精品解析：甘肃省临夏回族自治州2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

临夏州2025-2026学年度秋季学期期末质量监测 八年级数学 本试卷共8页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、县/区，考点，考场，座号填写清楚． 2．答题请使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在答题卡各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 2025年11月第十五届全运会由粤港澳大湾区三地联合成功举办．下列体育运动项目的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了知识点是轴对称图形的定义，解题关键是熟练掌握轴对称图形的定义．根据如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 小夏有两根长度分别为和的木条，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有下列长度的4根木条，你认为他应该选择的木条长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围即可． 【详解】解：∵两根木条长和， ∴设第三边长为， 则第三边x需满足：，即， ∴四个选项中只有在这个范围内， 故选：B． 3. 要使分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零，进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：D． 4. 如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积即可得出结果． 【详解】解：∵是的中线， ∴； ∵是的中线， ∴； 故选C． 5. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方、同底数幂相乘、幂的乘方和同底数幂相除．根据积的乘方、同底数幂相乘、幂的乘方和同底数幂除法运算法则，判断各选项的正确性即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C正确； D．，故D错误． 故选：C． 6. 王岗社区是由，，三条路围成的小型社区，社区准备修建一个电动车充电点现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在（    ） A. 三个角的平分线的交点处 B. 三条中线的交点处 C. 三条高线的交点处 D. 三条边的垂直平分线的交点处 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两边的距离相等，而根据题意可得充电点到三条路的距离相等，故充电点应该建在三个角的角平分线的交点处． 【详解】解：∵充电点到三条路的距离相等， ∴充电点应该建在三个角的角平分线的交点处， 故选：A． 7. 如图，在RtABC中，＝90°，＝55°，则的度数为（ ） A. 25° B. 35° C. 45° D. 55° 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的两锐角互余求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质，熟记“直角三角形的两锐角互余”是解题的关键． 8. 在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定解答． 根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段， 在与中， ， ， 故选：D． 9. 如图，将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何解释，数形结合，分情况表示阴影部分面积是解决问题的关键． 分别表示出图1阴影部分面积，再表示图2阴影部分面积，由两个图的阴影部分面积相等即可得到答案． 【详解】解：由图1可知，； 如图所示： ， 由两个图的阴影部分面积相等可得，， 故选：C． 10. 如图，把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处，且，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．由折叠的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 齐家文化是世界闻名，中国最早的青铜时代文化遗存，是人类灿烂古文化瑰宝．积石山县出土的齐家文化双耳素陶鬲的三个支点形成三角形，这样设计的数学依据是____________． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形稳定性的应用．根据三个支点形成三角形得到答案即可． 【详解】解：积石山县出土的齐家文化双耳素陶鬲的三个支点形成三角形，这样设计的数学依据是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 12. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 13. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解），可以先提公因式m，再根据平方差公式分解因式即可 【详解】 故答案： 14. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为，则____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，根据关于x轴对称的点的坐标变换规律，横坐标不变，纵坐标互为相反数，列出方程求解m和n的值，再计算它们的乘积即可． 【详解】解：∵点关于轴对称的点的坐标为， ∴，， ∴． 故答案为：2． 15. 若，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法逆用，幂的乘方逆用，熟练掌握运算法则，是解题的关键． 逆用同底数幂除法，逆用幂的乘方将转化为，再代入已知条件求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】连接，交于点，连接，利用垂直平分线的性质得到，再利用两点之间线段最短得到的和的最小值为的长，根据的面积计算出高，从而得出的最小值． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接， ∵直线垂直平分， ∴ ， ∵两点之间线段最短， ∴的最小值为线段， ∵等腰中,点为的中点，，， ∴，， ∴， 即：，解得， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共5小题，共26分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含有理数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂，根据相关运算法则正确求解即可． 【详解】解： ． 18. 化简求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式除法运算法则，是解题的关键．先根据分式除法运算法则进行化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 19. 如图，已知网格中最小的正方形的边长为1． （1）作关于轴对称的． （2）求，，，构成图形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题主要考查了作轴对称图形、借助网格线计算图形的面积． （1）分别作出点、、关于轴的对称点、、，连接点、、，得到； （2）根据梯形的面积公式求解即可． 小问1详解】 解：如下图所示，即所求． 【小问2详解】 解：． 20. 已知：如图，是的垂直平分线．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 连接，，根据线段垂直平分线的性质得到，根据证明，即可证明． 【详解】证明：连接，， 是的垂直平分线， ， 和中 ， ， ． 21. 如图，的高与角平分线相交于点 F， ． 求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是利用三角形外角性质求出的度数，再结合角平分线定义和三角形内角和定理求解．先根据三角形外角性质求出的度数，再由角平分线定义得出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：是的高， ， ∵是的一个外角，且， ∴， ∴， 是的角平分线， ， ∵， ． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 如图，有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划对其中的阴影部分进行绿化，并在中间两块正方形区域修建两座雕塑． （1）求绿化区域的面积（用含的式子表示）． （2）当时，求绿化区域的面积． 【答案】（1）平方米 （2）86平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘法，整式的化简求值， 对于（1），根据整式的乘法法则计算； 对于（2），将a，b的值代入计算得出答案． 【小问1详解】 解：绿化区域的面积为 ． 答：绿化区域面积为平方米； 【小问2详解】 解：当时，． 答：绿化区域的面积为86平方米． 23. 如图，点是线段上一点，，，． （1）求证：． （2）若，判断的形状并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）是等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定， （1）证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据全等三角形的性质得，然后利用三角形外角的性质得，据此可判定三角形的形状， 掌握全等三角形的判定和等边三角形的判定是解题的关键． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：为等边三角形． 理由：∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 24. 某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料． （2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于则至少购进A型机器人多少台？ 【答案】（1）150，120 （2）17 【解析】 【分析】本题考查分式方程应用，一元一次不等式应用． （1）设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运材料，根据题意建立方程求出其解即可得； （2）设购进A型机器人台，根据每小时搬运材料不得少于列出不等式进行求解即可得． 【小问1详解】 解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运千克材料， ∴， 解得， 经检验，是所列方程的解， 当时，， 答：A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料； 【小问2详解】 解：设购进A型机器人台，则购进B型机器人台， ， 解得：， ∵是整数， ∴， ∴a的最小值为， 答：至少购进A型机器人17台． 25. 【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，有最小值． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）用配方法因式分解：__________； （2）若，求的最小值； （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）原式常数项化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式求解即可； （2）将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最小值即可； （3）分别对、、用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质确定、、的值即可求出结果． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，有最小值； 【小问3详解】 ∵， ∴， 即， ∴，，， ∴，，， ∴， 即的值为． 【点睛】本题考查因式分解的应用，非负数的性质，求代数式的值，解题的关键是掌握相应的运算法则、性质及公式． 26. 如图，是边长为12厘米的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿射线、运动，且它们的速度都为2厘米／秒，设运动时间为t（秒）（）． （1）用含t的代数式表示线段的长； （2）如图①，点P、Q分别在线段、上运动时，、相交于点M，求的度数； （3）如图②，当点P、Q分别运动到线段、的延长线上时，、的延长线相交于点M，的度数会变化吗？若不变，请求出的度数；若改变，请说明理由； （4）如图③，若点P的速度不变，点Q的速度为3厘米／秒，点P、Q分别在线段、上运动时，连接，当为直角三角形时，直接写出t的值． 【答案】（1）当时，；当时， （2） （3） （4）t的值为或 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）根据题意速度乘以时间即可得出，（秒），分点P在线段上和射线上，求出的长； （2）利用等边三角形的性质即可证明，则有，即可求解； （3）证明，则，即可求解； （4）分两种情况考虑：；；根据含30度直角三角形的性质建立方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵点P分别从顶点出发，沿射线运动，速度为2厘米／秒，则， （秒）， ∴当时，点P在线段上，； 当时，点P在射线上，； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的度数为； 【小问3详解】 解：不变化，理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：根据题意得，，， ∴， 分以下两种情况讨论： ①当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得，； ②当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 综上可得，t的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临夏州2025-2026学年度秋季学期期末质量监测 八年级数学 本试卷共8页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、县/区，考点，考场，座号填写清楚． 2．答题请使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在答题卡各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 2025年11月第十五届全运会由粤港澳大湾区三地联合成功举办．下列体育运动项目的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 小夏有两根长度分别为和的木条，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有下列长度的4根木条，你认为他应该选择的木条长度为（ ） A. B. C. D. 3. 要使分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 王岗社区是由，，三条路围成的小型社区，社区准备修建一个电动车充电点现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在（    ） A. 三个角的平分线的交点处 B. 三条中线的交点处 C. 三条高线的交点处 D. 三条边的垂直平分线的交点处 7. 如图，在RtABC中，＝90°，＝55°，则的度数为（ ） A. 25° B. 35° C. 45° D. 55° 8. 在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（ ） A. B. C D. 10. 如图，把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上点P处，且，则的度数是（    ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 齐家文化是世界闻名，中国最早的青铜时代文化遗存，是人类灿烂古文化瑰宝．积石山县出土的齐家文化双耳素陶鬲的三个支点形成三角形，这样设计的数学依据是____________． 12. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于用科学记数法表示为______． 13. 分解因式：_________． 14. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为，则____________． 15. 若，，则____________． 16. 如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为________． 三、解答题（一）：本大题共5小题，共26分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 化简求值：，其中． 19. 如图，已知网格中最小的正方形的边长为1． （1）作关于轴对称． （2）求，，，构成图形的面积． 20. 已知：如图，是的垂直平分线．求证：． 21. 如图，的高与角平分线相交于点 F， ． 求的度数． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 如图，有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划对其中的阴影部分进行绿化，并在中间两块正方形区域修建两座雕塑． （1）求绿化区域的面积（用含的式子表示）． （2）当时，求绿化区域面积． 23. 如图，点是线段上一点，，，． （1）求证：． （2）若，判断的形状并说明理由． 24. 某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料． （2）该公司计划采购A，B两种型号机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于则至少购进A型机器人多少台？ 25. 【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，有最小值． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）用配方法因式分解：__________； （2）若，求的最小值； （3）已知，求的值． 26. 如图，是边长为12厘米的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿射线、运动，且它们的速度都为2厘米／秒，设运动时间为t（秒）（）． （1）用含t的代数式表示线段的长； （2）如图①，点P、Q分别在线段、上运动时，、相交于点M，求的度数； （3）如图②，当点P、Q分别运动到线段、的延长线上时，、的延长线相交于点M，的度数会变化吗？若不变，请求出的度数；若改变，请说明理由； （4）如图③，若点P的速度不变，点Q的速度为3厘米／秒，点P、Q分别在线段、上运动时，连接，当为直角三角形时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $