江西省南昌市第一中学2025-2026学年高三上学期周测（十）数学试题

江西省南昌市第一中学2026届高三上学期周测（十）数学试题 课后补充练习卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】化简A，由补集求得B，即可进行交集运算. 【详解】由，得或. 又，所以， 故选：B. 2．设，则复数的实部和虚部之和为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用复数的乘法可得，从而可得其实部和虚部之和. 【详解】，故其实部为，虚部为，两者的和为， 故选：B. 【点睛】本题考查复数的乘法以及复数的虚部和实部，注意复数的虚部为，本题属于基础题. 3．已知双曲线的焦点分别为、，，双曲线上存在一点满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的定义求出，由可得，然后由离心率的计算公式计算即可. 【详解】因为双曲线的焦点分别为、，， 所以，故， 又因为双曲线上存在一点满足，即，所以，故， 所以双曲线的离心率为. 故选：B. 4．向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量减法的坐标运算可得结果. 【详解】因为向量，，则. 故选：A. 5．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知利用商数关系化弦为切求出，再根据两角和的正切公式即可得解. 【详解】由，得， 所以. 故选：D. 6．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由两直线平行得出的值，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】若直线与直线平行，则有解得或，所以当时，直线与直线平行，当直线与直线平行时，或. 故选：A 7．设函数的定义域为是偶函数，是奇函数，且当时，，若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】由函数的奇偶性结合题意解方程组求出，再利用函数的周期性可得. 【详解】是偶函数， 是奇函数，且， 且. 根据所得的关系式， 可得. 由，解得， . 故选：B 8．函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（    ） ①；②；③；④. A．②④ B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】A 【分析】根据题意，先对函数分别求导，通过对的取值进行讨论，得出函数的最大值，即可求出，由数形结合思想可知，当直线经过点时，与两曲线和恰好有三个交点，不妨设，通过比较和的大小，即可判断①错误，②正确；再利用指数和对数恒等式证明④正确，再利用反证法可判断③错误. 【详解】根据题意，由，得，令，解得， 同理，由，得，令，解得， 当时，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 此时，函数有最小值，无最大值，不符合题意； 当时，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为； 又函数和有相同的最大值，得，即，解得. 则两个函数图像如图所示，由数形结合思想可知，当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，不妨设， 则，，可知，所以，故①错误，②正确； 又，则，即， 又，，又当时，函数单调递增，所以， 又，即， 又，，又当时，函数单调递减，所以， 所以，，所以，即，故④正确； 如果成立，则，所以，即，所以，与矛盾，所以不成立，故③错误. 故选：A. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是线段CD1上的动点，则下列判断正确的是（   ） A．直线AC1⊥平面BCD1A1 B．点B1到平面BCD1A1的距离是 C．无论点E在线段CD1的什么位置，都有AC1⊥B1E D．若异面直线B1E与AD所成的角为θ，则sinθ的最小值为 【答案】BCD 【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标表示，判断ACD，结合等体积公式，求点B1到平面BCD1A1的距离，判断选项B. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，，，，，，，， A.，， 因为，所以与不垂直，那么与平面不垂直，故A错误； B.点到平面的距离即点到平面的距离，设点到平面的距离为， 因为，即 得，解得：，故B正确； C.因为点在线段上，所以 ，，， 所以，故C正确； D.，， ， 因为，所以求的最小值，即求的最大值， 当时，取得最大值，最大值是，此时，故D正确. 故选：BCD 10．已知抛物线C：的准线为l：，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于，两点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．以为直径的圆与x轴相交 C．最小值为9 D．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条 【答案】ACD 【分析】根据焦点弦公式即可判断A；求出线段的中点坐标及圆的半径，从而可判断B；根据抛物线的定义可得，再结合，利用基本不等式即可判断C；分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合根的判别式即可判断D. 【详解】    由题意，抛物线的准线为， ，所以抛物线方程为，焦点，过点作于，作于，由抛物线定义，， 故A正确； ，所以以为直径的圆的半径， 线段的中点坐标为，线段的中点到轴的距离是， 所以以为直径的圆与轴相切，故B错误； 设直线的方程为，代入抛物线，可得，，又， ， ， 当且仅当时等号成立，故C正确； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个公共点， 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去得， 因为直线与抛物线有且只有一个公共点， 所以即，解得或1， 综上，过点与抛物线有且只有一个公共点的直线共有3条，故D正确. 故选：ACD. 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．图象是轴对称图形 B． C．在区间上单调递增 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，求出与比较可得结论，对于B，直接计算即可，对于C，对函数求导后，通过导数的正负判断函数的单调性，对于D，由选项AC的结论结合正弦函数的性质判断. 【详解】对于A，因为，所以的图象关于直线对称，所以图象是轴对称图形，所以A正确， 对于B，因为， 所以 ，所以B正确， 对于C，由，得， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以在区间上单调递减，所以C错误， 对于D，由选项A和选项C可知在上递增，在上递减， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以D正确， 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为 . 【答案】 【分析】直接求导代入得，再求出切点和斜率即可得到切线方程. 【详解】由题：，所以， ，所以，所以，，，， 所以切线方程为，即. 故答案为： 13．中国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第5天走了 里路. 【答案】12 【解析】根据题意得到每天走的路程构成以为公比的等比数列，然后利用求得首项，再利用通项公式求解. 【详解】由题意得，每天走的路程构成以 为首项，以为公比的等比数列， 所以， 解得， 所以， 故答案为：12 【点睛】本题主要考查等比数列的定义，通项公式和前n项和公式，还考查了分析抽象运算求解的能力，属于基础题. 14．在n维空间中（，），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中.则5维“立方体”的顶点个数是 ；定义：在n维空间中两点与的曼哈顿距离为.在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 【答案】 32 【分析】第一空由题意根据分步乘法原理，求解即可；第二空先确定样本点总数，再得到的可能取值，求出概率，列出分布列，求出期望. 【详解】（1）的可能值为0，1（，）.故五维立方体的顶点有个. （2）依题意，样本空间的样本点记为，M，N为五维立方体的顶点 样本点总数： 当时，有k个第i维坐标值不同，有个第i维坐标值相同. 满足的样本点个数为. 所以. 故分布列为： X 1 2 3 4 5 P . 故答案为：32；. 【点睛】关键点点睛：本题第二空关键在于确定当时，有k个第i维坐标值不同，有个第i维坐标值相同，再由求出概率. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，的图象关于轴对称. （1）求角的值； （2）角，，锐角满足，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据辅助角公式将函数化为一个角的三角函数，再由函数的图象关于y轴对称可得角的值； （2）先由可得，再由可得，再将角按两角差的正弦公式求得. 【小问1详解】 因为， 又因为的图象关于轴对称，所以，所以， 所以，因为，所以. 【小问2详解】 由（1）得，，所以； 因为，若，则，而，不合题意. 故，则，所以，. 所以， . 16．某科研管理部门拟了解下辖的甲、乙两个科研所对重点领域项目的推进情况以便后期工作实施，准备用分层抽样的方法从两个科研所中抽取5名科技工作者进行调研.已知两个科研所的人数分别为480人，320人. （1）应从甲、乙两个科研所中分别抽取多少人? （2）设抽出的5个人分别用，，，，表示，现从中随机抽取2名科研工作者就某一重大项目进行主题发言，求“抽取的2人来自不同科研所”的概率. 【答案】（1）应从甲、乙两个科研所分别抽取3人和2人．（2） 【解析】（1）利用分层抽样中各层的比例，直接求出样本容量． （2）利用列举法得出所有可能的抽取结果及事件M包含的基本事件，利用古典概型求得事件M发生的概率P（M）． 【详解】（1）由已知，两个科研所的人数之比是3：2， 采用分层抽样的方法抽取5名科技工作者， ∴应从甲、乙两个科研所分别抽取3人和2人． （2）抽出的5个人分别用，，，，表示，记甲科研所的3人为，，，乙科研所的2人为，，则从中随机抽取2名科研工作者共有10种，分别为： {，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}， {，}，{，}，{，}． 设M为事件“抽取的2人来自不同科研所”， 则事件M包含的基本事件有6种，分别为： {，}，{，}， {，}，{，}，{，}，{，}． ∴事件M发生的概率P（M）． 所以“抽取的2人来自不同科研所”的概率为. 17．记数列满足，． (1)求证：是常数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）作差，代换即可证明差值为常数； （2）根据（1）得，再利用裂项求和法即可得到答案. 【详解】（1），则， 则， 又因为，则是以2首项的常数列. （2）由（1）知，则， 所以， 则. 18．把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长为，，分别为下底面椭圆的左、右焦点，为上底面椭圆的右焦点，，为下底面上过点的一条动弦（与不重合），点在下底面椭圆上（与点，不重合），是在上底面的投影． (1)证明：平面； (2)求四面体的体积的取值范围； (3)设平面与平面的夹角为，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)32 【分析】（1）要证明线面平行，则需要通过证明线线平行来证明线面平行，即证明． （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方程，然后与椭圆方程联立，结合韦达定理，求出四面体体积的表达式的范围. （3）利用坐标的方法将平面与平面的法向量求出来，然后根据向量夹角的余弦公式表示出，进而得到，最后求出所求表达式的最小值. 【详解】（1）证明：如图，连接， 由题意得，， 则，，， 所以，， 所以且， 则四边形是平行四边形， 所以． 又因为平面，平面，所以平面． （2）解：以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系． 下底面椭圆方程为， 设，，：，联立 得，且， 所以，． 所以，令， 则， 因为在上单调递增， 所以， 由题可得 （3）解：，，， 设， 则且， ，． 易得平面的一个法向量是， 设平面的法向量是， 则 令，得， 则， 所以， 所以． 又，， 所以， ，其中． 令， 由对勾函数性质知在上单调递减， 故． 19．已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求的值： (2)求在上的最值； (3)证明：当时，. 【答案】(1)， (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）利用切点和斜率列方程组，由此求得. （2）利用多次求导的方法求得在区间上的单调性，由此求得在上的最值. （3）先证明时，，再结合（2）转化为，从而证得不等式成立. 【详解】（1）， ∴，解得：，； （2）由（1）得：， ，令，则， 是增函数，令解得. ∴，也即在上单调递减， 在上单调递增， ∴，∴在递增， ∴；； （3）∵，由（2）得过， 且在处的切线方程是， 故可猜测且时，的图象恒在切线的上方， 下面证明时，，设，， ∴，∴令， ， 由（2）得：在递减，在递增， ∵，，，∴， ∴存在，使得， ∴时，，时，， 故在递增，在递减，在递增. 又，∴当且仅当时取“”， 故，，由（2）得：，故， ∴，当且仅当时取“=”，∴， 即，∴， 即成立，当且仅当时“=”成立. 【点睛】求解切线的有关的问题，关键点就是把握住切点和斜率.利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法求得函数的单调性时，可以考虑利用多次求导来进行求解.利用导数证明不等式恒成立，如果无法一步到位的证明，可以先证明一个中间不等式，然后再证得原不等式成立. 试卷第2页，共17页 试卷第12页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省南昌市第一中学2026届高三上学期周测（十）数学试题 课后补充练习卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D．或 2．设，则复数的实部和虚部之和为（    ） A．3 B． C．1 D． 3．已知双曲线的焦点分别为、，，双曲线上存在一点满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．向量，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（ ） A． B． C． D． 6．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．设函数的定义域为是偶函数，是奇函数，且当时，，若，则（    ） A． B． C． D．3 8．函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（    ） ①；②；③；④. A．②④ B．①③ C．②③ D．①④ 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是线段CD1上的动点，则下列判断正确的是（   ） A．直线AC1⊥平面BCD1A1 B．点B1到平面BCD1A1的距离是 C．无论点E在线段CD1的什么位置，都有AC1⊥B1E D．若异面直线B1E与AD所成的角为θ，则sinθ的最小值为 10．已知抛物线C：的准线为l：，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于，两点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．以为直径的圆与x轴相交 C．最小值为9 D．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．图象是轴对称图形 B． C．在区间上单调递增 D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为 . 13．中国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第5天走了 里路. 14．在n维空间中（，），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中.则5维“立方体”的顶点个数是 ；定义：在n维空间中两点与的曼哈顿距离为.在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，的图象关于轴对称. （1）求角的值； （2）角，，锐角满足，求的值. 16．某科研管理部门拟了解下辖的甲、乙两个科研所对重点领域项目的推进情况以便后期工作实施，准备用分层抽样的方法从两个科研所中抽取5名科技工作者进行调研.已知两个科研所的人数分别为480人，320人. （1）应从甲、乙两个科研所中分别抽取多少人? （2）设抽出的5个人分别用，，，，表示，现从中随机抽取2名科研工作者就某一重大项目进行主题发言，求“抽取的2人来自不同科研所”的概率. 17．记数列满足，． (1)求证：是常数列； (2)设，求数列的前项和． 18．把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长为，，分别为下底面椭圆的左、右焦点，为上底面椭圆的右焦点，，为下底面上过点的一条动弦（与不重合），点在下底面椭圆上（与点，不重合），是在上底面的投影． (1)证明：平面； (2)求四面体的体积的取值范围； (3)设平面与平面的夹角为，求的最小值． 19．已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求的值： (2)求在上的最值； (3)证明：当时，. 试卷第2页，共17页 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $