精品解析：河南省开封市祥符区实验中学2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试题

绝密★启用前 2025-2026学年实验中学九年级第三次月考试卷 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页．三大题，满分120分，考试时间100分钟．请用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 2．答题前请将密封线内的项目写清楚． 一、单选题（共30分） 1. 如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解答本题的关键． 从正面、上面和左面三个不同的方向看一个物体，并描绘出所看到的三个图形，即几何体的三视图． 根据主视图的意义和画法可以得出答案． 【详解】解：∵该几何体为放倒的三棱柱， ∴根据主视图的画法，从前往后看，看到的是一个长方形， 故选：C． 2. 小聪在解方程时，只得到一个根，则被漏掉的一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．通过因式分解法解一元二次方程，利用零乘积性质求根． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 即或． 小聪只得到，故被漏掉的根是． 故选：B． 3. 关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象分别位于第一、三象限 C. 图象关于原点对称 D. 随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键，可结合图象更易于分析．根据反比例函数的性质即可逐一分析找出正确选项． 【详解】解：∵反比例函数 中，， ∴ 当时，，图象经过点 ，故A正确； ∴ 图象分别位于第一、三象限，故B正确； ∴ 图象关于原点对称，故C正确； ∴ 在每个象限内，y随x的增大而减小，故D错误； 故选：D. 4. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小刚现将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率．用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， 据此可以估计黑色部分的面积为． 故选：D． 5. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的判别式；根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件：二次项系数不为零，且判别式大于零，即可求解 【详解】∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ 二次项系数 ，即 ， 且判别式 ， ， ∴ ， ， ∴ 的取值范围是 且 ， 故选 B 6. 如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为，若屏幕的长度为，则上方边界C处到桌面的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质求出的度数，根据余弦的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，给出下列条件：①；②；③；④．其中不能够判定的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 本题考查选择或补充条件使两个三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：和中，， 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，不能满足两边对应成比例且夹角相等，不能判定； 添加，即后，满足两边对应成比例且夹角相等，可以判定， 故选：A． 8. “蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示的蓝丝带，若．重叠部分图形的面积是，则丝带的宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理．先证明四边形是平行四边形，则，作于，于，设，利用面积法证明，得到四边形是菱形，再由勾股定理求得，然后根据重合部分四边形的面积为，列式求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图，作于，于，连接，则， 设， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 则， ∴重合部分四边形的面积为： ， 解得（负值已舍去）， ∴丝带的宽为， 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，以为边在第一象限内构造矩形，且．将五边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第26次旋转结束时，点C的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算，，过点C作于点E，后根据题意，确定点，确定循环周期，解答即可． 本题考查了勾股定理，矩形的性质，三角函数的应用，旋转的性质，熟练掌握勾股定理，三角函数的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点，点， ∴， ∴，， ∵以为边在第一象限内构造矩形，且． ∴， ∴ 过点C作于点E， ∴，, ∴，， ∴， ∴， ∵五边形绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴，，，，以后开始循环， 循环周期为， ∵， 故点的坐标与相同， 故选：D． 10. 如图1，点从等边三角形的顶点出发，沿折线运动到顶点．设点运动的路程为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和题中给出的条件．令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．结合图象可知，当点在上运动时，，，易知，当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，可知，过点作，解直角三角形可得，进而可求得等边三角形的边长． 【详解】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点． 结合图象可知，当点在上运动时，， ，， 又为等边三角形， ，， ， ， 当点在上运动时，可知点到达点时的路程为， ，即， ， 过点作， ，则， ， 即：等边三角形的边长为， 故选：A． 二、填空题（共15分） 11. 请写出在每一个象限内y随x的增大而增大的反比例函数表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数时，y随x的增大而增大，选取适当的k值即可． 【详解】解：∵反比例函数在每一个象限内函数值y随x的增大而增大， ∴， 选取，则， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴于点B，的面积为3，则k的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是解此题的关键．由题意得，再根据反比例函数的图象在第二象限，即可得出． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图所示，一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为，秋千摆至最高位置时与竖直方向的夹角为，且两边的摆动角度相同，那么秋千摆至最高位置与摆至最低位置时的高度差为_____米．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角函数求线段长，数形结合是解决问题的关键． 在中，由三角函数列式求解得到，数形结合表示出秋千摆至最高位置与摆至最低位置时的高度差即可得到答案． 【详解】解：在中，，，，则， 秋千摆至最高位置与摆至最低位置时的高度差为， 故答案为：． 14. 已知，，在反比例函数的图象上，、、的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由可得反比例函数图象分布在二、四象限，当时，；当时，，且在每一象限内，的值随着的增大而增大，据此解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分布在二、四象限，当时，；当时，，且在每一象限内，的值随着的增大而增大， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 如图所示，在矩形中，，，两只小虫和同时分别从，出发沿、向终点，方向前进，小虫每秒走，小虫每秒走，它们同时出发秒时，使，则 ______秒 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，一元一次方程的运用，根据相似三角形的性质建立等式求解，即可解题． 【详解】解：由题意，设经秒后，， 由于，，， ∴，即． 解得． 三、解答题（共75分） 16. 解方程（1）； 计算（2） 【答案】（1）, ; （2） 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，特殊角的三角函数值，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用解一元二次方程——配方法，进行计算即可解答； （2）把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答． 【详解】（1）， 则， 配方得， ， 解得， , ； （2）原式 ． 17. DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的模具设计活动．随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了________名，学生的模具设计成绩，成绩的中位数是________分，并补全频数分布直方图； （2）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （3）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【答案】（1）50，， 补全频数分布直方图如下： （2）720人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键． （1）由D组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，进而可求出B组学生人数，补全频数分布直方图即可； （2）用1200乘以成绩不低于80分的人数占比即可； （3）画出树状图，根据树状图解答即可． 【小问1详解】 解：， ∴本次共抽取了50名学生的模具设计成绩， 组学生人数为人， ∵成绩由低到高排列，中位数为第25和第26个数据的平均数， ∴中位数分， 故答案为：50，； 【小问2详解】 解：， 答：估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种结果，所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 18. 已知反比例函数的关系式为． x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … … （1）完成表格，并在平面直角坐标系中画出其函数图象； （2）根据图象回答：当时，y的取值范围是 ． （3）根据图象回答：当时，x的取值范围是 ． 【答案】（1） 表格完成如下： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 2 1 … 画出函数图象如图所示： （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质； （1）将横坐标代入解析式中计算得出纵坐标填入表格，再将这些点在坐标系中描出，用光滑的曲线连起来，注意反比例函数的图象为双曲线，分左右两支； （2）在x轴上找到的区域，再通过图象找到对应的y值的部分，即可求解； （3）找到这一条直线，在这一直线下方的部分都是的部分，然后在x轴上找到对应的部分即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示： 由图象可得：当时，y的取值范围是， 故答案为：. 【小问3详解】 解：如图所示： （3）由图象可得：当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 19. 2025年，“拉布布”凭借诡异又可爱的独特设计和北欧神话背景，成为全球潮玩市场的现象级产品．在“浪浪山小妖怪”电影热映后，“问童子．奋斗兔”玩偶也深受年轻人的喜欢．某潮玩店同时销售“拉布布森林系列”盲盒和“问童子．奋斗兔”玩偶，已知拉布布的销售单价是奋斗兔销售单价的倍，某顾客用1000元购买拉布布的数量比用600元购买奋斗兔的数量多2个． （1）拉布布和奋斗兔的销售单价分别是多少元？ （2）已知拉布布每个进价为60元，经统计，该店每月能够卖出拉布布80个，为了尽快减少库存，该店决定采用适当的降价措施．调查发现，拉布布销售单价每降低2元，平均每月能够多售出10个．该店老板希望每月拉布布的利润达到3600元，那么拉布布销售单价应降低多少元？ 【答案】（1）奋斗兔的销售单价是 75 元，拉布布的销售单价是100元 （2）拉布布销售单价应降价20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程是解题的关键． （1）设奋斗兔的销售单价为x元，则拉布布的销售单价为元，根据购买方式利用个数列出方程求解即可； （2）设拉布布销售单价应降价a元，根据利润公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设奋斗兔的销售单价为x元，则拉布布的销售单价为元， 根据题意得 解得：， 经检验，是原方程的根， 则， 答：奋斗兔的销售单价是75元，拉布布的销售单价是100元； 【小问2详解】 解：设拉布布销售单价应降价a元，根据题意得， 解得: 为了尽快减少库存， ， 拉布布销售单价应降价20元． 20. 如图，在中，是的角平分线，E是上一点，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规，在上找到一点F使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，求证：． 【答案】（1） 如图，点F即为所求作（作法不唯一）； （2） 证明：平分， ， ， ， ， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本的判定和性质． （1）以点D为角的顶点，为角的一条边，在上方作即可； （2）证明四边形是菱形，得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，) （1）如图，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； （2）调节支杆，悬杆，使得，，如图所示，且点到地面的距离为，求的长．结果精确到） 【答案】（1）端点距离地面的高度约为； （2）的长约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据已知易得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点，根据题意得，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用平角定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， ， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 端点距离地面的高度约为； 【小问2详解】 解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 答：的长约为． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． （1）求的面积． （2）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？ （3）若双曲线上存在一点P，使得和的面积相等，请直接写出点P坐标． 【答案】（1） （2）1或9个单位长度 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数综合题，涉及到了一次函数与反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练利用数形结合思想是解题的关键． （1）求出，把代入求出的值，得出一次函数的解析式，把代入求出，得出，根据的面积代入求出即可； （2）设直线向下平移个单位长度，则直线，根据题意列出方程，则根的判别式； （3）双曲线上存在点，使得，这个点就是的平分线与双曲线的交点，易证，则． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 把代入，得； ， 把，代入得， ， 解得，． 一次函数的解析式为， 把代入，得， ． ； 【小问2详解】 解：设直线向下平移个单位长度，则直线， 根据题意列出方程：， 整理，得． 由于直线与反比例函数图象只有一个交点， 所以． 解得，． 所以将直线向下平移1或9个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点； 【小问3详解】 解：，， ， 当点在的平分线上时，，如图， ， ， ． ，平分， ， 把代入，可得， ， ， 如图，过点作， ， 点横纵坐标相等， 设， 即， ， ， 故点坐标为，使得和的面积相等． 根据反比例函数图象的对称性可得或． 23. 课本再现 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是通过截取线段， 构造出 ，进而得到． 类比迁移 （2）如图2，四边形是矩形，，点是边的中点，，且交矩形的外角平分线于点，请判断与的数量关系，并说明理由． 拓展探究 （3）如图3，四边形是边长为3的菱形，，点为射线上一动点，连接，作，且与菱形外角的平分线交于点．当时，请直接写出的长． 【答案】（1），； （2）． 理由：在 上取点，使，连接， 由（1）同理可得， ， ， ， ， 设， 则，， ， ； 即． （3）的长为2或3 【解析】 【分析】此题四边形的综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，解决问题的关键是熟练掌握以上知识． （1）由全等三角形的判定可得出结论； （2）在上取点，使，连接，由（1）同理可得，得出，设，则，，可得出答案； （3）过点作，交于点，证明，得出，设，则，，解方程可得出答案． 【详解】解：（1）如图，取的中点，连接， 四边形是正方形， ， 、分别是和的中点， ， ， ， 交正方形外角的平分线于点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）略 （3）如图所示，过点作，交于点， 四边形是菱形，， ，，，，，， ，，， 是角平分线， ，， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 可得， 解得，， 当时，点在上，； 当时，点在延长线上， 如图所示， ； 综上所述，的长为2或3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2025-2026学年实验中学九年级第三次月考试卷 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页．三大题，满分120分，考试时间100分钟．请用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 2．答题前请将密封线内的项目写清楚． 一、单选题（共30分） 1. 如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 2. 小聪在解方程时，只得到一个根，则被漏掉的一个根是（ ） A. B. C. D. 3. 关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象分别位于第一、三象限 C. 图象关于原点对称 D. 随的增大而增大 4. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小刚现将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为，若屏幕的长度为，则上方边界C处到桌面的距离为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，给出下列条件：①；②；③；④．其中不能够判定的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. “蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示的蓝丝带，若．重叠部分图形的面积是，则丝带的宽为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，以为边在第一象限内构造矩形，且．将五边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第26次旋转结束时，点C的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，点从等边三角形的顶点出发，沿折线运动到顶点．设点运动的路程为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共15分） 11. 请写出在每一个象限内y随x的增大而增大的反比例函数表达式：______． 12. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴于点B，的面积为3，则k的值为_____． 13. 如图所示，一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为，秋千摆至最高位置时与竖直方向的夹角为，且两边的摆动角度相同，那么秋千摆至最高位置与摆至最低位置时的高度差为_____米．（结果保留根号） 14. 已知，，在反比例函数的图象上，、、的大小关系是______． 15. 如图所示，在矩形中，，，两只小虫和同时分别从，出发沿、向终点，方向前进，小虫每秒走，小虫每秒走，它们同时出发秒时，使，则 ______秒 三、解答题（共75分） 16. 解方程（1）； 计算（2） 17. DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的模具设计活动．随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了________名，学生的模具设计成绩，成绩的中位数是________分，并补全频数分布直方图； （2）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （3）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 18. 已知反比例函数的关系式为． x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … … （1）完成表格，并在平面直角坐标系中画出其函数图象； （2）根据图象回答：当时，y的取值范围是 ． （3）根据图象回答：当时，x的取值范围是 ． 19. 2025年，“拉布布”凭借诡异又可爱的独特设计和北欧神话背景，成为全球潮玩市场的现象级产品．在“浪浪山小妖怪”电影热映后，“问童子．奋斗兔”玩偶也深受年轻人的喜欢．某潮玩店同时销售“拉布布森林系列”盲盒和“问童子．奋斗兔”玩偶，已知拉布布的销售单价是奋斗兔销售单价的倍，某顾客用1000元购买拉布布的数量比用600元购买奋斗兔的数量多2个． （1）拉布布和奋斗兔的销售单价分别是多少元？ （2）已知拉布布每个进价为60元，经统计，该店每月能够卖出拉布布80个，为了尽快减少库存，该店决定采用适当的降价措施．调查发现，拉布布销售单价每降低2元，平均每月能够多售出10个．该店老板希望每月拉布布的利润达到3600元，那么拉布布销售单价应降低多少元？ 20. 如图，在中，是的角平分线，E是上一点，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规，在上找到一点F使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，求证：． 21. 随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，) （1）如图，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； （2）调节支杆，悬杆，使得，，如图所示，且点到地面的距离为，求的长．结果精确到） 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． （1）求的面积． （2）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？ （3）若双曲线上存在一点P，使得和的面积相等，请直接写出点P坐标． 23. 课本再现 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是通过截取线段， 构造出 ，进而得到． 类比迁移 （2）如图2，四边形是矩形，，点是边的中点，，且交矩形的外角平分线于点，请判断与的数量关系，并说明理由． 拓展探究 （3）如图3，四边形是边长为3的菱形，，点为射线上一动点，连接，作，且与菱形外角的平分线交于点．当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $