湖南省名校联考联合体2025-2026学年高三上学期1月联考数学试题

名校联考联合体2026届高三年级1月联考 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数 的共轭复数为，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 平面向量，，且，则 （ ） A. B. 2 C. D. 3 4. 函数，若，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 正四棱锥 的侧棱长为2，侧棱 与底面 所成角为45°，则该四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 椭圆 ：的左、右顶点为，，椭圆C的右焦点为F，点P是椭圆C上异于，的一动点，过F作直线 的垂线，垂足为M，若椭圆C的离心率为，三角形的面积最大值为6，则椭圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 函数满足：当时，且，，若函数（且）共有6个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 等差数列的前n项和为，，，则（ ） A. B. 公差 C. D. 的最大值为或 10. 抛物线 ：的焦点为F，准线为 .若点在抛物线 上，过F点的直线交抛物线 于，两点，则（ ） A. B. C. 圆与准线 交于M，N两点，则三角形的面积为8 D. 以为直径的圆与 轴只有一个公共点 11. 如图，在正三棱柱中， ， ，E，F分别在侧面.和侧面内运动（含边界），点在平面上的射影H在内（含边界），直线与平面所成的角为30°.则（ ） A. 正三棱柱的体积为 B. 正三棱柱的外接球的体积为 C. H点到棱的距离为 D. 若直线与平面所成的角为，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在点处的切线斜率为4，则______. 13. 从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于329的共有_____个. 14. 数列满足，数列满足 ，.将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列：，设的前n项和为，则_____（请用数字作答）. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S， . （1）证明： ； （2）若 ，求内角A的大小. 16. 如图，在四棱锥 中，为等腰三角形， 底面 ，， ， ，，，M为棱 的中点. （1）证明：平面 ； （2）求平面 和平面所成夹角的正弦值. 17. 函数. （1）若 ，求的极小值； （2）当时，证明：. 18. 某人工智能研发公司为了开拓新产品市场，从最新研发的经典A型和卓越型两款机器人中（卓越型是A型的优化版），随机各抽取30台进行越野驾驶性能对比测试，测试在同等环境中进行，评定结果分为优秀和良好两种.得到了如下数据：经典A型优秀为7台，卓越型优秀为20台. （1）完成下面2×2列联表，并根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析两款机器人的测试结果是否与越野驾驶性能优化有关. 款类 测试结果 总计 优秀 良好 型 20 30 A型 7 30 总计 （2）该公司为了进一步测试卓越型机器人的汉语智能性能，组织机器人队与人类队（母语为汉语）进行诗词抢答赛，每局比赛只有胜和负两种情况（无平局），每局人类战胜机器人的概率为胜者记2分，负者记1分.每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响. （i）求三局比赛中，人类队累计得分X的分布列和数学期望； （ii）若采用“比赛赛满局，胜方至少获得 局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为；若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为，比较与的大小，并说明其统计意义. 参考公式： 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 19. 双曲线 ：的一条渐近线为： ，点在双曲线C上. （1）求双曲线C的方程； （2）若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，该公共点为切线的切点.设双曲线C在切点N处的切线为 ，求切线 与双曲线的两渐近线所围成的三角形的面积； （3）设点B关于的对称点为R，点B关于原点的对称点为，双曲线上的动点M与，B不重合，且动直线与直线 相交于点P，动直线与直线 相交于点.求证：存在实数 ，使得，并求出实数 的值. 名校联考联合体2026届高三年级1月联考 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】1 【13题答案】 【答案】167 【14题答案】 【答案】12182 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）在中， ， 因为 ，即 ， 且 ，则 ， 则，即 ， 又因为 ，则 ，即 . （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【17题答案】 【答案】（1）； （2） 当时，， 令 ，定义域为， 则，其中， 由在上单调递增，且，， 则存在，使得， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增； 所以的最小值为， 由，可得，， 所以，即的最小值为0， 综上，，即得证. 【18题答案】 【答案】（1）列联表见解析，认为测试结果与越野驾驶性能有关联 （2）（i）分布列见解析，4；（ii）答案见解析 【19题答案】 【答案】（1） （2）9 （3）证明见解析， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $