精品解析：江苏省苏州市苏州工业园区景城学校2024-2025学年上学期八年级数学12月月考试卷

2024-2025学年第二学期单元练习试卷 八年级 数学学科 一、单选题（共8题，每题2分） 1. 将第一象限的“小旗”各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘以，符合上述要求的图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称的坐标变换，掌握“一个点的纵坐标乘以，所得的点与原来的点关于轴对称”是解题的关键． 【详解】解：第一象限的“小旗”各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘以， 所得小旗的点与原来的小旗的点关于轴对称， 故选：B． 2. 已知点P在第三象限内，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是1，那么点P的坐标为（　　） A. （﹣1，2） B. （﹣2，1） C. （﹣1，﹣2） D. （﹣2，﹣1） 【答案】C 【解析】 【分析】根据第三象限点的横坐标与纵坐标都是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答即可． 【详解】解：∵点P在第三象限内，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是1， ∴点P的横坐标为﹣1，纵坐标为﹣2， ∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）． 故选：C． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键，也是最容易出错的地方． 3. 同学们玩过五子棋吗？它的比赛规则是只要同色5子先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一盘棋，若白①的位置是，黑②的位置是，现轮到黑棋走，你认为黑棋放在什么位置就胜了．（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意白①的位置是，黑②，题意建立坐标系可确定原点的位置，依据题目所给规则进行判定即可得出答案． 【详解】解：根据题意建立平面直角坐标系，如图， 由图可知，黑棋放在或位置就胜利了． 故选： D． 【点睛】本题主要考查了用坐标系确定位置，根据题意建立适当平面直角坐标系坐标系进行求解是解决本题的关键． 4. 一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答本题的关键．根据选项中正比例函数图象确定k值，再去判定一次函数与y轴的交点位置情况即可判定． 【详解】解：A、选项中没有过原点的直线，不符合题意； B、由正比例函数图象可知，由一次函数图象可知，故不符合题意； C、由正比例函数图象可知，由一次函数图象可知，故不符合题意； D、由正比例函数图象可知，由一次函数图象可知，故符合题意． 故选：D． 5. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x、y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两直线的交点坐标即这两条直线组成的方程组的解是解题关键． 将点代入，求出其横坐标，则横坐标为所求方程组中的值，纵坐标为方程组中的值． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点， ， ∴， ∴ 则关于、的方程组的解为． 故选：C． 6. 已知一次函数y1＝k1x＋b1与一次函数y2＝k2x＋b2中，函数y1、y2与自变量x的部分对应值分别如表所示： x … 0 1 … y1 … 3 4 … x … 0 1 … y2 … 5 4 … 则当y1＞y2时，x的取值范围是（ ） A. x<0 B. x>0 C. 0<x<1 D. x>1 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格可得当x=1时，，则有点为这两个一次函数的交点，然后根据题意可大致画出图象，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：点为的交点，则大致图象如图所示： ∴当y1＞y2时，x的取值范围是x>1； 故选D． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为13，点B的坐标是，点D的坐标是，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，菱形的性质，勾股定理．熟练掌握菱形的性质，是解题的关键．连接，可得：与垂直平分，轴，得到轴，利用勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：连接，交于点，则：与垂直平分， ∵点，， ∴轴，， ∴轴，， ∴， ∵菱形的边长为13，即， ∴， ∴，即， 故选：D． 8. 如图1，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在x轴上，，直线沿x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示，则下列判断正确的个数有（　　） ①点A的坐标为；②矩形的面积是8； ③a的值为；b的值为10 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是一次函数的综合应用，根据直线解析式求出点N的坐标，然后根据函数图象可知直线平移3个单位后经过点A，从而求的点A的坐标；由点F的横坐标可求得点D的坐标，从而可求得的长，据此可求得的面积；如图1所示；当直线经过点B时，直线交于点E，首先求得点E的坐标，然后利用勾股定理可求得的长，从而得到a的值；如图2所示，当直线经过点C时，直线交x轴于点F，求得直线与x轴交点F的坐标从而可求得b的值． 【详解】解：令直线的得：，解得：， ∴点M的坐标为． 由函数图象可知：当时，直线经过点A， ∴点A的坐标为， 沿x轴的负方向平移3个单位后与矩形相交于点A， ∵沿x轴的负方向平移3个单位后直线的解析式是：， ∴点A的坐标为，故①正确，； 由函数图象可知：当时，直线经过点D， ∴点D的坐标为． ∴． ∴矩形的面积，故②正确． 如图1所示；当直线经过点B时． ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为 设直线的解析式为， 将点B的坐标代入得；． ∴． ∴直线的解析式为． 将代入得：，解得， ∴点E的坐标为． ∴． ∴，故③正确； 如图2所示，当直线经过点C时． ∵点D的坐标为， ∴点C的坐标为． 设的解析式为，将代入得，，解得． ∴直线的解析式为． 将代入得，解得． ∴点F的坐标为． ∴，故④错误． 故选：C． 二、填空题（共8题，每题2分） 9. 若点在函数的图象上，则的值是________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合函数的解析式是解题的关键． 根据点在函数的图象上，将点代入解析式即可求解． 【详解】解：点在函数的图象上， ，即， 故答案为：2024． 10. 若函数是一次函数，则m的值为______. 【答案】-1 【解析】 【分析】由一次函数的定义得出且，由此求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， ∴且， ∴ 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，形如（k≠0，k、b为常数）的式子，叫做一次函数．正确理解一次函数定义是解答此题的关键． 11. 已知点P（m﹣2，2m﹣1）在第二象限，则实数m的取值范围是_____． 【答案】＜m＜2． 【解析】 【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：∵点P（m﹣2，2m﹣1）在第二象限， ∴， 解不等式①得，m＜2， 解不等式②得，m＞， 所以，不等式组的解集是＜m＜2， 故答案为＜m＜2． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）． 12. 已知一次函数的图象上两点，，其中，那么的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解不等式等知识点，根据函数的增减性判断一次项系数的符号是解题的关键． 由，， ，可知随增大而增大，可得，即，解不等式即可． 【详解】解：∵，， ，， ∴随增大而增大， ∴，即，解得． 故答案为：． 13. 已知直线与直线平行，且与轴的交点为，那么这条直线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的平移问题，根据互相平行的两条直线的一次项系数相同得到k的值，再利用待定系数法求出b的值即可得到答案． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， ∴， ∵直线与轴的交点为， ∴， ∴这条直线的解析式为， 故答案为：． 14. 已知点，若点P在二、四象限的角平分线上时，________． 【答案】4 【解析】 【分析】题目主要考查了二、四象限角平分线上点的特点，掌握象限角平分线上点的特点是解题的关键． 根据第二、四象限的角平分线上点的特点即可得到关于m的方程，进行求解即可． 【详解】解：点在第二、四象限的角平分线上， ∴， 解得：， 故答案为：4． 15. 在平面直角坐标系中，将平移得到，点是内一点，经平移后得到内对应点，已知点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据P点坐标的变化得出平移的方向和距离，进而可得出结论． 【详解】解：∵点是内一点与内对应点， ∴设， ∵点的坐标为， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是由坐标变化确定平移方式，再根据平移方式确定点的坐标，熟记平移变换中坐标的变化规律是解本题的关键． 16. 如图，已知直线，直线和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确找出规律是解题的关键．依据题意，观察横坐标变化规律，根据规律求解即可． 【详解】解：∵，过点P作y轴的平行线交直线a于点，点在直线上， ∴当时，则有， ∴， ∵轴， ∴点的纵坐标为1， ∴，解得：， ∴， ∵轴， ∴点的横坐标为， ∴当时，则有， ∴， ∵轴， ∴点的纵坐标为， ∴，解得：， ∴， 同理可得：，，，，….； ∴， 令， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 三、解答题（共68分） 17. 已知点分别根据下列条件求出点P的坐标． （1）点P在x轴上； （2）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴； 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据点在数轴上的特点，令，即可求得，进而求得的坐标； （2）根据平行与轴的直线的特点，令，即可求得，进而求得的坐标； 【详解】（1）点P在x轴上， ， 点P的坐标 （2）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴， 解得 点P的坐标 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中坐标轴上的点的坐标特点，掌握以上知识是解题的关键． 18. 请在所给网格中按下列要求操作： （1）在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为； （2）求的面积； （3）点P在y轴上，当的面积为6时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） 平面直角坐标系如图所示， （2）18 （3）或 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系，三角形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）根据A，B两点坐标确定平面直角坐标系即可； （2）利用三角形面积公式求解即可； （3）根据三角形面积求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ； 【小问3详解】 解：设与y轴相交于点D， ∵的面积为6， ∴， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或． 19. 如图，过点的直线与直线交于点． （1）求直线对应的函数表达式； （2）当时，x的取值范围是________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点，一次函数的解析式，结合图象求不等式的解集，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）先求，结合确定解析式即可． （2）根据交点坐标，结合图象确定解集即可． 【小问1详解】 解：∵在直线上， ∴， ∴， ∵直线经过、， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵直线：与直线：交于点，且， ∴． 故答案为：． 20. 已知与成正比例，且当时，． （1）写出与之间的函数表达式； （2）若的取值范围为，则的取值范围是________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义及一次函数的性质，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据正比例的定义，设，把时，代入求出的值，再将代入所设式子，整理得到与的函数表达式； （2）把和分别代入解析式，得到对应的的值，即可得的取值范围． 【小问1详解】 解：设，把时，代入得 ，解得， ∴，整理得， ∴与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，，解得， 当时，，解得， ∴当，的取值范围是． 故答案为：． 21. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点E，点E的横坐标为3． （1）点E的坐标为________，________； （2）在y轴上有一点，过点P作y轴的垂线，与直线交于点C，与直线交于点D，若，求m的值． 【答案】（1），4 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得点E坐标，然后把点E坐标代入直线进行求解即可； （2）由题意易得，，则有，然后可得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵点E的横坐标为3， ∴， ∴ 把代入直线得：， ∴， 故答案为，4； 【小问2详解】 解：由（1）可知：直线， ∴令时，则有， ∴，即， ∵过点P作y轴的垂线，与直线交于点C，与直线交于点D，且， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或． 22. 某商店计划购进甲、乙两种商品，已知购进件甲商品和件乙商品共需元，购进件甲商品和件乙商品共需元． （1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若商店以元每件出售甲商品，元每件出售乙商品，现购进甲、乙两种商品共件，且甲商品的数量不少于乙商品数量的倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润． 【答案】（1）甲商品进价元/件，乙商品进价元/件 （2）甲商品进件，乙商品进件时利润最大，是元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一次函数的最值问题，根据题意列出方程组与函数关系式，并结合不等式确定自变量的取值范围是解题的关键． （1）设甲种商品每件的进价为元/件，乙种商品每件的进价为元/件，根据“购进件甲商品和件乙商品共需元，购进件甲商品和件乙商品共需元”可列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出两种商品的进价； （2）设该商场购进甲种商品件，则购进乙种商品件，设总利润为元，根据“总利润甲商品单个利润数量乙商品单个利润×数量”即可得出关于的一次函数关系式，根据“甲商品的数量不少于乙商品数量的倍”可列出关于的一元一次不等式，解不等式可得出的取值范围，根据一次函数的性质结合的取值范围即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设甲商品进价元/件，乙商品进价元/件， ， 解得， 答：甲商品进价元/件，乙商品进价元/件； 【小问2详解】 解：设购进甲商品件，则购进乙种商品件，设总利润为元，由题意得， ， ，解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，（元）， （件）， 答：甲商品进件，乙商品进件时利润最大，是元． 23. 如图①，A，C两城市之间有一条公路相连，甲车从A市匀速开往终点C市，途经B市，乙车从B市沿同一条道路匀速开往终点A市．甲车的速度比乙车的速度慢20km/h，甲、乙两车分别距B市的路程y（单位：km）与甲车行驶时间x（单位：h）之间的关系如图②所示． （1）甲车的速度是 　 　km/h； （2）求乙车行驶过程中y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （3）直接写出甲车出发后几小时，甲、乙两车距B市的路程之和是380千米． 【答案】（1）80；（2） y＝100t﹣300（ 3≤t≤7）；（3）小时或6小时 【解析】 【分析】（1）利用图中信息解决问题即可． （2）利用待定系数法解决问题即可． （3）分两种情形分别求解即可解决问题． 【详解】解：（1）由题意，甲的速度为（千米/小时）； 故答案为：80； （2）乙的速度为：80＋20＝100（千米/小时）， 乙车行驶的时间为：400÷100＝4（小时）， 故图中点M的坐标为（7，400）， 设乙车行驶过程中y关于x的函数解析式为 y＝kt＋b （ k≠0 ）． 把点N（3，0），M（7，400）代入y＝kt＋b， 解得， ∴乙车行驶过程中y关于x的函数解析式为 y＝100t﹣300（ 3≤t≤7 ）． （3）（400﹣380）＝20， 20÷80＝（小时）， 或80t﹣400＋100（t﹣3）＝380， 解得t＝6， 答：甲车出发小时或6小时时，两车距C市的路程之和是380千米． 【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 24. 阅读下列两则材料，回答问题， 材料一：定义直线与直线互为“互助直线”，例如，直线与直线互为“互助直线”； 材料二：对于平面直角坐标系中的任意两点、、、两点间的直角距离．如：、两点间的直角距离为； 材料三：设为一个定点，是直线上的动点，我们把的最小值叫做到直线的直角距离． （1）计算，两点间的直角距离________； （2）直线上的一点又是它的“互助直线”上的点，求点H的坐标． （3）点到直线的直角距离为________． 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的几何应用（新定义型问题）、两直线交点与二元一次方程组、化简绝对值等知识点，读懂材料中的新定义是解题关键． （1）根据两点间的直角距离公式即可得； （2）先根据“互助直线”的定义得出互助直线的解析式，再联立求解即可得； （3）设点是直线的动点，则，然后分类讨论化简绝对值，再根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：，两点间的直角距离， 故答案为：4； 【小问2详解】 解：直线的“互助直线”为， 联立， 解得， 则点H的坐标为； 【小问3详解】 解： 设点是直线的动点， 则， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，的最小值为， 则点到直线的直角距离为． 故答案为：． 25. 如图，在长方形中，点O为坐标原点，点B的坐标为，点A、C在坐标轴上，直线与交于点D，与y轴交于点E． （1）分别求点D、E的坐标； （2）求的面积； （3）动点P在边上，点Q是坐标平面第一象限内的点，且在直线上，若是等腰直角三角形，求点Q的坐标． 【答案】（1），； （2）30 （3）或或． 【解析】 【分析】（1）利用一次函数解析式求解即可； （2）令与轴的交点为，求出，再结合图形，根据求解即可； （3）设，分三种情况讨论：①当点为直角顶点时；②当点为直角顶点时；③当点为直角顶点时，作辅助线构造三角形，根据全等三角形对应边相等求解即可． 【小问1详解】 解：在长方形中，点O为坐标原点，点B的坐标为， ，， 直线与交于点D，与y轴交于点E， 当时，，解得；当时，， ，； 【小问2详解】 解：如图，令与轴的交点为， 令，解得， ， ， ，，； ，，， ， ； 【小问3详解】 解：点Q是坐标平面第一象限内的点，且在直线上， 设， ①当点为直角顶点时，如图1，过点作交所在直线于点， 是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 解得：， ， ， ，且动点P在边上， ，与矛盾； 此种情况不满足题意； ②当点为直角顶点时，如图2，过点作交所在直线于点， 同理可证，， ，， ， 解得：， ； ③当点为直角顶点时，如图3，过点作交所在直线于点，交所在直线于点， 若点在上方，同理可证，， ， ， ， 解得：， ； 若点在下方，同理可证，， ， ， ， 解得：， ； 综上可知，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期单元练习试卷 八年级 数学学科 一、单选题（共8题，每题2分） 1. 将第一象限的“小旗”各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘以，符合上述要求的图形是（　　） A. B. C. D. 2. 已知点P在第三象限内，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是1，那么点P的坐标为（　　） A. （﹣1，2） B. （﹣2，1） C. （﹣1，﹣2） D. （﹣2，﹣1） 3. 同学们玩过五子棋吗？它的比赛规则是只要同色5子先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一盘棋，若白①的位置是，黑②的位置是，现轮到黑棋走，你认为黑棋放在什么位置就胜了．（ ） A. B. C. D. 4. 一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x、y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数y1＝k1x＋b1与一次函数y2＝k2x＋b2中，函数y1、y2与自变量x的部分对应值分别如表所示： x … 0 1 … y1 … 3 4 … x … 0 1 … y2 … 5 4 … 则当y1＞y2时，x的取值范围是（ ） A. x<0 B. x>0 C. 0<x<1 D. x>1 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为13，点B的坐标是，点D的坐标是，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在x轴上，，直线沿x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示，则下列判断正确的个数有（　　） ①点A的坐标为；②矩形的面积是8； ③a的值为；b的值为10 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共8题，每题2分） 9. 若点在函数的图象上，则的值是________． 10. 若函数是一次函数，则m的值为______. 11. 已知点P（m﹣2，2m﹣1）在第二象限，则实数m的取值范围是_____． 12. 已知一次函数的图象上两点，，其中，那么的取值范围是________． 13. 已知直线与直线平行，且与轴的交点为，那么这条直线的解析式为______． 14. 已知点，若点P在二、四象限的角平分线上时，________． 15. 在平面直角坐标系中，将平移得到，点是内一点，经平移后得到内对应点，已知点的坐标为，则点的坐标为________． 16. 如图，已知直线，直线和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为________． 三、解答题（共68分） 17. 已知点分别根据下列条件求出点P的坐标． （1）点P在x轴上； （2）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴； 18. 请在所给网格中按下列要求操作： （1）在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为； （2）求的面积； （3）点P在y轴上，当的面积为6时，请直接写出点P的坐标． 19. 如图，过点的直线与直线交于点． （1）求直线对应的函数表达式； （2）当时，x的取值范围是________． 20. 已知与成正比例，且当时，． （1）写出与之间的函数表达式； （2）若的取值范围为，则的取值范围是________． 21. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点E，点E的横坐标为3． （1）点E的坐标为________，________； （2）在y轴上有一点，过点P作y轴的垂线，与直线交于点C，与直线交于点D，若，求m的值． 22. 某商店计划购进甲、乙两种商品，已知购进件甲商品和件乙商品共需元，购进件甲商品和件乙商品共需元． （1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若商店以元每件出售甲商品，元每件出售乙商品，现购进甲、乙两种商品共件，且甲商品的数量不少于乙商品数量的倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润． 23. 如图①，A，C两城市之间有一条公路相连，甲车从A市匀速开往终点C市，途经B市，乙车从B市沿同一条道路匀速开往终点A市．甲车的速度比乙车的速度慢20km/h，甲、乙两车分别距B市的路程y（单位：km）与甲车行驶时间x（单位：h）之间的关系如图②所示． （1）甲车的速度是 　 　km/h； （2）求乙车行驶过程中y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （3）直接写出甲车出发后几小时，甲、乙两车距B市的路程之和是380千米． 24. 阅读下列两则材料，回答问题， 材料一：定义直线与直线互为“互助直线”，例如，直线与直线互为“互助直线”； 材料二：对于平面直角坐标系中的任意两点、、、两点间的直角距离．如：、两点间的直角距离为； 材料三：设为一个定点，是直线上的动点，我们把的最小值叫做到直线的直角距离． （1）计算，两点间的直角距离________； （2）直线上的一点又是它的“互助直线”上的点，求点H的坐标． （3）点到直线的直角距离为________． 25. 如图，在长方形中，点O为坐标原点，点B的坐标为，点A、C在坐标轴上，直线与交于点D，与y轴交于点E． （1）分别求点D、E的坐标； （2）求的面积； （3）动点P在边上，点Q是坐标平面第一象限内的点，且在直线上，若是等腰直角三角形，求点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $