精品解析：四川省遂宁市射洪中学校2025-2026学年八年级上学期1月月考数学试题

射洪中学2025年下期初2024级第二次核心素养评价 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（共54分） 1. 在，，，，，0.10010001…，这些数中，无理数的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题是真命题的有（ ） （1）对顶角相等； （2）两直线平行，同位角相等； （3）若，则； （4）同一平面内，两条直线不平行，则一定相交； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 估计的值在（ ） A. 15和16之间 B. 16和17之间 C. 17和18之间 D. 18和19之间 5. 若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 若多项式可分解为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知a、b满足，则a+b的值为（ ） A. -2014 B. 4028 C. 0 D. 2014 8. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于”时，用反证法的假设正确的是：假设（ ） A. 三个内角都大于 B. 三个内角都小于 C. 三个内角都不大于 D. 三个内角至多有两个大于 9. 在中，的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ） A. 如果，那么是直角三角形 B. 如果，那么是直角三角形 C. 如果，那么是直角三角形且 D. 如果，那么是直角三角形 10. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为，则顶角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 11. 如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点和，再分别以点为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，于点，则的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 9 12. 如图，点E在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是（ ） A. 109 B. 119 C. 129 D. 139 13. 如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 14. 如图所示的网格是由16个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均在格点上，则（ ） A. B. C. D. 15. 在中，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点，如果点和顶点重合，则的长为（ ） A. 2 B. 6 C. D. 16. 如图，在中，O为和的平分线的交点，交BC于点D，交BC于点E．若，则的周长为（ ） A. 11cm B. 10cm C. 9cm D. 8cm 17. 如图，在中，，于，平分，且于，与相交于点，于，交于，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③④ B. ①②③④ C. ①③ D. ① 18. 如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（ ）． A. 16 B. 30 C. 48 D. 60 二、填空题（共24分） 19. 如果关于的多项式是完全平方式，则的值为______． 20. 已知：，则_______． 21. 如图，在三角测平架中，，在的中点处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重垂线正好经过点，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是________． 22. 若的结果中不含有的一次项，则的值为_________． 23. 如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的度数是___________． 24. 如图，在等腰中，于点分别为上的动点，连接，当的值最小时，的度数为___________． 三、解答题（共72分） 25. 因式分解： （1） （2） 26. 计算 （1） （2）先化简，再求值：，其中． 27. 已知的立方根是，的算术平方根3，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 28. 如图所示，在中，，，，交的延长线于点F，， （1）求证：； （2）求的长度． 29. 如图，某“双行道桥洞”的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长是，宽是．一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能通过该“双行道桥洞”吗？ 30. 【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 31. 在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①在四边形中，E是边的中点，是的平分线，，求证； 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长、交于点F； 方法2：如图③，在上取一点G，使，连接、； （1）请你任选一种方法写出这道题的完整证明过程； （2）如图④，在四边形中，是的平分线，E是边的中点，，，求证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学2025年下期初2024级第二次核心素养评价 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（共54分） 1. 在，，，，，0.10010001…，这些数中，无理数的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的判断，根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数是否无理数即可． 【详解】解：在，，，，，0.10010001…，这些数中，无理数是，，，0.10010001…共4个， 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项、单项式乘除法及幂的乘方，需逐一验证各选项的正确性．根据合并同类项、单项式乘除法及幂的乘方逐一分析判断即可． 【详解】解：选项A：．合并同类项需满足相同次数，但与次数不同，无法合并，结果应为，故A错误． 选项B：．单项式乘法中，系数相乘（），变量部分指数相加（），结果为，故B正确． 选项C：．单项式除法中，系数相除（），变量部分指数相减（），结果为，但选项写为，符号错误，故C错误． 选项D：．幂的乘方需对系数和变量分别乘方：系数为，变量为，结果应为，但选项写为，系数错误，故D错误． 故选：B． 3. 下列命题是真命题的有（ ） （1）对顶角相等； （2）两直线平行，同位角相等； （3）若，则； （4）同一平面内，两条直线不平行，则一定相交； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何常识，有理数的乘法法则以及真假命题的判断． 逐一分析四个命题的真假即可． 【详解】解：（1）对顶角相等，原命题正确； （2）两直线平行，同位角相等，原命题正确； （3）当时，或，原命题错误； （4）同一平面内，两条直线不平行则一定相交，原命题正确； 故真命题有3个， 故选：C． 4. 估计的值在（ ） A. 15和16之间 B. 16和17之间 C. 17和18之间 D. 18和19之间 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查无理数的估算，先确定，再利用不等式的性质得到即可 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， 故选：D 5. 若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是积的乘方逆运算及平方差公式，逆用积的乘方法则解决问题是关键． 根据积的乘方法则，先将化成，再整体代入计算即可． 【详解】解：， ． 故选：B． 6. 若多项式可分解为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了已知因式分解的结果求参数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 通过展开因式分解形式并比较系数，求出和的值，再计算． 【详解】展开，与原多项式比较系数，得：，且 ， 解得：，， ∴； 故选：B． 7. 已知a、b满足，则a+b的值为（ ） A. -2014 B. 4028 C. 0 D. 2014 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，a-2014≥0且2014-a≥0， 所以，a≥2014且a≤2014， 所以，a=2014， b=0， 所以，a+b=2014+0=2014． 故选D． 考点：二次根式有意义的条件． 8. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于”时，用反证法的假设正确的是：假设（ ） A. 三个内角都大于 B. 三个内角都小于 C. 三个内角都不大于 D. 三个内角至多有两个大于 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反证法．反证法是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后通过推理，推出矛盾，从而证明原命题成立． “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“三角形的三个内角都大于”． 【详解】∵命题“三角形的内角中至少有一个角不大于”，其结论为“至少有一个角不大于”，意思是三角形的三个内角中存在一个或者多个角是小于等于的， ∴它的否定就是三角形的三个内角都大于． ∴用反证法证明该命题时，应假设“三角形的三个内角都大于”． 故选：A． 9. 在中，的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ） A. 如果，那么是直角三角形 B. 如果，那么是直角三角形 C. 如果，那么是直角三角形且 D. 如果，那么是直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，根据勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，则：，故是直角三角形，结论正确，不符合题意； B、，则：，故是直角三角形，结论正确，不符合题意； C、如果，那么是直角三角形且，原结论错误，符合题意； D、如果，则：，故，故，那么是直角三角形，结论正确，不符合题意； 故选C． 10. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为，则顶角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键．分这个三角形为锐角三角形和钝角三角形，再利用三角形内角和定理和可求得顶角的度数． 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图①，     高与右边腰成夹角，由三角形内角和为可得，顶角为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图②，     此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为， 由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为，所以三角形的顶角为， 所以该等腰三角形的顶角为或， 故选：D． 11. 如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点和，再分别以点为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，于点，则的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据题意得出平分，作垂直于点，得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：作垂直于点， 由题意得平分， ∵， ∴， ∵， ∴, 故选： D． 12. 如图，点E在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是（ ） A. 109 B. 119 C. 129 D. 139 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 根据题意求出，根据即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 正方形的面积是， 的面积是， 阴影部分的面积是， 故选：D． 13. 如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由题意结合线段垂直平分线的性质可得，，，，先由的周长为，求出，再由的周长为，得出，即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意结合线段垂直平分线的性质可得：，，，， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 14. 如图所示的网格是由16个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均在格点上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过构造全等三角形和等腰直角三角形，将和的角度关系进行转化． 构造全等三角形，将转化为，再结合等腰直角三角形的角，利用角的和差关系求出． 【详解】解：如图， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 15. 在中，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点，如果点和顶点重合，则的长为（ ） A. 2 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠性质以及勾股定理，设，则，根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵折叠 ∴ ∵ ∴设，则 ∴在中， 即 解得 故选：C 16. 如图，在中，O为和的平分线的交点，交BC于点D，交BC于点E．若，则的周长为（ ） A. 11cm B. 10cm C. 9cm D. 8cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线定义，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是求出，． 根据平行线的性质得出，根据角平分线定义推出，推出，同理，求出的周长=长，代入即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴的周长为 故选：B． 17. 如图，在中，，于，平分，且于，与相交于点，于，交于，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③④ B. ①②③④ C. ①③ D. ① 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据，可得出，可判断①；连接，根据垂直平分线的性质与判定得到，再利用的斜边大于直角边得到，可判断②；利用判定，从而得出，．则，即，可判断③；再利用判定，得出，又因为，所以，可判断④，即可得出结论． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形． ． 故①正确； 连接． 是等腰直角三角形， 又， 垂直平分， ， 在中，是斜边，是直角边， ， ， ．故②错误． 在和中， ，，且， ． 又，， ． ；． ， ；故③正确； 平分， ． 又，， ． ． 又， ；故④正确； 综上所述，其中正确的是①③④． 故选：A． 18. 如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（ ）． A. 16 B. 30 C. 48 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查与直角三角形有关的图形的面积问题，熟练掌握勾股定理，找到规律是解题的关键：把图②中各个小正方形标上字母，设正方形的边长为，正方形的边长为，根据勾股定理，得到，得到正方形的面积+正方形的面积，进而得到图①中所有正方形的面积和，依次类推，每一次操作后，所有正方形的面积和都比前一次操作增加4，进行求解即可． 【详解】解：如图，把图②中各个小正方形标上字母，设正方形的边长为，正方形的边长为． 正方形的面积为，正方形的面积为． 由题意得：正方形的边长为2，并且是直角三角形的斜边． 正方形的面积为4． 根据勾股定理可得：． ∴正方形的面积+正方形的面积； 图①中所有正方形的面积和． 同理可得：正方形的面积＋正方形的面积正方形的面积，正方形的面积＋正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积＋正方形的面积＋正方形的面积＋正方形的面积正方形的面积＋正方形的面积． 图②中所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和． 即一次操作后所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和． 同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4． 次操作后所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和． 次操作后所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和． 故选C 二、填空题（共24分） 19. 如果关于的多项式是完全平方式，则的值为______． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题考查完全平方式．根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行求解即可． 【详解】解：， ∴， 解得：或， 故答案为：5或． 20. 已知：，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】把原式通过幂的运算法则转化成，再根据条件计算得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案是：． 【点睛】此题考查的是幂的运算性质，掌握幂的乘方的逆运算、同底数幂的除法和负指数幂的性质是解决此题的关键． 21. 如图，在三角测平架中，，在的中点处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重垂线正好经过点，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是________． 【答案】等腰三角形的三线合一 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵的中点处挂一重锤， ∴， 又∵， ∴， ∵是重锤所在的直线， ∴是水平的， 这种做法依据的数学原理是：等腰三角形的三线合一． 故答案为：等腰三角形的三线合一． 22. 若的结果中不含有的一次项，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键； 按照多项式乘以多项式的运算法则进行计算，再根据结果中不含有x的一次项得出，求出结果即可． 【详解】 ， ， ， 若的结果中不含有的一次项，则， 解得． 故答案为：． 23. 如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的度数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，，利用三角形内角和定理构建方程求解． 【详解】解：∵， ∴， 设，则，， 由作图可知， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 24. 如图，在等腰中，于点分别为上的动点，连接，当的值最小时，的度数为___________． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂线段最短，三角形的内角和定理，根据等腰三角形三线合一，得出，所以， 当的值最小时， 即过点作交于点， 此时的值最小，根据三角形的内角和求出答案即可． 【详解】解：如图， 过点作， 垂足为， ∵， 于点， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 当的值最小时， 即的值最小， ∴此时、、共线， 且， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共72分） 25. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式和公式法分解因式是解题的关键． （1）提取公因式，即可解答； （2）运用平方差公式和完全平方公式，即可解答． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 26. 计算 （1） （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2），10 【解析】 【分析】本题主要考查实数混合运算和整式化简求值． （）先分别计算乘方、开方，再进行乘除，最后做加减； （）先展开乘法、计算除法、去括号，再合并同类项化简，最后代入求值． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解： ． 当时， 原式 27. 已知的立方根是，的算术平方根3，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根、立方根和无理数的估算，解题关键是熟练掌握平方根和立方根的定义． （1）根据的立方根是，9的算术平方根是3，列出关于，的方程，解方程求出，，再估算的值，求出整数部分即可； （2）根据（1）中所求，，的值，求出的值，进而求出它的平方根即可． 【小问1详解】 解：的立方根是，的算术平方根是3， ，， 解得：，， ， ，即， 的整数部分是， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知：，，， ， 的平方根为：． 28. 如图所示，在中，，，，交的延长线于点F，， （1）求证：； （2）求的长度． 【答案】（1） 证明∶ ， ， 又， 在和中， ； （2）2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，证明是的中线是解题的关键． （1）根据垂直的定义以及直角三角形两锐角互余得出，再根据即可得出结论； （2）根据（1）的结论得出再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 是的中线， 29. 如图，某“双行道桥洞”的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长是，宽是．一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能通过该“双行道桥洞”吗？ 【答案】卡车能通过该桥洞． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，灵活运用所学知识是解题关键． 构造长方形，令，利用勾股定理求得，即可求得，作出判断． 【详解】解：如图，因为“双行道桥洞”，根据题意构造长方形，令， 长方形的长是， ， 在中，，根据勾股定理得： ， ， ， ， 卡车能通过该桥洞． 30. 【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】（1）， （2）证明: ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， 又, , ∴. ∴； （3）证明： 由题意，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； （4） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得， 再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形,然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）依据题意,通过证明即可判断得解； （3）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （4）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中,则，求出后可列式计算得解. 【详解】(1)证明：由图可知， ，， 正方形边长为， ， 即． 故答案为：，； （2）略 (3)略 (4)由题意,如图, ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为, ， 设则， 在中, ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 31. 在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①在四边形中，E是边的中点，是的平分线，，求证； 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长、交于点F； 方法2：如图③，在上取一点G，使，连接、； （1）请你任选一种方法写出这道题的完整证明过程； （2）如图④，在四边形中，是的平分线，E是边的中点，，，求证． 【答案】（1） 方法一：证明：延长交于点F，如图②； 是边的中点， ， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ； 方法二：证明：在上取一点G，使，连接，如图③； 是的平分线， ， ，， ， ，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 证明：如图，过点作的平行线交于点，交的延长线于点，连接， 由方法一同理可知：， ，， ∵平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）方法一根据平行线的性质易证，结合角平分线的性质可知是等腰三角形，从而可证；方法二根据角平分线的性质易证，从而可知是等腰三角形，再结合平行线的性质可求得也是等腰三角形，从而可证； （2）过点作的平行线交于点，交的延长线于点，根据方法一可得是等腰三角形，结合等腰三角形性质，，，可证得，从而可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质与判定等知识点，解题关键在于作辅助线构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $