精品解析：河南省豫北名校2025-2026学年高二上学期阶段性测试（二）数学试题

2025—2026学年高二年级阶段性测试（二） 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定双曲线的标准方程，求出的值，即可求得答案. 【详解】由双曲线可得其标准方程为， 故， 故双曲线的离心率为， 故选：C 2. 在1与64之间插入3个正数，使这5个数成等比数列，则该数列的公比为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合等比数列的性质即可直接求解． 【详解】设，则， 所以， 因为，所以 所以． 故选：B． 3. 已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设所求圆的方程是.首先判断出是直角三角形，再分析出斜边的中点即为外接圆的圆心，斜边的一半即为外接圆的半径，求出圆心和半径，代入方程即可得解. 【详解】设所求圆的方程是. 已知的三个顶点分别为， 因为， 且，所以是直角三角形， 所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心， 斜边的一半即为外接圆的半径，即， 所以的外接圆的方程为. 故选：D 4. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 7 B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式，结合已知条件求出首项和公差，进而求出． 【详解】是等差数列，设首项是，公差是， ，， ，， ， ，故A正确． 故选：A． 5. 已知圆的方程为，圆的方程为，则这两个圆的位置关系为（ ） A. 外切 B. 相交 C. 内切 D. 内含 【答案】B 【解析】 【分析】利用两圆的圆心距和两圆半径和差的关系，判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为. 因为，，，， 所以圆与圆相交. 故选：B 6. 如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间关系可证明线面垂直，从而可建立空间直角坐标系，表示各点坐标，即可用空间向量法求出点到平面的距离. 【详解】由取的中点为，连接，则， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又因为，所以可如图建立空间直角坐标系： 由，则， 可得：， 又因为为的中点，所以， 即， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 则点到平面的距离为， 故选：A. 7. 已知抛物线的焦点为，点在上且均位于第一象限，若，且直线的斜率为，则（ ） A. 6 B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】作出图象，由抛物线的定义结合勾股定理计算可得. 【详解】 如图，作垂直于准线上两点，作于， 由抛物线的定义可知， 所以， 又直线的斜率为，所以，即， 所以在中，. 故选：C. 8. 已知数列中，，设，则数列的前30项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由递推公式求出数列是周期数列，再结合等比数列求和公式求出数列的前项和. 【详解】因为，则， 且，所以， 所以是周期为3的周期数列， 因为， 设数列的前30项和为， 则数列的前30项和为 ， ， 所以， 所以. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线和圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线过圆的圆心，则 B. 若，则直线与圆相交 C. 若直线与圆相切，则 D. 圆心到直线的最大距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】确定圆心的坐标，根据直线经过点求的值，判断A的真假；根据点到直线的距离小于圆的半径求的取值范围，判断B的真假；根据点到直线的距离等于圆的半径求的值，判断C的真假；问题转化为直线过定点，圆心到直线的最大距离为圆心与定点的距离，判断D的真假. 【详解】对A：圆的圆心为，半径为2. 若直线过圆的圆心，则.故A错误； 对B：由.所以若，则直线与圆相交.故B正确； 对C：由或，所以若直线与圆相切，则或.故C错误； 对D：因为直线：，所以直线过定点，所以圆心到直线的最大距离.故D正确. 故选：BD 10. 记为数列的前项和，已知，则（ ） A. 为等比数列 B. 为等比数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用两式作差可得，再转化为，从而可判断B，通过求出和，可判断A，再利用等比数列求和可判断C，利用错位相减法求和可判断D. 【详解】由，可得： ， 两式相减得：，即， 所以为等比数列，故B正确； 再由，可得， 即， 当时，有， 由于不满足上式，所以，故A错误； 由 ，故C正确； 由， 则， 两式相减得： ，故D正确； 故选：BCD 11. 如图，在正方体中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（） A. 是平面的一个法向量 B. 当时， C. 若是平面的一个法向量，则恒成立 D. 直线与所成角的余弦值的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为原点建系，利用坐标计算，再结合线面垂直的判定定理证明平面即可判断A；利用向量的加减运算化简即可判断B；求出的坐标，利用坐标计算即可判断C；求出，结合一元二次函数求最值判断D. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为， 则， 则， 故，即， 又平面，故平面， 故是平面的一个法向量，故A正确； 当时，， 则 ， 故B错误； 因为，所以， 设，则，不妨令，则， 又，则，故C正确； 因为，所以， 则， 又，则 ， 令，所以， 令，则， 当时有最小值，此时有最大值， 故直线与所成角的余弦值的最大值为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等比数列的前项和，若（为常数），则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据条件，求出，的值，根据等比中项的性质，即可得答案. 【详解】因为，所以， ， 因为为等比数列， 所以，即，解得. 故答案为：2 13. 已知点分别在直线和上，若的中点恰好在直线上，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先分析两条直线是平行关系，那么中点在两条平行直线等距的直线上，求出那条直线，然后与联立即可求出答案. 【详解】直线与直线是平行关系，所以的中点在两直线等距且平行的直线上，设，因为直线与直线和直线等距，所以， 又因为在直线又在直线上，所以，解得，，即. 故答案为：. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的性质和定义求出坐标，进而求出，结合已知条件求出点坐标，进而求出，再根据三角形内切圆的性质列方程求出内切圆半径，最后根据面积公式求解． 【详解】 双曲线的左、右焦点分别为， ，故， ，故， 点在双曲线的右支上且位于第一象限，则， ， 直线的斜率为， 直线的方程为， 联立直线与双曲线方程得，化简整理得， 解得或（时，，不合题意舍去）， ， ， ， 设的内切圆半径为，圆心为，则， 即， ，解得， 的内切圆面积为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为3． （1）求的方程； （2）若直线与C交于两点（与坐标原点不重合），且满足，求与轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意结合抛物线的焦半径公式求出，即可得答案； （2）设，的方程为，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，结合，可得，即可求得的值，继而求出答案. 【小问1详解】 因为抛物线上一点到其焦点的距离为3， 根据抛物线的定义，可知点到的准线的距离也为3，即得，即， 故的方程为． 【小问2详解】 设，的方程为，由题意知， 由，得，需满足， 则 因为，所以， 解得或（舍去）， 所以的方程为，与轴的交点坐标为． 16. 记正项等比数列的前项和为，已知． （1）求； （2）证明：对任意正整数，总存在正整数，使得成等差数列． 【答案】（1） （2）证明: 由（1）得， 所以， 当时，， 即， 所以对任意正整数，只需令， 即使得成等差数列． 【解析】 【分析】（1）根据条件求出公比和首项，再根据等比数列的通项公式求出； （2）利用等比数列的求和公式求出，再利用等差中项求出即可. 【小问1详解】 设正项等比数列的公比为， 因为，所以，解得或（舍去）． 由，代入得，所以， 故． 【小问2详解】 略. 17. 已知数列满足，． （1）证明数列是等差数列，并求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和； （3）设，求数列中的最小项． 【答案】（1） 由题可知，则，即． 所以是公差为的等差数列． 所以，故． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）将取倒数后，根据等差数列定义求解即可； （2）整理通项后，运用裂项相消求解； （3）运用作商求出数列单调性，即可求出数列最小项. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 则． 故 【小问3详解】 由题意知， 则， 易知关于单调递增，当时，，当时，， 所以， 故数列中的最小项为． 18. 如图，正方形与梯形所在平面垂直，． （1）证明：； （2）证明：平面； （3）若点满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）证明: 方法一：因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又，所以两两互相垂直， 故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知得． （1）， 所以，所以． 方法二：如图，连接． 因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以． 因为四边形是正方形，所以， 又，， 所以平面，平面， 因此． （2）证明： 设平面的法向量为，因为， 所以，取． 则， 又平面，所以平面． 方法二：设与交于点，的中点为，连接． 因为是的中点，是的中点，所以，且． 因为，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． （3） 【解析】 【分析】（1）方法一：利用空间向量证明线线垂直即可； 方法二：连接，由面面垂直的性质定理和判定定理可得； （2）方法一：利用空间向量方法证明线面垂直即可； 方法二：设与交于点，的中点为，连接，由中位线的性质结合线面平行的判定定理可得； （3）分别求出平面和平面的法向量，代入空间二面角公式计算可得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 ，则， 从而，所以． 设平面的法向量为， 则取． 易知平面的一个法向量为． 由题意知， 化简整理得，解得或（舍去）． 19. 已知椭圆的右焦点为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，点在第一象限且，直线与的另一个交点为，以为直径作圆，判断直线与该圆的位置关系； （3）设是轴正半轴上的一点，直线与交于两点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）直线与该圆相切 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知椭圆的半焦距，再根据条件求出和的值，即可得椭圆的标准方程； （2）设，可得直线的方程为.联立直线与椭圆组成的方程组，利用韦达定理求出点的横坐标及纵坐标，进而得到直线的方程，求出的中点到直线的距离，即可判断直线与该圆的位置关系； （3）设出直线的方程及两点的坐标，联立直线与椭圆组成的方程组，利用三角形相似将变形为，分两种情况，点在椭圆上或外部和在椭圆内部讨论，去掉绝对值符号，利用的范围，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知椭圆的半焦距. 由离心率为，可得，解得. 所以，所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由题意得． 设，则直线的方程为． 由消去得． 因为直线与的两个交点分别为和， 所以，得． 直线的斜率为， 直线的方程为，即． 的中点为，点到直线的距离， 所以直线与该圆相切； 【小问3详解】 设直线的方程为， 由消去得， 所以. 则． 如图1所示，当点在椭圆上或外部时，，此时， 于是． 如图2所示，当点在椭圆内部时，， 所以， 令，则， 所以． 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高二年级阶段性测试（二） 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2. 在1与64之间插入3个正数，使这5个数成等比数列，则该数列的公比为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 3. 已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 7 B. 9 C. D. 5. 已知圆的方程为，圆的方程为，则这两个圆的位置关系为（ ） A. 外切 B. 相交 C. 内切 D. 内含 6. 如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，点在上且均位于第一象限，若，且直线的斜率为，则（ ） A. 6 B. C. D. 8 8. 已知数列中，，设，则数列的前30项和为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线和圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线过圆的圆心，则 B. 若，则直线与圆相交 C. 若直线与圆相切，则 D. 圆心到直线的最大距离为 10. 记为数列的前项和，已知，则（ ） A. 为等比数列 B. 为等比数列 C. D. 11. 如图，在正方体中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（） A. 是平面的一个法向量 B. 当时， C. 若是平面的一个法向量，则恒成立 D. 直线与所成角的余弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等比数列的前项和，若（为常数），则___________． 13. 已知点分别在直线和上，若的中点恰好在直线上，则点的坐标为___________． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为3． （1）求的方程； （2）若直线与C交于两点（与坐标原点不重合），且满足，求与轴的交点坐标． 16. 记正项等比数列的前项和为，已知． （1）求； （2）证明：对任意正整数，总存在正整数，使得成等差数列． 17. 已知数列满足，． （1）证明数列是等差数列，并求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和； （3）设，求数列中的最小项． 18. 如图，正方形与梯形所在平面垂直，． （1）证明：； （2）证明：平面； （3）若点满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 19. 已知椭圆的右焦点为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，点在第一象限且，直线与的另一个交点为，以为直径作圆，判断直线与该圆的位置关系； （3）设是轴正半轴上的一点，直线与交于两点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $