精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2025-2026学年高一上学期第二次段考数学试题（日新班）

丰城九中2025—2026学年高一日新第二次段考数学卷 考试时间：120分钟 考试总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足（是虚数单位），则（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 3. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 在中，，，则（ ） A. 9 B. C. 8 D. 5. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 长度为4的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 7. 已知椭圆的左焦点为，直线与相交于，两点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分、共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点是圆上的一个动点，过原点的动直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最大值为6 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为16 B. 面积的最大值为12 C. 存在点P，使得∠ D. 的取值范围为 11. 已知点在双曲线的右支上，，分别为其左、右焦点，则（ ） A. B. 有最大值3 C. 若点，则周长的最小值为12 D. 的内心到轴的距离为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的离心率为_________. 13. 已知过点的直线与圆交于，两点，且，则的面积是_______________． 14. 如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________． 四、解答题：本题共5小题、共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期及对称中心坐标； （2）已知函数在区间上的最大值为1，最小值为，求的取值范围. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，E为的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求二面角的余弦值． 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，，． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知圆的圆心在直线上，且过点，. （1）求圆的方程； （2）求过点的直线被圆截得的弦长为的直线方程； （3）若，是平面内不同的两定点，动点满足，则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点是上的动点，点，点是直线上的动点，求的最小值. 19. 已知椭圆与椭圆有相同的焦点，并且过． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值及此时的直线方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2025—2026学年高一日新第二次段考数学卷 考试时间：120分钟 考试总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足（是虚数单位），则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法求得复数，然后得到其模长. 【详解】由题意可知， ∴. 故选：B 2. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由方程表示双曲线可得或，进而可知“”是该方程表示双曲线的充分而不必要条件. 【详解】若方程表示双曲线， 则有，解得或. 所以是方程表示双曲线的充分而不必要条件. 故选：A. 3. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间线面的位置关系进行判断. 【详解】若，则可能在内，A错误. 若一条直线垂直于两个平面，则这两个平面平行，B正确. 若，则或或与相交，C错误. 若，则或与相交，D错误. 故选：B 4. 在中，，，则（ ） A. 9 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两个条件式相减可得，结合两角和的余弦公式和诱导公式化简得解. 【详解】由，， 得， 又，代入可得， 所以，即得. 故选：A. 5. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知曲线是以为圆心、半径的上半圆，代数式表示曲线上的点与定点连线的斜率，数形结合可得出的最大值. 【详解】由，两边平方整理得， 所以曲线是以为圆心、半径的上半圆， 代数式表示曲线上的点与定点连线的斜率，如下图所示： 由图可知，当点的坐标为，直线的斜率最大，即取最大值，且最大值为， 故选：C. 6. 长度为4的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，线段的中点的轨迹为圆，因此可将求线段的中点到直线距离的最大值转化为求圆上的点到直线距离的最大值，转化为圆心到直线的距离加半径，即可得解. 【详解】设，则，即. 记线段的中点为点，设点的坐标为，则. 所以，即. 所以点的轨迹为以原点为圆心，半径的圆. 点到直线的距离为. 所以点到直线的距离的最大值为. 故选：D. 7. 已知椭圆的左焦点为，直线与相交于，两点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出符合题意的图形，利用椭圆的定义建立齐次方程，进而求解离心率即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，找到椭圆的右焦点，连接， 由椭圆的对称性可得四边形是平行四边形， 因为，所以四边形是矩形，可得， 因为，所以，则是等边三角形， 由矩形性质得，由等边三角形性质得，， 结合题意可得，由椭圆的定义得， 可得，化简得，故A正确. 故选：A 8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当 M、 N、 E共线时取等号），结合，求得的最小值． 【详解】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点，且, 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， 又因 ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 因,，则， 故的最小值， 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分、共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点是圆上的一个动点，过原点的动直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最大值为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，结合两点之间的距离可知，，，算出即可；对于CD，结合直线与圆的位置关系可知，当直线过圆心时，最大，当时，最小． 【详解】对于AB，由题意知，则点在圆内， 所以，故AB正确； 对于CD， 当直线过圆心时，，当时，，故C错误，D正确． 故选：ABD． 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为16 B. 面积的最大值为12 C. 存在点P，使得∠ D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出给定椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义及几何性质逐项判断即可. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A：的周长为，A错误； 对于B：设，，则，B正确； 对于C：由，得以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交， 当P为此交点时，，因此存在点P，使得∠，C正确； 对于D：，，D正确. 故选：BCD 11. 已知点在双曲线的右支上，，分别为其左、右焦点，则（ ） A. B. 有最大值3 C. 若点，则周长的最小值为12 D. 的内心到轴的距离为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据焦点坐标及a，b，c的关系，可求得b值，即可判断A的正误；根据双曲线定义及的范围，化简整理，即可判断B的正误；因为，代入周长表达式，化简计算，即可判断C的正误；根据内切圆的性质及题中数据，分析计算可得，焦点三角形内切圆与轴切于右顶点，分析即可得判断D的正误. 【详解】选项A：由右焦点坐标可知，且，则， 所以，故A正确； 选项B：因为点是双曲线右支上一点，由双曲线的定义知：， 所以， 因为 ，即， 所以有最大值2；故B错误； 选项C：因为， 所以，故C正确； 选项D：由双曲线方程知，设三角形内切圆与三边的切点分别为M，B，C，如图， 由几何关系可得，，， 所以， 又，所以， 所以，即点在双曲线右支上时，焦点三角形内切圆与轴切于右顶点. 又因为轴，所以到轴的距离为1，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的离心率为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的性质计算即可. 【详解】由题意可知该双曲线的离心率为. 故答案为： 13. 已知过点的直线与圆交于，两点，且，则的面积是_______________． 【答案】4 【解析】 【分析】设的中点为，，弦心距为，由和根据勾股定理列式求解，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】 ，所以在圆内， 设的中点为， 设，因为， 所以， 设圆心到直线的距离为，所以， 又， 解得，则，， 所以的面积是. 故答案为：4. 14. 如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先，根据正四棱台的体积公式求出棱台的高；然后，通过建立关于外接球半径的方程来求解外接球半径；最后，利用球的表面积公式计算出外接球的表面积. 【详解】已知，，则上底面积，下底面积，体积， 由棱台体积公式得， 设外接球球心到下底面中心的距离为，则到上底面中心的距离为， 由正四棱台的上下底面都是正方形可得，， 设外接球半径为，则. 展开并化简：（负值舍去）， 则， 最终外接球表面积：， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题、共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期及对称中心坐标； （2）已知函数在区间上的最大值为1，最小值为，求的取值范围. 【答案】（1）最小正周期为，对称中心坐标为， （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再根据周期公式以及正弦函数的对称中心求解； （2）求出的范围，结合正弦函数的图象可得. 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期， 令，，解得，， 所以的对称中心的坐标为，； 【小问2详解】 当时，， 因函数在区间上的最大值为1，最小值为， 则在上的最大值为1，最小值为， 因，结合正弦函数图象可知，，得， 所以的取值范围为. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，E为的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用面面垂直可证明线面垂直和线线垂直，再利用中位线平行关系，可得到线面垂直，即可得三棱锥的高，从而利用体积关系求三棱锥的体积； (2)利用空间垂直关系可作出二面角的平面角，再通过计算即可得二面角的余弦值. 【小问1详解】 由，，，可得，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以四棱锥的高为， 因为E为的中点，三棱锥的高为， 所以三棱锥的体积：； 【小问2详解】 由于E为的中点，所以取的中点为，连结可知：，， 因为平面，所以平面， 再取的中点为，连结可知：， 由梯形，，且，， 可知，从而可得，即， 所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面， 所以平面，又因为平面，所以， 则就是二面角的平面角， 由勾股定理可得：， 所以. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，，． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为 平面，平面，所以． 因为，所以． 又因为平面，故平面． 又因为平面，所以平面 平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）由 平面得到．由得到． 利用直线和平面垂直的判定定理得到平面，利用平面和平面的判定定理得到平面 平面； （2）由 得到以点为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，建系，写出点的坐标，求出和平面的法向量，设直线与平面所成角为， 利用数量积公式求出，从而得到直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为 ，所以以点为坐标原点， 以，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，， 设平面的法向量为， 则即，令得， 故平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知圆的圆心在直线上，且过点，. （1）求圆的方程； （2）求过点的直线被圆截得的弦长为的直线方程； （3）若，是平面内不同的两定点，动点满足，则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点是上的动点，点，点是直线上的动点，求的最小值. 【答案】（1） （2）和 （3） 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，由圆心位置及圆过的点列方程组求解圆心坐标及半径即可； （2）分直线的斜率存在与不存在讨论，斜率不存在时直接验证；斜率存在时，设直线的点斜式方程，利用点到直线的距离公式求出斜率，进而得到直线方程； （3）设点P坐标及点，根据圆的方程与两点距离公式化简得出，然后根据点到直线距离公式求最值即可. 【小问1详解】 设圆的方程为，由题意，解得， 所以圆的方程为． 【小问2详解】 当垂直于x轴时，将代入圆的方程，得， 所以，， 此时截得的弦长为，满足条件； 当不垂直于x轴时，设的方程为即， 圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式得，解得， 此时直线的方程为即． 所以直线的方程为和． 【小问3详解】 设，则， 故 . 令，则， 其中为点E到直线的距离， 因为，所以的最小值为. 19. 已知椭圆与椭圆有相同的焦点，并且过． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值及此时的直线方程． 【答案】（1） （2）1；或 【解析】 【分析】（1）先求出，根据椭圆的定义求得，最后根据平方关系求得； （2）设方程，直线与椭圆联立消去利用韦达定理表示弦长，结合三角形面积公式和基本不等式计算求得直线斜率最后得到直线方程. 【小问1详解】 因为椭圆与椭圆有相同的焦点，所以椭圆的焦点是，即， 即， 因为，所以，解得， 所以， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由题意过点的直线与曲线交于两点， 显然直线斜率是存在的，否则三点共线，此时不是三角形， 所以设直线的方程为， 联立与，所以， 即，或， 设， 有. 所以， 又点到直线的距离， 所以的面积. 设， 则， 当且仅当，即时等号成立，且满足. 所以的面积最大值为1， 此时直线的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $