精品解析：广东省高州市2026届高三上学期高考诊断性考试数学试题

高州市2026年高考诊断性考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合交集的概念运算即可求解. 【详解】因为集合，集合， 所以. 故选：A． 2. 样本数据2，18，14，10，5的第百分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的求法计算即可. 【详解】样本数据从小到大排列为，计算位置：， 因为为整数，所以第百分位数为， 故选：C． 3. 记为等比数列的前项和，若 ，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合等比数列的通项公式可求 ，然后结合数列的前项的定义即可直接求解. 【详解】设等比数列的公比为，则，， 故． 故选：B． 4. 已知函数，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数求值的方法进行求解. 【详解】因为， 所以，解得 ． 故选：A． 5. 在平面直角坐标系中，为抛物线的焦点，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求出，即，利用即可求出答案. 【详解】抛物线，焦点， 因为，所以轴，所以， 则，解得， 如图，则， 所以． 故选：D． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数正弦的两角差，辅助角公式及余弦的二倍角公式进行计算. 【详解】依题意，， 所以． 故选：B． 7. 记数列的前项和为，已知，为等差数列，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据，从而得到，根据为等差数列得到，即可得到，再计算即可. 【详解】，故， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列， 所以，故， 所以当时，，所以， 故选：D． 8. 向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，由可得，作出相应图象，结合图象利用二倍角公式计算即可求解. 【详解】设，则， 因为，所以， 即，即，所以． 如图，设，，， 则 ，， 因为是等腰直角三角形， 设边中点为，则， 所以边上的高，， 因为，所以 三点共线， 所以， 则， 所以，， 所以． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若， ，则 C. 若，，则 D. 若 ，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断AC，利用特例法判断B，利用作差法判断D. 【详解】对于A，可知，不等式两侧同乘以，有，故A正确； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，由，知，，由不等式同向可加性的性质知C正确； 对于D，利用作差法知，由 ，， 知，，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且高为3，则下列说法正确的有（ ） A. 该四棱台的体积为14 B. 若为的中点，则平面 C. 该四棱台的侧面积为 D. 该四棱台的外接球表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用台体体积公式可判断A选项；利用线面平行的判定定理可判断B选项；根据棱台的侧面积公式可判断C选项；设出球心的坐标，根据球心到点的距离相等，可求出球心的坐标，进而可求出球的半径，结合球体表面积公式可判断D选项. 【详解】设棱台的上下底面中心分别为， 对于A选项，由台体体积公式可知，该正四棱台的体积为，A对； 对于B选项，当点为的中点时，易知为的中点，所以， 因为平面，平面，故平面，B对； 对于C选项，侧面的斜高为， 所以此四棱台的侧面积为，所以C错； 对于D选项，易知该正四棱台外接球球心在直线上，设球的半径为 ， 因为正方形的边长为，正方形的边长为， 所以,, 设点，则， 由可得，解得， 故， 因此，该四棱台的外接球表面积为，D对. 故选:ABD． 11. 在平面直角坐标系中，已知曲线，点为曲线上任意一点，则（ ） A. 曲线既关于轴对称，也关于轴对称，还关于原点对称 B. 的最小值为 C. 在第一象限内，曲线的图象在双曲线的图象的上方 D. 若点到直线 和的距离分别为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】设点在曲线上，可得点，，也在曲线上，即可判断A; 设点的坐标为， 有，即可判断B; 设曲线和双曲线在第一象限内的点分别 为,可得 ，由B选项的推导过程可得在第一象限内 ，即可判断C; 结合B选项的推导过程有，，计算即可判断D. 【详解】对于A选项，设点在曲线上，可得点，，也在曲线上， 故曲线既关于轴对称，也关于轴对称，还关于原点对称，故A选项正确； 对于B选项，设点的坐标为，有，可得（ 或）， 有，又由，有，，可得， 可得的最小值为1，故B选项错误； 对于C选项，设曲线和双曲线在第一象限内的点分别为, 可得，，由B选项的推导过程可得在第一象限内 ， 又由，由 得，即， 且只有当 时，，故可得在第一象限内，曲线的图象在双曲线的图象的上方，故C选项正确； 对于D选项，结合B选项的推导过程有，，， 有，可得，故D选项正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在上的单调递增区间是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的单调递增区间，然后根据所给条件进一步求出函数在上的单调递增区间即可. 【详解】由， 得， 当 时，在上的单调递增区间为， 当 时，在上的单调递增区间为， 故答案为：． 13. 已知函数，则不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性脱“ ”即可求解. 【详解】函数， 令，解得，故函数的定义域为， ， 故函数是奇函数. 而函数在上单调递减， 函数在上单调递增， 因此函数在上单调递减. 不等式 ， 所以所求不等式的解集为． 故答案为:. 14. 在如图所示的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是_______． 21 31 41 50 22 32 43 52 23 32 43 53 25 34 44 54 【答案】148 【解析】 【分析】根据表格中数据行与列的特征即可分析求解. 【详解】由表格中每列数据特征告诉我们选出的4个数据十位的组合搭配固定为2、3、4、5， 所以要想选中方格中4个数据之和最小只需每行选中的数据个位数都是该行所在四个数据中最小的即可， 所以选中的4个数据第一行一定是50，第三行一定是32，则第二行和第五行分别是22和44， 所以选中方格中的4个数之和最小为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． （1）求a； （2）若的面积为，求AB边上的高CD． 【答案】（1）4； （2）. 【解析】 【分析】（1）由，可得，，然后由正弦定理结合可得答案； （2）由面积为，可得 ，由余弦定理可得 ，再结合面积为可得答案. 【小问1详解】 根据，可知，， 因为，即， 所以，即； 【小问2详解】 ，解得 ， 则，解得， ， ． 16. 把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数2、、、（i为虚数单位）的正四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为，第二次出现底面朝下的复数记为． （1）用A表示“”这一事件，求事件的概率； （2）设复数的虚部为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列： 0 4 数学期望为0 【解析】 【分析】（1）根据古典概型公式计算可得结果； （2）列出的所有可能取值，求出相应概率得出分布列即可求得数学期望. 【小问1详解】 所有的基本事件个数有（个）， 包含的基本事件有、、、共4个， 所以． 【小问2详解】 由题意可知，随机变量的可能取值为、0、4， 所包含的基本事件有：，，，共4个， 所包含的基本事件有：，，，，，，，，共8个， 所包含的基本事件有：，，，共4个， 所以，，， 的分布列为 0 4 所以． 17. 如图，在四棱锥 中， 平面，， ，为 的中点． （1）若 ，证明：平面 ； （2）已知 ，平面和平面 的夹角的余弦值为，求四棱锥 的体积． 【答案】（1）因为 平面，平面，所以 ，是直角三角形， 因为是 的中点，所以 ，因为 ，所以 ，可得 ， 因为 平面， ，所以 ， 因为 ， ，， 平面 ， ，所以平面 ； （2）2 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直得到直角三角形，利用直角三角形的性质和线面垂直的判定定理可证结论； （2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用平面夹角得出的长，结合条件公式可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设 ，因为 两两垂直，以为坐标原点，向量分别为轴建立空间直角坐标系， 有 ， 设平面的法向量为 ，由 ， 有， 取 ，可得平面的一个法向量为 ， 设平面 的法向量为 ，由 ， 有， 取 ，可得平面PCD的一个法向量为 ， 又由 ，， 有，又由平面和平面 的夹角的余弦值为，有， 解得， 故 ，所以 ． 18. 已知椭圆的长轴长为4，焦距为2． （1）求椭圆C的标准方程． （2）过点作斜率为k的直线与椭圆相交于A，B两点，y轴上存在点Q使得直线 与直线的斜率之和为0． （i）求点Q的坐标； （ii）求 的面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质求出a，c，再根据a，b，c的关系求出b，从而确定椭圆的标准方程； （2）（i）联立直线方程和椭圆方程，消去y得到关于x的二次方程，根据韦达定理及已知条件得到k与点Q坐标关系，进而确定Q的坐标；（ii）根据及韦达定理用k表示出面积，求出其最大值即可． 【小问1详解】 由椭圆的长轴长为4，焦距为2，可得， ， 又由， 可得椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 设直线的方程为，设点A，B的坐标分别为，，点Q的坐标为， （i）联立方程消去y后整理为， 有，可得或， 又有，，可得， 直线 的斜率为， 同理可得直线的斜率为， 又由直线 与直线的斜率之和为0，有， 可化为， 有，有，由k的任意性可得 ， 故点Q的坐标为； （ii） 令，有， 有， 当且仅当时等号成立，此时， 故 的面积的最大值为． 19. 已知． （1）若 在点处的切线方程为，求实数a，b的值； （2）当时，函数，若恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数 的导数，利用导数的几何意义，结合给定的切线方程求出. （2）把代入，分离参数得恒成立，构造函数并利用导数探讨最小值即可. 【小问1详解】 由及，得，即， 由，求导得，又， 于是，且，解得， 所以实数a，b的值分别为. 【小问2详解】 当时，，， 由恒成立，得，令， 求导得，令，求导得， 函数 在 上单调递增，而， 则存在，使得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，因此， 令，求导得，函数在 上单调递增， 由，得，则， 因此，，从而， 所以实数a的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： ①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； ②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． ③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高州市2026年高考诊断性考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据2，18，14，10，5的第百分位数为（ ） A. B. C. D. 3. 记为等比数列的前项和，若 ，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 已知函数，若，则 （ ） A. B. 2 C. D. 1 5. 在平面直角坐标系中，为抛物线的焦点，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 记数列的前项和为，已知，为等差数列，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 8. 向量，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若， ，则 C. 若，，则 D. 若 ，，则 10. 已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且高为3，则下列说法正确的有（ ） A. 该四棱台的体积为14 B. 若 为的中点，则平面 C. 该四棱台的侧面积为 D. 该四棱台的外接球表面积为 11. 在平面直角坐标系中，已知曲线，点为曲线上任意一点，则（ ） A. 曲线既关于轴对称，也关于轴对称，还关于原点对称 B. 的最小值为 C. 在第一象限内，曲线的图象在双曲线的图象的上方 D. 若点到直线 和的距离分别为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在上的单调递增区间是_______． 13. 已知函数，则不等式的解集为_______． 14. 在如图所示的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是_______． 21 31 41 50 22 32 43 52 23 32 43 53 25 34 44 54 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． （1）求a； （2）若的面积为，求AB边上的高CD． 16. 把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数2、、、（i为虚数单位）的正四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为，第二次出现底面朝下的复数记为． （1）用A表示“”这一事件，求事件的概率； （2）设复数的虚部为，求的分布列及数学期望． 17. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，， ， 为 的中点． （1）若 ，证明：平面 ； （2）已知 ，平面和平面 的夹角的余弦值为，求四棱锥 的体积． 18. 已知椭圆的长轴长为4，焦距为2． （1）求椭圆C的标准方程． （2）过点作斜率为k的直线与椭圆相交于A，B两点，y轴上存在点Q使得直线 与直线的斜率之和为0． （i）求点Q的坐标； （ii）求 的面积的最大值． 19. 已知． （1）若 在点处的切线方程为，求实数a，b的值； （2）当时，函数，若恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $