精品解析：吉林省东北师范大学附属中学2025-2026学年上学期七年级数学12月月考试卷

东北师大附中初一年级数学综合练习 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，的内错角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三线八角，根据内错角的定义，两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，的内错角是； 故选D． 2. 如图，点O为直线上一点，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，掌握垂直的定义是解题的关键．根据垂直的定义可得，即可得解． 【详解】解：， ， ， 故选：． 3. 如图，下列条件能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐项判定，即可求解． 【详解】解：因为，所以（内错角相等，两直线平行．），故D符合题意； A、B、C选项都无法判断． 故选：D． 4. 如图，利用内错角相等，两直线平行，我们可以用尺规作图的方法，过的边上一点作的平行线．有以下顺序错误的作图步骤：①作射线；②以O为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交、于点C、D；③以F为圆心，长为半径画圆弧，交前面的圆弧于点G；④在边上取一点E，以E为圆心，长为半径画圆弧，交于点F．这些作图步骤的正确顺序为（ ） A. ①②③④ B. ③②④① C. ②④③① D. ④③①② 【答案】C 【解析】 【分析】利用作一个角等于已知角的方法即可整理出作图步骤的顺序． 【详解】用尺规作图作一个角等于已知角的方法如下： 以O为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交、于点C、D；在边上取一点E，以E为圆心，长为半径画圆弧，交于点F，以F为圆心，长为半径画圆弧，交前面的圆弧于点G；作射线；则正确的作图步骤是②④③①． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的相关作图，熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解此题的关键． 5. 如图，一辆快艇从处出发向正北航行到A处时向左转航行到处，再向右转继续航行，此时航行方向为（ ） A. 西偏北 B. 北偏西 C. 东偏北 D. 北偏东 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方向角，利用平行线的性质得出和掌握方向角的定义是解题关键．根据平行线的性质，可得，根据角的和差得，根据方向角的定义可得答案． 【详解】解：如图，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴此时航行方向为北偏东． 故选：D． 6. 一小区大门的栏杆如图所示，当栏杆抬起时，BA垂直于地面AE，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD的度数为（　　） A. 180° B. 270° C. 300° D. 360° 【答案】B 【解析】 【详解】解：过B作BM∥AE，则CD∥BM∥AE，∴∠BCD+∠1=180°；又∵AB⊥AE，∴AB⊥BM，∴∠ABM=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°．故选B． 7. 已知，互补，且，那么与之间的关系是（ ） A. 互余 B. 差为 C. 和为 D. 差为 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查与补角和余角有关的计算，根据和为90度的两个角互余，和为180度的两个角互补，进行判断即可． 【详解】解：∵，互补， ∴， ∴， ∴与互余； 故选A． 8. 如图，河道的同侧有两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．根据垂线段最短以及两点之间线段最短，求解即可． 【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是： 故选：D． 9. 如图①，在长方形中，点在上，且，分别以为折痕进行折叠并压平，如图②，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、角的计算，由图形折叠的性质得到平分，平分，再利用角的和差得到，进而得出答案，利用折叠的性质得出平分，平分是解此题的关键． 【详解】解：由图形折叠的性质得到平分，平分， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 10. 在数学活动课上，老师让同学们以“两块直角三角板（一块含角，一块含角）的摆放”为背景开展数学探究活动．某同学将两块三角板按如图所示放置，则下列四个结论： ①；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，熟练应用平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．根据平行线的判定和性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：根据题意，逐项进行判断如下： ①， ， 即， 故①正确； ②， ， ． ， ， 与不平行， 故②错误； ③， ． ， ， ， 故③正确； ④，， ． ， ． ， ， ， 故④正确； 综上，正确的有①③④， 即正确的有3个． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了度、分、秒之间的换算，能熟记和是解此题的关键．根据、度分、秒的换算关系将分和秒转换为度，再相加即可． 【详解】解：， ， ， ，即， 故答案为：． 12. 如图所示，在中，，，，，则点到的距离是________． 【答案】##4.8 【解析】 【分析】本题主要考查了求三角形的高，点B到的距离是h，根据等面积法得到，据此代值计算即可． 【详解】解：设点B到的距离是h， ∵， ∴， ∴， ∴点B到的距离是． 故答案为：． 13. 如图，直线、相交于点，射线平分，若，则的大小为______． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题考查了角平分线、对顶角的定义，根据对顶角的定义可得，结合平分，即可求解． 【详解】解：直线、相交于点，， ， 平分， ， 故答案为：． 14. 如图；直线分别与直线相交于点G、H，已知，平分，交直线于点M，则的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，先由同位角相等，两直线平行得到，再由平行线的性质得到，据此求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果，那么______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要涉及折叠的性质和平行线的性质，解题的关键是根据折叠得到对应角相等． 根据折叠的性质得到，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图： 为折痕， ， ， 在长方形中，， ， ． 故答案为：． 16. 如图，，点F为上一点，，过点F作于点G，若平分，且．则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论是______． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，代入计算即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断②；根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断③和④． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 解得：，则结论①正确； ， ， ， 则结论②正确； ，， ， ，， 但不一定等于，也不一定等于，所以平分，平分都不一定正确，则结论③和④都错误； 综上，正确的是①②， 故答案为：①②． 三、解答题（共52分） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先去括号，再利用整式的加减法法则化简，最后代入求值． 【详解】解： ． 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，掌握去括号法则、合并同类项法则是解决本题的关键． 18. 某校七年级数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸（单位：）如图，其中阴影部分为内部粘贴角料． （1）此长方体包装盒的容积为 ；（用含x，y的式子表示） （2）若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，则当时，制作这样一个长方体包装盒共需要多少平方厘米纸板？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的列代数式，整式加减运算的运用，代数式求值． （1）根据长方体的体积公式：长宽高，再列式即可； （2）根据“长方体的表面积（长宽长高宽高），又内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，所以制作这样一个长方体共需要纸板的面积长方体的表面积”，最后代入数据计算即可． 【小问1详解】 解：由题意，知该长方体的长为毫米，宽为毫米，高为10毫米， 则长方体包装盒的体积为：立方毫米． 【小问2详解】 解：长方体的长为毫米，宽为毫米，高为65毫米， 长方体的表面积平方毫米， 又内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的， 制作这样一个长方体共需要纸板的面积为： （平方毫米）， ∵，， 制作这样一个长方体共需要纸板（平方毫米）． 答：制作这样一个长方体共需要纸板605平方毫米． 19. 如图，在中，点D是边上的点． （1）尺规作图：过点D作，交边于点E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，若平分，，求的大小． 【答案】（1） 如图，为所求作． （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图－作一个角等于已知角，平行的判定及性质，角平分线的定义；掌握作法，平行的判定及性质是解题的关键． （1）作，由平行线的判定方法，即可求解； （2）由平行线的性质得，由平行线的定义，即可求解． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：因为， 所以， 因为平分， ． 20. 如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，请按要求画图（要求：作图只用无刻度的直尺）． （1）在图中，过点作直线的垂线，垂足为点； （2）在图中，作，使； （3）在图中，作点，使点在线段上且的长度最小． 【答案】（1） 如图， 即为所求； （2） 根据网格特征可知：如图， 即为所求； （3） 点即为所求． 【解析】 【分析】（）根据网格线的特征画图； （）根据网格线的特征画图； （）根据两点之间线段最短求解； 本题考查格点作图，作平行线，两点之间线段最短，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据网格特征可知，， ∴即为所求； 【小问2详解】 解：根据网格特征可知： ∵， ∴， ∴即为所求； 【小问3详解】 解：根据两点之间线段最短， 连接交于点， ∴点即为所求． 21. 请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： （1）如图①，已知，求证：．证明：过点P作， ∵，∴______（两直线平行，内错角相等）， ∵，，∴（______）， ∴______（______），∴（等量代换） （2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______． （3）如图③，，若，，，，则______（用含x、y、z的代数式表示） 【答案】（1），平行于同一条直线的两条直线平行，，两直线平行，内错角相等 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，外角的性质，作出合适的辅助线，将待求角恰当分割是解题的关键． （1）根据平行线的性质证明即可； （2）先过点作，过点作，再根据平行线的性质，利用同旁内角即可求出答案； （3）先延长交于点，延长交于点，再根据平行线的性质，以及外角的性质，进行计算以及变形即可得出答案． 【小问1详解】 证明：过点P作， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为：，平行于同一条直线的两条直线平行，，两直线平行，内错角相等． 【小问2详解】 解：如图， 过点作，过点作， ，． ， ， ， ． 故答案为：． 【小问3详解】 解：如图③， 延长交于点，延长交于点， ， ． ，， 即，， ， 即， ． 故答案为：． 22. 点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，过点O作射线． （1）若射线平分，如图1，若，求的度数． 请把下列解题过程补充完整： ∵（已知）， ∴∠（______）． ∵平分（已知）， ∴______°（______）． ∵（已知）， ∴___________°． （2）在（1）的前提下，若，求的度数（用含的代数式表示）． （3）如图2，反向延长，得到直线，若，平分，现将三角板以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时直线以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（），当平分时，请直接写出t的值． 【答案】（1）平角的定义；；角平分线的定义；；； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由是平角，平分，即可求解； （2）在（1）的条件下，由是平角，平分，即可求解； （3）根据两图形旋转后的角度位置，建立关于的方程，使某一时刻满足平分条件，即可求解． 【小问1详解】 解：∵（已知）， ∴∠（平角的定义）， ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴； 故答案为：平角的定义；；角平分线的定义；；； 【小问2详解】 解：∵， ∴∠， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：，平分， ； 当平分时，分两种情况讨论： 当平分时， 此时， 由题意知， ； 当平分时， 此时， 由题意知， ； 当平分时，或． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、几何图形中角度的计算问题、角平分线的有关计算、求一个角的余角、利用邻角互补求角度；运用数形结合的思想和分类讨论的思想是解题的关键． 23. 如图，数轴上点Q表示的数为，线段的端点A与表示数3的点重合，端点B与表示数6的点重合．点P从点Q出发，沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度．同时，线段以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点A与点P相遇时，线段立即折返，沿数轴向右运动，速度不变．设运动时间为t秒． （1）线段的长为______． （2）当点P运动t秒时，则点P表示的数为______（用含t的式子表示） （3）当点P与点A相遇时，t的值为______；当点P与点B相遇时，t的值为______． （4）当点P到点A的距离等于点P到点B的距离的2倍时，t的值为______． 【答案】（1）3 （2） （3）3；4.5 （4）或 【解析】 【分析】本题考查了数轴上点的变化以及两点之间的距离，列代数式，一元一次方程的应用，准确的用整式表示出数轴上的点是解题的关键． （1）用点表示的数减去点表示的数即可； （2）用加上点向右运动的距离即可； （3）根据相遇时两个点所表示的数相等，列出方程进行求解即可； （4）当点P在点B的两侧时，分类讨论，分别计算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 因为点P从点Q出发，沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度， 所以点P表示的数为， 故答案为：； 【小问3详解】 ①因为线段以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动， 所以点表示的数为， 由（2）可知：点P表示的数为， 当点P与点A相遇时，， 解得，； 故答案为：3； ②因为当点P与点A相遇时，，即点表示的数为0， 当点P与点A相遇时，线段从原点折返，此时点B表示的数为：， 因为点P表示的数为， 故当点P与点B相遇时，，解得，， 故答案为：4.5； 【小问4详解】 线段从原点折返，此时点A表示的数为：，此时点B表示的数为：， ①当点P在点B的左侧时，，即， ， 解得，； ②当点P在点B的右侧时，，则， ， 解得，； 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师大附中初一年级数学综合练习 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，的内错角是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点O为直线上一点，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，下列条件能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，利用内错角相等，两直线平行，我们可以用尺规作图的方法，过的边上一点作的平行线．有以下顺序错误的作图步骤：①作射线；②以O为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交、于点C、D；③以F为圆心，长为半径画圆弧，交前面的圆弧于点G；④在边上取一点E，以E为圆心，长为半径画圆弧，交于点F．这些作图步骤的正确顺序为（ ） A. ①②③④ B. ③②④① C. ②④③① D. ④③①② 5. 如图，一辆快艇从处出发向正北航行到A处时向左转航行到处，再向右转继续航行，此时航行方向为（ ） A. 西偏北 B. 北偏西 C. 东偏北 D. 北偏东 6. 一小区大门的栏杆如图所示，当栏杆抬起时，BA垂直于地面AE，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD的度数为（　　） A. 180° B. 270° C. 300° D. 360° 7. 已知，互补，且，那么与之间的关系是（ ） A. 互余 B. 差为 C. 和为 D. 差为 8. 如图，河道的同侧有两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图①，在长方形中，点在上，且，分别以为折痕进行折叠并压平，如图②，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 在数学活动课上，老师让同学们以“两块直角三角板（一块含角，一块含角）的摆放”为背景开展数学探究活动．某同学将两块三角板按如图所示放置，则下列四个结论： ①；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 计算：______． 12. 如图所示，在中，，，，，则点到的距离是________． 13. 如图，直线、相交于点，射线平分，若，则的大小为______． 14. 如图；直线分别与直线相交于点G、H，已知，平分，交直线于点M，则的大小为______． 15. 将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果，那么______°． 16. 如图，，点F为上一点，，过点F作于点G，若平分，且．则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论是______． 三、解答题（共52分） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 某校七年级数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸（单位：）如图，其中阴影部分为内部粘贴角料． （1）此长方体包装盒的容积为 ；（用含x，y的式子表示） （2）若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，则当时，制作这样一个长方体包装盒共需要多少平方厘米纸板？ 19. 如图，在中，点D是边上的点． （1）尺规作图：过点D作，交边于点E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，若平分，，求的大小． 20. 如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，请按要求画图（要求：作图只用无刻度的直尺）． （1）在图中，过点作直线的垂线，垂足为点； （2）在图中，作，使； （3）在图中，作点，使点在线段上且的长度最小． 21. 请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： （1）如图①，已知，求证：．证明：过点P作， ∵，∴______（两直线平行，内错角相等）， ∵，，∴（______）， ∴______（______），∴（等量代换） （2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______． （3）如图③，，若，，，，则______（用含x、y、z的代数式表示） 22. 点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，过点O作射线． （1）若射线平分，如图1，若，求的度数． 请把下列解题过程补充完整： ∵（已知）， ∴∠（______）． ∵平分（已知）， ∴______°（______）． ∵（已知）， ∴___________°． （2）在（1）的前提下，若，求的度数（用含的代数式表示）． （3）如图2，反向延长，得到直线，若，平分，现将三角板以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时直线以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（），当平分时，请直接写出t的值． 23. 如图，数轴上点Q表示的数为，线段的端点A与表示数3的点重合，端点B与表示数6的点重合．点P从点Q出发，沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度．同时，线段以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点A与点P相遇时，线段立即折返，沿数轴向右运动，速度不变．设运动时间为t秒． （1）线段的长为______． （2）当点P运动t秒时，则点P表示的数为______（用含t的式子表示） （3）当点P与点A相遇时，t的值为______；当点P与点B相遇时，t的值为______． （4）当点P到点A的距离等于点P到点B的距离的2倍时，t的值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $