精品解析：天津市实验中学滨海学校2025-2026学年上学期九年级第二次月考数学试卷

2025-2026学年第一学期第三次质量调查九年级（数学）试卷 满分：120分 时长：100分钟 一、单选题（36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【 】 A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正方形 D. 等腰梯形 2. 点关于原点的对称点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的常数项是（ ） A. 6 B. C. 1 D. 4. 已知的半径为5，点P到圆心O的距离为8，则点P在（ ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 无法确定 5. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 掷一枚骰子，朝上的点数是6 B. 任意画一个三角形，内角和为 C. 明天会下雨 D. 打开电视，正在播放新闻 6. 若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 4 B. C. 3 D. 7. 抛物线与x轴的交点个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 8. 一个正六边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 9. 的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 11. 某市年森林覆盖率为，预计到年达到，设年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 一名男生推铅球，铅球出手时，铅球的高度为．铅球行进的高度（单位：）是水平距离（单位：）的二次函数，与之间的函数关系式为．有下列结论： ①从铅球出手到落地时水平距离为； ②铅球行进过程中的高度可以达到； ③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离小于从最高点运动至落地的水平距离． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（18分） 13. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式为________． 14. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 15. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面积为___________． 16. 从写有数字1、2、3的三张卡片中随机抽取一张，放回后再抽取一张，两次抽取的数字之和为偶数的概率是________． 17. 如图，将绕点顺时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为点，，若点，，在同一条直线上，与交于点． （1）______； （2）若为的中点，，则______． 18. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均为格点，且都在同一个圆上． （Ⅰ）圆直径的长度等于 ； （Ⅱ）请用无刻度的直尺在给定的网格中，画出圆的切线，并简要说明点D的位置是如何找到的 ． 三、解答题（66分） 19. 解方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 20. 一个不透明袋子中装有红、黄、蓝三个除颜色外完全相同的小球． （1）从中随机摸出一个球，摸到红球的概率为________； （2）从中随机摸出两个球，求摸到一个红球和一个黄球的概率（用树状图或列表法说明）． 21. 已知在△中，，，⊙O经过点 A，B交 AC于点D. （1）如图①，若 AB为直径，⊙O交BC于点E，连接BD，DE，求∠BDE的大小； （2）如图②，若⊙O与BC相切，连接BD，求∠BDC的大小； 22. 如图，从建筑物AB的顶部A点，测得建筑物CD顶部D点的俯角α为45°，底部C点的俯角β为60°，且两座建筑物的水平距离BC为40m．求这两座建筑物AB，CD的高度．（结果保留小数点后一位，，） 23. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 24. 在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点，以点A为旋转中心，把顺时针旋转，得． （1）如图①，当旋转后满足轴时，则点C的坐标______，点D的坐标______． （2）如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标。 （3）在（2）的条件下，边OB上的一点P旋转后的对应点为，当取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可） 25. 如图，抛物线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为． （1）求此拋物线的函数解析式． （2）点P是直线上方拋物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，求的最大值，及此时P点的坐标． （3）点M为该拋物线上的点，当时，请直接写出满足条件的点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期第三次质量调查九年级（数学）试卷 满分：120分 时长：100分钟 一、单选题（36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【 】 A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正方形 D. 等腰梯形 【答案】C 【解析】 【详解】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此， A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误． 故选C． 2. 点关于原点的对称点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于原点对称的点，其横坐标和纵坐标均变为相反数求解即可． 【详解】解：∵点关于原点对称， ∴对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴对称点坐标为． 故选：A． 3. 一元二次方程的常数项是（ ） A. 6 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式为，其中叫做常数项，解答即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由， 得常数项， 故选：A． 4. 已知的半径为5，点P到圆心O的距离为8，则点P在（ ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心的距离d和圆的半径r. 本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握判断方法是解题的关键. 【详解】解：∵的半径为，点P到圆心O的距离， ∴， ∴点P在外， 故选：C. 5. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 掷一枚骰子，朝上的点数是6 B. 任意画一个三角形，内角和为 C. 明天会下雨 D. 打开电视，正在播放新闻 【答案】B 【解析】 【分析】根据各选项描述的事件性质进行判断即可． 本题考查必然事件的概念，必然事件指在一定条件下必定发生的事件． 【详解】解：A. 掷骰子可能出现1至6点，点数是6仅为一种可能，属于随机事件，故此选项不符合题意； B. 根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和恒为，属于必然事件，故此选项符合题意； C. 明日的天气具有不确定性，可能下雨也可能不下，属于随机事件，故此选项不符合题意； D. 打开电视可能播放新闻，也可能播放其他内容，属于随机事件，故此选项不符合题意． 故选：B． 6. 若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据求出结果即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个根， ， 故选：A． 7. 抛物线与x轴的交点个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，明确二次函数与方程的关系是解题的关键． 先令化为一元二次方程，再根据一元二次方程，即可判断抛物线与轴交点个数． 【详解】解：令，则， ∴， ∴抛物线与轴有2个交点， 故选：C． 8. 一个正六边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和，解题关键是掌握多边形的内角和公式，其中为边数．利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：一个正六边形的内角和为， 故选：A． 9. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，熟记特殊角的三角函数值，并直接代入已知三角函数值计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选：D． 10. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，将各点坐标代入反比例函数解析式，分别求出的值，再比较大小． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 11. 某市年森林覆盖率为，预计到年达到，设年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用一元二次方程解决实际问题，年平均增长率问题适用复利增长模型，从年到年经过两年，因此覆盖率的增长需乘以的平方． 【详解】解：∵初始覆盖率为，年平均增长率为，经过两年后覆盖率为， ∴列方程， 即：． 故选：A． 12. 一名男生推铅球，铅球出手时，铅球的高度为．铅球行进的高度（单位：）是水平距离（单位：）的二次函数，与之间的函数关系式为．有下列结论： ①从铅球出手到落地时水平距离为； ②铅球行进过程中的高度可以达到； ③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离小于从最高点运动至落地的水平距离． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数解决实际问题的方法是解题的关键． 当时，解得，可判定①正确；把二次函数化为顶点式可得顶点坐标为得最高点大于，可判定②正确；根据二次函数对称轴与起点，对称轴与落点的距离可判定③正确；由此即可求解． 【详解】解：铅球行进的高度（单位：）是水平距离（单位：）的二次函数，与之间的函数关系式为， 当时，， 解得，， ∴从铅球出手到落地时水平距离为，故①正确； ， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴铅球行进过程中的高度可以达到，故②正确； ∵抛物线的对称轴直线为，铅球出手到落地时水平距离为， ∴， ∴铅球从出手到飞行至最高点的水平距离小于从最高点运动至落地的水平距离，故③正确； 综上所述，正确的有3个， 故选：D ． 二、填空题（18分） 13. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，掌握二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”是解题关键．根据二次函数图象平移的规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式为， 故答案为：． 14. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：4． 15. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，根据公式计算即可求解 【详解】解：圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面积为， 故答案为：． 16. 从写有数字1、2、3的三张卡片中随机抽取一张，放回后再抽取一张，两次抽取的数字之和为偶数的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用画树状图法解答即可． 本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，它们的和为2，3，4，3，4，5，4，5，6， 有9个结果，其中结果为偶数的有5种， 两次抽取的数字之和为偶数的概率是， 故答案为：． 17. 如图，将绕点顺时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为点，，若点，，在同一条直线上，与交于点． （1）______； （2）若为的中点，，则______． 【答案】 ①. ##90度 ②. 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，由旋转性质可知：，，，，，则，从而可得，再利用角度和差求出，再证明，则，又为的中点，，则，由勾股定理求出，最后代入即可求出，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由旋转性质可知：，，，，， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：，． 18. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均为格点，且都在同一个圆上． （Ⅰ）圆直径的长度等于 ； （Ⅱ）请用无刻度的直尺在给定的网格中，画出圆的切线，并简要说明点D的位置是如何找到的 ． 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）如图，取格点，连接，交于点，作直线即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、圆的切线的判定、三角形的中位线定理、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键． （Ⅰ）结合网格特点，利用勾股定理求解即可得； （Ⅱ）取格点，连接，交于点，作直线即为所求．理由是：取格点，连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，即，再根据三角形的中位线定理可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得． 【详解】解：（Ⅰ）由网格可知，， 所以圆直径的长度等于， 故答案为：． （Ⅱ）理由：如图，取格点，连接，交于点， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵四边形是矩形， ∴点是对角线的中点， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 又∵是圆的直径， ∴是圆的切线． 三、解答题（66分） 19. 解方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据配方法解答即可． （2）根据公式法解答即可． 本题考查了一元二次方程的解法，选择适当的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 移项，得． 配方，得，即． 两边开平方，得． 解得． 【小问2详解】 解：∵, 在这里， ∴， 解得，． 20. 一个不透明袋子中装有红、黄、蓝三个除颜色外完全相同的小球． （1）从中随机摸出一个球，摸到红球的概率为________； （2）从中随机摸出两个球，求摸到一个红球和一个黄球的概率（用树状图或列表法说明）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，列表法或画树状图法求概率，根据题意正确求解即可． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画树状图求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，摸到红球的概率为， 故答案为： 【小问2详解】 解：画树状图法如下： 由树状图可知，共有6种等可能的情况，其中摸到一个红球和一个黄球的情况有2种， 则摸到一个红球和一个黄球的概率． 21. 已知在△中，，，⊙O经过点 A，B交 AC于点D. （1）如图①，若 AB为直径，⊙O交BC于点E，连接BD，DE，求∠BDE的大小； （2）如图②，若⊙O与BC相切，连接BD，求∠BDC的大小； 【答案】（1）20° （2）70° 【解析】 【分析】(1)利用等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角计算即可． (2)利用切线的性质，圆心角与圆周角关系定理计算即可． 【小问1详解】 ∵，， ∴∠ABC=70°． ∵四边形ABED是⊙O内接四边形， ∴∠ADE=180°-∠ABC=110°． ∵AB是⊙O直径， ∴∠ADB=90°． ∴∠BDE=∠ADE-∠ADB=20°． 【小问2详解】 如图，连接OB，OD． ∵⊙O与BC相切， ∴ OB⊥BC. ∴ ∠OBC =90°． ∵∠BAC =40°， ∴∠BOD =2∠BAC=80°． ∵OB =OD， ∴∠OBD =∠ODB=50°． ∴∠DBC =∠OBC-∠OBD =40°． ∴∠BDC =180°-∠DBC-∠C =70°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，切线的性质，圆心角与圆周角关系定理，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 22. 如图，从建筑物AB的顶部A点，测得建筑物CD顶部D点的俯角α为45°，底部C点的俯角β为60°，且两座建筑物的水平距离BC为40m．求这两座建筑物AB，CD的高度．（结果保留小数点后一位，，） 【答案】这两座建筑物AB，CD的高度分别约为69.3m和29.3m 【解析】 【分析】延长 CD ，交过 A 点的水平线 AE 于点 E ，可得 DE⊥AE ，在直角三角形 ABC 中，由题意确定出 AB 的长，进而确定出 EC 的长，在直角三角形 AED 中，由题意求出 ED 的长，由 EC - ED 求出 DC 的长即可． 【详解】解：如下图，延长CD，交过点A的水平线AE于点E，可得四边形ABCE是矩形， ∴，，， ∵， ， ∴在Rt△AED中，， 在Rt△ABC中，， ， ∴这两座建筑物AB，CD的高度分别约为69.3m和29.3m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数定义，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另外当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 23. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）每千克应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出一元二次方程，并正确计算． （1）设每次下降的百分率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价m元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为x， 由题意得， 解得，，（不合题意，舍去） 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价m元， 由题意得， 解得，， ∵每千克涨价不能超过8元， ∴。 ∴不合题意，舍去。 又∵要尽快减少库存，即销售量要尽可能大， 当时，销售量为千克，符合题意。 ∴。 即该商场要保证水果每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价5元． 24. 在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点，以点A为旋转中心，把顺时针旋转，得． （1）如图①，当旋转后满足轴时，则点C的坐标______，点D的坐标______． （2）如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标。 （3）在（2）的条件下，边OB上的一点P旋转后的对应点为，当取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可） 【答案】（1）， （2）（） （3） 【解析】 【分析】（1）作轴于H．只要证明四边形是矩形，利用矩形的性质即可解决问题； （2）作轴于M．在中，求出即可解决问题； （3）连接，，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，由题意，推出，根据两点之间线段最短，可知当点P与点重合时，的值最小．只要求出直线的解析式即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图1，过点C作轴于H， ∵，， ∴，， 由旋转的性质，可得， ∴，，， 又∵轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴点C的坐标为，点D的坐标； 故答案为：，； 【小问2详解】 如图2，过点D作轴于M， 由面积知， 在中，由勾股定理得 AB， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴点D的坐标为（）； 【小问3详解】 如图3，连接，，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接， 当点在点位置时，、、在同一条直线上，取得最小值， 由题意可得， 根据轴对称的性质可得， ∴， ∵，D的坐标为（）， ∴设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题、勾股定理解直角三角形，两点之间线段最短等知识，解题的关键是会利用两点之间线段最短解决最短路径问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 25. 如图，抛物线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为． （1）求此拋物线的函数解析式． （2）点P是直线上方拋物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，求的最大值，及此时P点的坐标． （3）点M为该拋物线上的点，当时，请直接写出满足条件的点M的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为，点的坐标为 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； （2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可； （3）如图，以为对角线作正方形，可得，与抛物线的另一个交点即为，如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则，设，则，求解，进一步求解直线为：，直线为，再求解函数的交点坐标即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 设， ∴， ∴ ； 当时，有最大值； 此时； 【小问3详解】 解：如图，以为对角线作正方形， ∴， ∴与抛物线的另一个交点即为， 如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴, ∴， 由可得： ∴， 解得：， ∴， 设为：， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：或， ∴， ∵，，，正方形， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴， 综上：点的坐标为或. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $