专题06二元一次方程组 2026年中考数学一轮复习核心讲义(核心考点+模拟真题)

该初中数学中考复习讲义聚焦二元一次方程组专题，覆盖定义、解的含义、解法、实际应用及综合问题五大核心考点，构建“概念辨析-解法突破-应用建模-综合拓展”的知识体系。通过考点梳理、方法指导（如代入与加减消元法适用场景分析）、36道模拟真题分层训练，帮助学生突破参数问题、整数解等难点，实现系统性与针对性复习。 亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过“实际问题情境化”教学（如运输问题等量关系提炼）培养抽象能力，借助“新定义问题探究”（如“风月同天数”平方差分解）发展推理意识，利用“一题多解”（如整体代入法解方程组）提升运算能力。设置“易错警示”与“分层题型”，配合即时反馈机制，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

专题06二元一次方程组中考一轮复习核心讲义 【5大经典模拟真题题型共计36题】 · 透彻理解二元一次方程（组）的定义及解的含义，能快速辨析非二元一次方程（组），并利用解的性质求参数值。 · 熟练掌握代入消元法、加减消元法，能灵活处理含参数、同解、整数解等特殊方程组。 · 能准确提炼实际问题中的等量关系，建立二元一次方程组模型，解决购物、运输、增长率等常见题型，兼顾新定义、几何结合等综合问题。 · 掌握方程组与不等式（组）、函数、几何图形的综合应用技巧，提升逻辑推理和综合解题能力。 【知识点01:二元一次方程(组)的定义】 1.二元一次方程：含有 2 个未知数，未知数的项的次数是 1的整式方程，形式为ax+by=c（a、b不同时为 0）。 2.二元一次方程组：由两个或两个以上二元一次方程组成的方程组，需满足所有方程均为二元一次方程，且未知数种类一致。 3.易错辨析： 含未知数的项次数必须为 1（如x2+y=3不是二元一次方程）； 方程必须是整式方程（如+y=2不是二元一次方程） 【知识点02:二元一次方程(组)的解】 1.二元一次方程的解：使方程左右两边相等的一对未知数的值，有无数组解，其解可表示为（t为任意实数）。 2.二元一次方程组的解：方程组中所有方程的公共解，通常只有唯一一组解（特殊情况有无数组解或无解）。 3.关键性质：若是方程组的解，则代入所有方程均成立，可用于求参数值。 【知识点03:二元一次方程组的解法】 1.代入消元法： 步骤：将一个方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数，代入另一个方程消元，求解后回代得解。 适用场景：其中一个方程可快速变形为x=ay+b或y=ax+b的形式。 2.加减消元法： 步骤：通过等式性质使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等，相加或相减消元，求解后回代得解。 适用场景：两个方程中同一未知数的系数成倍数关系或便于通分。 3.特殊解法：整体代入法（如方程组中两方程相加 / 减可直接得到x+y或x−y的值）。 【知识点04.二元一次方程组的应用】 1.常见题型： 增长率问题（内销、出口收入增长）； 购物问题（两种商品的数量与总价）； 运输问题（车皮数量与货物运输量）； 几何问题（坐标对称、图形面积）； 新定义问题（“繁花数”“风月同天数”“树人数” 等）。 2.解题步骤： 设未知数（明确未知量的含义）； 列方程组（根据题意找等量关系）； 解方程组（选择合适的消元法）； 验根（检验解是否符合实际意义）。 【知识点05.易错点警示】 1.列方程时忽略实际意义（如人数、数量为正整数）； 2.解方程组时计算错误（加减消元时符号出错、代入时漏乘系数）； 3.新定义问题中未准确理解定义条件（如 “繁花数” 的数位关系、“树人数” 的平方差形式）； 4.与不等式结合时，未注意未知数的非负性等限制条件。 【模拟01.二元一次方程(组)的概念与基础应用】. 1．（2025·全国·二模）写出一个以为解的二元一次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查二元一次方程解的概念，正确理解概念是解题的关键．根据二元一次方程的解的概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程，叫做二元一次方程；能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解，直接进行求解即可． 【详解】解：∵二元一次方程的解为， ∴只要写出解为这个的二元一次方程即可， 如：；等等； 故答案为：（答案不唯一）． 2．（2024·安徽·模拟预测）下列属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：第二个方程是二元二次方程，故该方程组不是二元一次方程组； B：第二个方程是二元二次方程，故该方程组不是二元一次方程组； C；两个方程均为二元一次方程，故该方程组是二元一次方程组； D：第一个方程是分式方程，故该方程组不是二元一次方程组． 故选：C． 3.（2025·全国·二模）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则这个方程组可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了以解为条件构造方程组，熟练掌握方程组的意义是解题的关键． 以x，y为主元素，任意构造即可． 【详解】解：二元一次方程组的解为的方程组有无数个， 如： 故答案为：（答案不唯一）． 4．（2025·湖南岳阳·一模）已知是方程组的解，则的值为（  ） A．3 B．2 C．-2 D．-3 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求参数，解题的关键是掌握方程组解的定义． 将代入方程组即可求的值． 【详解】解：将代入中的②式得： 解得 故选：A． 5．（2025·江苏盐城·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，将代入原方程组得，得：即可．注意整体思想的应用． 【详解】解：将代入原方程组得， 得：， ∴的值为6． 故答案为：6． 6．（2025·浙江金华·三模）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． 先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，所以这个方程组的解为， A、将代入得：，则此项不符合题意； B、将代入得：，则此项不符合题意； C、将代入得：，则此项不符合题意； D、将代入得：，则此项符合题意； 故选：D． 7．（2025·吉林长春·二模）明代《算法统宗》有一首饮酒诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多薄酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．可列方程组为 ． 【答案】 【分析】设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据他们总共饮19瓶酒．得，根据好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，得3x+=33，联立方程组即可． 本题考查了古籍中的方程组，熟练掌握方程组的布列是解题的关键． 【详解】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，得 ． 故答案为： 8．（2025·陕西榆林·一模）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图示找出数量关系是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据图示可以列出方程组． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 依题意得：． 故选：B． 9．（2025·宁夏银川·一模）如图，三个大小相同的长方形沿“横—竖—横”排列在一个长为5，宽为4的大长方形中，设每块小长方形的长为，宽为，可列方程组： ． 【答案】 【分析】本题考查根据图形中的数量关系列二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 从图中可以看出，大长方形的长为两个小长方形的长和一个小长方形的宽组成，大长方形的宽为两个小长方形的宽和一个小长方形的长组成，列出方程组即可． 【详解】解：设每块小长方形地砖的长为，宽为，由题意得： ， 故答案为： ． 10．（2025·河北邯郸·三模）若是关于x，y的二元一次方程，且，，则的值是（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，不等式的性质，含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．根据二元一次方程的定义得到，求出，，然后由，得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， 得：， 解得：，， ∵， ∴，或，， ∵， 当，时，，符合题意； 当，时，，不符合题意； ∴，， ∴． 故选：B． 【模拟02.二元一次方程(组)的求解】 11．（2025·贵州黔南·二模）（1）解不等式组，并将解集表示在数轴上； （2）三个二元一次方程，，．请在这三个方程中任选两个方程，组成一个二元一次方程组，并解该方程组． 【答案】（1）；数轴表示见解析；（2）选方程和组成的方程组解集为；选方程和组成的方程组解集为；选方程和组成的方程组解集为； 【分析】此题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示即可； （2）分别组成方程组，然后利用加减消元法和代入消元法求解即可． 【详解】解：（1） 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以，不等式组的解集为 将解集表示在数轴上如图所示． （2）选方程和组成的方程组为： ，得， 解得， 将代入， 解得得 方程组的解为； 选方程和组成的方程组为： 将②代入①，得， 解得， 将代入， 方程组的解为； 选方程和组成的方程组为： 将②代入①，得， 解得， 将代入， 方程组的解为． 12．（2025·浙江杭州·二模）已知方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据方程组的特点，理解整体思想是解题关键．先将方程变形为，根据方程组的解为得到，即可求出． 【详解】解：变形为， ∵方程组的解为， ∴， ∴． 故答案为： 13．（2025·山东淄博·二模）已知关于，的二元一次方程组，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法，根据二元一次方程组整理得到，进而求出的值，即可解题． 【详解】解：， 由得：③， 由得：， 故选：C． 14．（2025·广西桂林·一模）在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么 ． 【答案】7 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 【详解】解：把把代入得：， 得：， 把代入①得：， 把代入得：， 解得：， ， 故答案为：7． 15.（2025·全国·二模）已知关于x，y的方程组与有相同的解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解方程组的解的定义是解题的关键。 依据题意重新组成方程组求得x，y的值，再将x，y值代入得到关于a，b的方程组求解即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与方程组有相同的解， ∴，解得：， 把分别代入与 得：，解得：； 故答案为：． 16．（2025·贵州铜仁·三模）若关于的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值． 【详解】解：两个方程组的公共解为， 将代入第一个方程组的，得：①， 代入第二个方程组的，得：②， 将①和②相加：， 整理得：， 两边同时除以 3 ，得：， 因此，的值为， 故选：D． 【模拟03.二元一次方程(组)的实际应用】 17．（2025·安徽芜湖·三模）某科创公司制造的产品采用内销和出口两种方式，今年第一季度的内销收入比去年第一季度增加，出口收入比去年第一季度增加． (1)设去年第一季度内销收入为万元，出口收入为万元，用含，的代数式表示今年第一季度的总收入为______万元； (2)若今年第一季度的总收入比去年增加，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了列代数式、二元一次方程的应用等知识点，根据题意、找出找等量关系、列出方程是解题的关键． （1）根据今年第一季度的总收入为出口收入与内销收入的和，据此列代数式即可解答； （2）根据今年第一季度的总收入比去年增加，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：今年第一季度的内销收入为，第一季度的出口收入为，所以今年第一季度的总收入为万元． 故答案为：． （2）解：去年第一季度的总收入为， 由题意可得：， 整理得：， 所以． 18．（2025·湖北·模拟预测）某班学生参加运土劳动，一部分学生抬土，另一部分学生挑土，已知全班共用箩筐个，扁担根，求抬土、挑土的学生各有多少人？如果设抬土的同学人，挑土的同学人，则可得方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系是解题的关键． 设抬土的同学人，挑土的同学人，由题意列出方程组即可． 【详解】解：设抬土的同学人，挑土的同学人， 由题意得：， 故选：． 19．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）五月份学校将举办“青春杯”校园好声音大赛，某班进行了预选赛，为鼓励同学们，老师花了元钱买了甲、乙两种（两种都买）励志标语牌作为奖品，已知甲种励志标语牌每个元，乙种励志标语牌每个元，则老师购买励志标语牌的个数最多是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设购买甲种标语牌个，乙种标语牌个，根据题意列出方程组，进而求出方程组的解即可求解，正确求出方程组的解是解题的关键． 【详解】解：设购买甲种标语牌个，乙种标语牌个， 由题意得，， 化简得，， ∵的值为正整数， ∴或或， ∴老师购买励志标语牌的个数为个或个或个， ∴老师购买励志标语牌的个数最多是个， 故选：． 20．（2025·全国·一模）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 【答案】全班至少有25人，至多有27人 【分析】本题考查的是二元一次方程与不等式组的应用，设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得，再进一步解题即可． 【详解】解：设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得 由①得：， 将代入②，得， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵是正整数， ∴全班至少有25人，至多有27人． 21．（2025·黑龙江七台河·一模）某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约700吨，乙水果大约1020吨，一次性运往外地销售．需要不同型号的、两种车皮共30节，种车皮每节运费2500元，种车皮每节运费3000元． (1)设租车皮的总费用为元，租种车皮节，请写出和之间的函数关系式． (2)如果每节车皮最多可装甲水果30吨和乙水果20吨，每节车皮最多可装甲水果25吨和乙水果40吨，装水果时按此要求安排、两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费． (3)计划下一次租用、两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用、两种车皮，请直接写出有哪几种租车方案？ 【答案】(1) (2)共10种方案，A种车皮9节，B种车皮21节，最低费用为85500元 (3)或或或或或，所以共6种租车方案． 【分析】本题考查了一次函数的应用和解不等式组、二元一次方程的解等知识点，解题关键在于正确建立函数模型并求解． （1）根据关系，列出函数关系式，化简即可； （2）根据题意列出不等式组，计算出x的取值范围，即可知有10种方案且计算出最低费用； （3）列出方程式，解得其整数解即可． 【详解】（1）解：， 和x之间的函数关系式为； （2）解：， 解得， ∵， ∴ x的可能取值为的整数，共10种方案， 费用函数中，y随x增大而减小， 当时，费用最低， 此时元， 对应方案为A种车皮9节，B 种车皮21节， 故答案为：共10种方案，最低费用为85500元； （3）解：解方程， 化简为，满足，， 整数解有：或或或或或，所以共6种租车方案． 22．（2025·重庆渝中·二模）将一枚六个面编号分别为的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于的方程组只有正数解的概率为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了列表法求概率，以及二元一次方程的解法，首先分两种情况：①当时，方程组无解；②当时，方程组的解为由、的实际意义为1，2，3，4，5，6可得．把方程组两式联合求解可得，，再由、都大于0可得，，求出、的范围，列举出，所有的可能结果，然后求出有正数解时，所有的可能，进而求出概率． 【详解】解：①当时，即时，方程组无解； ②当时，即时，方程组的解为由、的实际意义为1，2，3，4，5，6可得． 易知，都为大于0的整数，则两式联合求解可得，， 使、都大于0则有，， 解得，或者，， ，都为1到6的整数， 可知当为1时，只能是1，2，3，4，5，6；或者为2，3，4，5，6时，无解， 这两种情况的总出现可能有6种； ， 掷两次骰子出现的基本事件共种情况，故所求概率为； 故答案为：． 23．（2025·广东深圳·二模）在学习《三角形》时，某数学学习小组发现：在一个面积为100的长方形中，点 E，F分别在边上，连接 ． 当点F与点C重合时，如图所示，在不求出长方形边长的情况下，可以根据面积公式或三角形全等的性质求出 的面积为定值． 【提出问题】如图，点E，F都不与端点重合，若的面积是否为定值? 【特例分析】（1）给和分别赋予不同的数值，通过特殊数值的计算判断的面积是否发生变化．请你根据上述思路，完成下面的表格． 10 5 10 20 41 【得出猜想】（2）通过特例分析，猜想：的面积 定值． （填“是”或“不是”） 【验证猜想】 （3）①方法1： 假设． ，通过计算验证你的猜想． ②方法2： 如图，过点E作，交于点G，将长方形 分成了长方形和长方形 ，连接 ．通过图形割补的方式也可以验证猜想，请将下列部分验证过程补充完整(填数值)． 解：∵等底等高， ． ， ． ． 【拓展应用】（4）在学校游园活动中，数学小组成员计划用三个雪糕简和彩绳在一个长12米，宽 10米的长方形场地中，围出一块三角形区域作为游戏场地．如图，在长方形场地中，三个雪糕筒分别摆放在点B、E、F处，且的长为整数．若围出的游戏场地面积为52平方米，即 请直接写出所有满足条件的长． 【答案】（1）41；（2）是；（3）①见解析；②见解析；（4）长为2或4或8 【分析】题目主要考查三角形面积的计算及二元一次方程的应用，理解题意，结合图形求解是解题已关机 （1）根据题意利用长方形的面积减去三角形的面积即可求解； （2）结合表格即可得出结果； （3）①根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可证明；②根据题意结合图形即可求解； （4）根据题意及（3）①证明方法得出，然后结合题意求解即可 【详解】解：（1）当时，， ∴， ∴， 故答案为：41； （2）通过特例分析，猜想：的面积是定值； 故答案为：是； （3）①，， ∴，， ∴； ②解：∵等底等高， ， ． ∵， ． ； 故答案为：50；9； （4）由（3）①得：， 整理得：， ∵的长为整数． ∴当时，；当时，（舍去）；当时，；当时，； ∴长为2或4或8． 【模拟04.二元一次方程(组)与其他知识综合】 24.．（2025·湖北·二模）古希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数，哪里就有美”．“对称美”是数学美的重要组成部分，在数学史上，人类一直在思考和探索数学的对称问题，图形中的对称性本质就是点的对称、线的对称．而剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化、二元一次方程组的解法等知识，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特点构建方程组，求出，的值，再代入计算可得结果． 【详解】解：∵点，关于轴对称， ∴， 解得：， ∴， 故选：A． 25．（2025·河南南阳·一模）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A． B．7 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解，理解方程组的解是解答的关键． 通过将方程组的两个方程相减，得到与m的关系式，再代入已知条件求解m的值． 【详解】解：方程组， ，得： ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 故选：C． 26．（2025·江苏扬州·二模）已知实数，，满足，，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，平方的非负性的应用及解二元一次方程组，熟练掌握不等式性质是解题的关键．由题意得，可求，则，可求，进而可得． 【详解】解：由题意得， 解得：， ∴， 解得:， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 27．（2025·陕西·一模）如图，点和点在同一个反比例函数的图象上，AC和BC分别垂直于x轴和y轴．若的面积为32，则k的值为 ． 【答案】15 【分析】依题意得点，则，，根据的面积为32得，即，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得，然后解方程组求出m，n的值，进而可得k的值． 【详解】解：点，点，AC和BC分别垂直于x轴和y轴， 点C的坐标为，且， ，， 的面积为32， ， ， 整理得：， 点，点在同一个反比例函数的图象上， ， 解方程组，得：， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，正确地表示出点C的坐标，灵活运用三角形的面积公式构造方程组是解决问题的关键． 28．（2025·重庆·二模）赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给x赋不同的值，可得的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，解方程组，当时，得到①，当时，得到②，然后求解即可． 【详解】解：当时，， ∵， ∴①， 当时，， ∴②， ，得：， ∴． 故答案为：． 29．（2025·广东广州·三模）若关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，二元一次方程组，解题的关键是掌握：是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．先把方程组的两个方程相加得到，则，从而得到，再根据根的判别式的意义得到，则可求出的值，然后计算的值． 【详解】解：， 得：， 即， ∵， ∴， 解得：， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴， 即的值为． 故答案为：． 30．（2025·四川资阳·一模）阅读材料1：若一个正整数x能表示成（a、b是正整数，且）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为，所以5 是“风月同天数”，叫做5的平方差分解． 阅读材料2：如果一个自然数各位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”．例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”；再如：656，9898，37373，171717，…，都是“摆动数”． (1)在7和2中是“风月同天数”的是 ； (2)已知（x、y是正整数，k是常数，且），要使M是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k，并说明理由； (3)对于一个三位数N，N的十位数字是9，个位数字与百位数字相等且小于或等于2，N既是“摆动数”又是“风月同天数”，请求出N的所有平方差分解． 【答案】(1)7 (2) (3)或 【分析】本题考查了平方差公式的应用，完全平方公式的应用，因式分解的应用，二元一次方程组的解法，体现了分类讨论的数学思想，解题时不要漏解． （1）根据风月同天数的定义进行判断． （2）由题意可得，结合概念可得，进一步可得答案． （3）根据题意得：或，然后分情况分别计算即可． 【详解】（1）解：7是风月同天数，2不是风月同天数，理由如下： 设，a，b均为正整数，且 ， 所以， 则， ∴，， 解得，， 则，即7是风月同天数； 设，a，b均为正整数，且， 所以， 则， ∴，， 解得，， 因为a，b的值不是正整数，所以2不是“风月同天数”； （2）解：∵ ， ∵M是“风月同天数”， ∴， 解得：． （3）解：根据题意得：或， 当时，设，a，b均为正整数，且 ， 所以， 则， ∴，， 解得，， 则； 当时，设，a，b均为正整数，且， 所以， 则， 当，， 解得，， a，b不是正整数，不符合题意，这种情况不存在； 当，， 解得，， a，b是正整数，符合题意，故； 当，， 解得，， a，b不是正整数，不符合题意，故这种情况不存在； 综上所述：N的所有平方差分解为：或． 31．（2025·江苏南京·三模）定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”． 如：，，则0和1都是“树人数”． (1)判断2，3是否为“树人数”？说明理由． (2)下列说法正确的序号有______． 任何一个奇数都是“树人数”； 任何一个偶数都是“树人数”； 任何一个被4整除的数是“树人数”； 任何一个被4除余2的数是“树人数”． (3)已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”． 【答案】(1)2不是“树人数”，3是“树人数”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查整数的平方差的表示形式即“树人数”的定义，涉及数的奇偶性的分析、代数恒等变形等知识点 （1）利用假设法求证2，若求出的结果符合题意就是“树人数”，反之则不是，，因此可得出3是“树人数”； （2）分析奇数、偶数、被4整除的数等不同类别是否满足树人数的条件； （3）利用平方差乘积的恒等变形，将两个树人数的乘积表示为新的平方差的形式． 【详解】（1）解：不是“树人数”，3是“树人数”， 理由：假设存在整数a，b，使得，则：， 因数分解可能为或， 或，解得：或非整数，矛盾， 不是“树人数”， ， 是“树人数”； （2）①设奇数，令，，则：，故①正确， ②由（1）中2不是“树人数”得出②错误， ③设被4整除的数是4k，令，，则：则：，故③正确， ④设被4除余2的数是，若存在a，b使得， ∴若a，b同奇偶，则为偶数但被4整除，矛盾；若a，b一奇一偶，则为奇数，矛盾，故④错误， 故答案为：①③； （3）证明：，b是“树人数”． 设，是整数 或 ，n，p，q是整数． ，，，都是整数． 能写成两个整数的平方差的形式． 是“树人数”． 32．（2025·重庆·三模）对于任意一个四位正整数，若满足百位数字比千位数字大2，个位数字比十位数字大2．且各个数位上的数字均不为零且互不相等，我们就把这个数叫作“繁花数”．将“繁花数”的千位、个位上的数字交换位置，百位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的数，记．则最大的“繁花数”是 ；已知都是“繁花数”，其中，（、、、、，且均为整数），若，且满足是12的倍数，则的值为 ． 【答案】 7968 3524 【分析】本题考查了新定义，整式加减的应用，二元一次方程的应用，解题关键是准确理解题意，列出二元一次方程求解．根据“繁花数”的定义即可求出最大的“繁花数”；根据求出和，再根据是12的倍数，求出t的值，根据求出s的值即可． 【详解】解：根据“繁花数”的定义可知千位上的数最大为7，则百位上的数为9， ∵各个数位上的数字均不为零且互不相等， ∴十位上的数最大只能为6，则个位上的数为8，最大的繁花数是7968； ∵s是“繁花数”， ∴，， ； ∵t是“繁花数”， ， ∴， ； ∵是12的倍数，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：7968，3524． 33．（2025·北京·三模）在平面直角坐标系中，对于图形M和射线，若图形与图形M关于直线对称，且图形M和图形上分别存在点A，B，使得，则称图形M与图形关于射线 “对称”，点B为图形M关于射线的一个“对称点” (1)点，．若半径为1． ①在，，中，__________是关于射线的“对称点”； ②若直线上存在关于射线的“对称点”，则k的取值范围是__________； (2)已知，，，，点G是半径为的关于射线EF的“对称点”，若上的任意一点，都不能使形成一个以为顶角且顶角度数为的等腰三角形，直接写出t的取值范围．___________________________________________________________ 【答案】(1)①；② (2)或或 【分析】（1）①先求出关于射线对称的的圆心坐标，验证点、、均是否在上，然后分别连接、、，再将其顺时针旋转，得到、、，通过数形结合的方法得到、、是否与有交点即可判断；②根据①的方法得到上在直径下半部分的点均满足关于射线的“对称点”， 然后根据直线经过点，可知当直线经过点时，取得最大值，求得此时的值；当直线与相切与点时，取得最小值，设，利用和的距离列出方程，联立解得，求得此时的值即可； （2）根据（1）中的方法得到点运动的范围，然后根据等腰三角形的性质，利用数形结合的方法，分情况讨论求得值，即可得到结论． 【详解】（1）解：①根据题意，作关于射线对称的，连接、、，则，垂足为，，如图所示， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ，， 四边形为正方形， ，，， ， ，，， ，，， 点、、均在关于射线对称的上， 根据题意，分别连接、、，再将其顺时针旋转，得到、、，如图所示， 由图可知，、与无交点， 、不是关于射线的“对称点”； 过点作的延长线于点，则， ，， 轴，即，， 又， ， ， 半径为1， 点在圆上， 是关于射线的“对称点”； 故答案为：； ②由①可知，，连接交于点，并延长交于点，过点作的切线，切点为，连接，如图所示， 则， 在中，，， ， ， ， ， 即点为关于射线的“对称点”， 又由①可知，将绕点顺时针旋转，其与相切， 即上在直径下半部分的点均满足关于射线的“对称点”， 在上，当时，，即直线经过点，如图所示， 当直线经过点时，取得最大值， ， ， 将代入，得； 当直线与相切与点时，取得最小值，设， 则， ， 在中，，， ， 联立， 整理②得，即， 将③代入①整理得， 联立④，⑤，解得， ， ， 综上，当直线上存在关于射线的“对称点”． 故答案为：； （2）解：根据题意，作关于射线对称的，连接、、，则，垂足为，，如图所示， ，，， ，，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，，点到轴， ； 过点作的切线，切点为，连接，将直线绕点逆时针旋转，交于、，交轴负半轴于点，如图， 则， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的表达式为，代入，， 得，解得， 直线的表达式为； 不妨设直线与的交点坐标为， ，的半径为， 解得， ， ，； 过点作的切线，切点为，连接，则， ，， ， ， ， 即上优弧上的点均满足关于射线的“对称点”； 设和轴交于点和，和的一个交点为，连接、、、，如图所示， ，， ， ， ， ， ， ，即平分， ，、关于射线的对称点分别为、，， 同理， ，，设直线的表达式为，代入得， ，解得， 直线的表达式为； 点在直线上，不妨设其坐标为， ，的半径为， 解得，（较小值已舍去） ， ， ， ， 四边形为菱形， ，轴， 当上的点在和上，与形成一个以为顶角且顶角度数为的等腰三角形时，的轨迹直线， 同理当点在和与的另一个交点上，与形成一个以为顶角且顶角度数为的等腰三角形时，的轨迹直线， 同时，当为定点，点在上运动时的轨迹为圆，如图所示， 当轨迹与相切于点，当与重叠时，此时上有一点，能使形成一个以为顶角且顶角度数为的等腰三角形，即点与重合，如图所示， ，， ， ， ，即， 当时，上的任意一点，都不能使形成一个以为顶角且顶角度数为的等腰三角形； 同理，当轨迹与相切于直线与的另一交点时，当与重叠，此时点与重合，如图所示， ，，设直线的表达式为，代入得， ，解得， 直线的表达式为； 点在直线上，不妨设其坐标为， ，的半径为， 解得，（较大值已舍去） ， ， ， ， 解得或（舍去） 当时，上的任意一点，都不能使形成一个以为顶角且顶角度数为的等腰三角形； 当轨迹与相交于点，另一个交点在劣弧上时，如图所示， 当与重叠时，当此时点与重合， ，， ， 为等边三角形， ， ，即， 同理当轨迹与相交于点，另一个交点在劣弧上时，如图所示， 当与重叠时，此时点与重合， ，， ， ， ，即， 上优弧上的点才满足关于射线的“对称点”； 当时，上的任意一点，都不能使形成一个以为顶角且顶角度数为的等腰三角形； 综上所述，当或或时，上的任意一点，都不能使形成一个以为顶角且顶角度数为的等腰三角形． 【点睛】本题考查了图形新定义，轴对称的性质，正方形的判定与性质，菱形的判定与性质，求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标求两点间的距离，解直角三角形等等，熟练掌握以上知识点，利用数形结合的思维是解题的关键． 【模拟05.二元一次方程的整数解问题与参数范围】 34．（2025·安徽马鞍山·三模）某数学兴趣小组在一次探究性学习中，研究了“寻找无数组整数x，y，使得”的问题，指导教师将学生的发现进行整理，设计了如下数表，部分信息如下： x … 5 11 （_______） … y … 1 （_______） … (1)观察表格，根据规律请在表格的横线上填空； (2)由上面的规律可知，若表中某一列的两个整数依次是m和n，这表中相邻的下一列的两个数分别是_______和_______（分别用m和n表示）； (3)有同学根据上面的探究得出结论“对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得成立”．请对该结论判断正误并简述理由． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)结论正确，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的解． （1）观察表格，找到规律，即可填空； （2）根据规律求解即可； （3）假设是方程的一个解，令，，代入求解即可证明结论正确． 【详解】（1）解：观察规律，x每次增加6，y每次减少5， 所以，填写表格如下： x … 5 11 17 … y … 1 … （2）解：根据规律知，这表中相邻的下一列的两个数分别是和； 故答案为：，； （3）解：结论正确，理由如下， 5和3的最大公约数为1，能被1整除， ∵1能整除任意正整数k， ∴必有整数解， 假设是方程的一个解， ∴， 对于任意整数，令，， 代入方程左边得，， ∴是方程的解， 由于整数有无数个， ∴方程有无数组整数解， 综上，对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得成立． 35．（2025·四川南充·二模）关于的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可先通过方程组中两个方程相减得出关于的表达式，再结合的取值范围来确定的取值范围．本题考查二元一次方程组的变形以及不等式的性质．解题关键在于通过方程组中方程相减得到（即）关于的表达式，再利用的取值范围，结合不等式性质求出的取值范围． 【详解】解： ， 用第一个方程减去第二个方程， 可得： 去括号得： 合并同类项得： 两边同时除以，得到． ∵， ∴． ，对于，当时，；当时，． ∵的取值范围是大于小于， ∴的取值范围是． 故选：D 36．（2025·山东淄博·一模）已知关于的二元一次方程组． (1)若，求的值； (2)若均为非负数，求的取值范围； (3)已知，在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值，的最小值 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，整式的加减及一次函数的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先求出，得到，求解即可； （2）解方程组得到，得到，且，计算即可得到答案； （3）求出，根据一次函数的性质求得的最大值，的最小值． 【详解】（1）解：关于的二元一次方程组， 将①＋②，得， ， ， ； （2）解：解关于的二元一次方程组，得 均为非负数， ，且， 的取值范围为； （3）解：， ， ∵， 随着的增大而增大， ， 的最大值，的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06二元一次方程组中考一轮复习核心讲义 【5大经典模拟真题题型共计36题】 · 透彻理解二元一次方程（组）的定义及解的含义，能快速辨析非二元一次方程（组），并利用解的性质求参数值。 · 熟练掌握代入消元法、加减消元法，能灵活处理含参数、同解、整数解等特殊方程组。 · 能准确提炼实际问题中的等量关系，建立二元一次方程组模型，解决购物、运输、增长率等常见题型，兼顾新定义、几何结合等综合问题。 · 掌握方程组与不等式（组）、函数、几何图形的综合应用技巧，提升逻辑推理和综合解题能力。 【知识点01:二元一次方程(组)的定义】 1.二元一次方程：含有 2 个未知数，未知数的项的次数是 1的整式方程，形式为ax+by=c（a、b不同时为 0）。 2.二元一次方程组：由两个或两个以上二元一次方程组成的方程组，需满足所有方程均为二元一次方程，且未知数种类一致。 3.易错辨析： 含未知数的项次数必须为 1（如x2+y=3不是二元一次方程）； 方程必须是整式方程（如+y=2不是二元一次方程） 【知识点02:二元一次方程(组)的解】 1.二元一次方程的解：使方程左右两边相等的一对未知数的值，有无数组解，其解可表示为（t为任意实数）。 2.二元一次方程组的解：方程组中所有方程的公共解，通常只有唯一一组解（特殊情况有无数组解或无解）。 3.关键性质：若是方程组的解，则代入所有方程均成立，可用于求参数值。 【知识点03:二元一次方程组的解法】 1.代入消元法： 步骤：将一个方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数，代入另一个方程消元，求解后回代得解。 适用场景：其中一个方程可快速变形为x=ay+b或y=ax+b的形式。 2.加减消元法： 步骤：通过等式性质使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等，相加或相减消元，求解后回代得解。 适用场景：两个方程中同一未知数的系数成倍数关系或便于通分。 3.特殊解法：整体代入法（如方程组中两方程相加 / 减可直接得到x+y或x−y的值）。 【知识点04.二元一次方程组的应用】 1.常见题型： 增长率问题（内销、出口收入增长）； 购物问题（两种商品的数量与总价）； 运输问题（车皮数量与货物运输量）； 几何问题（坐标对称、图形面积）； 新定义问题（“繁花数”“风月同天数”“树人数” 等）。 2.解题步骤： 设未知数（明确未知量的含义）； 列方程组（根据题意找等量关系）； 解方程组（选择合适的消元法）； 验根（检验解是否符合实际意义）。 【知识点05.易错点警示】 1.列方程时忽略实际意义（如人数、数量为正整数）； 2.解方程组时计算错误（加减消元时符号出错、代入时漏乘系数）； 3.新定义问题中未准确理解定义条件（如 “繁花数” 的数位关系、“树人数” 的平方差形式）； 4.与不等式结合时，未注意未知数的非负性等限制条件。 【模拟01.二元一次方程(组)的概念与基础应用】. 1．（2025·全国·二模）写出一个以为解的二元一次方程： ． 2．（2024·安徽·模拟预测）下列属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 3.（2025·全国·二模）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则这个方程组可以是 ． 4．（2025·湖南岳阳·一模）已知是方程组的解，则的值为（  ） A．3 B．2 C．-2 D．-3 5．（2025·江苏盐城·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 6．（2025·浙江金华·三模）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·吉林长春·二模）明代《算法统宗》有一首饮酒诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多薄酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．可列方程组为 ． 8．（2025·陕西榆林·一模）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·宁夏银川·一模）如图，三个大小相同的长方形沿“横—竖—横”排列在一个长为5，宽为4的大长方形中，设每块小长方形的长为，宽为，可列方程组： ． 10．（2025·河北邯郸·三模）若是关于x，y的二元一次方程，且，，则的值是（　　） A． B．2 C．4 D． 【模拟02.二元一次方程(组)的求解】 11．（2025·贵州黔南·二模）（1）解不等式组，并将解集表示在数轴上； （2）三个二元一次方程，，．请在这三个方程中任选两个方程，组成一个二元一次方程组，并解该方程组． 12．（2025·浙江杭州·二模）已知方程组的解为，则方程组的解为 ． 13．（2025·山东淄博·二模）已知关于，的二元一次方程组，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 14．（2025·广西桂林·一模）在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么 ． 15.（2025·全国·二模）已知关于x，y的方程组与有相同的解，则 ． 16．（2025·贵州铜仁·三模）若关于的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【模拟03.二元一次方程(组)的实际应用】 17．（2025·安徽芜湖·三模）某科创公司制造的产品采用内销和出口两种方式，今年第一季度的内销收入比去年第一季度增加，出口收入比去年第一季度增加． (1)设去年第一季度内销收入为万元，出口收入为万元，用含，的代数式表示今年第一季度的总收入为______万元； (2)若今年第一季度的总收入比去年增加，求的值． 18．（2025·湖北·模拟预测）某班学生参加运土劳动，一部分学生抬土，另一部分学生挑土，已知全班共用箩筐个，扁担根，求抬土、挑土的学生各有多少人？如果设抬土的同学人，挑土的同学人，则可得方程组（    ） A． B． C． D． 19．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）五月份学校将举办“青春杯”校园好声音大赛，某班进行了预选赛，为鼓励同学们，老师花了元钱买了甲、乙两种（两种都买）励志标语牌作为奖品，已知甲种励志标语牌每个元，乙种励志标语牌每个元，则老师购买励志标语牌的个数最多是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 20．（2025·全国·一模）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 21．（2025·黑龙江七台河·一模）某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约700吨，乙水果大约1020吨，一次性运往外地销售．需要不同型号的、两种车皮共30节，种车皮每节运费2500元，种车皮每节运费3000元． (1)设租车皮的总费用为元，租种车皮节，请写出和之间的函数关系式． (2)如果每节车皮最多可装甲水果30吨和乙水果20吨，每节车皮最多可装甲水果25吨和乙水果40吨，装水果时按此要求安排、两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费． (3)计划下一次租用、两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用、两种车皮，请直接写出有哪几种租车方案？ 22．（2025·重庆渝中·二模）将一枚六个面编号分别为的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于的方程组只有正数解的概率为 ． 23．（2025·广东深圳·二模）在学习《三角形》时，某数学学习小组发现：在一个面积为100的长方形中，点 E，F分别在边上，连接 ． 当点F与点C重合时，如图所示，在不求出长方形边长的情况下，可以根据面积公式或三角形全等的性质求出 的面积为定值． 【提出问题】如图，点E，F都不与端点重合，若的面积是否为定值? 【特例分析】（1）给和分别赋予不同的数值，通过特殊数值的计算判断的面积是否发生变化．请你根据上述思路，完成下面的表格． 10 5 10 20 41 【得出猜想】（2）通过特例分析，猜想：的面积 定值． （填“是”或“不是”） 【验证猜想】 （3）①方法1： 假设． ，通过计算验证你的猜想． ②方法2： 如图，过点E作，交于点G，将长方形 分成了长方形和长方形 ，连接 ．通过图形割补的方式也可以验证猜想，请将下列部分验证过程补充完整(填数值)． 解：∵等底等高， ． ， ． ． 【拓展应用】（4）在学校游园活动中，数学小组成员计划用三个雪糕简和彩绳在一个长12米，宽 10米的长方形场地中，围出一块三角形区域作为游戏场地．如图，在长方形场地中，三个雪糕筒分别摆放在点B、E、F处，且的长为整数．若围出的游戏场地面积为52平方米，即 请直接写出所有满足条件的长． 【模拟04.二元一次方程(组)与其他知识综合】 24.．（2025·湖北·二模）古希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数，哪里就有美”．“对称美”是数学美的重要组成部分，在数学史上，人类一直在思考和探索数学的对称问题，图形中的对称性本质就是点的对称、线的对称．而剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 25．（2025·河南南阳·一模）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A． B．7 C．1 D．2 26．（2025·江苏扬州·二模）已知实数，，满足，，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 27．（2025·陕西·一模）如图，点和点在同一个反比例函数的图象上，AC和BC分别垂直于x轴和y轴．若的面积为32，则k的值为 ． 28．（2025·重庆·二模）赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给x赋不同的值，可得的值为 ． 29．（2025·广东广州·三模）若关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 30．（2025·四川资阳·一模）阅读材料1：若一个正整数x能表示成（a、b是正整数，且）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为，所以5 是“风月同天数”，叫做5的平方差分解． 阅读材料2：如果一个自然数各位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”．例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”；再如：656，9898，37373，171717，…，都是“摆动数”． (1)在7和2中是“风月同天数”的是 ； (2)已知（x、y是正整数，k是常数，且），要使M是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k，并说明理由； (3)对于一个三位数N，N的十位数字是9，个位数字与百位数字相等且小于或等于2，N既是“摆动数”又是“风月同天数”，请求出N的所有平方差分解． 31．（2025·江苏南京·三模）定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”． 如：，，则0和1都是“树人数”． (1)判断2，3是否为“树人数”？说明理由． (2)下列说法正确的序号有______． 任何一个奇数都是“树人数”； 任何一个偶数都是“树人数”； 任何一个被4整除的数是“树人数”； 任何一个被4除余2的数是“树人数”． (3)已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”． 32．（2025·重庆·三模）对于任意一个四位正整数，若满足百位数字比千位数字大2，个位数字比十位数字大2．且各个数位上的数字均不为零且互不相等，我们就把这个数叫作“繁花数”．将“繁花数”的千位、个位上的数字交换位置，百位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的数，记．则最大的“繁花数”是 ；已知都是“繁花数”，其中，（、、、、，且均为整数），若，且满足是12的倍数，则的值为 ． 33．（2025·北京·三模）在平面直角坐标系中，对于图形M和射线，若图形与图形M关于直线对称，且图形M和图形上分别存在点A，B，使得，则称图形M与图形关于射线 “对称”，点B为图形M关于射线的一个“对称点” (1)点，．若半径为1． ①在，，中，__________是关于射线的“对称点”； ②若直线上存在关于射线的“对称点”，则k的取值范围是__________； (2)已知，，，，点G是半径为的关于射线EF的“对称点”，若上的任意一点，都不能使形成一个以为顶角且顶角度数为的等腰三角形，直接写出t的取值范围．___________________________________________________________ 【模拟05.二元一次方程的整数解问题与参数范围】 34．（2025·安徽马鞍山·三模）某数学兴趣小组在一次探究性学习中，研究了“寻找无数组整数x，y，使得”的问题，指导教师将学生的发现进行整理，设计了如下数表，部分信息如下： x … 5 11 （_______） … y … 1 （_______） … (1)观察表格，根据规律请在表格的横线上填空； (2)由上面的规律可知，若表中某一列的两个整数依次是m和n，这表中相邻的下一列的两个数分别是_______和_______（分别用m和n表示）； (3)有同学根据上面的探究得出结论“对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得成立”．请对该结论判断正误并简述理由． x … 5 11 17 … y … 1 … 35．（2025·四川南充·二模）关于的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 36．（2025·山东淄博·一模）已知关于的二元一次方程组． (1)若，求的值； (2)若均为非负数，求的取值范围； (3)已知，在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $