甘肃省酒泉市2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题

2025一2026学年高三年级上学期期末考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x|-3<x≤2}，B={x|-2≤x<3},则A∩B A.{x|-2<x<2}B.{x|-2≤x≤2} C.{x|-2<x≤3} D.{x|-3<x<3} 2.已知复数：满足+2=2+i(其中1为虚数单位)，则1<十211= A.3 B.√5 C..2 D.23 3.样本数据19,20,21,23,13,16,24,28的第40百分位数为 A.16 B.23 C.17.5 D.20 4.已知正实数a,b满足a+b=4,则上+ 1 b 的最小值为 1 A.3 B.2 C.1 D.2 5.已知等差数列{am},a1=3,a2十a8=一10.数列{bm}满足bn=an十am+1,n∈N+,设{bn}的 前n项和为Sn,则S。= A.-32 B.-80 C.-140 D.-224 6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E为AA,的中点，F为CC1靠近C1的四等分点，点B, E,F所确定的平面把三棱柱分割成体积不同的两部分，则较大部分的体积与较小部分的 体积之比为 A号 c 12 0 第1页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 1已知双曲线5号- =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F2,过点F2的直线与双曲线E 的右支交于A,B两点若|AB|=|AF,|,且双曲线E的离心率为N5,则cos∠BAF1= 人9 B、36 8 C- D吃 8.已知函数f(x)=log:x+i x-1 ) +a在区间[3,4]上不存在零点，则实数a的取值范 围为 A信+lce B+1o) c(-,6+le]u(g+】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法错误的有 A.命题3x∈R,x2+x十1≤0的否定是x∈R,x2+x+1>0 B.若a·b>0,则a,b的夹角为锐角 C.若方程x2+(m-3)x+m=0有两个不等的正实数根，则m>1 D.在△ABC中，若角C=60°，b=40,c=20,则△ABC有两解 10.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C的准线过点A(-2,0).若点M满足 |MA|=√2|MF|,则下列结论正确的是 A.p=2 B点M在以（侵p0为圆心p为半径的圆上 C.若点M在抛物线C上，则|MF|=4 D,抛物线C上恰好存在两个满足题意的点M 1.已知函数f)-,则下列结论正确的是 A函数fx)在0，上单调递增，在日+∞上单调递减 B.f(3.2)>f(2) C若不等式a>f)在0，十∞)上恒成立，则实数a的取值范围是。十) D.当≤x≤心时，若方程f)=x(6ER)有且只有-个根，则-≤b<名或6= 2e 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.9x+1） 的展开式中含x项的系数为 13.已知函数f(x)=-a(2-2r)+(4“+4)+8,若f(x)>0在区间(1，+∞)上恒成 立，则实数a的取值范围是 14.已知正项数列{am}的前n项和为Sm,12Sn=a十6am.数列{bn}的首项b1=一2，数列 {am十bm一3}为等比数列，且公比q=2,则数列{bn}中bn的最小值为 第2页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 3π 15.(13分)已知fx)=-5cos2x+2sin2+xsin(x+x),x∈R. (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(A)=√3，a=4,求△ABC 面积的最大值. 16.15分)已知函数fx)=ae-子x+3x(a∈R,其导函数为f(x)】 (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若函数Ax)='（)-3+1n工有三个不同的极值点1，，求实数a的取值 x 范围 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,AB∥CD,∠DAB=90°，E 是AD的中点，AD=2CD=5AB=2,PD=3. (1)证明：CE⊥PB; (2)求平面PEC与平面BEC的夹角的余弦值； (3)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值. 第3页（共4页）》 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18.(17分)小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均 参与第二关.者小王，小李第一关阅关成功的概率分别为，是，第二关阅关成功的概率 分别为工，少（产号，且两人在网关过程中互不影响，两关之间互不影响 (1)若小李第二关闯关成功的概率y=号，求小李恰好有一关闯关成功的概率， (2)若小王，小李各有一关闯关成功的概率为5，小王，小李两关都闯关成功的概率为 求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的花 (3)闯关游戏比赛组织方为了吸引参赛者，提供了三种闯关游戏方式：水上闯关、陆地徒 步闯关、自行车闯关，每种闯关游戏方式都设置若干关卡，所有关卡都闯过，则闯关成功； 其中有一关没有闯过，则闯关失败，参赛者只能参加其中一种闯关游戏方式.三种闯关游 戏方式发布后已有100选手参加，且闯关后的统计数据如下表： 闯关方式 闯关结果 水上闯关 陆地徒步闯关 自行车闯关 闯关成功 6 16 8 闯关失败 12 24 32 小王选择上述三种闯关游戏方式中的一种，求闯关游戏结束时，小王闯关成功的概率。 (注：用频率近似为概率) 19.17分)已知椭圆C:+4 +若=1a>6>0)过点5，） ,离心率e=分 (1)求椭圆C的方程. (2)若F1为椭圆C的左焦点，在y轴上有两动点M(0,m),N(0,n),m>0,n<0,且 MF,⊥NF1 ①若△MF,N的外接圆与椭圆C在第一象限的交点为P,连接PN交x轴于点Q,求 9的值， ②椭圆的左顶点为A,直线AM,AN分别与椭圆C交于点S,T,求证：直线ST恒过 定点 第4页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 2025一2026学年高三年级上学期期末考试 数学参考答案及评分意见 1.B【解析】由集合A={x|-3<x≤2}，B={x|-2≤x<3},得A∩B={x|-2≤x≤2}.故选B. 2.C【解折1由牛2=2+i得=存=1-i,所以：+2i=1一i计2i-1+i, 2 所以|之+2il=1十i=√1十1=√2，故选C. 3.D【解析】根据题意，将样本数据按从小到大的顺序排列为13,16,19,20,21,23,24,28.因为8×40%=3.2，所 以该组数据的第40百分位数为20.故选D. 4C【解标1因为正实数a,6满足a+6=4,所以日+古-（日+分》a+b)=号{+会+号+）≥ e+:一1，当且仅当兰-云即a-62时，等号成立，所以时+言的是小值为1放选C 5.C【解析】设等差数列{am}的公差为d,a1=3,.a.=3+(n一1)d, .a2十as=a1+d+a1十7d=6+8d=-10,解得d=-2,am=3-2(n-1)=5-2. ,bn=am+am+1,n∈N+,∴.bn=5-2n+5-2(n+1)=8-4n, 六数列{6.}是首项61=8-4=4，公差是一4的等差数列，.5.=”6，十6.) 2 :6。=8-4X10=-32,5w=-10(61,+bn）=5X(4-32)=5×(-28)=-140,故选C 2 6.C【解析】将直三棱柱ABC-A,B,C补形成直四棱柱ABDC一A1B,D,C1,使底面ABDC为平行四边形， 如图 设底面面积为S,AC边上的高为ho,AA,=h,则直四棱柱的体积V=Sh,S=AC×ha, 四边形AEFC的面积S'-AE+PC)XAC=合+曾)×AC-普×AC, 5V 所以阳楼能B-AEPC的体积V。-AK一号×警×ACX,-费S- 所以直三棱柱ABC-A,B,C,中，剩余部分的体积V'= 7 --Vn-AEPC=24V, -V 24 所以较大部分的体积与较小部分的体积之比为 5=5,故选C 7D【解析】因为双曲线E的离心率为√3，所以c=√3a. 因为|AB|=|AF,l,所以|BF2I=|AB|-|AF2|=|AF,I-|AF2=2a. 由双曲线的定义得，|BF,|-|BF2|=|BF1I-2a=2a,所以|BF1|=4a=2|BF,l. 在△BFF,中，由余弦定理得，cos∠BF,F,=BF,+F,F:-BF,l_4a2+12a-16a: =0, 2BF2FF2 2X2aX23a 数学答案第1页（共7页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 所以∠BF,R:=90,即AB1F,F:,此时AF,l=BF,即AF:=AB=AF, 在R△AF,F:中，∠P,AP:=60,所以cos∠BAF,=2故选D, 8c【解折1由f)=6:千-（侣）+u,得0，解得4<-1或>1 即函数f(x)的定义域为(-∞，-1)U(1,十∞). 若函数f(x)在区间3，幻上存在零点，则方程1g:-(份)-a在区间[3,4幻上有解。 设&)=loe2A)-(合)-aga)=loe吊loe-子） =1在[3,4]上单调递增，y=1og2为其定义域上的增函数 ∴g:)=oe:号在[3,4上单调通增又A(x)-(侣)-a在[3,1上单调递减， g(3)≤h(3), 1≤8-a, .要使函数f(x)在区间[3,4]上存在零点，则须 即 g(4)≥h(4), 3、1 og:5>16-a, 解得言+los号<a≤号则函数fc在[.上不存在零点时a∈(-0，+log号)U(g+ 9.BCD【解析】对于A,命题3x∈R,x2+x+1≤0的否定是Hx∈R,x2+x+1>0,故A正确： 对于B,若a·b>0,则a,b的夹角为锐角或a,b是同向共线非零向量，故B错误； 对于C,若方程x2+(m一3)x十m=0有两个不等的正实数根， [(m-3)2-4m>0, 则{-m+3>0, 解得0<m<1,故C错误； m>0, 对于D,由正弦定理，sinB-bsin C03 202=3>1,所以△ABC无解，故D错误.故选BCD 10.BCD【解析]对于A,因为抛物线C的准线为x=一合-一2，所以p=4,放A错误。 对于B,F(2,0),设M(x,y),则|MA|=√(x+2)2+y,|MF1=√(x-2)+y. 因为MA|=√21MF|,所以√(x+2)2+y2=√2·√(x-2)2+y,化简得(x-6)2+y2=32. 所以点M在以(6,0)为圆心，4巨为半径的圆上，即点M在以(p0为圆心，Ep为半径的圆上，放B正确 对于C,由=8a, 得(x-6)2+8x=32,即x2-4x十4=0，解得x=2, (x-6)2+y2=32, 所以M(2,士4)，所以MF|=4,故C正确. 对于D,根据C可知M点有两个，M(2,4)或M(2,一4)，故D正确.故选BCD. I1.BCD【解析】对于A,函数fx)的定义域为(0，+∞)，且f'(x)=1-1n, 2 由f'(x)=0,解得x=e.当0<x<e时，f'(x)>0,f(x)在(0，e)上单调递增； 数学答案第2页（共7页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 当x>e时，f'(x)<0,f(x)在(e,十o∞)上单调递减，故A错误. 对于，f2)=2f-4-h2f2)=,又：在e,+)上单调莲减， 4 f(4)<f(3.2),f(2)<f(3.2),故B正确. 对于C,不等式e>/在0，+∞)止恒度立，即a>兰在0，+)上恒限立 设gx)-则gx)-1-2n兰.令g)=0,则=E 3 当0<x<时，g'(x)>0;当x>e时，g'(x)<0, ∴当x=6时，g《取到极大值也是最大值，gG6)=:2,a>28放C正确 对于D,方程f)-b:,即6-当日<<E时，方程了)-bx6ER)根的个数等价于两数R)- 2产在区同[心]小上的图象与直线y-6交点的个数。 由C的分析知，&()二在区间[日上单调递增，在区间(6，e心]上单调递减， 且当x=6时，g)取到板大值也是最大值g6)=名又g日)-。，ge)-号当函数()-产在 区间[日心]小上的图象与直线y=6交点的个数为1，即方程了)=6：6∈R)只有-个根时，-e≤<号或 b=元放D正确故选BCD. 的展开式的酒项公式T-cO:)一（店-G·g,0<<vN 3 令4-之r=1,解得r=2,所以二项展开式中含x项的系数为C×3=54. 13.(-o∞，2√10)【解析】因为函数y=2在R上单调递增， 函数y=2-(侣)在R上单调遥减，所以y=2-2在R上单调道地 当x>1时>2-2-2令4=2-2（>)则4+4=2-2+=+2， 所以当x>1时，f(x)=-a(2r-2)+(4+4)+8可转化为y=-au+2+10(>2) 因为r)>0在区间(1，+o)上恒成立，所以-at+4+10>0在区间（径，+上恒成立。 所以a<“牛0=+9在区间（侵+小上恒成立. t 又因为1+9>20，当且仅当：-只，即1=V0时1+”取得最小值20， 所以a<2√10，所以实数a的取值范围是（一∞，2√I0). 14.-13【解析】，12Sn=a十6am,∴.当n=1时，12a1=a+6a1,解得a1=6; 当n≥2时，12S-1=a-1+6am-1, 两式作差得，12Sn一12Sw-1=a日+6a.-a-1-6am-1,即a:-a7-1-6am-6am-1=0, 数学答案第3页（共7页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP .(an+am-1)(an-am-1-6)=0.又an>0,am-am-1=6(n≥2).又a1=6, ∴a.=6+(n-1)6=6n..a1+b1-3=6-2-3=1,.4m+bm-3=6n+b.-3=1·2"-1=2m-1, bn=2m1-6m十3，.bn+1-bn=2m-1-6. 当n=1,2,3时，b.+1-b.<0,当n≥4时，bm+1-bn>0,.b1>b2>b3>b,<b。<b6<…, ∴.数列{b.}先单调递减后单调递增，且bn的最小值为b,=一13. 15,解：1由题意，fx)=-3c0s2z+(-2c0sx)X(-sinx)=sin2x-3cos2x=2sin2z-） 所以最小正周期T=7=不，即f(父)的最小正周期为元，…………3分 令2张x一受≤2x一百≤2kx十号k∈Z,解得kx一是<<kx+受k∈乙， 所以了：)的单调通增区间为[kx一品x+]∈。 …6分 2由fA)=2sm2a-)-.得nA-- 又因为<A<号，所以-营<2A-音< 所以2A--即A=子 ……小8分 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos3=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc, 即bc≤a2=16,当且仅当b=c=4时，等号成立.………10分 所以5w-血行-9≤x18=4v, 所以△ABC面积的最大值为4√3.… 13分 1 16.解：(1)当a=1时，f(x)=e-3x3+3x,则f(0)=e°=1， f'(x)=e'-x2+3,则f'(0)=e°+3=4， 所以曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=4x十1.… …5分 (2)油题意，∫(x)=ae一r+3,则A(x)=aG+inr=a -x+In z(z>0), x 则h'(r)=ae（x-1D-1+1=x-1)ae-x 22 ,…7分 h(x)有三个不同的极值点x1x2,x3,等价于h'(x)=0有三个不同的正根. 令亿-ae-》=0,得（z-1)ae-)=0,解得x=1或a=号…9分 令gx)-(>0,则g'x)=1 令g'(x)=1二2=0，解得x=1, er 当0<x<1时，g'(x)>0,函数g(x)在(0,1)上单调递增， 当x>1时，g'(x)<0,函数g(x)在(1，十∞)上单调递减， 则函数g(x)的最大值为g1)= e …12分 数学答案第4页（共7页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 当x→0或x→十∞时，g(x)→0， 所以当0<a<忌时a-若有两个不同的正根， 所以实数a的取值范围为0，】 …15分 e 17.(1)证明：如图，连接BD,与CE的交点为O.因为AB∥CD,∠DAB=90°， 所以∠ABD=∠CDO,∠CDE=90°.…1分 由AD=2 3 CD-3AB=2,得AB=25 3 ,CD=3,DE=1, 所以an∠DCE-S-9 nADB-铝-号 AD3' 所以∠DCE=∠ADB.… …2分 因为∠ADB+∠CDO=90°，所以∠DCE+∠CDO=90°， 所以∠COD=90°，所以CE⊥DB.………… …3分 因为PD⊥底面ABCD,CEC平面ABCD,所以CE⊥PD, 因为PD∩DB=D,PD,DBC平面PDB,所以CE⊥平面PDB 又因为PBC平面PDB,所以CE⊥PB.…5分 :>C (2)解：因为DA,DC,DP两两垂直，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 42 则E(1,0,0),C(0,N3,0),P(0,0,3),所以EC=(-1,W3,0),PC=(0,√5，-3). ……6分 设平面PEC的法向量为m=(z,y,之)， 芯·m=0即厂+3y=0 P元.m=0,N3y-3z=0, 令5则y1-写所以m 平面BEC的一个法向量为n=(0,0,1).…8分 设平面PEC与平面BEC的夹角为0， ⊙ 则cos0=cos(m,n|=mm m·n 3 √/13 1 13 4+3 所以平面PEC与平面BEC的夹角的余弦值为 13 …10分 数学答案第5页（共7页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 3解：Ed=(-1n50.P=05,-3.C0.0B225o ………………………]1分 设平面PBC的法向量为u=(a,b,c), 1PC·u=0, 5b-3c=0, 则 即 令a=1,则b=25,c=2, BC.u=0 所以u=(1,23,2).… …13分 设直线CE与平面PBC的夹角为a, 则sn8=1eos(Etw1=Eu5=5V五 |EC1lu2√/1734 所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值为5，严 34.……………15分 18解：(1)设事件A1=“第一关小王闯关成功”，事件A2=“第二关小王闯关成功”， 事件B,=“第一关小李闯关成功”，事件B2=“第二关小李闯关成功”，事件C“小李恰好有一关闯关成功”， 由题意知AAB,B:相互独立，且P(A)=P(A,)=,P(B,)=号，P(B,)=.…2分 C=B1B2+B1B2,且B1B2,B1B,互斥， 当y=号时，PC)=P(B,E+BB,)=P(B,E)+P(BB:)=P(B,)P(B)+P(团)P(B,)=X 1 十、 ×号-品 …4分 ∴若小李第二关阔关成功的概率y一号，则小李恰好有一关阀关成功的概率为品 …………………6分 (2)记事件D=“小王，小李两人各闯过一关”，事件E=“小王，小李两人两关都闯关成功”，则 PD)=PA石+不A:P(B,+瓦B,)-[1-x+号][21-y+]6 P(E)=P(A1A:B,B,)=言x×子y=若： 3 3 9 219 24 20x+5y= x= 50 5 9 解得 或 y 12 . 9 25x 5y=2 …8分 xy=5 2 y=20 记事件F=“小王两关都闯关成功”，事件G=“小李两关都闯关成功”， 事件H=“小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功”，则 3、13 P(H)=P(FG+PFG)+P(FG)-是×g+号×受+是×-器 即小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率为 01 ……12分 (3)记事件M=“水上闯关”，事件N=“陆地徒步闯关”，事件W=“自行车闯关”，事件S=“闯关游戏结束时， 数学答案第6页（共7页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP