． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数，根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，逐一判断每个数即可． 【详解】解：3.16是有限小数，是有理数； 是整数，是有理数； 是无理数； 是分数，是有理数； 0是整数，是有理数； （每两个2之间依次多1个1）是无限不循环小数，是无理数； 1.3是有限小数，是有理数． 故无理数有2个． 故答案为：2． 变式2．把下列各数填在相应的横线上．(填序号) ①；②；③；④0 ；⑤；⑥；⑦ (依次多一个0)． (1)正分数： (2)整数： (3)无理数： (4)实数： 【答案】(1)②⑤ (2)①④⑥ (3)③⑦ (4)①②③④⑤⑥⑦ 【分析】本题考查了实数的分类．立方根． （1）根据正分数的定义判断即可； （2）根据整数的定义判断即可； （3）根据无理数的定义判断即可； （4）根据实数的定义判断即可． 【详解】（1）解：， 正分数：②⑤； （2）解：整数：①④⑥； （3）解：无理数：③⑦； （4）解：实数：①②③④⑤⑥⑦． 变式3．请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②5.2，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2005，⑨（每两个3之间的0依次多一个） (1)整数集合：{____________…}； (2)分数集合：{____________…}； (3)负有理数集合：{____________…}； (4)无理数集合：{____________…}． 【答案】(1)③⑥⑧ (2)①②⑤⑦ (3)⑥⑦ (4)④⑨ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．分别根据整数、分数、负数和无理数的定义进行解答即可． （1）根据整数的概念求解即可； （2）根据分数的概念求解即可； （3）根据负有理数的概念求解即可； （4）根据无理数的概念求解即可． 【详解】（1）解：， 整数集合：③⑥⑧； （2）解：分数集合：①②⑤⑦； （3）解：负有理数集合：⑥⑦； （4）解：无理数集合：④⑨． 【题型2 无理数的大小估算】 例1．估计的值应在（    ） A．8到9之间 B．7到8之间 C．6到7之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数取值范围的估计，判断无理数在有理数之间的范围是解题的关键．首先通过估算的近似值，再确定的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则， ∴估计的值应在6到7之间． 故选：C． 例2．如图，若将，，，对应的点表示在数轴上，则其中被墨迹覆盖住的点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握立方根、平方根的取值范围判断方法是解题的关键． 先确定每个数的近似值或取值范围，判断哪个数对应的点位于数轴上3和4之间的区域． 【详解】解：A、，对应点在2的位置，不在之间，不符合题意； B、，对应点在之间，不符合题意； C、，且，对应点在之间，不符合题意； D、， 对应点在之间，符合题意． 故选：D． 变式1．若，为两个连续的正整数，且，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了无理数的估算．先根据无理数的估算可得，则可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵为两个连续的正整数，且， ∴， ∴， 故答案为：9． 变式2．若的整数部分是，的小数部分是，则 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，能够正确地估算出无理数的大小，是解答此类题的关键．只需首先对估算出大小，从而求出其的整数部分与的小数部分，得出a，b的值后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的整数部分是a， 的小数部分是b， ∴， ， ∴． 故答案为：． 变式3．已知在两个连续的自然数a和b之间，是c的立方根． (1)求a，b，c的值． (2)求的平方根与c的差． 【答案】(1) (2)11或5 【分析】本题主要考查算术平方根、平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根的定义是解决本题的关键． （1）根据平方根、立方根的定义以及算术平方根的性质解决此题． （2）根据平方根的定义以及性质解决此题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是c的立方根， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴的平方根为， ∴的平方根与c的差为或． 【题型3 无理数整数部分的有关计算】 例1．是的小数部分，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，先确定的整数部分，再根据小数部分的定义求解． 【详解】解：∵，，， ∴的整数部分为3， ∴， ∴． 故选：B． 例2．已知，其中m是整数，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算及整数部分的确定．通过比较平方数，确定的整数部分m． 【详解】解：∵，，且， ∴， 因此，． 故选：B． 变式1．已知的算术平方根是3，b是的整数部分，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，无理数的估算．根据算术平方根的定义和无理数的估算，先求出a和b的值，再计算代数式的值，最后求平方根，即可作答． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴， 解得， ∵， ∴ ∵b是的整数部分， ∴， 则， ∴16的平方根是， 故答案为：． 变式2．已知a的立方根是2，b的算术平方根是1，c是的整数部分，d是的小数部分． (1)求a，b，c，d的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，，； (2) 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，无理数的估算，代数式求值，熟练掌握相关知识为解题关键 （1）根据立方根，算术平方根的定义求出a，b的值，再根据无理数的估算求出c、d的值即可； （2）先代入求出代数式的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， ∵的算术平方根是1， ∴， ∵， ∴即， ∴的整数部分是4， 又是的整数部分， ∴，； （2）∵，，， ∴． ∴的平方根为． 变式3．我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，4.13的小数部分为． (1)_________，_________，的小数部分_________； (2)已知，其中是整数，且，则的相反数是_________； (3)设的小数部分为，求的值． 【答案】(1)2，2， (2) (3)1 【分析】本题考查了无理数的估算，理解题意是解此题的关键． （1）估算出，，并结合，即可得解； （2）估算出，从而可得，结合题意可得，，求出，再由相反数的定义即可得解； （3）估算出，结合题意可得，估算出，得出，代入所求式子计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴的小数部分； 故答案为：2，2，； （2）解：∵， ∴，即， ∴， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数是； 故答案为：； （3）解：∵， ∴，即， ∵的小数部分为， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ． 【题型4 实数概念理解】 例1．下列说法正确的是（    ） A．无理数与无理数的和一定为无理数 B．一个数的算术平方根一定不比这个数大 C．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 D．实数可分为有理数和无理数 【答案】D 【分析】本题考查了无理数，实数，有理数，数轴等概念，熟练掌握这些概念是解题的关键； 根据实数的分类及实数与数轴的关系对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．无理数与无理数的和不一定还是无理数，有可能是有理数，，0是有理数，故此选项不符合题意； B．一个数的算术平方根有可能比这个数大，例如的算术平方根是，，故此选项不符合题意； C．数轴上的点和实数一一对应，故此选项不符合题意． D．实数可分为有理数和无理数，此说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 例2．已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质是解决问题的关键．根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得． 【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴有理数有无限个，无理数也有无限个，故④错误． ∴正确的是②③共2个． 故选：B． 变式1．已知m，n是有理数，且，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的运算、无理数和有理数的定义，解题的关键是理解无理数与有理数的区别在中，等式的左边是含有这个无理数部分的，等式的右边为0是有理数，可知在等式的左边的系数部分应为0． 【详解】解：原式可化为， ∵m，n是有理数， ∴，解得， ∴． 故答案为． 变式2．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．这个小数不能在数轴上表示出来 C．它大于 D．它是一个实数 【答案】D 【分析】本题考查了圆周率的基本性质、有理数与实数的定义、数轴与实数的对应关系以及实数的大小比较，解题的关键是熟记无理数、实数的概念及数轴的性质，通过逐一验证每个选项的正确性得出答案． 先明确圆周率是无限不循环小数，属于无理数；再根据有理数、实数的定义判断选项A和D；依据“实数与数轴上的点一一对应”判断选项B；通过计算的近似值（约）与的近似值（约）比较，判断选项C． 【详解】解：A、∵是无限不循环小数，属于无理数，而有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称，   ∴此选项不符合题意；   B、∵实数与数轴上的点一一对应，是实数，   ∴能在数轴上表示出来，此选项不符合题意；   C、∵，，且，   ∴，此选项不符合题意；   D、∵实数包括有理数和无理数，是无理数，   ∴是实数，此选项符合题意；   故选：D． 变式3．对于从左到右依次排列的三个实数a，b，c，在与之间，与之间各添加一个四则运算符号组成算式（不添加可能改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对实数a，b，c进行“四则操作”．例如：对实数1，2，3进行“四则操作”可以是，也可以是．则下列说法正确的是 （填序号）． ①“四则操作”的结果为3；②对实数2，3，4进行“四则操作”的结果可能是；③对实数1，，5进行“四则操作”后，所有的结果中最小的是． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了实数的四则运算，在三个数之间合理的使用运算符号是解题的关键． 根据“四则操作”的定义依次对各个说法进行判断即可． 【详解】解：“四则操作”的结果为3，故①正确； ∵， ∴对实数2，3，4进行“四则操作”的结果可能是，故②正确； ∵，， ∴对实数1，，5进行“四则操作”后，所有的结果中最小的不是，故③错误； 综上所述，说法正确的是①②． 故答案为：①②． 【题型5 实数的分类】 例1．在下列实数中：，，，，0，，（相邻两个1之间0的个数逐次加），无理数的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是无理数的概念，解题关键是依据无理数 “无限不循环小数” 的定义，区分有理数与无理数． 先明确无理数是 “无限不循环小数”，再逐一判断每个数的类型，统计无理数的个数． 【详解】解：逐一分析各数： ：分数，是有理数； 是无限不循环小数，故是无理数； ：是无限不循环小数，故是无理数； ：分数，是有理数； 0：整数，是有理数； ：有限小数，是有理数； （相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）：是无限不循环小数，是无理数． 综上所述共有3个无理数． 故选：B． 例2．在，，，，，，，这些数中，无理数的个数为（　　） A．5 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了无理数，实数的分类，解题关键是掌握实数的分类． 根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数是否为无理数． 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数， ∴是有限小数，是有理数； 是无理数； 是无理数； 是无理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是有限小数，是有理数； 是分数，是有理数． ∴无理数有，，，，共4个， 故选：D． 变式1．在下列各数中：2022，，，（每两个1之间的0依次加1），无理数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查无理数的定义，实数的分类，掌握知识点是解题的关键． 根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，判断每个数是否为无理数即可． 【详解】解：2022是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 中的是无理数，因此是无理数； （每两个1之间的0依次加1）是无限不循环小数，属于无理数． ∴无理数有2个． 故答案为：2． 变式2．将下列各数进行分类（填序号即可）： ，，，，，，（每个“”之间依次多一个“”）． 正整数： ；分数： ；无理数： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的分类，掌握相关概念是解题的关键，正整数是大于零的整数；分数包括有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数．根据实数的分类即可解答． 【详解】解：是正整数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是整数，不是正整数； 是有限小数，是分数； ，是正整数； 是分数； （每个“”之间依次多一个“”）是无限不循环小数，属于无理数， 故答案为：正整数：；分数：；无理数：． 变式3．实数大家族的成员在坐火车时依据自身特征乘坐不同车厢，在下列实数中，分别找出整数、负分数和无理数，并填入相应的横线上：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（两个“1”之间依次多一个“2”）． (1)整数车厢______．（填序号） (2)负分数车厢______．（填序号） (3)无理数车厢______．（填序号） 【答案】(1)④⑤ (2)①⑦ (3)③⑥⑧ 【分析】本题考查实数的分类，明确实数的分类标准是解题关键． （1）整数包括正整数、负整数和零，判断各数是否为整数； （2）负分数是指负的有限小数或无限循环小数，判断各数是否满足； （3）无理数是无限不循环小数，判断各数是否属于此类． 【详解】（1）解：④是整数； ⑤是整数； 答：④⑤． （2）解：①是负分数； ⑦可化为，是负分数； 答：①⑦． （3）解：③是无理数； ⑥是无理数； ⑧是无限不循环小数，是无理数； 答：③⑥⑧． 【题型6 实数的性质】 例1．下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查实数的性质，先进行开方和去绝对值运算，再根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：A、与互为相反数，符合题意； B、与互为倒数，不符合题意； C、，两数相等，不符合题意； D、，两数相等，不符合题意； 故选A． 例2．下列关于的说法错误的是（   ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的平方是 D．是无理数 【答案】C 【详解】本题考查实数的绝对值、相反数、平方及无理数的概念，需逐一分析各选项的正确性． 【分析】解：A．的绝对值是，正确，故此选项不符合题意； B．的相反数是，正确，故此选项不符合题意； C.的平方是5，原说法错误，故此选项符合题意； D．是无理数，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 变式1．实数的绝对值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的性质，利用绝对值的意义是解题关键．根据绝对值的意义即可得答案． 【详解】解：实数的绝对值为． 故答案为：． 变式2．计算：的平方根为 ； ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，平方根以及绝对值的意义，根据算术平方根的定义，平方根的定义，绝对值的意义计算即可． 【详解】解∶ 的平方根为， ， 故答案为∶，． 变式3．已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值的性质，求解代数式的值，正确掌握相关定义是解题关键． 根据相反数、倒数、绝对值的性质分别得出，然后代入计算即可解答． 【详解】解：∵实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为， ∴， ∴， ∴． 【题型7 实数与数轴】 例1．如图，借助数轴可以得到，，，．在这四个数中，是无理数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了实数，解题的关键是掌握实数的性质，利用无理数的定义解答． 【详解】解：在，，，这四个数中，无理数有，，，共计3个， 故选：C． 例2．如图，在数轴上画一个边长为1的正方形，那么这个正方形的对角线长是，再以对角线长为半径，表示数1的点为圆心画一个半圆（图中虚线所示）与数轴交于、两点，则、两点表示的数是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查数轴上点表示的数，熟练掌握数轴上的点表示的数，右边的比左边的大是解题的关键． 数轴上的点表示的数，右边的比左边的大，故B表示的数比1大，同理A表示的比1小，即可得到答案． 【详解】解：由已知可得，A表示的数比1小，B表示的数比1大， ∴A表示的数是，B表示的数是， 故选：D． 变式1．如图，将面积为7的正方形放在数轴上，以表示实数2的点C为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴，利用正方形的面积公式求出正方形的边长，然后得到，进而求解即可． 【详解】解：∵将面积为7的正方形放在数轴上， ∴正方形的边长为． ∵以表示实数2的点C为圆心，以正方形的边长为半径画弧， ∴ ∴点E表示的数为． 故答案为：． 变式2．如图，实数，，在数轴上对应点的位置，化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可得，则，据此计算算术平方根，立方根和绝对值，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ， 故答案为：． 变式3．已知是的平方根，是的平方根，的立方根是，的算术平方根是． (1)分别求出的值； (2)如图，在数轴上表示的另外一个平方根的点可能是点 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根、立方根相关定义及数轴上点表示数，熟记平方根、立方根定义及数轴表示数的概念是解决问题的关键． （1）由平方根、算术平方根、立方根定义直接求解即可得到答案； （2）由平方根定义，结合题意，得到的另外一个平方根是，数形结合即可得到在数轴上表示的另外一个平方根的点． 【详解】（1）解：是的平方根， 则， ； 是的平方根， 则， ； 的立方根是， ； 的算术平方根是， ； （2）解：的算术平方根是， 的另外一个平方根是， 则， 如图所示： 则在数轴上表示的另外一个平方根的点可能是点， 故答案为：． 【题型8 实数的大小比较】 例1．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查算术平方根的性质（被开方数越大，算术平方根越大）．解题关键是将有理数转化为算术平方根形式，统一比较标准；易错点是忽略“将有理数化为相同形式”的步骤，直接凭直觉比较． 把转化为算术平方根形式（），结合、，比较被开方数：因为，根据算术平方根的性质，得，即． 【详解】解：∵，，，且， ∴，即． 例2．比较三个数： 的大小，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握两个负数比较大小的方法是解题的关键．先分别求出三个数的绝对值，再根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”来比较这三个负数的大小． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴． 故选：D． 变式1．比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根的估算，根据实数的性质，运用比差法计算是解题的关键． 先估算，则，再由作差法得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴， ∴，即， 故答案为：． 变式2．如图，已知点表示的数为，点向右运动个单位长度到达点，点表示的数为． (1)在数轴上画出点； (2)点表示的数为________，其绝对值为________； (3)利用数轴比较大小：________（填“”“”或“”），所以点在点________．（填“左侧”或“右侧”） 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)，右侧． 【分析】本题考查了数轴上表示数，绝对值定义，实数比较大小，掌握知识点的应用是解题的关键． （）在数轴上表示点即可； （）由点向右运动个单位长度到达点，则有点表示的数为，然后通过绝对值定义即可求解； （）根据数轴特点即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∴点即为所求； （2）解：点表示的数为，其绝对值， 故答案为：，； （3）解：根据数轴可知，，点在点的右侧， 故答案为：，右侧． 变式3．请看参考图，在下面数轴上准确找到表示下列各数的点，并标明序号：①、② 、③9的算术平方根，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“”连接：_____＜_____＜_____．（填序号） 【答案】②；①；③ 【分析】本题考查了实数的相关概念以及实数的大小比较，同时涉及到在数轴上表示实数，体现了对实数基本概念和大小比较方法的综合运用． 首先，分别求出的算术平方根的值，然后在数轴上找到对应的点，最后比较它们的大小并排序． 【详解】解：因为，，且， 所以, 因为， 所以． 因为， 所以9的算术平方根是3． 因为， 所以的算术平方根，即． 【题型9 实数的混合运算】 例1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握实数混合运算的法则是解题关键． （1）先计算算术平方根，乘方，立方根，再计算乘法，最后加减即可； （2）先利用立方根，算术平方根的定义及绝对值的性质化简，再加减得出答案；． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例2．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了算术平方根与立方根等知识，解题关键是牢记运算法则． （1）依次计算乘方、算术平方根、立方根、平方运算，再加减； （2）依次计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减． 【详解】（1）解： ； （2） ． 变式1．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握实数运算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根与立方根，化简绝对值，再计算加减即可； （2）先计算算术平方根与立方根，化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 变式2．计算： (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，绝对值，算术平方根和立方根，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先化简算术平方根，然后计算加减即可； （2）先化简绝对值，计算立方根和算术平方根，再进行加减运算． 【详解】（1） ； （2） ． 变式3．计算： 【答案】2.9 【分析】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．先计算算术平方根，立方根，再计算乘法，最后计算加减即可解答． 【详解】解：原式 ． 【题型10 程序设计与实数运算】 例1．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算、算术平方根、立方根等知识点，理解流程图是解题的关键． 根据流程图进行计算，直至结果为无理数，即可输出结果． 【详解】解：按照流程依次输出：是有理数，是有理数；再次求算术平方根得是无理数，输出． 故选C． 例2．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意，结合算术平方根和平方根按照程序计算即可． 【详解】解：取算术平方根为， 不是无理数， 取的平方根为，是有理数， ，故无平方根，舍去， 再取的算术平方根，而的算术平方根为是无理数， 输出值． 故选：A． 变式1．如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入x为时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握算术平方根，立方根，有理数是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得∵， ∴，是有理数， ∵， ∴，是有理数， ∵， ∴，是无理数，可以输出， ∴， 故答案为：． 变式2．如图是一个数值转换器（），其工作原理如图所示． 若输出的值是，则负整数的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算，根据流程图且运用分类讨论思想，进行分析，列式计算，求解即可． 【详解】解：∵输出的值是， ∴， ∴或， 解得或， ∵为负整数， ∴， 或， 则或， 解得或 ∵， ∴， 故答案为：或． 变式3．下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 【答案】(1) (2)27 【分析】本题主要考查了计算程序流程图，立方根与无理数的概念． （1）根据计算程序流程图以及立方根的性质解答即可； （2）根据题意求出第二次取立方根前的数，即可求解． 【详解】（1）解：输入的值为，是无理数，则输出的值为； 故答案为： （2）解：∵经过两次取立方根运算后，输出的值为， ∴第二次取立方根前的数是， ∴第一次取立方根前的数为，即输入x的值是27． 【题型11 新定义下的实数运算】 例1．对于任意实数，规定一种新运算：，其中为常数，例如：．已知，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了实数的新定义，解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解，得出，再运用加减消元法进行解方程组，得，，然后结合，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴①，②， 由①、②组成方程组，得 得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴， 由得， 解得． 例2．对于实数，，定义运算◆：例如，，．若，满足方程求的值． 【答案】 【分析】本题考查实数的新定义运算，先根据非负数的性质得到x，y的值，再根据新定义的运算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∵， ∴ 即的值为． 变式1．用“”表示一种新运算，对于任意非负实数和任意实数都有，例如，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，根据新定义运算的法则列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 变式2．阅读下面的材料，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而的整数部分是1，于是可用表示的小数部分，比如，的整数部分是1，小数部分是．请解答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)已知：a为3的算术平方根，b为的整数部分，若规定，求的值． 【答案】(1)2； (2)3 【分析】本题考查与无理数的整数部分有关的计算，定义新运算，熟练掌握夹逼法判断出无理数的整数部分和小数部分，是解题的关键： （1）夹逼法求出的范围，进而求出整数部分和小数部分即可； （2）根据算术平方根的定义求出，根据无理数的估算求出，根据新定义的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，即：， ∴的整数部分是2，小数部分为； （2）由题意，， ∵，即：， ∴， ∴． 变式3．我们已经学习了平方根和立方根．若，则叫的二次方根（平方根），可表示为．若，则叫的三次方根（立方根），可表示为．平方根具有性质如：正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根．请阅读材料，观察下表，类比上述的定义和性质完成以下问题： … 1 16 81 … … … 【定义】（1）若，则叫的________①_________，可表示为______②______； 【性质】（2）请概括①的性质； 【应用】（3）若，直接写出的值： 【拓展】（4）解方程：． 【答案】（1）①四次方根；②；（2）正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解平方根和立方根定义． （1）类别平方根和立方根定义进行求解即可； （2）仿照平方根的性质进行概括即可； （3）根据四次方根定义进行求解即可； （4）利用四次方根的定义解方程即可． 【详解】解：（1）根据表格可知：若，则叫的四次方根，可表示为； （2）正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； （3）若，则； （4）， ∴， ∴， ∴． 【题型12 实数运算的实际应用】 例1．如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为4、16． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_____． 【答案】(1)20； (2)4． 【分析】本题考查实数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，掌握算术平方根的意义及相应的运算法则． （1）根据正方形的面积求其边长，然后求长方形的周长即可； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积，即为阴影部分的面积． 【详解】（1）解：两个正方形的面积分别为4、16， 小正方形的边长为，大正方形的边长为， ，， 长方形的周长为； （2）解：， 即图中两块阴影部分的面积之和为4． 例2．《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的应用，解题的关键是理解题意；由题意可知装裱后长方形的长为，宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解． 【详解】解：由题意得：装裱后长方形的长为， ∴长方形的面积为； 故答案为． 变式1．如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 【答案】(1) (2)①；②5 【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意得，①把代入进行进行求解即可； ②把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 变式2．如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 【答案】(1)3， (2)阴影部分的面积为 (3)周长为 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键： （1）利用算术平方根进行求解即可； （2）用小长方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （3）根据周长公式列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的边长为；小正方形的边长为； （2）解：阴影部分的面积为； （3）解：长方形的周长为． 变式3．如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键： （1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可； （2）利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，三角形的面积为； （2）由题意， ． 【题型13 与实数运算相关的规律题】 例1．下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第5行的最后一个数是 ；第n（n为整数且）行从左向右数第个数是 （用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，观察可知第n行有个数，且这些数字是从1开始的连续的正整数的算术平方根，据此求出前五行一共有多少个数字即可得到第一空的答案；先求出前行的数字的个数，再加上，所得结果取算术平方根即可得到第二空的答案． 【详解】解：第一行有个数， 第二行有个数， 第三行有个数， ……， 以此类推，可知，第n行有个数， ∴前五行一共有个数， ∵这些数字是从1开始的连续的正整数的算术平方根 ∴第5行的最后一个数是； 前行一共有个数， ∴第n（n为整数且）行从左向右数第个数是， 故答案为：；． 例2．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ． 【答案】256 【分析】本题主要考查了新定义运算，数字规律探索，无理数的估算，从后往前逆推操作过程，根据定义 表示不小于的最小整数，结合不等式关系确定每步操作前数值的最大可能值，从而得到的最大值 【详解】解：设第三次操作前的数值为，由，得，平方得，取 时最大， 设第二次操作前的数值为，由，得，平方得，取 ， 设第一次操作前的数值为，由得，平方得，故 最大值为， 验证：对，第一次操作，第二次操作，第三次操作 ，恰好三次操作后变为2． 故答案为：256． 变式1．已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)；证明见解析 【分析】本题主要考查了实数的有关运算、数字变化的规律，能根据题意发现的变化规律是解题的关键． （1）分别求出，，根据定义即可求出，； （2）根据的规律猜想出的表达式，再利用裂项相消法证明该猜想． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，． （2）猜想：． 证明如下： ． 变式2．对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查算术平方根的性质． （1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【详解】（1）解：、， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）解： ． 变式3．设，，，…，，则+…+的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律和掌握规律是解题的关键． 通过计算总结归纳出规律，再化简算术平方根，然后由计算即可． 【详解】解：∵， …… ∴， ∴ ． 故选：C． 1．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）下列各数中，、、、、、0.8181818，无理数的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐个判断每个数是否为无理数即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是开方不尽数，是无理数； 中含有无理数，是无理数； ，是整数，属于有理数； 是循环小数，属于有理数； 0.8181818是有限小数，属于有理数。 ∴无理数有和，共2个。 故选：C． 2．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）对任意实数x，通常用表示不超过x的最大整数，如，，下列结论正确的是（    ） ①      ②      ③      ④ A．②③ B．①③ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了定义新运算，理解新定义是解题的关键． 根据新定义，逐一判断各结论的正确性即可． 【详解】解：，故①正确； ，故②错误； ，故③正确； 当不是整数时，如，则，故④错误； ∴综上所述，结论正确的是①③． 故选：B． 3．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）定义一种新运算：，则的结果为（   ） A． B．8 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查新定义下的运算，有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． 根据新的定义下进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选C． 4．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）下列说法不正确的是（   ） A．实数包括有理数和无理数 B．实数和数轴上的点一一对应 C．的算术平方根是4 D．平方根和立方根相等的数是0 【答案】C 【分析】本题主要考查实数的概念、算术平方根、平方根及立方根，熟练掌握各个概念是解题的关键；因此此题可根据实数的概念、算术平方根、平方根及立方根进行排除选项． 【详解】解：A、实数包括有理数和无理数，说法正确，故不符合题意； B、实数和数轴上的点一一对应，说法正确，故不符合题意； C、，4的算术平方根是2，原说法错误，故符合题意； D、平方根和立方根相等的数是0，原说法正确，故不符合题意； 故选C． 5．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，解决本题的关键是看懂运算顺序． 【详解】解：当，取算术平方根，可得：， 是有理数， 再取的立方根， 又是有理数， 再取的算术平方根， 的算术平方根是是无理数， ． 故选：C． 6．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图所示，数轴上表示2，的对应点分别为，，点是的中点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点是的中点得，设点表示的数是，列方程求解即可；本题主要考查了线段中点，数轴，实数的混合运算，熟练掌握实数混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 设点表示的数是， 则， 解得， 则点表示的数是， 故选：C． 7．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，实数与数轴，数轴上两点之间的距离，由题意得出，再利用数轴上两点之间的距离公式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， ∴， ∵点表示的数为， ∴数轴上点所表示的数为， 故选：． 8．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）若是两个连续的整数，且，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查无理数的估算，利用夹逼法得出，结合题意可得，，代入求和即可． 【详解】解：， ，即， 是两个连续的整数，且， ，， ， 故答案为：9． 9．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）比较大小： （填“”或“”或“”）．比较大小： ．（填写“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了比较实数的大小，根据具体情况适当转化形式再比较．当一个是带根号形式另一个是分数形式时，可同时平方，比较平方后的大小，它们的大小关系一致；当一个是立方根形式另一个是平方根形式时，可以找一个中间的整数作为桥梁，再比较大小即可． 【详解】解：①，， ， ②，， ， 故答案为：①，②． 10．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具，如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为，若介于两个连续整数n和之间，则n的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的估算，先估算出，即可得到，即可解答． 【详解】解：， ，即， ， 无理数的值介于两个连续整数和之间， ， 故答案为4． 11．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）我们已经学习了利用“夹逼法”估算的值，现在用表示距离（为正整数）最近的正整数．例如：表示距离最近的正整数，表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，利用这些发现得到以下结论： ①若时，的值有 个； ②当时，的值为 ． 【答案】 6 110 【分析】本题考查数字的变化规律，根据所给的定义，通过估算无理数，找到数字的变化规律是解题的关键． ①当时，，可知n的值有6个； ②由，；可得2个1，4个2，6个3，8个4……，再代入计算即可． 【详解】解：①当时，为7，8，9，10，11，12一共有6个； ②由， ；可得2个1，4个2，6个3，8个4……， 所以，， ． 故答案为：①6；②110． 12．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）若a和b是有理数，且满足，则．根据上述材料，解决下列问题： （1）若，则的立方根为 ； （2）若，则的平方根为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了平方根、立方根． （1）根据题中所给计算方法求出、的值，代入计算，再根据立方根的定义求解即可； （2）根据题中所给计算方法求出、的值，代入计算，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）由题意，得， 解得， ∴， ∴的立方根为2， 故答案为：2； （2）由题意，得， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根，立方根，实数的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键，先利用乘方，算术平方根，立方根，实数的性质进行化简，再进行加减即可． 【详解】解： ． 14．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）把下列各数填入相应的集合里： （两个1之间依次增加一个0）. 正数集合：{                                            …}； 负数集合：{                                            …}； 有理数集合：{                                            …}； 无理数集合：{                                            …}． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了实数的分类、有理数分类、无理数的定义等知识点，掌握相关定义是解题的关键. 根据实数、有理数、无理数等定义逐个判断即可． 【详解】解：正数集合：； 负数集合：； 有理数集合：； 无理数集合：{，，（两个1之间依次增加一个0）…}． 15．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）观察下列等式： 等式1：；等式2：；等式3： (1)猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为 ，第10个等式为 ； (2)归纳猜想：用含的式子表示第个等式所反映的运算规律为 ． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知被开方数中第一项的分母为序号加1的倒数，第二项的分母为第一项分母的平方，等式右边的结果中分母为序号加1，分子为序号的算术平方根，据此求解即可； （2）根据（1）分析中的规律可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可猜想第4个等式为，第10个等式为； （2）解：第1个等式为， 第2个等式为， 第3个等式为， 第4个等式为， …… 以此类推可得第n个等式为． 16．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，一只瓢虫从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为．设点表示的数为． (1)实数的值为______； (2)数轴上还有，两点分别表示实数和，且与互为相反数．求的算术平方根． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题综合考查数轴上点的移动规律、绝对值与算术平方根的非负性、相反数的定义及算术平方根的计算．解题关键是利用“非负数和为0则各非负数均为0”求出和，再逐步完成后续计算． （1）利用数轴上点向右移动时数值的变化规律（原数加移动单位长度）来确定的值； （2）先依据绝对值与算术平方根的非负性及相反数的性质求出和，再代入计算并求其算术平方根． 【详解】（1）解：因为瓢虫从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为， 所以点表示的数为， 故答案为：； （2）解：因为与互为相反数， 所以， 即， 解得． 所以， 故的算术平方根为2． 17．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2)第个等式为 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究与化简计算，通过观察等式特征总结规律是解题的关键． （1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【详解】（1）解：被开方中，分子为，分母为，结果为， 第个等式：分子为，分母为，结果为， 第个等式：． （2）解：根据第（1）问得出的结论，第个等式为． （3）解：原式 ． 18．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，一个直径为4的圆从原点处沿数轴向左滚动一周，无滑动，圆上与原点重合的点O到达点A，设点A表示的数为a． (1)求的值． (2)求的算术平方根． (3)若在数轴上有一点，点表示的数为，且的值为，在（1）的情况下，求点与点之间的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根、立方根以及数轴上两点间距离的计算，熟练运用相关公式和法则是解答本题的关键． （1）利用圆的周长公式求出圆滚动一周的长度，结合滚动方向确定的值； （2）将的值代入式子，依次进行立方根运算、实数运算和算术平方根运算； （3）根据数轴上两点间距离公式，结合和的值计算两点间距离． 【详解】（1）圆的直径为， 圆的周长， 又点在原点的左侧， ． （2）， ， 的算术平方根为， 的算术平方根为2． （3）， 由数轴上两点间的距离公式得：， 点与点之间的距离为． 19．（24-25七年级下·安徽·月考）观察下列等式，并回答下列问题： ①； ②； ③； ④； (1)请写出第⑤个等式：_______；计算_______． (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示）． (3)比较与1的大小． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． （1）根据已知等式的规律可以得到第⑤个等式，由于，可以根据规律得到结果； （2）由前4个等式可以猜想第n个等式为； （3）利用作差法比较大小． 【详解】（1）解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：， ， 故答案为：；． （2）解：由前4个等式可以猜想第n个等式为， 故答案为：． （3）解：∵， ∴． 20．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）同学们知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们无法全部写出来，喜欢动脑筋的小明同学用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去它的整数部分，所得的差就是这个数的小数部分． (1)已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值． (2)若m是的整数部分，n是的相反数，请比较m，n的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据得到，，再代入计算即可； （2）根据，n是的相反数，确定，的值，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是， ∵n是的相反数， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 无理数和实数 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·安徽六安·期末）如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）在实数，，，，中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点2 ：实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 【即时训练】 3．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）毕达哥拉斯学派发现无理数，这是数学史上的一件大事．在，，0，，，，，，这些数中，无理数的个数有 个． 4．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）把下列各数的序号填在相应的大括号中： ①；②；③；④；⑤；⑥（两个2之间的0逐次增加）；⑦． (1)整数集合：{___________…}； (2)分数集合：{___________…}； (3)有理数集合：{___________…}； (4)无理数集合：{___________…} 知识点3 ：实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. … 有理数集合 … 无理数集合 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 【即时训练】 5．（24-25七年级上·安徽淮南·月考）已知实数a、b在数轴上的对应点如图，化简 6．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）数轴上，两点表示的数分别为和，则，两点之间表示整数的点共有 个． 知识点4 ：实数的有关概念 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 【即时训练】 7．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段练习）我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（   ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它可以表示成分数形式 8．（25-26八年级上·安徽·专题练习）数3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），中，实数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点5 ：比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 【即时训练】 9．（2025八年级·安徽·专题练习）要比较两个无理数的大小，在不借助计算器的情况下，有一种简便的估算方法：先找出一个中间量分别与要比较的两个数作比较，再利用“若，，则”这一性质比较大小．根据这种思路，比较与的大小，可取数 做中间量． 10．（2025七年级下·安徽·专题练习）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． ， ． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和 【题型1 无理数】 例1．在一组数，，(相邻的两个1之间依次多一个3)中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．下列实数、、、2.101001000、中，无理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式1．在数，，，，，（每两个之间依次多个），中，有 个无理数． 变式2．把下列各数填在相应的横线上．(填序号) ①；②；③；④0 ；⑤；⑥；⑦ (依次多一个0)． (1)正分数： (2)整数： (3)无理数： (4)实数： 变式3．请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②5.2，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2005，⑨（每两个3之间的0依次多一个） (1)整数集合：{____________…}； (2)分数集合：{____________…}； (3)负有理数集合：{____________…}； (4)无理数集合：{____________…}． 【题型2 无理数的大小估算】 例1．估计的值应在（    ） A．8到9之间 B．7到8之间 C．6到7之间 D．5到6之间 例2．如图，若将，，，对应的点表示在数轴上，则其中被墨迹覆盖住的点对应的数是（    ） A． B． C． D． 变式1．若，为两个连续的正整数，且，则 ． 变式2．若的整数部分是，的小数部分是，则 ． 变式3．已知在两个连续的自然数a和b之间，是c的立方根． (1)求a，b，c的值． (2)求的平方根与c的差． 【题型3 无理数整数部分的有关计算】 例1．是的小数部分，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 例2．已知，其中m是整数，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式1．已知的算术平方根是3，b是的整数部分，则的平方根为 ． 变式2．已知a的立方根是2，b的算术平方根是1，c是的整数部分，d是的小数部分． (1)求a，b，c，d的值； (2)求的平方根． 变式3．我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，4.13的小数部分为． (1)_________，_________，的小数部分_________； (2)已知，其中是整数，且，则的相反数是_________； (3)设的小数部分为，求的值． 【题型4 实数概念理解】 例1．下列说法正确的是（    ） A．无理数与无理数的和一定为无理数 B．一个数的算术平方根一定不比这个数大 C．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 D．实数可分为有理数和无理数 例2．已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．已知m，n是有理数，且，的值为 ． 变式2．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．这个小数不能在数轴上表示出来 C．它大于 D．它是一个实数 变式3．对于从左到右依次排列的三个实数a，b，c，在与之间，与之间各添加一个四则运算符号组成算式（不添加可能改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对实数a，b，c进行“四则操作”．例如：对实数1，2，3进行“四则操作”可以是，也可以是．则下列说法正确的是 （填序号）． ①“四则操作”的结果为3；②对实数2，3，4进行“四则操作”的结果可能是；③对实数1，，5进行“四则操作”后，所有的结果中最小的是． 【题型5 实数的分类】 例1．在下列实数中：，，，，0，，（相邻两个1之间0的个数逐次加），无理数的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 例2．在，，，，，，，这些数中，无理数的个数为（　　） A．5 B．2 C．3 D．4 变式1．在下列各数中：2022，，，（每两个1之间的0依次加1），无理数有 个． 变式2．将下列各数进行分类（填序号即可）： ，，，，，，（每个“”之间依次多一个“”）． 正整数： ；分数： ；无理数： ． 变式3．实数大家族的成员在坐火车时依据自身特征乘坐不同车厢，在下列实数中，分别找出整数、负分数和无理数，并填入相应的横线上：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（两个“1”之间依次多一个“2”）． (1)整数车厢______．（填序号） (2)负分数车厢______．（填序号） (3)无理数车厢______．（填序号） 【题型6 实数的性质】 例1．下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 例2．下列关于的说法错误的是（   ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的平方是 D．是无理数 变式1．实数的绝对值为 ． 变式2．计算：的平方根为 ； ． 变式3．已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 【题型7 实数与数轴】 例1．如图，借助数轴可以得到，，，．在这四个数中，是无理数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．如图，在数轴上画一个边长为1的正方形，那么这个正方形的对角线长是，再以对角线长为半径，表示数1的点为圆心画一个半圆（图中虚线所示）与数轴交于、两点，则、两点表示的数是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 变式1．如图，将面积为7的正方形放在数轴上，以表示实数2的点C为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为 ． 变式2．如图，实数，，在数轴上对应点的位置，化简的结果为 ． 变式3．已知是的平方根，是的平方根，的立方根是，的算术平方根是． (1)分别求出的值； (2)如图，在数轴上表示的另外一个平方根的点可能是点 ． 【题型8 实数的大小比较】 例1．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 例2．比较三个数： 的大小，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．比较大小： ．（填“”、“”或“”） 变式2．如图，已知点表示的数为，点向右运动个单位长度到达点，点表示的数为． (1)在数轴上画出点； (2)点表示的数为________，其绝对值为________； (3)利用数轴比较大小：________（填“”“”或“”），所以点在点________．（填“左侧”或“右侧”） 变式3．请看参考图，在下面数轴上准确找到表示下列各数的点，并标明序号：①、② 、③9的算术平方根，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“”连接：_____＜_____＜_____．（填序号） 【题型9 实数的混合运算】 例1．计算： (1)； (2)． 例2．计算： (1) (2) 变式1．计算： (1)； (2) 变式2．计算： (1) (2) 变式3．计算： 【题型10 程序设计与实数运算】 例1．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（   ） A．8 B． C． D．2 例2．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入x为时，输出的值是 ． 变式2．如图是一个数值转换器（），其工作原理如图所示． 若输出的值是，则负整数的值为 ． 变式3．下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 【题型11 新定义下的实数运算】 例1．对于任意实数，规定一种新运算：，其中为常数，例如：．已知，且，求的值． 例2．对于实数，，定义运算◆：例如，，．若，满足方程求的值． 变式1．用“”表示一种新运算，对于任意非负实数和任意实数都有，例如，，求的值． 变式2．阅读下面的材料，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而的整数部分是1，于是可用表示的小数部分，比如，的整数部分是1，小数部分是．请解答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)已知：a为3的算术平方根，b为的整数部分，若规定，求的值． 变式3．我们已经学习了平方根和立方根．若，则叫的二次方根（平方根），可表示为．若，则叫的三次方根（立方根），可表示为．平方根具有性质如：正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根．请阅读材料，观察下表，类比上述的定义和性质完成以下问题： … 1 16 81 … … … 【定义】（1）若，则叫的________①_________，可表示为______②______； 【性质】（2）请概括①的性质； 【应用】（3）若，直接写出的值： 【拓展】（4）解方程：． 【题型12 实数运算的实际应用】 例1．如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为4、16． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_____． 例2．《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为 ． 变式1．如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 变式2．如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 变式3．如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【题型13 与实数运算相关的规律题】 例1．下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第5行的最后一个数是 ；第n（n为整数且）行从左向右数第个数是 （用含n的代数式表示）． 例2．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ． 变式1．已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 变式2．对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 变式3．设，，，…，，则+…+的值为（　　） A． B． C． D． 1．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）下列各数中，、、、、、0.8181818，无理数的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）对任意实数x，通常用表示不超过x的最大整数，如，，下列结论正确的是（    ） ①      ②      ③      ④ A．②③ B．①③ C．①②③ D．①③④ 3．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）定义一种新运算：，则的结果为（   ） A． B．8 C． D．6 4．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）下列说法不正确的是（   ） A．实数包括有理数和无理数 B．实数和数轴上的点一一对应 C．的算术平方根是4 D．平方根和立方根相等的数是0 5．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图所示，数轴上表示2，的对应点分别为，，点是的中点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）若是两个连续的整数，且，则的值为 ． 9．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）比较大小： （填“”或“”或“”）．比较大小： ．（填写“”，“”或“”） 10．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具，如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为，若介于两个连续整数n和之间，则n的值是 ． 11．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）我们已经学习了利用“夹逼法”估算的值，现在用表示距离（为正整数）最近的正整数．例如：表示距离最近的正整数，表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，利用这些发现得到以下结论： ①若时，的值有 个； ②当时，的值为 ． 12．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）若a和b是有理数，且满足，则．根据上述材料，解决下列问题： （1）若，则的立方根为 ； （2）若，则的平方根为 ． 13．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）计算：． 14．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）把下列各数填入相应的集合里： （两个1之间依次增加一个0）. 正数集合：{                                            …}； 负数集合：{                                            …}； 有理数集合：{                                            …}； 无理数集合：{                                            …}． 15．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）观察下列等式： 等式1：；等式2：；等式3： (1)猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为 ，第10个等式为 ； (2)归纳猜想：用含的式子表示第个等式所反映的运算规律为 ． 16．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，一只瓢虫从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为．设点表示的数为． (1)实数的值为______； (2)数轴上还有，两点分别表示实数和，且与互为相反数．求的算术平方根． 17．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 18．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，一个直径为4的圆从原点处沿数轴向左滚动一周，无滑动，圆上与原点重合的点O到达点A，设点A表示的数为a． (1)求的值． (2)求的算术平方根． (3)若在数轴上有一点，点表示的数为，且的值为，在（1）的情况下，求点与点之间的距离． 19．（24-25七年级下·安徽·月考）观察下列等式，并回答下列问题： ①； ②； ③； ④； (1)请写出第⑤个等式：_______；计算_______． (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示）． (3)比较与1的大小． 20．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）同学们知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们无法全部写出来，喜欢动脑筋的小明同学用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去它的整数部分，所得的差就是这个数的小数部分． (1)已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值． (2)若m是的整数部分，n是的相反数，请比较m，n的大小． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $