精品解析：江苏省苏州市苏州工业园区星湾学校2024-2025学年上学期八年级数学12月月考试卷

2024－2025学年第一学期教学调研 八年级 数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1. 64的立方根是（ ） A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8 2. 地球的半径约为，精确到（ ）位 A. 千 B. 百 C. 十 D. 个 3. 以下数组中，其中是勾股数的是（ ） A. ， ， B. 9 ，40 ， 41 C. 1 ， ，1 D. 2 ，3 ，4 4. 下列曲线中不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在一次函数的图像上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 点P在第二象限内，且P到x轴的距离是4，到原点的距离是5，则P点坐标是（　　） A. B. C. D. 7. 将分式中的、都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 是原来的3倍 C. 是原来的9倍 D. 是原来的6倍 8. 一次函数与的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 关于x，y的方程组的解为 D. 9. 已知是的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点”．直线上的“姐妹点”的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）． 小数比小文先出发15秒； 小文提速后的速度为； ； 从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距． A. B. C. D. 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 比较大小：______．（填“”、“”或“”）． 12. 下列5个数：0，，，，中，其中无理数有______. 13. 已知点，都在直线上，则与大小关系是________． 14. 已知a，b都是实数，，则的值为_____． 15. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为，则这个等腰三角形顶角的度数为__________. 16. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向上平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为___________． 17. 如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为_____ 18. 如图，直线分别与 轴、轴交于点、，是线段上一点，连接，将沿着翻折得，若点落在第四象限，且，则点的坐标为______． 三．解答题（本大题共8小题，共56分） 19. 计算： 20. 解方程： 21. 已知与成正比例，且时，． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当时，求x的取值范围． 22. 当a，b为常数，且，定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，例如：和为“逆反函数”． （1）请直接写出函数的“逆反函数”______． （2）若点既在函数（m，n为常数，且）的图象上，又在该函数的“逆反函数”的图像上，求m，n的值． 23. 如图，已知函数和的图像交于点，这两个函数的图像与x轴分别交于点A、B． （1）分别求出这两个函数表达式； （2）求的面积； （3）根据图像直接写出不等式的解集． 24. 部分手机生产商以环保为名销售手机时不再搭配充电器，某电商看准时机，购进一批慢充充电器和快充充电器，已知该电商销售10个慢充充电器和20个快充充电器的利润为800元；销售20个慢充充电器和10个快充充电器的利润为700元． （1）求每个慢充充电器和每个快充充电器的销售利润； （2）该电商购进两种类型的充电器共200个，其中快充充电器的进货量不超过慢充充电器的2倍，设电商购进慢充充电器个，这批充电器的销售总利润为元．该电商怎样购进两种类型的充电器，才能使销售总利润最大？最大利润是多少元？ 25. 园区某校八年级同学在《园林数学•光影之美》项目化学习中研究了光的折射和光的反射现象． 学科背景：光从一种透明介质斜射入另一种透明介质时，传播方向一般会发生变化，这种现象叫光的折射；光在两种物质分界面上改变传播方向又返回原来物质中的现象，叫做光的反射． 【问题1】光从空气斜射入水中时，入射角和折射角是否存在一次函数关系； 【探究1】如图1，当光从空气斜射入水中，折射光线向法线偏折，折射角小于入射角．改变入射角的大小，记录折射角的大小． 数据记录如下： 入射角（度） … 30 45 60 … 折射角（度） … 22.1 32.1 40.6 … 【问题解决】（1）光从空气斜射入水中时，入射角和折射角是否存在一次函数关系？______（填“是”或“否”） 【问题2】有经验的渔民叉鱼时，钢叉要对准看到的“鱼”的下方叉去，这是为什么呢？ 【探究2】如图2，因为水中的鱼反射出来的光线从水中斜射入空气时会发生光的折射，而人的大脑认为光是沿直线传播的，因此，人眼看到的鱼的虚像位于点处，比鱼的真实位置要高一些． 如图3，以水面所在直线为轴，所在直线为轴，它们的交点为原点，建立平面直角坐标系．已知人眼的坐标为，入射点的坐标为，鱼的坐标为．（1个单位长度表示1米） 【问题解决】（2）求人眼看到的鱼的虚像位置（点）比实际位置（点）处高多少？（即的长度） 【问题3】如图4，光的反射现象中，在同一平面内，入射光线与反射光线分居法线两侧，且反射角等于入射角． 【问题解决】（3）如图5，在平面直角坐标系xoy中，轴为水面，点发出的光线经过水面上点反射后到点的位置，已知，，求入射点的坐标． 26. 如图，已知直线与轴、轴分别交于两点，以为直角顶点在第二象限作等腰． （1）求点的坐标，直接出直线的表达式； （2）如图，直线交轴于点，在的延长线上取一点，连接，且，求点坐标． （3）如图，在（）的条件下，直线交轴于点，是线段上一点，在线段上是否存在一点，使直线平分的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第一学期教学调研 八年级 数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1. 64的立方根是（ ） A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵43=64，∴64的立方根是4， 故选A 考点：立方根． 2. 地球的半径约为，精确到（ ）位 A. 千 B. 百 C. 十 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法 的精确度由系数 的小数位数决定， 有 位小数，则数字精确到 位． 本题考查了科学记数法的精确度判断，熟练掌握科学记数法是解题关键． 【详解】解：∵ 的系数 有两位小数， ∴ 精确到 位， 即十位． 故选 C． 3. 以下数组中，其中是勾股数的是（ ） A. ， ， B. 9 ，40 ， 41 C. 1 ， ，1 D. 2 ，3 ，4 【答案】B 【解析】 【分析】勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数．根据直角三角形中斜边的长度大于另外两条直角边中任意一条边的长度，且斜边的平方等于两条直角边平方的和，即可求出答案． 【详解】解：A选项， ， 不是正整数，不符合题意； B选项， ， ， ，92+402=412符合题意； C选项，不是正整数 ， 不符合题意； D选项， ， ， ，22+32≠42不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，根据两条较小边的平方和等于较大边的平方，则这三条边能组成直角三角形，理解和掌握直角三角形的勾股定理的逆定理是解题的关键． 4. 下列曲线中不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念，“对于自变量x的每一个确定的值，都有唯一的y值与之对应”，用平行于轴的直线去截图象，对四个图象逐一分析，即可判断． 【详解】解：用平行于轴的直线去截图象，如果能截到两个及以上交点，则不是函数，否则就是函数， A、用平行于轴的直线去截，只能截到一个交点，它能表示是的函数，故A不符合题意； B、用平行于轴的直线去截，只能截到一个交点，它能表示是的函数，故B不符合题意； C、用平行于轴的直线去截，能截到两个交点，它不能表示是的函数，故C符合题意； D、用平行于轴的直线去截，只能截到一个交点，它能表示是的函数，故D不符合题意． 5. 已知点在一次函数的图像上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将点的坐标代入一次函数中，转化为解关于字母m的一元一次方程，即可解题． 【详解】把点的坐标代入一次函数中， 得 故选：C． 【点睛】本题考查点在一次函数图像上，涉及解一元一次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 6. 点P在第二象限内，且P到x轴的距离是4，到原点的距离是5，则P点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，勾股定理，能根据题意画出示意图是解题的关键． 根据题意画出示意图，结合勾股定理即可解决问题． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为，如图所示， 因为点到轴的距离是4，到原点的距离是5， 所以，． 在中， ， 所以点的坐标为． 故选：D． 7. 将分式中的、都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 是原来的3倍 C. 是原来的9倍 D. 是原来的6倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 【详解】解：由题意，得，   故选：B． 8. 一次函数与的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 关于x，y的方程组的解为 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与方程、不等式的关系．根据一次函数与方程、不等式的关系，借助数形结合思想逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、观察图象知，当时，直线在直线的上方，则，故结论错误； B、观察图象知，当时，，故结论正确； C、关于x，y的方程组的解是一次函数与的图象的交点坐标，由图象知，两直线交于点，则方程组的解为，故结论正确； D、由图象知，两直线与y轴交点在x轴正半轴上，即，所以，故结论正确； 故选：A． 9. 已知是的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点”．直线上的“姐妹点”的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，理解一次函数图象上点的坐标满足一次函数的表达式，及“姐妹点”的定义是解决问题的关键． 先设直线上的“姐妹点”的坐标是，再根据“姐妹点”定义得，然后将点M代入之中求出m即可得出答案． 【详解】解：设直线上的“姐妹点”的坐标是， 则， ∴， ∴， ∵点M是直线上的“姐妹点”， ， ∴， ∴点， 故答案为：D． 10. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）． 小数比小文先出发15秒； 小文提速后的速度为； ； 从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从函数图象获取信息．根据图象信息以及路程、速度和时间的关系即可求解． 本题考查了一次函数的应用，看懂图象是解题关键． 【详解】结合图像，小数比小文早出发15秒，故正确； 当时，，当时，， 则小文提速前的速度是， ∵小文出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小文提速后速度为，故正确； 故提速后小文行走所用时间为：， ， ， ∴小数的速度为， ，故错误； 当时，小文和小数的距离逐渐增大， 当时达到最大为：， 当时，小文和小数的距离先减小后增大， 当时达到最大为：， 当时，小文和小数的距离逐渐减小到0， ，故正确 则正确， 故选：． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 比较大小：______．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】通过比较两个负数的绝对值，绝对值小的数更大． 本题考查了实数的大小比较，掌握无理数的近似值是解题关键． 【详解】∵ ∴， 由于 和 均为负数， 且 ， ∴ ． 故答案为： 12. 下列5个数：0，，，，中，其中无理数有______. 【答案】，， 【解析】 【分析】根据无理数即为无限不循环小数进行解答即可． 【详解】解：：0，，，，中， 无理数有：，，， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了无理数，熟知初中阶段接触的无理数主要由三种形式：①开不尽的数；②含有的数；③像这样有规律但不循环的数；是解本题的关键． 13. 已知点，都在直线上，则与大小关系是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出一次函数的增减性是解答此题的关键．先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的大小即可得出结论． 【详解】解：在直线中，， 随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 14. 已知a，b都是实数，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可求出的值，进而可求出的值，最后代入原式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 15. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为，则这个等腰三角形顶角的度数为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据等腰三角形有两个角相等进行分类讨论即可． 【详解】解：当这个等腰三角形的三个内角的度数比为时， 则顶角为； 当这个等腰三角形的三个内角的度数比为时， 则顶角； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形有两个角相等和三角形的内角和定理，解题关键是掌握以上概念，列出算式． 16. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向上平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，正比例函数的定义，根据平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”可得平移后的函数图形，再根据正比例函数的定义及一般式“”即可求解． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移个单位长度后的函数解析式为， ∵平移后得到一个正比例函数的图象， ∴， 解得，， 故答案为： ． 17. 如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为_____ 【答案】55 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理可得，，，，然后列式解答即可． 【详解】解：建立如图的数据， 由题意得，，，，，， ∴ ， 故答案为：55． 18. 如图，直线分别与 轴、轴交于点、，是线段上一点，连接，将沿着翻折得，若点落在第四象限，且，则点的坐标为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与轴对称性质的综合应用，能够综合题中条件作出辅助线并巧妙的借助勾股定理建立方程是本题的关键． 先灵活运用直线方程求出与坐标轴的交点坐标，明确各点坐标．再利用翻折的性质得到，，从而建立起等量关系．最后巧妙借助勾股定理，求出长度表达式，利用，最终通过建立方程求解得出点的坐标． 【详解】解：过点作轴，垂足为点． 令，则， 解得：． ． 令，则． ． ，． 由勾股定理可得： ． 沿着翻折得． ． 设 ． 在中，，即． 在中，，即． ， 解得：． ． ． 设，则． 由勾股定理得：． 即． ， 解得：． ． 故答案为：． 三．解答题（本大题共8小题，共56分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根、立方根和绝对值的运算规则，是实数运算的基础题型，解题的关键是掌握三类运算的符号规则，尤其是绝对值的化简，需先判断内部式子的正负再去绝对值符号． 分别计算算术平方根、立方根和绝对值，即可求解． 【详解】解：． 20. 解方程： 【答案】或． 【解析】 【分析】整理后，利用平方根的性质求解即可． 【详解】解：整理得， 开方得， 解得或． 21. 已知与成正比例，且时，． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当时，求x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，关键是将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题． （1）已知与成正比例，即可以设，把代入即可求得k的值，从而求得函数解析式； （2）求得和时所对应的函数值，然后根据一次函数的增减性即可求得x的取值范围． 【小问1详解】 解：设， 把，代入得：， 解得：， 则该函数关系式为：， ； 【小问2详解】 解：把代入，得， 把代入，得， 因为，所以随的增大而减小， 所以当时，． 22. 当a，b为常数，且，定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，例如：和为“逆反函数”． （1）请直接写出函数的“逆反函数”______． （2）若点既在函数（m，n为常数，且）的图象上，又在该函数的“逆反函数”的图像上，求m，n的值． 【答案】（1） （2）m值为3，n值为 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算，求一次函数解析式，熟练掌握定义，是解题的关键． （1）根据“逆反函数”的定义写出结果即可； （2）把分别代入和，得出m、n的方程组，解方程组即可． 【小问1详解】 解：函数的“逆反函数”为； 【小问2详解】 解：把分别代入和中，，， 解得：，； ∴m值为3，n值为． 23. 如图，已知函数和的图像交于点，这两个函数的图像与x轴分别交于点A、B． （1）分别求出这两个函数表达式； （2）求的面积； （3）根据图像直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把点分别代入函数和，求出a、b的值即可； （2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论； （3）直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论． 【小问1详解】 将点代入， 得，解得， ∴， 将点代入， 得，解得， ∴， ∴这两个函数的解析式分别为和； 【小问2详解】 在中，令，得， ∴． 在中，令，得， ∴． ∴． 【小问3详解】 由函数图象可知，当时，． ∴不等式的解集为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程等，熟练掌握待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点，利用函数图象直接得出不等式的解集，是解答此题的关键． 24. 部分手机生产商以环保为名销售手机时不再搭配充电器，某电商看准时机，购进一批慢充充电器和快充充电器，已知该电商销售10个慢充充电器和20个快充充电器的利润为800元；销售20个慢充充电器和10个快充充电器的利润为700元． （1）求每个慢充充电器和每个快充充电器的销售利润； （2）该电商购进两种类型的充电器共200个，其中快充充电器的进货量不超过慢充充电器的2倍，设电商购进慢充充电器个，这批充电器的销售总利润为元．该电商怎样购进两种类型的充电器，才能使销售总利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每个慢充充电器的销售利润为20元，每个快充充电器的销售利润为30元 （2）购进67个慢充充电器和133个快充充电器时，电商销售总利润最大，最大利润为5330元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用； （1）设每个慢充充电器的销售利润为元，每个快充充电器的销售利润为元，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）由题意可得：，根据快充充电器的进货量不超过慢充充电器的2倍，得出的范围，进而利用一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设每个慢充充电器的销售利润为元，每个快充充电器的销售利润为元，根据题意得， ， 解得：， 每个慢充充电器的销售利润为20元，每个快充充电器的销售利润为30元； 【小问2详解】 由题意可得：， ， 解得：， 且是正整数， ， 在中，， 随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为：（元）， 此时（个）， 购进67个慢充充电器和133个快充充电器时，电商销售总利润最大，最大利润为5330元． 25. 园区某校八年级同学在《园林数学•光影之美》项目化学习中研究了光的折射和光的反射现象． 学科背景：光从一种透明介质斜射入另一种透明介质时，传播方向一般会发生变化，这种现象叫光的折射；光在两种物质分界面上改变传播方向又返回原来物质中的现象，叫做光的反射． 【问题1】光从空气斜射入水中时，入射角和折射角是否存在一次函数关系； 【探究1】如图1，当光从空气斜射入水中，折射光线向法线偏折，折射角小于入射角．改变入射角的大小，记录折射角的大小． 数据记录如下： 入射角（度） … 30 45 60 … 折射角（度） … 22.1 32.1 40.6 … 【问题解决】（1）光从空气斜射入水中时，入射角和折射角是否存在一次函数关系？______（填“是”或“否”） 【问题2】有经验的渔民叉鱼时，钢叉要对准看到的“鱼”的下方叉去，这是为什么呢？ 【探究2】如图2，因为水中的鱼反射出来的光线从水中斜射入空气时会发生光的折射，而人的大脑认为光是沿直线传播的，因此，人眼看到的鱼的虚像位于点处，比鱼的真实位置要高一些． 如图3，以水面所在直线为轴，所在直线为轴，它们的交点为原点，建立平面直角坐标系．已知人眼的坐标为，入射点的坐标为，鱼的坐标为．（1个单位长度表示1米） 【问题解决】（2）求人眼看到的鱼的虚像位置（点）比实际位置（点）处高多少？（即的长度） 【问题3】如图4，光的反射现象中，在同一平面内，入射光线与反射光线分居法线两侧，且反射角等于入射角． 【问题解决】（3）如图5，在平面直角坐标系xoy中，轴为水面，点发出的光线经过水面上点反射后到点的位置，已知，，求入射点的坐标． 【答案】（1）否 （2）米 （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格数据当入射角度增加相同的度数，而折射角增加的度数不相等，据此，即可求解； （2）根据题意求得直线的解析式，进而求得点，即可求解． （3）根据题意求得直线的解析式，进而求得点，即可求解． 本题考查了一次函数的应用； 【详解】（1）解：由题可知，入射角和折射角不相等，则光线不在同一直线上，则入射角和折射角不存在一次函数关系． 故答案为：否． . （2）解：由题可知， 设直线的函数表达式为， 将点,代入表达式， 则 解得， 则直线的函数表达式为， 当时，， 则, 则米． 故答案为：米 （3）由题可知，，， 作点关于轴的对称点， 三点共线， 设直线的函数表达式为， 将点，，代入表达式， 则 解得， 则直线的函数表达式为， 当时，， 则入射点． 故答案为：． 26. 如图，已知直线与轴、轴分别交于两点，以为直角顶点在第二象限作等腰． （1）求点的坐标，直接出直线的表达式； （2）如图，直线交轴于点，在的延长线上取一点，连接，且，求点坐标． （3）如图，在（）的条件下，直线交轴于点，是线段上一点，在线段上是否存在一点，使直线平分的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），直线的表达式为，直线的表达式为 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（）过点作轴，垂足为，由一次函数可得坐标，即得，， 再证明，可得，，进而可得，再利用待定系数法即可求出直线的表达式； （）过点作轴于点，过点作轴于点，先证明，进而证明，得到，，即得，据此即可求解； （）求出点和点坐标，再求出， 根据列出方程求出即可求解． 【小问1详解】 解：过点作轴，垂足为，    ∵直线，令，可得，即， 令，可得，即， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 设直线的表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵ 为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵点在直线上，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴, 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在线段上存在一点，使直线平分的面积． 如图， ∵直线解析式为，是线段上一点， ∴， ∴， 将代入直线的解析式得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数的几何应用，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，余角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $