1.2等腰三角形第1课时（教学课件）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学课件聚焦等腰三角形“等边对等角”“三线合一”及等边三角形性质，通过情境中图形观察导入，结合知识回顾（多边形内角和、三角形分类）搭建学习支架，帮助学生衔接旧知。 其亮点在于以探究为核心，通过折叠操作启发辅助线添加，多种证法培养推理意识，规范几何语言转化提升数学表达能力。结合生活实例发展几何直观，典例与分层练习助力知识应用，既深化学生理解，也为教师提供系统教学资源。

1.2 等腰三角形 第一章 三角形的证明及其应用 第1课时 学 习 目 标 1.掌握等腰三角形“等边对等角”“三线合一”及等边三角形的性质，明确两类三角形性质的关联与区别；(重点) 2.经历两类三角形性质的推理论证过程，理解证明逻辑，掌握几何证明书写格式； 3.能运用两类三角形性质解决简单角度计算、线段相等判定问题，提升应用能力.（难点） 1.n边形的内角和等于 ，外角和等于 . 2.正n边形每个内角的度数是: ，正n边形每个外角的度数为 . 知识回顾 3.三角形按边分类 不等边三角形 等腰三角形 腰和底不等的等腰三角形 等边三角形(三边都相等的三角形） 三条边各不相等的三角形. 360° (n-2)×180 ° 图中有你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点? 情境引入 等腰三角形 等边三角形 它们都有什么样的性质呢？ 已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=C. A B C 新知探究 探究一：等腰三角形的性质 这一定理可以简述为：等边对等角. 定理:等腰三角形的两底角相等. 我们曾经探索过等腰三角形的一些性质，你还记得这些性质吗？请你选择其中一条性质进行证明，并与同伴进行交流. 转化成几何语言 新知探究 A B C 分析：我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等.实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形.这启发我们，可以作一条辅助线，把原三角形分成两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等. D 证明： 作底边的中线AD， 则BD=CD. AB=AC ( 已知 )， BD=CD ( 已知 )， AD=AD (公共边)， ∴ △BAD≌ △CAD (SSS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 在△BAD和△CAD中 还有其他的证法吗？ 新知探究 证明： 作顶角的平分线AD， 则∠BAD=∠CAD. AB=AC ( 已知 ), ∠BAD=∠CAD ( 已作 ), AD=AD (公共边), ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 方法二：作顶角的平分线 在△BAD和△CAD中 A B C D 新知探究 等腰三角形的性质定理1： 知识归纳 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). 几何语言： 如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角). A B C 新知探究 1.如图，AB＝AC＝AD，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝(　　) A．80° B．100° C．140° D．160° 解析:∵∠BAD＝80°， ∴∠B＋∠BCD＋∠D＝360°－∠BAD＝280°. 又∵AB＝AC＝AD， ∴∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠D， ∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝280°÷2＝140°. C 由“等边对等角”定理的证明过程，你发现线段AD还有哪些特征？为什么？与同伴进行交流. A B C D 新知探究 解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD. 又∵ ∠ADB+∠ADC=180°， ∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ， 即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 . 新知探究 等腰三角形的性质定理2： 知识归纳 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(三线合一）. ∵AB=AC, ∠1=∠2(已知), ∴BD=CD,AD⊥BC （等腰三角形三线合一）. ∵AB=AC, BD=CD (已知), ∴∠1=∠2,AD⊥BC （等腰三角形三线合一）. ∵AB=AC, AD⊥BC(已知), ∴BD=CD, ∠1=∠2 （等腰三角形三线合一）. 几何语言：如图,在△ABC中, A B C D 1 2 新知探究 2.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是　　　　. 20 已知：如图，在△ABC中， AB=AC=BC． 求证：∠A=∠B=∠C=60°． A C B 新知探究 探究二：等边三角形的性质 等边三角形是特殊的等腰三角形，它有哪些特殊的性质呢？请尝试证明你发现的结论，并与同伴进行交流. 转化成几何语言 根据定义可知，等边三角形的三条边都相等. 定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 还可以得出： 新知探究 A C B 证明：在△ABC中，∵AB=AC(已知)， ∴∠B=∠C(等边对等角). 同理可得 ∠A=∠B． 又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)， ∴∠A=∠B=∠C=60°． 新知探究 等边三角形的性质定理： 知识归纳 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. A C B 几何语言： ∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC=BC, ∠A=∠B=∠C=60°. 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质.等边三角形每个内角的平分线都与它对边上的高、中线重合. 新知探究 3.如图所示，△ABC是等边三角形，且点A在直线l上，则∠1+∠2等于　　　　 . 120° 新知探究 回顾七年级下册及本节研究等腰三角形性质的过程，你积累了哪些研究图形的经验？ 1.从生活实例切入，建立直观认知； 2.根据动手操作（折叠、测量），猜想图形性质； 3.通过逻辑证明（辅助线、全等转化），验证猜想； 4.性质应用巩固，深化理解。 如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度数． 例1 典例分析 解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC， ∴AE⊥BC. ∵∠ADC＝125°， ∴∠CDE＝180°－∠ADC＝55°， ∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°. 又∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠DCE＝70°. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝70°， ∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝40°. 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连结BE，DE.若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数． 例2 典例分析 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠ABE＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝20°. ∵BE＝DE， ∴∠D＝∠EBC＝20°， ∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°. 巩固练习 1.等腰三角形的一边长为4，另一边长为5，则此三角形的周长为 (　　)A.13 B.14 C.15 D.13或14 D 3.如图所示，在△ABC中，AB=AC=6，该三角形的面积为15，O是边BC上任意一点，则点O到AB，AC边的距离之和等于(　　)A.5 B.7.5 C.9 D.10 A 2.已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,则下列结论不一定正确的是 (　　)A.BD=CE B.OB=OC C.OC=DC D.∠ABD=∠ACE C 巩固练习 4.如图所示，在四边形ABCD中，AC，BD为对角线，AB＝BC＝AC＝BD，则∠ADC的大小为(　 　) A．120°　 B．135°　　 C．145°　 D．150° D 5.如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下列四个结论正确的是(　 　) ①点P在∠BAC的平分线上； ②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP. A．全部正确　 B．仅①和②正确 C．仅②和③正确　 D．仅①和③正确 A 巩固练习 8.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是　　　　. 20 6.如图所示，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=64°，则∠C的度数为　　　　. 32° 7.如图所示,在△ABC中，AB=AC，AD，CE是三角形的高，垂足分别为D，E，若∠CAD=20°，则∠BCE的度数为　　　　. 20° 巩固练习 9.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.(1)若∠C=42°,求∠BAD的度数;(2)若点E在边AB上,EF∥AC交AD的延长线于点F,求证:AE=FE. 解: (1)∵AB=AC,AD⊥BC于点D, ∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°. ∵∠C=42°, ∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°. (2)证明:由(1)知∠BAD=∠CAD. ∵EF∥AC, ∴∠F=∠CAD, ∴∠BAD=∠F, ∴AE=FE. 10.如图所示，已知l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，求∠α的度数． 巩固练习 解：如题图，过点C作CE∥m. ∵l∥m， ∴l∥m∥CE， ∴∠ACE＝∠α，∠BCE＝∠CBF＝20°. 在等边三角形ABC中，∠ACB＝60°， ∴∠α＋∠CBF＝∠ACB＝60°， ∴∠α＝40°. 11.如图所示，△ABC为正三角形，点M是边BC上任意一点，点N是边CA上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于点Q，求∠BQM的度数. 巩固练习 解：∵△ABC为正三角形， ∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC. 在△AMB和△BNC中， ∵ AB=BC,∠ABC=∠C，BM＝CN， ∴△AMB≌△BNC， ∴∠BAM＝∠CBN， ∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°. 课堂小结 等腰三角形1 等腰三角形的性质 等边三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(三线合一）. 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 作业布置 1.必做题：习题1.2第1，2，3，4，5题。 2.探究性作业：习题1.2第10题。 感谢聆听! $